INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO CIÊNCIA E
TECNOLOGIA DO RIO GRANDE DO SUL – IFRS
CAMPUS BENTO GONÇALVES
Professor Delair Bavaresco
Para que se atendam as necessidades do relacionamento com o mercado financeiro é preciso abordar com profundidade a matemática financeira e exercitar a capacidade de resolução de problemas diferenciados e/ou mais complexos que não raramente atormentam os administradores e pessoas envolvidas numa atividade produtiva.
Antes de iniciarmos nossos estudos é necessário que se faça uma diferenciação entre operações
comerciais e operações financeiras. As primeiras não envolvem o fator tempo e as segundas têm neste
fundamentada toda a conceituação. Em nosso tratado não se pretende estudar matemática comercial e sim matemática financeira, a qual se ocupa, em essência, da análise do valor monetário no decorrer do tempo.
Para exemplificarmos esses dois conceitos, consideramos um comerciante que adquire um eletrodoméstico de fábrica pelo valor de R$ 500,00. Ele oferece para venda, pelo valor a vista de R$ 650,00 ou em 10 parcelas de R$ 70,00. Na venda a vista, a operação comercial gera um retorno ao comerciante de R$ 150,00, pela sua atividade. Na venda parcelada, se somarmos os 10 pagamentos da obteremos um retorno de R$ 200,00 ao comerciante, essa diferença se deve a operação financeira, devido ao fator tempo, onde o comerciante precisa cobrar juros pelo fato de o consumidor estará fazendo uso do bem de consumo enquanto o comerciante não dispõe do valor monetário para novas transações.
Nos diversos tratados de cálculos financeiros nos deparamos com cálculos percentuais, sejam estes acréscimos, descontos, taxas ou partes percentuais. Diante disso, se faz necessário um estudo preliminar sobre cálculos percentuais.
PARTE PERCENTUAL:
Cotidianamente nos deparamos com situações problemas onde necessitamos determinar partes percentuais de um todo, por exemplo: 20% do volume de água de um recipiente; 45% dos trabalhadores de uma empresa; etc. Para determinarmos o valor numérico dessa parte, precisamos entender esses percentuais como partes de um todo. No exemplo acima se dividirmos o volume total em 100 partes, 20% representa 20 desse total de 100 partes, escrevendo a proporção sob a forma de números racionais,
obtemos 20 0, 2
100= ; Para 45% obtemos
45
0, 45 100= .
Essa parte percentual sempre é feita comparando o total a 100 partes, logo quando nos referimos a 20%, trata-se de 20% de um total. A palavra “de”, para fins de operações matemáticas implica em multiplicação, ou seja, para determinarmos 20% de um frasco de 40 litros basta multiplicarmos 0,2 por 40
e obteremos essa parte percentual. Nesse caso 0, 2 40´ = litros. 8
EXEMPLO: Calcule:
a) 15% de 320 b) 185% de 12,5 c) 3,25% de 1213,5 d) 3% de 95
ACRESCIMOS E DESCONTOS PERCENTUAIS:
Para calcularmos acréscimos percentuais devemos sempre levar em consideração que essa parte percentual será adicionada ao todo já existente, por exemplo: Um livro que custava R$ 36,00 sofreu um aumento de preço de 15%, qual o novo preço do venda do livro?
Se considerarmos Pv como preço de venda, obteremos:
36 0,15 36 36(1 0,15) 36(1,15) 41, 4
Observe que o valor obtido é resultado da multiplicação do preço inicial por um fator composto pelos 100% já existente, mais os 15% de acréscimos conforme a situação problema.
Para calcularmos descontos proporcionais podemos agir de forma semelhante, por exemplo: Um vendedor oferece um desconto de 15% para um livro anteriormente anunciado pelo preço de R$ 36,00, qual o preço de venda após o desconto?
