Apontamentos de Analise Matema

(1)

APONTAMENTOS

DE

AN ´

ALISE MATEM ´

ATICA I

(2)

(3)

´Indice

1 No¸cões Topológicas, Indu¸cão Matemática e Sucessões 1

1.1 No¸c˜oes topol´ogicas em R . . . 1

1.2 Indu¸c˜ao matem´atica . . . 4

1.3 Sucess˜oes de n´umeros reais . . . 8

1.4 Exerc´ıcios Resolvidos . . . 18

1.4.1 No¸c˜oes Topol´ogicas . . . 18

1.4.2 Indu¸c˜ao Matem´atica . . . 25

1.4.3 Sucess˜oes . . . 33

1.5 Exerc´ıcios Propostos . . . 43

1.5.1 No¸c˜oes Topol´ogicas . . . 43

1.5.2 Indu¸c˜ao Matem´atica . . . 45

1.5.3 Sucess˜oes . . . 46

2 Fun¸cões Reais de Variável Real: Limites e Continuidade 49 2.1 Generalidades sobre fun¸cões reais de variável real . . . 49

2.2 Limites. Limites relativos . . . 51

2.3 Continuidade: propriedades das fun¸c˜oes cont´ınuas. Teorema de Bolzano . . . 56

2.5.1 Limites e Continuidade . . . 63

3 Fun¸cões Reais de Variável Real: Cálculo Diferencial 67 3.1 Derivadas. Regras de deriva¸cão. . . 67

3.2 Teoremas Fundamentais: Rolle, Darboux, Lagrange e Cauchy. . . 74

3.3 Indetermina¸c˜oes . . . 78

3.4 Teorema de Taylor . . . 82

3.5 Aplica¸c˜oes da f´ormula de Taylor . . . 85

3.6.1 Diferenciabilidade. Teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy . . . 90

3.6.2 F´ormula de Taylor . . . 92

3.6.3 Estudo de uma fun¸c˜ao . . . 96

3.7.1 Diferenciabilidade. Teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy . . . 109

3.7.2 F´ormula de Taylor . . . 113

3.7.3 Estudo de uma fun¸c˜ao . . . 114

4 Fun¸cões Reais de Variável Real: Primitiva¸cão 117 4.1 Primitivas imediatas . . . 117

4.2 Primitiva¸c˜ao por partes e por substitui¸c˜ao . . . 121

(4)

ii ´INDICE

4.4 Primitiva¸cão de fun¸cões algébricas irracionais . . . 131

4.5 Primitiva¸c˜ao de fun¸c˜oes transcendentes . . . 136

4.6.1 Primitiva¸c˜ao . . . 139

5 Fun¸cões Reais de Variável Real: Cálculo Integral 143 5.1 Integral de Riemann: Defini¸cão e propriedades . . . 143

5.2 Classes de fun¸c˜oes integr´aveis . . . 150

5.3 Teoremas Fundamentais . . . 152

5.4 Areas de figuras planas . . . 154´

5.5 Integrais impr´oprios . . . 158

5.6.1 Integrais . . . 179

5.6.2 C´alculo de ´areas de dom´ınios planos limitados . . . 181

5.6.3 Integrais Impr´oprios . . . 187

5.7.1 Integrais . . . 206

5.7.2 C´alculo de ´areas . . . 209

5.7.3 Integrais Impr´oprios . . . 210

6 Apêndice A 213 6.1 Fun¸cões Trigonométricas Inversas . . . 213

7 Apˆendice B 217 7.1 Continuidade uniforme . . . 217

(5)

Cap´ıtulo 1

No¸c˜

oes Topol´

ogicas, Indu¸c˜

ao

Matem´

atica e Sucess˜

oes

1.1 No¸c˜

oes topol´

ogicas em R

Defini¸c˜ao 1.1.1 Sejam a_{∈ R, ε > 0. Chama-se vizinhan¸ca ε de a ao conjunto V}ε(a) =]a− ε, a + ε[.

a a

a - e ₊e

Figura 1.1O conjunto Vε(a).

Defini¸cão 1.1.2 Sejam a_{∈ R e A um conjunto de números reais. Diz-se que a é interior a A se existir} uma vizinhan¸ca de a contida em A. Diz-se que a é fronteiro a A se toda a vizinhan¸ca de a intersecta A e R_{\ A. Diz-se que a é exterior a A se existir uma vizinhan¸ca de a contida em R \ A.}

NOTA: Um ponto é exterior a A se, e só se, é interior a R_{\ A.}

Defini¸c˜ao 1.1.3 O conjunto dos pontos interiores a A chama-se interior de A e representa-se por int(A). O conjunto dos pontos exteriores a A chama-se exterior de A e representa-se por ext(A). O conjunto dos pontos fronteiros a A chama-se fronteira de A e representa-se por fr(A).

NOTA: Qualquer que seja A⊂ R tem-se: int(A) ∩ ext(A) = ∅, int(A) ∩ fr(A) = ∅, fr(A) ∩ ext(A) = ∅ e int(A)_{∪ fr(A) ∪ ext(A) = R.}

EXEMPLO 1: Sejam A =]0, 1], B = [0, 1], C = [0, 1[, D =]0, 1[. Ent˜ao int(A) = int(B) = int(C) = int(D) =]0, 1[, fr(A) = fr(B) = fr(C) = fr(D) = _{{0, 1},} ext(A) = ext(B) = ext(C) = ext(D) = ]_{− ∞, 0[∪]1, +∞[.} a a a - e ₊e 0 1 a a a - e ₊e 0 1 a a a - e ₊e 0 1 a a a - e ₊e 0 1 b -e b+e b b -e b+e b b -e b+e b b -e b+e b

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2 1. No¸cões Topológicas, Indu¸cão Matemática e Sucessões a a a -e e + 0 1 b -e e + b b 1 2 1 3 1 4 1 5

Figura 1.3 a e b s˜ao pontos exteriores, 0 ´e ponto fronteiro.

EXEMPLO 2: Seja A = 1 n, n∈ N

. Ent˜ao int(A) =∅, ext(A) = R \ (A ∪ {0}) e fr(A) = A ∪ {0}. EXEMPLO 3: Seja A = Q 1_{. Ent˜}_{ao int(A) = ext(A) =}_{∅, fr(A) = R.}

Defini¸c˜ao 1.1.4 Seja A um subconjunto de R. Diz-se que A ´e aberto se A = int(A).

Defini¸cão 1.1.5 Seja A um subconjunto de R. Chama-se fecho ou aderência de A ao conjunto A = A∪ fr(A). Diz-se que x é aderente a A se x ∈ A. A diz-se fechado se A = A.

NOTAS:

1. Das defini¸cões, conclui-se facilmente que A = int(A)_{∪ fr(A).} 2. A é fechado se, e só se, fr(A)_{⊂ A.}

3. A é fechado se, e só se, R_{\ A é aberto, isto é, R \ A = int(R \ A) = ext(A).}

EXEMPLO 4: Sejam A =]0, 1], B = [0, 1], C = [0, 1[, D =]0, 1[. B é fechado, D é aberto, A e C não são fechados nem abertos.

EXEMPLO 5: A = 1 n, n∈ N

n˜ao ´e fechado nem aberto (note que fr(A) = A_{∪ {0}).} EXEMPLO 6: A = 1

n, n∈ N

∪ {0} ´e fechado.

Defini¸cão 1.1.6 Sejam a_{∈ R e A um subconjunto de R. Diz-se que a é ponto de acumula¸c˜}ao de A se qualquer vizinhan¸ca de a intersecta A_{\ {a}. Ao conjunto dos pontos de acumula¸cão de A chama-se} derivado de A. Diz-se que a é ponto isolado de A se a ∈ A e existe uma vizinhan¸ca de a que não intersecta A\ {a}.

EXEMPLO 7: Seja A = 1 n, n∈ N

. 0 é ponto de acumula¸cão de A. Todos os pontos de A são isolados. EXEMPLO 8: Seja A = [0, 1[_{∪ {2}. O conjunto dos pontos de acumula¸cão de A é [0, 1]. 2 é ponto isolado} de A.

NOTA: Se a_{∈ int(A), então a é ponto de acumula¸cão de A.}

Defini¸cão 1.1.7 Sejam x _{∈ R e A um subconjunto de R. Diz-se que x é majorante de A se x ≥ a,} ∀a ∈ A. Diz-se que x é minorante de A se x ≤ a, ∀a ∈ A.

Defini¸cão 1.1.8 Seja A um subconjunto de R. Diz-se que A é majorado se admitir majorantes. Diz-se que A é minorado se admitir minorantes. Se A for majorado e minorado, diz-se que A é limitado.

1_{Note que entre dois racionais, por mais pr´}_{oximos que estejam, existem infinitos racionais e infinitos irracionais. Tamb´}_em entre dois irracionais existem infinitos irracionais e infinitos racionais. O mesmo acontece entre um racional e um irracional.

(7)

1.1 No¸c˜oes topol´ogicas em R 3

EXEMPLO 9: A =_{{x ∈ R : x}2_{< 1}

} =] − 1, 1[ ´e limitado. EXEMPLO 10: ]_{− ∞, 1[ ´e majorado.}

EXEMPLO 11: [1, +_{∞[ ´e minorado.}

EXEMPLO 12: A ={x ∈ R : |x| > 1} =] − ∞, −1[ ∪ ]1, +∞[ não é majorado nem minorado. Teorema 1.1.1 A é limitado se, e só se,∃M > 0, |x| ≤ M, ∀x ∈ A.

Demonstra¸cão: Se A for limitado, sejam ν um minorante de A e µ um majorante de A; se M for o maior dos dois números_{|ν| e |µ|, então |x| ≤ M, ∀x ∈ A (se µ = ν = 0, toma-se M > 0, qualquer).}

Reciprocamente, se_{∃M > 0, |x| ≤ M, ∀x ∈ A, isto é, −M ≤ x ≤ M, ∀x ∈ A, então M é majorante de} A e_{−M é minorante de A.}

Defini¸cão 1.1.9 Seja A um subconjunto majorado de R. Diz-se que β é o supremo de A se β for majorante de A e for menor que todos os outros majorantes de A (isto é, se β for o menor dos majorantes de A); representa-se por β = sup(A). Se β, supremo de A, pertencer a A, diz-se que β é o máximode A; neste caso, representa-se por β = max(A).

Defini¸cão 1.1.10 Seja A um subconjunto minorado de R. Diz-se que α é o ´ınfimo de A se α for minorante de A e for maior que todos os outros minorantes de A (isto é, se α for o maior dos minorantes de A); representa-se por α = inf(A). Se α, ´ınfimo de A, pertencer a A, diz-se que α é o m´ınimo de A; neste caso, representa-se por α = min(A).

EXEMPLO 13: Seja A =_{{x ∈ R : x}2_{< 1}

}. Então inf(A) = −1 e sup(A) = 1. A não tem máximo nem m´ınimo.

EXEMPLO 14: Seja A =]_{− 1, 1]. Ent˜ao inf(A) = −1 e sup(A) = max(A) = 1.} EXEMPLO 15: sup(]_{− ∞, 1[) = 1. N˜ao existe ´ınfimo deste conjunto.}

Teorema 1.1.2 Em R, todo o conjunto n˜ao vazio e majorado tem supremo e todo o conjunto n˜ao vazio e minorado tem ´ınfimo.