36 0,15 36 36(1 0,15) 36(0,85) 30, 6
Pv= - ´ Þ Pv= - Þ Pv= =
Neste caso, o valor obtido é resultado da multiplicação do preço inicial por um fator composto pelos 100% já existente, menos os 15% de desconto oferecido, ou seja, se retirarmos 15% do total restará 85% desse todo.
EXEMPLOS:
1) Um computador que custava R$ 1850,00 teve um aumento de 13% sobre seu preço. Qual o novo preço de venda desse computador? Em quanto foi o acréscimo?
2) Devido à necessidade de movimentação de capital uma loja de eletrodomésticos anuncia 12% de desconto em todo seu estoque. Se um ventilador custava R$ 75,00, qual seu novo preço de venda?
3) O salário de um operário foi aumentado em 6% e passou a R$ 556,50. Qual era o antigo salário desse operário?
4) Uma mercadoria que custava R$ 75,00 sofreu um acréscimo de 10% e depois outro de 5%. No momento da venda, foi proporcionado um desconto de 8%.
a) Por quanto essa mercadoria foi vendida? b) Qual a variação total em seu preço?
A palavra reajuste não é sinônima de acréscimo, por mais que muitas vezes seja utilizada com esse intuito. Reajuste de preço significa reajustar o valor a uma nova realidade, seja esta para mais ou para menos. Um reajuste do salário mínimo, por exemplo, é determinado de forma que o assalariado consiga manter o seu poder de compra adquirido no reajuste anterior, ou seja, ele deve ter condições de adquirir a mesma quantidade de bens de consumo que tinha anteriormente. Já um exemplo de aumento de salário é quando o trabalhador que recebia dois salários mínimos passa a receber 2,5 salários mínimos pelo seu trabalho, com isso seu poder de compra aumenta.
1) Uma liga de latão é formada com 65% de cobre e o restante de zinco. Que quantidade de cobre tem em uma peça de latão de 20 kg ?
2) Sabe-se que o patrimônio inicial de um plano de aposentadoria é de 256.000,00 e o patrimônio final é de R$ 284.800,00, sem movimento mensal. Qual a taxa de rentabilidade Patrimonial desse plano?
3) Sabe-se que a remuneração da caderneta de poupança é igual a variação da TR (Taxa referencial de juros) mais juros de 6% a.a. (linear, ou seja, 0,5% a.m.). Qual o montante de uma aplicação de R$ 2.000,00 por um mês, em que a TR foi igual a 0,65%?
4) Ao comprar um casaco, uma pessoa ganhou um desconto de 40%. Se o valor pago foi de R$ 51,00 qual o valor na etiqueta?
5) Em um núcleo universitário, 48% doa alunos são do curso de Administração, 20% do curso de Processamento de Dados e o restante, 232 alunos do curso de Ciências contábeis. Determine:
a) Quantos alunos possui o núcleo?
b) Quantos alunos possuem os curso de Administração e Processamento de Dados?
6) O salário de um operário foi aumentado em 4% e passou para R$ 546,00. Qual era o antigo salário desse operário?
7) Um investidor perdeu 40% do que possuía e ficou com R$ 51.000,00. Qual era seu capital anterior?
8) Numa cidade, 25% são descendentes de italianos, 12% descendentes de alemães, 10% de japoneses e o restante 118.720 são descendentes de africanos. Quantos são os descendentes de alemães?
9) Um empregado em uma casa comercial tem interesse sobre o lucro. Quanto receberá no final do ano, se a casa vendeu R$ 2.625.000,00 com 18% de lucro e sua participação na sociedade é de 2%?
10) Na compra de uma mercadoria foi obtido abatimentos sucessivos de 20%, 10% e 5%. Se o valor pago foi de R$ 273,60:
a) Qual o valor da mercadoria antes dos abatimentos?
b) Qual o percentual total de abatimento?
11) Um produto cujo preço era de R$ 36,00 sofreu aumentos sucessivos de 30% e 25%.
a) Qual o preço atual da referida mercadoria? b) Qual foi o percentual total de aumento?