Não daremos aqui a demonstra¸cão do Teorema. Isso levar-nos-ia a um estudo mais profundo do conjunto dos números reais, que não está nos propósitos deste curso.

Teorema 1.1.3 Seja A um subconjunto de R. Então β = sup(A) se, e só se, β é majorante de A e ∀ε > 0, ∃x ∈ A : x > β − ε. Analogamente, α = inf(A) se, e só se, α é minorante de A e ∀ε > 0, ∃x ∈ A : x < α + ε.

Demonstra¸c˜ao: Demonstraremos a propriedade para o supremo. Para o ´ınfimo proceder-se-ia de modo an´alogo.

Vamos primeiro demonstrar que se β = sup(A) então β é majorante de A e_{∀ε > 0, ∃x ∈ A : x > β−ε.} Fá-lo-emos pela contra-rec´ıproca, isto é, negando a tese chegaremos à nega¸cão da hipótese (trata-se da bem conhecida proposi¸cão da lógica formal A_{⇒ B equivalente a ∼ B ⇒ ∼ A). Se β não for majorante} de A, β não é o supremo de A (defini¸cão de supremo) e o problema fica resolvido. Se _{∃ε > 0, ∀x ∈} A, x_{≤ β − ε, então β não é o supremo de A visto que β − ε é majorante de A e β − ε < β.}

Reciprocamente, vamos mostrar que se β é majorante de A e _{∀ε > 0, ∃x ∈ A : x > β − ε, então} β = sup(A). Usamos, de novo, a contra-rec´ıproca. Se β não for o supremo de A, então ou não é majorante ou é majorante mas existe, pelo menos, outro majorante de A menor que β. No último caso, seja γ esse majorante. Então, fazendo ε = β− γ (> 0) temos ∀x ∈ A, x ≤ γ = β − ε, que é a nega¸cão da hipótese.

(8)

4 1. No¸cões Topológicas, Indu¸cão Matemática e Sucessões

1.2 Indu¸c˜

ao matem´

atica

Para demonstrar que certas propriedades são válidas no conjunto dos números naturais, N, usa-se o Princ´ıpio de Indu¸cão Matemáticaque passamos a enunciar:

Uma propriedade é válida para todos os números naturais se: 1. A propriedade é válida para n = 1,

2. Para todo o n natural, se a propriedade é válida para n, então ela é válida para n + 1.

O método de demonstra¸cão baseado neste princ´ıpio consiste no seguinte: suponhamos que preten-demos demonstrar que uma propriedade p(n) é verdadeira sempre que substitu´ımos n por um número natural. Procedemos do seguinte modo:

1. verificamos se p(1) é verdadeira, isto é, verificamos se ao substituir n por 1 obtemos uma proposi¸cão verdadeira;

2. Supomos que, para um qualquer número natural n, p(n) é verdadeira e vamos provar que p(n + 1) é verdadeira. À suposi¸cão da veracidade de p(n) costuma chamar-se hipótese de indu¸cãoe ao que queremos demonstrar (veracidade de p(n + 1)), tese de indu¸cão.

EXEMPLO 1: Vamos mostrar, usando o Princ´ıpio de Indu¸c˜ao Matem´atica, que 1 + 2 + 3 +· · · + n = n(n + 1)₂ , ∀n ∈ N.

Seja p(n) a proposi¸cão anterior. Vê-se facilmente que p(1) é verdadeira. A hipótese de indu¸cão é 1 + 2 + 3 +_{· · · + n =} n(n + 1)

2 e a tese de indu¸c˜ao ´e

1 + 2 + 3 +_{· · · + n + (n + 1) =} (n + 1)(n + 2)

2 .

Ent˜ao

1 + 2 + 3 +· · · + n + (n + 1) = n(n + 1)₂ + (n + 1) = (n + 1)(n + 2)

2 ,

portanto, a proposi¸cão p(n + 1) é válida. Pelo Princ´ıpio de indu¸cão podemos concluir que 1 + 2 + 3 +_{· · · + n =} n(n + 1)

2 , ∀n ∈ N. EXEMPLO 2: Vamos mostrar, usando o Princ´ıpio de Indu¸c˜ao Matem´atica, que

12+ 22+ 32+· · · + n2₌ n(n + 1)(2n + 1)

6 , ∀n ∈ N.

Seja p(n) a proposi¸cão anterior. Vê-se facilmente que p(1) é verdadeira. A hipótese de indu¸cão é 12+ 22+ 32+_{· · · + n}2=n(n + 1)(2n + 1)

12+ 22+ 32+_{· · · + n}2+ (n + 1)2=(n + 1)(n + 2)(2n + 3)

(9)

1.2 Indu¸cão matemática 5 Então 12_{+ 2}2_{+ 3}2₊ · · · + n2_{+ (n + 1)}2 ₌ n(n + 1)(2n + 1) 6 + (n + 1) 2₌ (n + 1)(n(2n + 1) + 6(n + 1)) 6 = (n + 1)(2n 2_{+ 7n + 6)} 6 = (n + 1)(n + 2)(2n + 3) 6

portanto, a proposi¸cão p(n + 1) é válida. Pelo Princ´ıpio de indu¸cão podemos concluir que 12+ 22+ 32+_{· · · + n}2=n(n + 1)(2n + 1)

6 , ∀n ∈ N.

EXEMPLO 3: Provar, por indu¸c˜ao, que 10n+1_{+ 3}_{× 10}n_{+ 5 ´e m´}_{ultiplo de 9,}_{∀n ∈ N.}

Comecemos por observar que o n´umero 10n+1+ 3× 10n_{+ 5 ´e m´}_{ultiplo de 9 se existir um n´}_umero

inteiro positivo k tal que 10n+1_{+ 3}

× 10n_{+ 5 = 9k.}

Substituindo n por 1 na express˜ao 10n+1_{+ 3}

× 10n_{+ 5 obtemos 10}2_{+ 3}

× 10 + 5 = 135 = 9 × 15, portanto a propriedade ´e v´alida para n = 1.

A hipótese de indu¸cão é

∃k ∈ N : 10n+1+ 3_{× 10}n+ 5 = 9k. A tese de indu¸c˜ao ´e

∃k′∈ N : 10n+2+ 3_{× 10}n+1+ 5 = 9k′. Temos

10n+2+ 3_{× 10}n+1+ 5 = 10_{× (10}n+1+ 3_{× 10}n) + 5 = (9k_{− 5) × 10 + 5 = 9(10k − 5).} Seja k′ _{= 10k}_{− 5. Como k}′_{∈ N podemos dizer que}

10n+2+ 3_{× 10}n+1+ 5 = 9k′ Pelo Princ´ıpio de indu¸c˜ao podemos concluir que 10n+1_{+ 3}

× 10n_{+ 5 ´e m´}_{ultiplo de 9,}

∀n ∈ N. EXEMPLO 4: Vamos mostrar, usando o Princ´ıpio de Indu¸c˜ao Matem´atica, que

n

X

k=1

(3 + 4k) = 2n2+ 5n, _{∀n ∈ N.}

Seja p(n) a proposi¸cão anterior. Vê-se facilmente que p(1) é verdadeira. A hipótese de indu¸cão é

n

X

k=1

(3 + 4k) = 2n2_{+ 5n}

e a tese de indu¸c˜ao ´e

n+1 X k=1 (3 + 4k) = 2(n + 1)2+ 5(n + 1). Ent˜ao n+1 X k=1 (3 + 4k) = n X k=1 (3 + 4k) + 3 + 4(n + 1) = 2n2+ 5n + 3 + 4(n + 1) = 2n2_{+ 4n + 2 + 5n + 5 = 2(n + 1)}2_{+ 5(n + 1)}

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portanto, a proposi¸cão p(n + 1) é válida. Pelo Princ´ıpio de indu¸cão podemos concluir que

n

X

k=1

(3 + 4k) = 2n2+ 5n, _{∀n ∈ N.}

EXEMPLO 5: Vamos mostrar, usando o Princ´ıpio de Indu¸c˜ao Matem´atica, que 3n _{≥ 2}n+1+ 1, _{∀n ∈ N \ {1}.}

Seja p(n) a proposi¸cão anterior. Comecemos por verificar que p(2) é verdadeira. Substituindo n por 2 obtemos 9_{≥ 8 que é uma proposi¸cão verdadeira. A hipótese de indu¸cão é}

3n_{≥ 2}n+1+ 1 e a tese de indu¸c˜ao ´e

3n+1_{≥ 2}n+2+ 1. Ent˜ao

3n+1= 3n_{× 3 ≥ 3 (2}n+1+ 1) = 2n+13 + 3_{≥ 2}n+13 + 1_{≥ 2}n+12 + 1 = 2n+2+ 1 Pelo Princ´ıpio de indu¸c˜ao podemos concluir que

3n ≥ 2n+1_{+ 1,}

∀n ∈ N \ {1}.

EXEMPLO 6: Vamos mostrar, usando o Princ´ıpio de Indu¸cão Matemática, a fórmula da soma de uma progressão geométrica: se a6= 1 então n X p=1 ap= a1− a n 1_{− a} , ∀n ∈ N 1) Se n = 1, a fórmula é trivial: a = a1_{= a}1− a

1_{− a}.

2) Se admitirmos que a propriedade é válida para n, então:

n+1 X p=1 ap ₌ n X p=1 ap_{+ a}n+1_{= a}1− an 1− a + a n+1_{= a} 1 − an 1− a + a n = = a 1− a n_{+ a}n_{− a}n+1 1_{− a} = a 1− an+1 1_{− a}

Pelo Princ´ıpio de indu¸cão podemos concluir que a propriedade é válida para todo o n∈ N.

EXEMPLO 7: Usando o Princ´ıpio de Indu¸cão Matemática, vamos demonstrar a seguinte igualdade (Binómio de Newton): (a + b)n = n X p=0 n_C pan−pbp, ∀a, b ∈ R, ∀n ∈ N

1) Se n = 1, a propriedade ´e v´alida: a + b = 1_C

0a + 1C1b.

2) Vamos agora admitir que a propriedade é válida para n; então (a + b)n+1 ₌ _{(a + b) (a + b)}n_{= (a + b)} n X p=0 n_C pan−pbp= = n X p=0 n_C pan+1−pbp+ n X p=0 n_C pan−pbp+1=

(11)

1.2 Indu¸c˜ao matem´atica 7 (fazendo p + 1 = s) = n X p=0 n_C pan+1−pbp+ n+1 X s=1 n_C s−1an−s+1bs=

(como s ´e vari´avel muda, podemos substitu´ı-la por p) = n X p=0 n_C pan+1−pbp+ n+1 X p=1 n_C p−1an−p+1bp= = an+1₊ n X p=1 n_C pan+1−pbp+ bn+1+ n X p=1 n_C p−1an−p+1bp= = an+1_{+ b}n+1₊ n X p=1 (nCp+nCp−1) an+1−pbp= = an+1_{+ b}n+1₊ n X p=1 n+1_C pan+1−pbp= = n+1 X p=0 n+1_C pan+1−pbp

(12)

1.3 Sucess˜

oes de n´

umeros reais

Defini¸cão 1.3.1 Chama-se sucessão de números reais a toda a aplica¸cão de N em R. Os elementos do contradom´ınio chamam-se termos da sucessão. Ao contradom´ınio chama-se conjunto dos termos da sucessão.