12) Uma mercadoria sofreu dois aumentos sucessivos de 20%. Na venda foi concedido um desconto de 15%, pagando o comprador R$ 24,48. Qual o preço inicial dessa mercadoria?
13) Uma certa categoria profissional, por ocasião de dissídio coletivo, deverá ter um reajuste positivo de 36% sobre o salário base do ano anterior. Se um funcionário já recebeu 25% de antecipação e está ganhando R$ 525,00, quanto passará a ganhar de salário?
14) Ao comprar um casaco, uma pessoa ganhou 40% de desconto. Se o valor pago foi de R$ 51,00, qual o valor constante na etiqueta?
Respostas:
1) 13 kg 2) 11,25% 3) 2023,07 4) R$ 85,00 5a) 725
5b) 348 e 145 6) R$ 525,00 7) R$ 85.000,00 8) 26.880 9) R$ 9.450,00
10a) R$ 400,00 10b) 31,6% 11a) R$ 58,50 11b) 62,5% 12) R$ 20,00
13) R$ 571,20 14) R$ 85,00
O Fluxo de Caixa é um conjunto de entradas e saídas, dispostas ao longo do tempo. O fluxo de caixa é geralmente construído por um diagrama de eixo horizontal, que representa a linha do tempo, tendo
acima as entradas e abaixo as saídas de caixa. A unidade de tempo, para maior facilidade de cálculo,
deve ser escolhida de acordo com o prazo de capitalização dos juros.
O Fluxo de Caixa de uma operação financeira pode ser construído sob a ótica do credor ou do devedor.
EXEMPLO 01: Um terreno é vendido a prazo em seis prestações mensais de R$ 10.000,00 cada uma,
vencendo a primeira 2 meses após a compra. Se a taxa de juro adotada é de 8% a.m., qual o preço a vista do terreno.
EXEMPLO 02: Uma empresa deve a uma
instituição financeira R$ 30.000,00 com
vencimento para 60 dias; R$ 42.000,00 com vencimento para 120 dias. A empresa quer acordar com a instituição o pagamento de 3 parcelas iguais em 30, 60 e 90 dias. Se a taxa de juros da operação for de 6,5% ao mês, qual o valor de cada pagamento?
EXEMPLO 03: O preço a vista de uma chácara
é de R$ 96.700,00. A prazo ela é vendida com uma entrada de R$ 30.000,00 e mais cinco prestações mensais, iguais e consecutivas de R$ 15.600,00 com a primeira vencendo 60 dias após a compra. Qual a taxa mensal de juros adotada pelo vendedor?
Do ponto de vista da economia, os fatores de produção são divididos em trabalho, imóvel,
capacidade empresarial (e terra) e capital. A forma de remuneração pelo trabalho é o salário, do
imóvel é o aluguel, da capacidade empresarial é o lucro e a remuneração do capital é o juro.
Do ponto de vista da economia, os fatores de produção são divididos em trabalho, capital,
imóvel e capacidade empresarial (e terra).
Assim, qualquer quantidade de moeda, disponível em certa data para ser aplicada numa operação financeira, e denominada Capital, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Principal.
Os fatores de produção acima apresentados, por sua parcela de participação em um processo produtivo, correspondem uma remuneração que se denomina Salário, Juro, Aluguel e Lucro. Portanto, juro é a remuneração do capital.
A taxa de juros ou simplesmente taxa é a unidade de medida dos juros.
Taxa Percentual ou Centesimal (r) é a remuneração atribuída ao cento de capital (%). Taxa Unitária (i) é a remuneração atribuída à unidade de capital.
Quando um investidor aplica determinado capital por certo tempo a certa taxa, no final desse período ele tem a sua disposição não só o valor inicialmente aplicado, mas também os juros que lhe são devidos. Esse total é chamado de Montante ou Valor Futuro.