NOTA: É usual designarem-se os termos da sucessão por un, em detrimento da nota¸cão u(n), habitual

para as aplica¸cões em geral. Sendo uma aplica¸cão, o seu gráfico é o conjunto formado pelos pares ordenados da forma (n, un), n∈ N. 5 10 15 0.6 0.7 0.8 0.9 n n 1

Figura 1.4 O gr´afico de uma sucess˜ao.

Defini¸cão 1.3.2 A expressão designatória que define a sucessão chama-se termo geral da sucessão. EXEMPLO 1: As sucessões de termos gerais an= n2e bn= cos(n) estão ilustradas na Figura 1.5.

5 10 15 100 200 300 400 n2 5 10 15 -1 -0.5 0.5 1 _cos(n)

Figura 1.5Os gr´aficos de an= n2 e de bn= cos(n).

NOTA: Podem-se definir sucessões sem explicitar o termo geral. É o caso da defini¸cão por recorrência. Exemplo: u1= 1, u2= 2, un+2= un+1+ un (sucessão dos números de Fibonacci).

Por vezes d˜ao-se apenas alguns termos da sucess˜ao que induzem o leitor a “inferir” os restantes. Exemplo: 1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, . . .

Defini¸c˜ao 1.3.3 Uma sucess˜ao diz-se limitada superiormente se o conjunto dos seus termos for majorado; diz-se limitada inferiormente se o conjunto dos seus termos for minorado; diz-se limitada se o conjunto dos seus termos for limitado.

Teorema 1.3.1 Uma sucessão u é limitada se, e só se, existe M _{∈ R tal que |u}n| ≤ M, ∀n ∈ N.

(13)

1.3 Sucess˜oes de n´umeros reais 9

EXEMPLO 3: A sucessão un=−n é limitada superiormente, mas não inferiormente.

EXEMPLO 4: A sucessão un= (−n)n não é limitada superiormente nem inferiormente.

EXEMPLO 5: A sucess˜ao un= cos(n) ´e limitada.

EXEMPLO 6: A sucess˜ao un=n + 2 n ´e limitada. |un| = n + 2 n = 1 + 2 n ≤ 3, qualquer que seja n_{∈ N.}

Defini¸cão 1.3.4 Dadas duas sucessões de números reais u e v, chama-se soma, diferen¸cae produto de u e v às sucessões u + v, u− v e uv de termos gerais, respectivamente, un+ vn, un− vn e unvn. Se

vn 6= 0, ∀n ∈ N, chama-se sucessão quociente de u e v à sucessão u/v de termo geral un/vn.

Defini¸c˜ao 1.3.5 Uma sucess˜ao u diz-se crescente se un ≤ un+1, ∀n ∈ N; diz-se estritamente

cres-cente se un< un+1, ∀n ∈ N; diz-se decrescente se un≥ un+1, ∀n ∈ N; diz-se estritamente

decres-cente se un > un+1, ∀n ∈ N; diz-se mon´otona se for crescente ou decrescente; diz-se estritamente

mon´otona se for estritamente crescente ou estritamente decrescente. EXEMPLO 7: A sucess˜ao un=

2n

3n + 7 é crescente. De facto, un+1− un= 2n + 2 3n + 10− 2n 3n + 7 = (2n + 2)(3n + 7)_{− 2n(3n + 10)} (3n + 10)(3n + 7) = 14 (3n + 10)(3n + 7) > 0. EXEMPLO 8: A sucessão un= n2é estritamente crescente.

un+1− un= (n + 1)2− n2= n2+ 2n + 1− n2= 2n + 1 > 0.

EXEMPLO 9: A sucess˜ao un=−n ´e estritamente decrescente.

un+1− un=−(n + 1) + n = −n − 1 + n = −1 < 0.

EXEMPLO 10: A sucessão un= (−n)n não é monótona.

un+1− un = (−(n + 1))n+1− (−n)n= (−1)n+1((n + 1)n+1+ nn;

esta diferen¸ca é positiva se n é ´ımpar e negativa se n é par. EXEMPLO 11: A sucessão un= (−1)n n + (₋₁₎n n2 não é monótona. un+1− un=          −n + 1_{(n + 1)}− 12 − n + 1 n2 =− n3_{+ (n + 1)}3 n2_{(n + 1)}2 < 0, se n é par n + 1 + 1 (n + 1)2 + n− 1 n2 > 0, se n é ´ımpar EXEMPLO 12: A sucessão un= n + (−1) n

n2 não é monótona.

un+1− un =          n + 1_{− 1} (n + 1)2 − n + 1 n2 = n3 − (n + 1)3 n2_{(n + 1)}2 < 0, se n ´e par n + 1 + 1 (n + 1)2 − n_{− 1} n2 = n2_{+ n + 1} n2_{(n + 1)}2 > 0, se n ´e ´ımpar

(14)

10 1. No¸cões Topológicas, Indu¸cão Matemática e Sucessões 10 20 30 40 -0.2 -0.1 0.1 0.2 5 10 15 20 0.1 0.2 0.3 0.4

Figura 1.6As sucess˜oes (−1)n n + (−1)n

n2 e

n + (−1)n

n2

Dadas duas sucessões u e v, se v é uma sucessão de números naturais, a composi¸cão u_{◦ v ainda é uma} sucessão, de termo geral uvn. Por exemplo, se u é a sucessão 1, 2, 1, 3, 1, 4, . . . e vn = 2n− 1, então uvn= 1; se zn= 2n, então uzn = n + 1; se sn= 4, então usn= 3.

Obtém-se uma subsucessão de uma sucessão omitindo alguns dos seus termos mantendo os restantes na ordem original. Vejamos uma defini¸cão mais formal.

Defini¸cão 1.3.6 Dadas duas sucessões u e w, dizemos que w é subsucessãode u se existir v, sucessão de números naturais, estritamente crescente, tal que w = u_{◦ v.}

EXEMPLO 13: Das sucessões consideradas anteriormente, u_{◦ v e u ◦ z são subsucessões de u, mas u ◦ s} não é subsucessão de u.

NOTAS:

1. Toda a subsucessão de uma sucessão limitada é limitada.

2. Uma sucessão pode não ser limitada e ter subsucessões limitadas. Exemplo:

un=    n, se n par 1 n, se n ´ımpar 3. Toda a subsucessão de uma sucessão monótona é monótona.

Defini¸cão 1.3.7 Diz-se que a sucessão u é um infinitamente grande (ou que tende para +∞), e representa-se un→ +∞, se

∀L ∈ R+_,

∃p ∈ N : n > p ⇒ un> L.

Diz-se que u é um infinitamente grande em módulose _|un| → +∞, isto é,

∀L ∈ R+, _{∃p ∈ N : n > p ⇒ |u}n| > L.

Diz-se que u tende para_{−∞, e representa-se u}n→ −∞, se

(15)

1.3 Sucess˜oes de n´umeros reais 11 5 10 15 20 100 200 300 400 p=15 L= Figura 1.7

EXEMPLO 14: Vejamos que un = n2 → +∞.

Dado L > 0, existe p _{∈ N tal que p >} √L; portanto, se n > p ent˜ao n2 _{> L. ´}_{E evidente}

que p depende de L (se L = 100 basta rar p = 11, mas se L = 200 teremos de conside-rar p = 15). Este exemplo está ilustrado na Fi-gura 1.7. De modo análogo pode mostrar-se que vn = −n → −∞ e que, se wn = (−n)n, então

|wn| = nn→ +∞.

NOTAS:

1. Se u é tal que un → +∞, un → −∞ ou |un| → +∞ então u é não limitada. A rec´ıproca não é

verdadeira. Por exemplo, a sucessão un=    n, se n par 1 n, se n ´ımpar é não limitada e un 6→ +∞, un6→ −∞, |un| 6→ +∞.

2. O facto de un→ +∞ n˜ao implica que u seja crescente (nem que exista uma ordem a partir da qual

seja crescente), como se pode ver pela Figura 1.8.

5 10 15 20 5 10 15 20 Figura 1.8A sucess˜ao un= n + (−1)n

é um infinitamente grande, mas não é monótona. Das defini¸cões, conclui-se imediatamente que

Teorema 1.3.2 Sejam u e v sucess˜oes tais que, a partir de certa ordem, un≤ vn. Ent˜ao,

a) un→ +∞ ⇒ vn → +∞,

b) vn→ −∞ ⇒ un → −∞.

EXEMPLO 15: Consideremos a sucess˜ao

n X k=1 1 √ k = 1 + 1 √ 2 + 1 √ 3 +· · · + 1 √_n. Como 1 + √1 2 + 1 √ 3 +· · · + 1 √_n ≥ n ×√1_n =√n e√n_{→ +∞ podemos afirmar que 1 +}√1

2 + 1 √ 3 +· · · + 1 √_n → +∞ (veja-se a Figura 1.9).

(16)

12 1. No¸cões Topológicas, Indu¸cão Matemática e Sucessões 10 20 30 40 50 2 4 6 8 10 12 Figura 1.9

Teorema 1.3.3 Sejam (un) e (vn) dois infinitamente grandes positivos e (wn) um infinitamente grande

negativo. Ent˜ao a) lim(un+ vn) = +∞; b) lim(un· vn) = +∞; c) lim(un· wn) =−∞; d) lim up n= +∞ ∀p ∈ N; e) lim wp n=∞ ∀p ∈ N; f) lim|un| = lim |wn| = +∞.

Defini¸cão 1.3.8 Sejam u uma sucessão e a∈ R. Diz-se que u converge para a (ou tende para a ou, ainda, que o limite da sucessão é a), e representa-se un→ a, se

∀ε > 0 ∃p ∈ N : n > p ⇒ |un− a| < ε.

Isto ´e, podemos escolher p tal que todos os termos de un est˜ao no intervalo ]a− ε, a + ε[ qualquer que

seja n > p. 2 4 6 8 10 12 14 a - e a e+ a p=5 (a) Se ε = 0, 8 ent˜ao a − 0, 8 < un < a+ 0, 8 qualquer que seja n ≥ 5.

10 20 30 40 a e+ a- e p=31 a (b) Se ε = 0, 05 ent˜ao a − 0, 05 < un< a+ 0, 05 qualquer que seja n ≥ 31.

Figura 1.10O valor de p varia com o valor de ε. EXEMPLO 16: Provemos que un=

1

n → 0. De facto, seja ε > 0, qualquer; se p = Int 1

ε

2_ent˜_{ao, para}

n > p tem-se 1 n ≤

1 p + 1 < ε.

(17)

1.3 Sucessões de números reais 13 5 10 15 20 25 30 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Figura 1.11Se ε = 0, 1 então−ε < 1 n < ε se n > 10. NOTAS:

1. Em linguagem de vizinhan¸cas, a defini¸c˜ao ´e equivalente a:

∀ε > 0 ∃p ∈ N : n > p ⇒ un∈ Vε(a).