Quando um contrato é firmado, o período de vigência pode ser representado de diversas formas, seja diário, mensal, bimestral, trimestral, semestral, anual, etc. Devemos, portanto observar a compatibilidade em relação à unidade de tempo com a taxa de juro, ou seja, para uma taxa mensal de juros devemos considerar o período em meses, para uma taxa anual, o período em anos, etc.
Neste estudo, temos um processo de Capitalização Simples quando a taxa de juros incide somente sobre o capital inicial, não incide sobre os juros acumulados. Se o capital ficar aplicado por “n” períodos iguais, os juros de cada um destes períodos também serão iguais.
O valor monetário referente ao juro é resultado de uma taxa percentual acordada, aplicada em relação ao valor presente por um determinado período. O valor final, ou montante resulta da soma do valor presente com o juro correspondente ao período, dessa forma:
Nesta formula a taxa e o prazo devem referir-se à mesma unidade de tempo. EXEMPLO 01: O capital de R$ 40.000,00 ficou
aplicado durante um mês e rendeu R$ 1400 de juros. A que taxa esteve aplicado?
EXEMPLO 02: Um capital de R$ 8.400,00
esteve aplicado por 6 meses e rendeu R$ 769,40 de juros. A que taxa esteve aplicado?
EXEMPLO 03: O capital de R$ 18.000,00 esteve
aplicado por 60 dias a taxa de 3,94% no período. Quais os juros produzidos por este investimento?
EXEMPLO 04: Um capital de R$ 65.000,00
esteve aplicado durante um trimestre e rendeu R$ 18.480,00 de juros. Pede-se:
a) Qual o montante final? b) A que taxa esteve aplicado?
EXEMPLO 05: Qual o valor dos juros
correspondentes a um empréstimo de R$ 25.000,00, pelo prazo de 8 meses, sabendo-se que a taxa cobrada é de 2,5% a.m.?
J = Pv.i.n
Fv = Pv(1 + i.n)
EXEMPLO 06: Uma aplicação de R$ 45.000,00
em letras de câmbio, pelo prazo de 180 dias, obteve um rendimento de R$ 8.250,00. Qual o rendimento (taxa) mensal e anual desta operação?
EXEMPLO 07: Sabe-se que juros de R$
14.350,00 foram obtidos com a aplicação de R$ 148.000,00 à taxa de 6% a.t.. Determine quantos dias permaneceu aplicado.
EXEMPLO 08: Um capital de R$ 25.000,00
aplicado durante 10 meses, rende juros de R$ 4.700,00. Determine a taxa mensal e anual de juros da aplicação.
EXEMPLO 09: Determine o montante da
aplicação de R$ 18.200,00, pelo prazo de 12 meses à taxa de 4% a.m.
EXEMPLO 10: Sabendo-se que certo capital,
aplicado durante 10 semestres à taxa de 24% a.a. rende R$ 17.420,00 de juros, determine o valor do capital e do montante ao final do prazo de aplicação.
1) A que taxa mensal de juros simples devo aplicar um capital qualquer para que em 8 meses ele duplique?
2) Se um capital de R$ 2.000,00 rendeu R$ 840,00 de juros em 2 anos, qual é a taxa de juros trimestral?
3) Uma pessoa aplicou R$ 1.500,00 no mercado financeiro e após 5 anos recebeu o montante de R$ 3.000,00. Que taxa equivalente semestral recebeu?
4) Calcular o juro simples e o montante de R$ 500,00 a 25% a.a. por 8 meses.
5) Calcular os juros simples que um capital de R$ 10.000,00 rende em um ano e meio aplicado à taxa de 6% a.a.
6) Qual o capital que, investido hoje a juros simples de 12% a.a., se elevará para R$ 1.296,00 ao final de 8 meses?
7) Qual é a taxa anual de juros numa aplicação de R$ 1.300,00 que produz, após um ano, um total de capital e juros de R$ 1.750,00?