2. Poder´ıamos escrever ainda, de forma equivalente,

∀ε > 0 ∃p ∈ N : |un− a| < ε, ∀n > p.

3. Consideremos o conjunto R = R_{∪ {−∞, +∞}, em que −∞ e +∞ são dois objectos matemáticos,} não reais e distintos um do outro. Podemos introduzir, neste conjunto, a rela¸cão de ordem: i) se x, y∈ R, x < y em R se, e só se, x < y em R.

ii)−∞ < x < +∞, ∀x ∈ R.

O conjunto R, com esta rela¸c˜ao de ordem, designa-se por recta acabada.

Podemos estender a no¸c˜ao de vizinhan¸ca a R. Seja ε _{∈ R, ε > 0. Se a ∈ R, chama-se vizinhan¸ca} ε de a ao conjunto Vε(a) =]a− ε, a + ε[ (que coincide, pois, com a vizinhan¸ca em R). Chama-se

vizinhan¸ca ε de +_{∞ ao conjunto V}ε(+∞) =1_ε, +∞. Chama-se vizinhan¸ca ε de−∞ ao conjunto

Vε(−∞) = −∞, −1 ε .

Com as defini¸cões dadas atrás, podemos unificar, do ponto de vista formal, as defini¸cões 1.3.7 e 1.3.8:

xn → a (a ∈ R) se, e s´o se, ∀ε > 0 ∃p ∈ N : n > p ⇒ un ∈ Vε(a).

Teorema 1.3.4 (Unicidade do limite) Se un→ a e un→ b ent˜ao a = b.

Teorema 1.3.5 Se (un) e (vn) são sucessões convergentes, então

a) lim(un+ vn) = lim un+ lim vn;

b) lim(un· vn) = lim un· lim vn;

c) lim(un)p= (lim un)p, p∈ N; d) limun vn = lim un lim vn ,∀n ∈ N e lim vn6= 0;

e) lim(un)1/p = (lim un)1/p (se p for par dever´a ser un ≥ 0, ∀n ∈ N;

f) lim_|un| = | lim un|;

(18)

h) (_{∃p ∈ N ∀n ≥ p : u}n≥ vn)⇒ lim un ≥ lim vn.

Defini¸cão 1.3.9 Diz-se que a sucessão u é um infinitésimo se un→ 0.

NOTA: É evidente, a partir das defini¸cões, que un→ a é equivalente a un− a é um infinitésimo.

Teorema 1.3.6 Se un→ 0 e v é uma sucessão limitada, então unvn→ 0.

Demonstra¸c˜ao: Seja M > 0 tal que _|vn| ≤ M, ∀n ∈ N. Dado δ > 0, qualquer, seja p ∈ N, tal que

|un| < δ/M, ∀n > p. Ent˜ao |unvn| < δ, ∀n > p.

EXEMPLO 17: Calculemos o limite lim−2 + 4 cos(n)

n . Sabemos que−1 ≤ cos(n) ≤ 1 o que implica que −6 ≤ −2 + 4 cos(n) ≤ 2, isto é, a sucessão é limitada. Sabemos que a sucessão _n1 é um infinitésimo. Pelo Teorema 1.3.6 podemos afirmar que

lim−2 + 4 cos(n) n = 0. 10 20 30 40 -6 -4 -2 2 Figura 1.12

Teorema 1.3.7 Toda a sucess˜ao convergente ´e limitada.

NOTA: A rec´ıproca não é verdadeira. Por exemplo, a sucessão un = cos(nπ) é limitada, mas não é

convergente.

Teorema 1.3.8 (Teorema das sucess˜oes enquadradas) Se un → a, vn → a e, a partir de certa ordem,

un≤ wn≤ vn, ent˜ao wn→ a.

Demonstra¸c˜ao: Seja ε > 0, qualquer. Ent˜ao

∃p1∈ N : n > p1⇒ a − ε < un< a + ε,

∃p2∈ N : n > p2⇒ a − ε < vn< a + ε,

∃p3∈ N : n > p3⇒ un≤ wn≤ vn.

Seja p = max_{p1, p2, p3}. Se n > p, ent˜ao a − ε < un≤ wn≤ vn < a + ε.

EXEMPLO 18: Calculemos o limite lim−2 + 4 cos(n)

n . Sabemos que−1 ≤ cos(n) ≤ 1 o que implica que −_n6 ≤−2 + 4 cos(n)_n ≤ _n2.

(19)

Dado que 1

n → 0, podemos afirmar que

lim−2 + 4 cos(n) n = 0. 10 20 30 40 50 -0.75 -0.5 -0.25 0.25 0.5 0.75 Figura 1.13

Teorema 1.3.9 Toda a subsucessão de uma sucessão convergente é convergente para o mesmo limite. Teorema 1.3.10 Um conjunto X⊂ R é fechado se, e só se, todos os limites das sucessões convergentes, de elementos de X, pertencem a X.

Teorema 1.3.11 Toda a sucessão monótona limitada é convergente.

NOTA: A rec´ıproca não é verdadeira, isto é, há sucessões não monótonas que são convergentes. Por exemplo, a sucessão un= (−1)n 1

n converge para 0 e não é monótona (Figura 1.14).

10 20 30 40

-0.2 -0.1 0.1 0.2

Figura 1.14A sucessão é convergente, mas não é monótona. Teorema 1.3.12 Toda a sucessão limitada tem subsucessões convergentes.

Defini¸cão 1.3.10 Diz-se que a ∈ R é sublimite da sucessão u se existir uma subsucessão de u que converge para a.

EXEMPLO 19 : _{−1 e 1 s˜ao sublimites da sucess˜ao u}n = (−1)n+

1 n. NOTAS: Seja S o conjunto dos sublimites da sucess˜ao u.

1. Pelo Teorema 1.3.12, se u ´e limitada, S _{6= ∅;} 2. S pode ser vazio; exemplo: un= n;

(20)

16 1. No¸cões Topológicas, Indu¸cão Matemática e Sucessões 5 10 15 20 25 30 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2

Figura 1.15Sublimites da sucess˜ao un= (−1)n+1

n. 3. Se u for convergente, S é um conjunto singular (isto é, só com um elemento). 4. S pode ser singular e u não ser convergente; exemplo:

un=        1 n, se n par n, se n ´ımpar. 5. S pode ser um conjunto infinito; por exemplo, dada a sucess˜ao

1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5, . . . ent˜ao S = N.

Teorema 1.3.13 O conjunto dos sublimites de uma sucess˜ao limitada tem m´aximo e m´ınimo.

Defini¸cão 1.3.11 Sejam u uma sucessão limitada e S o conjunto dos sublimites de u. Chama-se li-mite máximoou limite superior de u ao máximo de S e representa-se lim un= lim sup un= max(S).

Chama-se limite m´ınimo ou limite inferior de u ao m´ınimo de S e representa-se lim un = lim inf un=

min(S). Se u n˜ao for limitada superiormente, define-se lim un = +∞. Se u n˜ao for limitada

inferior-mente, define-se lim un=−∞. Se un → +∞ define-se lim un= lim un= +∞. Se un → −∞ define-se

lim un= lim un =−∞.

Teorema 1.3.14 Uma sucessão limitada é convergente se, e só se, lim un = lim un.

Defini¸c˜ao 1.3.12 Uma sucess˜ao u diz-se de Cauchy (ou fundamental) se ∀ε > 0 ∃p ∈ N : m, n > p ⇒ |un− um| < ε.

EXEMPLO 20: un =

1

n é sucessão de Cauchy. De facto, sejam m, n > p; então 1 n − 1 m ≤ 1 n+ 1 m < 1 p+ 1 p= 2

p. Seja ε > 0, qualquer; para concluir, basta tomarmos p > 2 ε.

NOTA: Na defini¸cão de sucessão convergente, introduzimos um elemento externo à sucessão, o limite. A sucessão converge se, a partir de certa ordem, todos os elementos da sucessão “estão perto” do limite. Na defini¸cão de sucessão de Cauchy apenas comparamos os elementos da sucessão uns com os outros. Dizemos que a sucessão é de Cauchy se, a partir de certa ordem, todos os elementos da sucessão “estão perto” uns dos outros.

(21)

NOTA: Este teorema permite-nos mostrar que uma sucessão é convergente sem ter que calcular o seu limite. Consideremos a sucessão:

un= 1 + 1 22 + 1 32 +· · · + 1 n2

Podemos tomar, sem perda de generalidade, n > m; ent˜ao |un− um| = 1 (m + 1)2 + 1 (m + 2)2 +· · · + 1 n2 = 1 (m + 1)2 + 1 (m + 2)2 +· · · + 1 n2 ≤ ≤ _{m(m + 1)}1 + 1 (m + 1)(m + 2)+· · · + 1 (n− 1)n = = 1 m− 1 m + 1 + ₁ m + 1− 1 m + 2 +· · · ₁ n_{− 1} − 1 n = 1 m− 1 n ≤ 1 m Se p > 1

(22)

1.4 Exerc´ıcios Resolvidos

1.4.1 No¸c˜

oes Topol´

ogicas

1. Considere a expressão designatória definida, no conjunto dos números reais, por √

x2_{− 4x + 3}

log(x + 2) e seja A o seu dom´ınio. Considere o seguinte subconjunto de R:

B =_{{x ∈ R : |x − 1| < 3}.}

(a) Apresentando todos os c´alculos, escreva A e B como uni˜ao de intervalos.

(b) Determine o conjunto dos pontos interiores e o derivado de B e a fronteira de A_{∩ B.} 2. Considere os conjuntos A e B definidos por

A =_{{x ∈ R :} log(x

2₎

|x2_{− 4|} ≥ 0} e B = {x ∈ R : |x 2

− 1| < 1}. (a) Exprima A e B como uni˜ao de intervalos.

(b) Determine o interior de A∪ B, os minorantes de A ∩ B e os pontos de acumula¸cão de B. 3. Considere a expressão designatória definida, no conjunto dos números reais, por 1

log(x2_{− 9)} e seja

A o seu dom´ınio. Considere o seguinte subconjunto de R: B =_{{x ∈ R : |x + 1| < 1}.}

(a) Apresentando todos os c´alculos, escreva A e B como uni˜ao de intervalos.

(b) Determine a fronteira de A∪ B. Averig´ue se A ∪ B ´e um conjunto aberto. Justifique. 4. Considere os conjuntos A e B definidos por

A =_{{x ∈ R : |arctg(x)| ≥} π

4} e B = {x ∈ R : (x − 1)(x + 3) ≤ 0}. (a) Exprima A e B como uni˜ao de intervalos.

(b) Determine o interior, a fronteira, os majorantes, os minorantes e os pontos de acumula¸c˜ao de A∩ B.

5. Considere a expressão designatória definida, no conjunto dos números reais, por log(x

2

− 3x + 2) √

9_{− x}2

e seja A o seu dom´ınio. Considere o seguinte subconjunto de R: B ={x ∈ R : 0 < |x + 1| ≤ 4}.

(a) Apresentando todos os c´alculos, escreva A_{∩ B como uni˜ao de intervalos.}

(b) Determine o conjunto dos pontos interiores e o derivado de B e a fronteira de A_{∩ B.} 6. Considere a expressão designatória definida, no conjunto dos números reais, por arcsen(2x− 3)

log(x2_{− 1)} e

seja A o seu dom´ınio. Considere o seguinte subconjunto de R: B =_{{x ∈ R : |}√2x_{| ≤}√6_}.

(23)

1.4 Exerc´ıcios Resolvidos 19

(b) Determine, justificando, o conjunto dos pontos fronteiros de A_{∩ B. Averig´ue se o conjunto} A_{∩ B ´e fechado.}

RESOLUC

¸ ˜

AO

1. (a) O conjunto A é o conjunto dos valores de x para os quais a expressão faz sentido, isto é, A =_{{x ∈ R : x}2_{− 4x + 3 ≥ 0 ∧ x + 2 > 0 ∧ log(x + 2) 6= 0}.}

Usando a f´ormula resolvente para a equa¸c˜ao de grau 2 temos x2_{− 4x + 3 ≥ 0 ⇔ (x − 1)(x − 3) ≥ 0}

Os n´umeros 1 e 3 dividem a recta em trˆes intervalos: ]_{− ∞, 1[, ]1, 3[ e ]3, +∞[. Em cada} um desses intervalos o produto (x_{− 1)(x − 3) toma o sinal que se pode ver na Figura 1.16,} portanto,

(x_{− 1)(x − 3) ≥ 0 ⇔ x ≤ 1 ∨ x ≥ 3.}

1 3

+ + + + + + + + + 0 - - - 0 + + + + + + + + +

Figura 1.16

Como log(x + 2)6= 0 ⇔ x + 2 6= 1, temos (ver Figura 1.17) A = _{{x ∈ R : (x ≤ 1 ∨ x ≥ 3) ∧ x > −2 ∧ x 6= −1}} = ]− ∞, 1] ∪ [3, +∞[∩ ] − 2, +∞[ ∩ ] − ∞, −1[ ∪ ] − 1, +∞[ = ]_{− 2, −1[ ∪ ] − 1, 1[ ∪ [3, +∞[.} 1 3 -2 -1 Figura 1.17

Sabemos que_{|x − 1| < 3 ⇔ −3 < x − 1 < 3 ⇔ −2 < x < 4, portanto, B =] − 2, 4[.}

(b) Seja a_{∈ B. Seja ε = min(a + 2, 4 − a). A vizinhan¸ca de a, ]a − ε, a + ε[ est´a contida em B} (ver Figura 1.18), portanto, a∈ int(B). Podemos afirmar que int(B) = B =] − 2, 4[.

-2 a 4

a + 2 4 - a

Figura 1.18

(24)

-2 4

-2 -1 1 3

Figura 1.19

Determinemos o conjunto A_{∩ B (ver Figura 1.19.}

A_{∩ B = ] − 2, −1[ ∪ ] − 1, 1[ ∪ [3, +∞[}_{∩ ] − 2, 4[=] − 2, −1[ ∪ ] − 1, 1[ ∪ [3, 4[.} A fronteira é o conjunto f r(A∩ B) = {−2, −1, 1, 3, 4} porque são estes os únicos pontos tais que todas as vizinhan¸cas intersectam o conjunto A∩ B e o seu complementar.

2. (a) O conjunto A pode escrever-se como A = _{{x ∈ R : log(x}2₎ ≥ 0 ∧ x2_{> 0} ∧ |x2 − 4| > 0} = {x ∈ R : x2_{≥ 1 ∧ x 6= 0 ∧ x}2_{− 4 6= 0}} = _{{x ∈ R : x}2 − 1 ≥ 0 ∧ x 6= 0 ∧ x 6= 2 ∧ x 6= −2} A express˜ao x2

− 1 é um caso notável da multiplica¸cão: x2_{− 1 ≥ 0 ⇔ (x − 1)(x + 1) ≥ 0}

Os n´umeros -1 e 1 dividem a recta em trˆes intervalos: ]_{− ∞, −1[, ] − 1, 1[ e ]1, +∞[. Em cada} um desses intervalos o produto (x_{− 1)(x + 1) toma o sinal que se pode ver na Figura 1.20,} portanto, (x_{− 1)(x + 1) ≥ 0 ⇔ x ≤ −1 ∨ x ≥ 1.} -1 1 + + + + + + + + + 0 - - - 0 + + + + + + + + + Figura 1.20 Finalmente, A = {x ∈ R : x ≤ −1 ∨ x ≥ 1 ∧ x 6= 0 ∧ x 6= 2 ∧ x 6= −2} = ]_{− ∞, −1] ∪ [1, +∞[} _{\ {−2, 0, 2}} = ]− ∞, −2[ ∪ ] − 2, −1] ∪ [1, 2[ ∪ ]2, +∞[ e B = _{{x ∈ R : −1 < x}2 − 1 < 1} = {x ∈ R : x2_{> 0} ∧ x2 − 2 < 0} = {x ∈ R : x 6= 0 ∧ (x −√2)(x +√2) < 0} = ] ₋√2,√2 [_{\{0} = ] −}√2, 0 [_{∪ ] 0,}√2[

(25)

- 2

+ + + + + + + + + 0 - - - 0 + + + + + + + + + 2

Figura 1.21

(b) Determinemos os conjuntos A_{∩ B e A ∪ B (ver Figura 1.22).}

A∩ B = ]− ∞, −2[ ∪ ] − 2, −1] ∪ [1, 2[ ∪ ]2, +∞[ ∩ ]−√2, 0 [∪ ] 0,√2[ = ]₋√2,_{−1[ ∪ ]1,}√2[. A_{∪ B =} ]_{− ∞, −2[ ∪ ] − 2, −1] ∪ [1, 2[ ∪ ]2, +∞[} _∪ ]₋√2, 0 [_{∪ ] 0,}√2[ = ]_{− ∞, −2[ ∪ ] − 2, 0[ ∪ ]0, 2[ ∪ ]2, +∞[.} -2 -1 1 2 - 2 0 2 Figura 1.22

O conjunto dos minorantes de A_{∩ B é o conjunto ] − ∞, −}√2], o interior de A_{∪ B é A ∪ B e} o derivado de B é [₋√2,√2].

3. (a) O conjunto A é o conjunto dos valores de x para os quais a expressão faz sentido, isto é, A =_{{x ∈ R : x}2_{− 9 > 0 ∧ log(x}2_{− 9) 6= 0}}

A expressão x2_{− 9 é um caso notável da multiplica¸cão:}

x2− 9 > 0 ⇔ (x + 3)(x − 3) > 0.

Os n´umeros -3 e 3 dividem a recta em trˆes intervalos: ]_{− ∞, −3[, ] − 3, 3[ e ]3, +∞[. Em cada} um desses intervalos o produto (x + 3)(x_{− 3) toma o sinal que se pode ver na Figura 1.23,} portanto,

(x + 3)(x_{− 3) > 0 ⇔ x < −3 ∨ x > 3.}

-3 3

+ + + + + + + + + 0 - - - 0 + + + + + + + + +

(26)

22 1. No¸cões Topológicas, Indu¸cão Matemática e Sucessões Como log(x2 − 9) 6= 0 ⇔ x2 − 9 6= 1 ⇔ x2 6= 10 ⇔ x 6=√10 _{∧ x 6= −}√10, temos A = _{{x ∈ R : (x < −3 ∨ x > 3) ∧ x 6=}√10 _{∧ x 6= −}√10_} = ]_{− ∞, −3[ ∪ ]3, +∞[} _{\ {−}√10,√10_} = ]_{− ∞, −}√10[ _{∪ ] −}√10,_{−3[ ∪ ]3,}√10[_{∪ ]}√10, +_∞[. Sabemos que_{|x + 1| < 1 ⇔ −1 < x + 1 < 1 ⇔ −2 < x < 0, portanto, B =] − 2, 0[.} (b) Detrminemos o conjunto A_{∪ B:} A∪ B = ] − ∞, −√10[∪ ] −√10,−3[ ∪ ]3,√10[∪ ]√10, +∞[∪ ] − 2, 0 [. -3 3 -2 0 - 10 10 Figura 1.24

Os pontos fronteiros de A_{∪ B formam o conjunto {−}√10,_{−3, −2, 0, 3,}√10_{}. Como nenhum} dos pontos fronteiros pertence a A_{∪ B podemos concluir que int(A ∪ B) = A ∪ B, ou seja, o} conjunto ´e aberto.

4. (a) O conjunto A pode escrever-se como

A = {x ∈ R : arctg(x) ≥ π 4 ∨ arctg(x) ≤ − π 4} = _{{x ∈ R : x ≥ 1 ∨ x ≤ −1}} = ]− ∞, −1] ∪ [1, +∞[ -4 -2 2 4 p 2 p 2 --1 p 4 -p 4 1

Figura 1.25O gr´afico da fun¸c˜ao arctg(x).

Os n´umeros -3 e 1 dividem a recta em trˆes intervalos: ]− ∞, −3[, ] − 3, 1[ e ]1, +∞[. Em cada um desses intervalos o produto (x− 1)(x + 3) toma o sinal que se pode ver na Figura 1.26, portanto,

(27)

-3 1

+ + + + + + + + + 0 - - - 0 + + + + + + + + +

Figura 1.26

Temos B = [−3, 1].

(b) O conjunto A_{∩ B = [−3, −1] ∪ {1}. O conjunto dos majorantes de A ∩ B é ] − ∞, −3], o} conjunto dos minorantes é [1, +_{∞[, a fronteira é {−3, −1, 1}, o interior é ] − 3, −1[ e o derivado} é [_{−3, −1].}

5. (a) O conjunto A é o conjunto dos valores de x para os quais a expressão faz sentido, isto é, A ={x ∈ R : x2

− 3x + 2 > 0 ∧ 9 − x2_{> 0}

} A expressão 9_{− x}2_{é um caso not´}_{avel da multiplica¸cão}

9_{− x}2> 0_{⇔ x}2_{− 9 < 0 ⇔ (x + 3)(x − 3) < 0.}

Os n´umeros -3 e 3 dividem a recta em trˆes intervalos: ]− ∞, −3[, ] − 3, 3[ e ]3, +∞[. Em cada um desses intervalos o produto (x + 3)(x− 3) toma o sinal que se pode ver na Figura 1.27, portanto,

(x + 3)(x_{− 3) < 0 ⇔ −3 < x < 3.}

-3 3

+ + + + + + + + + 0 - - - 0 + + + + + + + + +

Figura 1.27

Al´em disso, usando a f´ormula resolvente, temos

x2_{− 3x + 2 > 0 ⇔ (x − 1)(x − 2) > 0.}

Os n´umeros 1 e 2 dividem a recta em trˆes intervalos: ]_{− ∞, 1[, ]1, 2[ e ]2, +∞[. Em cada} um desses intervalos o produto (x_{− 1)(x − 2) toma o sinal que se pode ver na Figura 1.28,} portanto,

(x_{− 1)(x − 2) < 0 ⇔ x < 1 ∨ x > 2.} Podemos concluir que

A =]_{− 3, 3[ ∩ ] − ∞, 1[ ∪ ]2, +∞[}=]_{− 3, 1[ ∪ ]2, 3[.} 1 2 + + + + + + + + + 0 - - - 0 + + + + + + + + + Figura 1.28 Sabemos que 0 < _{|x + 1| ≤ 4 ⇔ −4 ≤ x + 1 ≤ 4 ∧ x + 1 6= 0 ⇔ −5 ≤ x ≤ 3 ∧ x 6= −1,} portanto, B = [_{−5, −1[ ∪ ] − 1, 3]. Assim,} A_{∩ B = ] − 3, 1[ ∪ ]2, 3[} _∩ [_{−5, −1[ ∪ ] − 1, 3]}=]_{− 3, −1[ ∪ ] − 1, 1[ ∪ ]2, 3[.}

(28)

(b) O conjunto dos pontos interiores de B é ]_{− 5, −1[ ∪ ] − 1, 3[, o derivado de B é [−5, 3] e a} fronteira de A_{∩ B é o conjunto {−3, −1, 1, 2, 3}.}

6. (a) O conjunto A é o conjunto dos valores de x para os quais a expressão faz sentido, isto é, A =_{{x ∈ R : −1 ≤ 2x − 3 ≤ 1 ∧ x}2_{− 1 > 0 ∧ log(x}2_{− 1) 6= 0}}

A expressão x2_{− 1 é um caso notável da multiplica¸cão:}

x2− 1 > 0 ⇔ (x + 1)(x − 1) > 0.