8) Qual é o rendimento produzido por uma aplicação de R$ 2.400,00 durante 17 meses a uma taxa de juros simples de 60% a.a.?
9) Um capital aplicado transformou-se em R$ 13.000,00. Se a taxa de juros foi de 42% a.a. e o rendimento de R$ 4.065,29, indicar quantos meses durou a operação.
10)(MPU) A empresa Beta S.A. precisa gerar uma receita de R$ 22.500,00, aplicando R$ 100.000,00 a uma taxa de juros de 2,5% a.m.. Por quanto
tempo deverá permanecer aplicado esse capital se for remunerado a juros simples?
11)(TCE-MG) Um capital de R4 25.000,00
permaneceu aplicado em uma instituição
financeira durante um ano e três meses. Se a taxa de juros adotada foi de 12% a.a. em regime de juros simples, quais os juros recebidos por essa aplicação?
12)(CEF) Um capital de R$ 15.000,00 foi aplicado a juros simples à taxa bimestral de 3%. Qual deve ser o prazo de aplicação se para que seja obtido um montante de R$ 19.050,00?
13)(CEF) Qual a taxa mensal de juros simples de uma aplicação, onde um capital ao completar 1 ano e 4 meses de aplicação, produziu um
montante equivalente a 7
5 de seu valor?
14)(ICMS-PB) Um investidor aplica em
determinado banco R$ 10.000,00 a juros simples. Após 6 meses, resgata o montante de 10.900,00 e aplica em outro banco durante 5 meses, a uma taxa igual ao dobro da primeira. Qual o montante final da segunda aplicação?
15) Um capital ficou depositado durante 2 anos, a taxa de 4% a.a. Findo este período,o montante foi reaplicado a 6% a.a. durante 18 meses. Determine o capital inicialmente aplicado, sabendo que o montante final foi de R$ 17.658,00.
16)(CEF) Um certo capital, aplicado a juros
símples durante 15 meses, rendeu um
determinado juro. Se aplicarmos o triplo desse
capital à mesma taxa, em quanto tempo o juro será igual ao dobro do obtido na primeira Aplicação? 17) Por uma propriedade, o dono recebeu as seguintes ofertas:
a) R$ 12.000,00 de entrada e um cheque de R$ 10.000,00 para 3 meses.
b) R$ 10.000,00 de entrada e um cheque de R$ 12.000,00 para 2 meses.
c) Um cheque de R$ 25.000,00 para 5 meses d) R$ 21.000,00 à vista.
Qual a melhor proposta para o proprietário se para ele o dinheiro pode render 4% a.m. de juros simples?
18)(CVM) Determinado capital aplicado a juros simples durante 18 meses rendeu juros de R$ 7.200,00. Sabe-se que, se o dobro desse capital fosse aplicado a juros simples com a mesma taxa anterior, geraria, ao final de dois anos, o montante de R$ 40.000,00. Qual o valor aplicado na primeira situação?
19)(CMV) Determinado capital foi aplicado a prazo fixo a taxa de 30% ao ano. Decorrido o prazo, o montante no valor de R$ 23.400,00 foi aplicado por mais um período igual ao anterior, porém à taxa de 36% ao ano de juros simples. Sendo o montante final de R$ 26.910,00, qual o capital da primeira aplicação?
20) Um empréstimo de R$ 23.000,00 é liquidado por R$ 29.200,00 ao final de 152 dias. Qual a taxa mensal de juros?
Respostas
1) 12,5% a.m. 2) 5,25% a.t. 3) 10% a.s. 4) R$ 83,33 e R$ 583,33
5) R$ 900,00 6) R$ 1200,00 7) 34,62% a.a. 8) R$ 2040,00 9) 13 meses
10) 9 meses 11) 36% a.a. 12) 1,5 anos 13) 2,5% a.m. 14) R$ 12.535,00
15) R$ 15.000,00 16) 