Os n´umeros -1 e 1 dividem a recta em trˆes intervalos: ]_{− ∞, −1[, ] − 1, 1[ e ]1, +∞[. Em cada} um desses intervalos o produto (x + 1)(x_{− 1) toma o sinal que se pode ver na Figura 1.29,} portanto, (x + 1)(x_{− 1) > 0 ⇔ x < −1 ∨ x > 1.} -1 1 + + + + + + + + + 0 - - - 0 + + + + + + + + + Figura 1.29 A = {x ∈ R : 1 ≤ x ≤ 2 ∧ (x > 1 ∨ x < −1) ∧ x2_{6= 2}} = _{{x ∈ R : 1 ≤ x ≤ 2 ∧ (x > 1 ∨ x < −1) ∧ x 6= −}√2 _{∧ x 6=}√2_} = ]_{− ∞, −1[ ∪ ]1, +∞[} _{∩ [1, 2] ∩} ]_{− ∞, −}√2[_{∪ ] −}√2,√2[_{∪ ]}√2, +_∞[ = ]1,√2[_{∪ ]}√2, 2[. Como|√2x| ≤√6⇔ |x| ≤√3⇔ −√3≤ x ≤√3, portanto, B = [−√3,√3]. Determinemos A∩ B. A_{∩ B = ]1,}√2[_{∪ ]}√2, 2[ _{∩ [−}√3,√3] = ]1,√2[_{∪ ]}√2,√3[.

(b) A fronteira de A_{∩ B é o conjunto {1,}√2,√3_{}. Como os elementos da fronteira não pertencem} a A∩ B, este conjunto não é fechado.

(29)

1.4.2 Indu¸c˜

ao Matem´

atica

1. Prove, pelo método de indu¸cão matemática, que (a) 2 + 4 + 6 +_{· · · + 2n = n}2_{+ n,} ∀n ∈ N; (b) 1 2 + 1 4 + 1 8+· · · + 1 2n = 1− 1 2n,∀n ∈ N; (c) 1 1× 2+ 1 2× 3+ 1 3× 4+· · · + 1 n(n + 1) = n n + 1,∀n ∈ N. 2. Prove, pelo método de indu¸cão matemática, que

(a) n X k=1 1 4k2_{− 1} = n 2n + 1,∀n ∈ N; (b) n X k=1 k 3k − k_{− 1} 3k−1 = n3−n,_{∀n ∈ N;} (c) n Y k=1 (2k− 1) = (2n)!₂n_n!,∀n ∈ N.

3. Prove, pelo método de indu¸cão matemática, que (a) 5 é factor de 24n−2_{+ 1,}_{∀n ∈ N;}

(b) 42n

− 1 ´e divis´ıvel por 5, ∀n ∈ N; (c) 3n_{> 2}n_{+ 10n,} ∀n ≥ 4; (d) 12_{+ 2}2₊ · · · + (n − 1)2_< n3 3 ,∀n ∈ N; (e) n X k=1 k < (n + 1) 2 2 ,∀n ∈ N. 4. Seja i tal que i2₌

−1. Mostre, por indu¸c˜ao, que (a) 1 + i 1_{− i} n = cis n π 2 , _{∀n ∈ N.} (b) (_{−sen(α) + i cos(α))}n = cis(n(π

2 + α)), ∀n ∈ N. (c) 4n X k=1 1 ik = 0, ∀n ∈ N.

RESOLUC

¸ ˜

AO

1. (a) Vamos mostrar, usando o Princ´ıpio de Indu¸c˜ao Matem´atica, que 2 + 4 + 6 +· · · + 2n = n2_{+ n,}

∀n ∈ N. Seja p(n) a proposi¸cão anterior. Vê-se facilmente que p(1) é verdadeira: 2×1 = 12_+1.

2 + 4 + 6 +· · · + 2n = n2_{+ n}

(30)

Ent˜ao

2 + 4 + 6 +_{· · · + 2n + 2(n + 2) = n}2+ n + 2n + 2 = n2+ 2n + 1 + n + 1 = (n + 1)2+ n + 1, portanto, a proposi¸cão p(n + 1) é válida. Pelo Princ´ıpio de indu¸cão podemos concluir que

2 + 4 + 6 +· · · + 2n = n2_{+ n,}

∀n ∈ N. (b) Vamos mostrar, usando o Princ´ıpio de Indu¸c˜ao Matem´atica, que 1

2+ 1 4+ 1 8+· · ·+ 1 2n = 1− 1 2n,

∀n ∈ N. Seja p(n) a proposi¸cão anterior. Vê-se facilmente que p(1) é verdadeira: 1₂ = 1−1₂. A hipótese de indu¸cão é

1 2+ 1 4 + 1 8 +· · · + 1 2n = 1− 1 2n

e a tese de indu¸cão é 1 2+ 1 4 + 1 8 +· · · + 1 2n + 1 2n+1= 1− 1 2n+1. Então 1 2+ 1 4 + 1 8 +· · · + 1 2n + 1 2n+1 = 1− 1 2n + 1 2n+1 = 1− 1 2n 1₋1 2 = 1₋ 1 2n · 1 2 = 1− 1 2n+1,

portanto, a proposi¸cão p(n + 1) é válida. Pelo Princ´ıpio de indu¸cão podemos concluir que 1 2 + 1 4+ 1 8+· · · + 1 2n = 1− 1 2n, ∀n ∈ N.

(c) Vamos mostrar, usando o Princ´ıpio de Indu¸c˜ao Matem´atica, que 1 1× 2 + 1 2× 3 + 1 3× 4+· · · + 1 n(n + 1) = n n + 1

∀n ∈ N. Seja p(n) a proposi¸cão anterior. Vê-se facilmente que p(1) é verdadeira: ₁ 1 × 2 =

1 2. A hipótese de indu¸cão é

1 1_{× 2} + 1 2_{× 3} + 1 3_{× 4}+· · · + 1 n(n + 1) = n n + 1 e a tese de indu¸c˜ao ´e

1 1× 2 + 1 2× 3 + 1 3× 4 +· · · + 1 n(n + 1) + 1 (n + 1)(n + 2) = n + 1 n + 2. Ent˜ao 1 1_{× 2} + 1 2_{× 3} + 1 3_{× 4} +· · · + 1 n(n + 1) + 1 (n + 1)(n + 2) = n n + 1+ 1 (n + 1)(n + 2)= n(n + 2) + 1 (n + 1)(n + 2) = (n + 1)2 (n + 1)(n + 2) = n + 1 n + 2,

portanto, a proposi¸cão p(n + 1) é válida. Pelo Princ´ıpio de indu¸cão podemos concluir que 1 1× 2+ 1 2× 3+ 1 3× 4+· · · + 1 n(n + 1) = n n + 1, ∀n ∈ N.

(31)

2. (a) Vamos mostrar, usando o Princ´ıpio de Indu¸c˜ao Matem´atica, que

n X k=1 1 4k2_{− 1} = n 2n + 1, ∀n ∈ N. Seja p(n) a proposi¸c˜ao anterior. Verifiquemos que p(1) ´e verdadeira:

1 X k=1 1 4k2_{− 1} = 1 4_{× 1}2_{− 1} = 1 3 = 1 2_{× 1 + 1}. A hipótese de indu¸cão é

n X k=1 1 4k2_{− 1} = n 2n + 1 e a tese de indu¸c˜ao ´e

n+1 X k=1 1 4k2_{− 1} = n + 1 2(n + 1) + 1. Ent˜ao n+1 X k=1 1 4k2_{− 1} = n X k=1 1 4k2_{− 1} + 1 4(n + 1)2_{− 1} = n 2n + 1 + 1 (2(n + 1)− 1)(2(n + 1) + 1) = n 2n + 1 + 1 (2n + 1)(2n + 3) = n(2n + 3) + 1 (2n + 1)(2n + 3) = 2n2_{+ 3n + 1} (2n + 1)(2n + 3) = (n + 1)(2n + 1) (2n + 1)(2n + 3) = n + 1 2n + 3

n X k=1 1 4k2_{− 1} = n 2n + 1, ∀n ∈ N. (b) Vamos mostrar, usando o Princ´ıpio de Indu¸c˜ao Matem´atica, que

n X k=1 k 3k − k− 1 3k−1 = n3−n, _{∀n ∈ N.} Seja p(n) a proposi¸c˜ao anterior. Verifiquemos que p(1) ´e verdadeira:

1 X k=1 k 3k − k_{− 1} 3k−1 = 1 31 − 1_{− 1} 31−1 = 1 3 = 1× 3 −1_.

n X k=1 k 3k − k_{− 1} 3k−1 = n 3−n

n+1 X k=1 k 3k − k_{− 1} 3k−1 = (n + 1)3−(n+1)_.

(32)

28 1. No¸cões Topológicas, Indu¸cão Matemática e Sucessões Então n+1 X k=1 k 3k − k− 1 3k−1 = n X k=1 k 3k − k− 1 3k−1 + n + 1 3n+1 − n 3n = n 3−n+ n + 1 3n+1 − n 3n = n 3−n+n + 1− 3n 3n+1 = n + 1 3n+1 = (n + 1) 3−(n+1)

n X k=1 k 3k − k_{− 1} 3k−1 = n3−n_, _{∀n ∈ N.}

(c) Vamos mostrar, usando o Princ´ıpio de Indu¸c˜ao Matem´atica, que

n

Y

k=1

(2k_{− 1) =} (2n)!

2n_n!, ∀n ∈ N.

Seja p(n) a proposi¸c˜ao anterior. Verifiquemos que p(1) ´e verdadeira:

1

Y

k=1

(2k_{− 1) = 2 × 1 − 1 = 1 =} 2× 1 21_{× 1!}.

n

Y

k=1

(2k_{− 1) =} (2n)! 2n_n!

n+1 Y k=1 (2k_{− 1) =} (2(n + 1))! 2n+1_{(n + 1)!}. Ent˜ao n+1 Y k=1 (2k− 1) = n Y k=1 (2k− 1) ! 2(n + 1)− 1= (2n)! 2n_n! · 2n + 1 = (2n + 1)! 2n_n! = (2n + 2)(2n + 1)! 2n_{n! (2n + 2)} = (2n + 2)! 2n+1_{n! (n + 1)} = (2(n + 1))! 2n+1_{(n + 1)!}

n

Y

k=1

(2k_{− 1) =}(2n)!

(33)

3. (a) A proposi¸cão ”5 é factor de 24n−2_{+ 1,}_{∀n ∈ N”, é equivalente a ”2}4n−2_{+ 1 é m´}_{ultiplo de 5,}

∀n ∈ N.

O n´umero 24n−2_{+ 1 ´e m´}_{ultiplo de 5 se existir um n´}_{umero inteiro positivo k tal que 2}4n−2_{+ 1 =}

5k.

Substituindo n por 1 na express˜ao 24n−2_{+ 1 obtemos 2}2_{+ 1 = 5}

× 1, portanto a propriedade ´e v´alida para n = 1.

∃k ∈ N : 24n−2+ 1 = 5k. A tese de indu¸c˜ao ´e

∃k′∈ N : 24(n+1)−2+ 1 = 5k′. Temos 24(n+1)−2_{+ 1} _{= 2}4n+2_{+ 1 = 2}4n−2₂4_{+ 1 = 2}4n−2₂4_{+ 2}4 − 24_{+ 1} = 24₍₂4n−2_{+ 1)}_{− 2}4_{+ 1 = 2}4_5k_{− 15 = 5(2}4_k_{− 3).} Seja k′ _{= 2}4_k

− 3. Como k′ _{∈ N podemos dizer que}

24(n+1)−2+ 1 = 5k′

Pelo Princ´ıpio de indu¸c˜ao podemos concluir que 24n+2_{+ 1 ´e m´}_{ultiplo de 5,}

∀n ∈ N. (b) Provemos por indu¸c˜ao que 42n

− 1 é múltiplo de 5, ∀n ∈ N. O número 42n

− 1 é múltiplo de 5 se existir um número inteiro positivo k tal que 42n

− 1 = 5k. Substituindo n por 1 na express˜ao 42n_{− 1 obtemos 4}2_{+ 1 = 5}_{× 3, portanto a propriedade ´e}

válida para n = 1. A hipótese de indu¸cão é

∃k ∈ N : 42n

− 1 = 5k. A tese de indu¸c˜ao ´e

∃k′_{∈ N :} ₄2n+2 − 1 = 5k′_. Temos 42n+2_{− 1 = 4}2n₄2_{− 1 = 4}2n₄2_{− 4}2_{+ 4}2_{− 1 = 4}2₍₄2n_{− 1) + 2}4_{− 1} = 42_{5k + 2}4 − 1 = 5(42_{k + 3).}

Seja k′ = 42k + 3. Como k′ ∈ N podemos dizer que 24(n+1)−2+ 1 = 5k′ Pelo Princ´ıpio de indu¸c˜ao podemos concluir que 42n

− 1 é múltiplo de 5, ∀n ∈ N. (c) Vamos mostrar, usando o Princ´ıpio de Indu¸cão Matemática, que

3n _{≥ 2}n+ 10n, _{∀n ≥ 4.}

Seja p(n) a proposi¸cão anterior. Comecemos por verificar que p(4) é verdadeira. Substituindo n por 4 obtemos 34 _{= 81} _{≥ 56 = 2}4_{+ 40 que é uma proposi¸c˜}_{ao verdadeira. A hip´}_{otese de}

indu¸c˜ao ´e

(34)

3n+1≥ 2n+1_{+ 10(n + 1).} Ent˜ao 3n+1 _{= 3} × 3n ≥ 3 (2n_{+ 10n) = 3} × 2n_{+ 3} × 10n ≥ 2n+1_{+ 10n + 20n}_{≥ 2}n+1_{+ 10n + 10 = 2}n+1_{+ 10(n + 1)}

Pelo Princ´ıpio de indu¸c˜ao podemos concluir que

3n_{≥ 2}n+ 10n, _{∀n ≥ 4.} (d) Vamos mostrar, usando o Princ´ıpio de Indu¸c˜ao Matem´atica, que

12+ 22+· · · + (n − 1)2_<n3

3 , ∀n ∈ N.

Seja p(n) a proposi¸c˜ao anterior. Comecemos por verificar que p(1) ´e verdadeira. Substituindo n por 1 obtemos 02_{= 0}_≥1

3 que é uma proposi¸cão verdadeira. A hipótese de indu¸cão é 12+ 22+· · · + (n − 1)2_< n3

12+ 22+_{· · · + (n − 1)}2+ n2< (n + 1) 3 3 . Ent˜ao 12+ 22+· · · + (n − 1)2_{+ n}2_< n3 3 + n 2₌ n3+ 3n2 3 < n3_{+ 3n}2_{+ 3n + 1} 3 = (n + 1)3 3 Pelo Princ´ıpio de indu¸c˜ao podemos concluir que

12+ 22+_{· · · + (n − 1)}2<n

3

3 , ∀n ∈ N. (e) Vamos mostrar, usando o Princ´ıpio de Indu¸c˜ao Matem´atica, que

n X k=1 k < (n + 1) 2 2 , ∀n ∈ N.

Seja p(n) a proposi¸c˜ao anterior. Comecemos por verificar que p(1) ´e verdadeira. Substituindo n por 1 obtemos 1 X k=1 k = 1 < 2 = (1 + 1) 2

2 que é uma proposi¸cão verdadeira. A hipótese de indu¸cão é n X k=1 k < (n + 1) 2 2 e a tese de indu¸cão é

n+1 X k=1 k < (n + 2) 2 2 .

(35)

1.4 Exerc´ıcios Resolvidos 31 Ent˜ao n+1 X k=1 k = n X k=1 k + (n + 1) < (n + 1) 2 2 + (n + 1) = n2+ 4n + 3 2 < n2+ 4n + 4 2 = (n + 2)2 2 Pelo Princ´ıpio de indu¸c˜ao podemos concluir que

n X k=1 k < (n + 1) 2 2 , ∀n ∈ N. 4. (a) Vamos mostrar, usando o Princ´ıpio de Indu¸c˜ao Matem´atica, que

1 + i 1_{− i} n = cis n π 2 , _{∀n ∈ N.} Seja p(n) a proposi¸c˜ao anterior. Verifiquemos que p(1) ´e verdadeira:

1 + i 1− i = √ 2 cis(π 4) √ 2 cis(₋π 4) = cis(π 4 − (− π 4)) = cis( π 2). A hipótese de indu¸cão é

1 + i 1_{− i} n = cis n π 2

1 + i 1_{− i} n+1 = cis (n + 1) π 2 . Ent˜ao 1 + i 1_{− i} n+1 = 1 + i 1_{− i} n_{1 + i} 1_{− i} = cis(nπ 2 )· cis( π 2) = cis(nπ 2 + π 2) = cis (n + 1) π 2

portanto, a proposi¸cão p(n + 1) é válida. Pelo Princ´ıpio de indu¸cão podemos concluir que 1 + i 1_{− i} n+1 = cis (n + 1) π 2 , ∀n ∈ N. (b) Vamos mostrar, usando o Princ´ıpio de Indu¸cão Matemática, que

(_{−sen(α) + i cos(α))}n = cis(n(π

2 + α)), ∀n ∈ N. Seja p(n) a proposi¸c˜ao anterior. Verifiquemos que p(1) ´e verdadeira:

−sen(α) + i cos(α) = i (cos(α) + isen(α)) = i cis(α) = cis(π₂)_{· cis(α) = cis(}π 2 + α). A hipótese de indu¸cão é

(_{−sen(α) + i cos(α))}n= cis(n(π 2 + α))

(36)

(−sen(α) + i cos(α))n+1_{= cis((n + 1)(}π

2 + α)). Ent˜ao

(_{−sen(α) + i cos(α))}n+1 = (_{−sen(α) + i cos(α))}n(_{−sen(α) + i cos(α))}

= cis(n(π 2 + α))(cis( π 2 + α)) = cis((n + 1)(π 2 + α))

portanto, a proposi¸cão p(n + 1) é válida. Pelo Princ´ıpio de indu¸cão podemos concluir que (_{−sen(α) + i cos(α))}n= cis(n(π

2 + α)), ∀n ∈ N. (c) Vamos mostrar, usando o Princ´ıpio de Indu¸c˜ao Matem´atica, que

4n

X

k=1

1

ik = 0, ∀n ∈ N.

Seja p(n) a proposi¸c˜ao anterior. Verifiquemos que p(1) ´e verdadeira:

4 X k=1 1 ik = 1 i + 1 i2+ 1 i3 + 1 i4 = 1 i − 1 − 1 i + 1 = 0. A hipótese de indu¸cão é

4n

X

k=1

1 ik = 0

4n+4 X k=1 1 ik = 0. Ent˜ao 4n+4 X k=1 1 ik = 4n X k=1 1 ik + 1 i4n+1 + 1 i4n+2 + 1 i4n+3 + 1 i4n+4 = 1 i + 1 i2 + 1 i3 + 1 i4 = 0

4n

X

k=1

1

(37)

1.4.3 Sucess˜

oes

1. Sejam (xn)⊂ R uma sucess˜ao, xn → ∞, P (x) = a0xp+· · · + ap e Q(x) = b0xq +· · · + bq duas

fun¸c˜oes polinomiais de coeficientes reais, p, q∈ N, a06= 0, b06= 0. Mostre que

(a) lim P (xn) = lim a0xpn=∞.

(b) limP (xn) Q(xn) = lima0x p n b0xqn =          a0 b0 se p = q, ∞ se p > q, 0 se p < q. 2. Considere a sucess˜ao de termo geral an_{, em que a}

∈ R. Prove que (a) Se a > 1, lim an_{= +} ∞; (b) Se a <_{−1, lim a}n ₌ ∞; (c) Se_{|a| < 1, lim a}n= 0; (d) Se a = 1, lim an= 1;

(e) Se a =_{−1, a sucessão é divergente.} 3. Mostre que (a) Se un→ u (u ∈ R ) então u1+· · · + un n → u. (b) Se a∈ R, a > 0, então lim√n a = 1. (c) Se un> 0, ∀n ∈ N e un+1 un → b, (b ∈ R, b ≥ 0) então n √_u n → b. Observa¸cão: em particular √n_n → 1. (d) √n_u n→ b 6⇒ un+1 un → b, (u n > 0, ∀n ∈ N).

4. Calcule, justificando, os limites das seguintes sucess˜oes (a) 3 √ n2_{+ n + n} 4 √ 2 n4_{+ 1 +}√_n + n √ n; (b) √ n3_{+ 2n}4_{+ 1}_{− n} −2n2₊√3 n2_{+ 3} ; (c) √ n + 1 (1 + 2√n ) n +√3_n ; (d) 3 √ 1− 27n3 1 + 4n . (e) n((−1) n₊√_n) 2 +√n3_{+ 1} (f) n 3 √ n2_{+ 2} n2_{+ (}₋₁₎n_n; (g) 2 n e 1/n (−1)n₊√_n2_{+ 5}

5. Calcule os limites das seguintes sucess˜oes (a) n 2_{− 1} n2 n ; (b) 4 n_{− 5} 4n_{+ 3} 2n ; (c) n + 2 n + 4 n+1 ; (d) 2 + n 5 + 5n n ; (e) 3 n + 1 3 n + 2 n ; (f) 3₋2n + 1 n 4n−2 ;

(38)

34 1. No¸cões Topológicas, Indu¸cão Matemática e Sucessões (g) 2n + 5 2n + 1 n+4 ; (h) n 2_{+ 3} 2n2_{+ 1} n earctg(n).

6. Calcule, justificando, os limites das seguintes sucess˜oes: (a) 3 n_sen(23n_{+ 1)} 23n_{+ 1} ; (b) 1 ncos(n + 1) log(n); (c) 1 arctg(n); (d) n 2_{+ 3} n√n3_{+ 2} cos( p n3_{+ 2);} (e) 1 n n √ n!; (f) √nn2_e−n₋ _n4 n4_{+ 1} n4 ; (g) n sen(n) 2n√_5n3_{+ 1}; (h) pn2_{+ 2n}_{− n;} (i) 3 n_{− 5} 5n_{+ 3}.

7. Calcule, justificando, os limites das seguintes sucess˜oes: (a) n−1 X k=1 sen2_(n) n2_{+ 3k}2; (b) n X k=1 5n √ n4_{+ k}; (c) n X k=1 3 √ 2n 3 √ n4_{+ k}.

8. (a) Calcule, justificando, o limite da sucess˜ao an= (

√

2n + 1₋√2n). cos2(n). (b) Determine, justificando, o conjunto dos sublimites da sucess˜ao bn= sen

nπ 2 .arctg(n) 9. Considere a sucess˜ao un= n p 1 + 2(−1)n_n

(a) Escreva a subsucess˜ao dos termos de ´ındice par e calcule o seu limite. (b) Escreva a subsucess˜ao dos termos de ´ındice ´ımpar e calcule o seu limite.

(c) Calcule lim un e lim un.

(d) Tendo em conta as al´ıneas anteriores, que pode concluir quanto à convergência da sucessão? 10. Considere a sucessão, definida por recorrência

u1=√2

un+1=√2 un

(a) Prove, por indu¸c˜ao, que 0 < un< 2, ∀n ∈ N.

(b) Prove que a sucessão é crescente. (c) Prove que a sucessão é convergente. (d) Calcule o limite da sucessão. 11. Considere a sucessão

a1=

√ 2 an+1= (√2)an.

(39)

(a) Mostre, por indu¸c˜ao, que√2_{≤ a}n< 2, ∀n ∈ N.

(b) Mostre, por indu¸cão, que a sucessão (an) é crescente.

(c) Mostre que existe a_{≤ 2 tal que a}n→ a.

12. Seja a∈ R um número positivo. Considere a sucessão de números reais definida, por recorrência,    x1 = a xn+1 = xn 2 + xn

(a) Mostre, por indu¸c˜ao, que xn> 0, ∀n ∈ N.

(b) Mostre que a sucess˜ao ´e decrescente.

(c) Mostre que a sucess˜ao ´e convergente e calcule o seu limite.

13. Seja a_{∈ R um número positivo. Considere a sucessão de números reais, definida por recorrência,} 

 

x0= 0, x1= a

xn+1= xn+ x2_n−1

(a) Mostre que a sucess˜ao ´e crescente. (b) Mostre que xn> 0, ∀n ∈ N.

(c) Mostre que se existir b_{∈ R tal que lim x}n= b, ent˜ao b = 0.

(d) Tendo em conta as al´ıneas anteriores, calcule lim xn.

14. Considere a sucessão de números reais definida, por recorrência,    x1 = 2 xn+1 = xn 2 + 1 xn , ∀n ≥ 1. A sucessão (xn) verifica a rela¸cão xn>

√

2, _{∀n ∈ N (admita este facto sem o mostrar).} (a) Mostre que a sucessão (xn) é monótona.

(b) Mostre que a sucess˜ao (xn) ´e convergente.

(c) Calcule o limite da sucess˜ao (xn).

15. Considere a sucessão de números reais definida, por recorrência,      x1 = 3 xn+1 = x 2 n+ 3 2 xn , ∀n ∈ N. (a) Mostre, por indu¸cão, que xn−√3≥ 0, ∀n ∈ N.

(b) Mostre que a sucess˜ao (xn) ´e decrescente.

(c) Mostre que a sucess˜ao (xn) ´e convergente.

(d) Calcule o limite da sucess˜ao (xn).

16. Considere a sucessão de números reais definida, por recorrência,      x0 = 1 xn+1 = 1 2 xn+ 2 xn

(40)

(a) Mostre, por indu¸c˜ao, que 1_{≤ x}n≤ 2, ∀n ∈ N0.

(b) Mostre que an≥ an+1,∀n ≥ 2.

(c) Mostre que a sucess˜ao ´e convergente e calcule o seu limite.

RESOLUC

¸ ˜

AO

1. 2. 3. 4. (a) Seja an = 3 √ n2_{+ n + n} 4 √

2n4_{+ 1 +}√_n. Vamos dividir o numerador e o denominador do quociente que

define a sucessão an por n elevado à maior potência:

an= 3 √ n2_{+ n + n} 4 √ 2n4_{+ 1 +}√_n = 3 √ n2_{+ n + n} n 4 √ 2n4_{+ 1 +}√_n n = 3 r n2_{+ n} n3 + 1 4 r 2n4_{+ 1} n4 + r n n2 = 3 r 1 n+ 1 n2 + 1 4 r 2 + 1 n4 + r 1 n . Logo: lim an= √41 2. Como lim√n_{n = 1 podemos concluir que}

lim 3 √ n2_{+ n + n} 4 √ 2n4_{+ 1 +}√_n+ n √ n = 1 ! = √41 2+ 1. (b) (c) (d) (e) (f) (g) 5. (a) (b) (c)

(d) Vamos pôr em evidência n na fórmula que define (an):

an= n(2 n+ 1) 5n(1 +_n1) n = 1 5 n (1 + 2 n)n (1 + _n1)n. Sabemos que,_{∀x ∈ R:} lim1 + x n n = ex_, logo: lim an = lim 1 5 n e2 e = 0.e = 0.

(41)

(e)

(f) Nota: O objectivo no cálculo deste limite é fazer aparecer um limite da forma: lim(1 +x n) n _{= e}x_. Temos,_{∀n ∈ N:} an= 3₋2n + 1 n 4n−2 = (3− 2 − 1 n) 4n (3₋2n+1 n )2 = 1₋ 1 n n4 (1₋1 n)2 , logo é evidente que:

lim an = e−4.

(g) (h) 6. (a)

(b) Vamos utilizar o facto de a fun¸c˜ao coseno ser limitada. Temos,_{∀n ∈ N:} |cos(n + 1)| ≤ 1, logo,_{∀n ∈ N:} 0≤ |αn| = 1 ncos (n + 1) log (n) ≤ log (n) n = log( n √ n). Como sabemos que:

lim

n→∞log(

n √

n) = 0, podemos concluir pelo teorema das sucess˜oes enquadradas que:

lim n→∞αn= 0. (c) (d) Seja an= n2_{+ 3} n√n3_{+ 2} cos( p

n3_{+ 2). Para todo n, temos :}

cos ( p n3_{+ 2)} ≤ 1,

logo, para todo o n:

0≤ |an| ≤ n 2_{+ 3}

n√n3_{+ 2}.

Dividindo o numerador e o denominador da sucess˜ao majorante pela maior potˆencia de n temos: lim n2_{+ 3} n25 n√n3_{+ 2} n25 = lim n2_{+ 3} n52 √ n3_{+ 2} n32 = lim r (n2_{+ 3)}2 n5 r n3_{+ 2} n3 = lim r 1 n+ 6 n3+ 9 n5 r 1 + 2 n3 = 0.

O teorema das sucess˜oes enquadradas permite-nos concluir que: lim an= 0.

(42)

38 1. No¸cões Topológicas, Indu¸cão Matemática e Sucessões (e) (f) (g) (h) (i)

7. (a) A sucess˜ao anest´a definida como a soma de k = 1 a k = n−1 de

sen2_(n)

n2_{+ 3k}2. Vamos calcular um

enquadramento deste termo de forma a fazer desaparecer a vari´avel k. De maneira evidente temos para todos n e k em N: n2+ 3k2> n2. Para todo n e k tal que k_{≤ n − 1, temos da} mesma forma: n2_{+ 3k}2_{≤ n}2_{+ 3(n}_{− 1)}2_.

Logo para todo n e 1≤ k ≤ n − 1, temos: n2< n2+ 3k2≤ n2_{+ 3(n} − 1)2 ⇒ _n12 > 1 n2_{+ 3k}2 ≥ 1 n2_{+ 3(n}_{− 1)}2 ⇒ sen 2_(n) n2 > sen2_(n) n2_{+ 3k}2 ≥ sen2_(n) n2_{+ 3(n}_{− 1)}2

Como an est´a definida como uma soma de n− 1 termos obtemos, ∀n ∈ N:

(n− 1) · sen 2_(n) n2_{+ 3(n}_{− 1)}2 ≤ n−1 X k=1 sen2_(n) n2_{+ 3k}2 < (n− 1) · sen2_(n) n2 ⇔ _n2_{+ 3(n}n− 1_{− 1)}2 · sen 2_(n) ≤ n−1 X k=1 sen2_(n) n2_{+ 3k}2 < n− 1 n2 · sen 2_(n) ⇔ _n2_{+ 3(n}n− 1_{− 1)}2 · sen 2_(n) ≤ n−1 X k=1 sen2_(n) n2_{+ 3k}2 < 1 n − 1 n2 · sen2(n). Seja bn = n_{− 1} n2_{+ 3(n}_{− 1)}2 = n_{− 1}

4n2_{− 6n + 3}. Dividindo o numerador e o denominador desta

sucess˜ao por n2 _temos:

lim n− 1 4n2_{− 6n + 3} = lim 1 n− 1 n2 4n2_{− 6n + 3} n2 = lim 1 n − 1 n2 4−_n6 + 3 n2 = 0. Seja cn= 1 n− 1

n2. ´E evidente que lim cn= 0.

Como a sucess˜ao sen2_{(n) ´e uma sucess˜}_{ao limitada, 0}

≤ |sen2_(n)

| ≤ 1, ∀n ∈ N, e o produto de um infinitésimo por uma sucessão limitada é um infinitésimo, podemos afirmar que as sucessões

n− 1 n2_{+ 3(n}_{− 1)}2 · sen 2_(n) e 1 n− 1 n2 · sen2_(n)

são infinitésimos. Finalmente, como os dois limites são iguais, o teorema das sucessões enqua-dradas permite-nos concluir que: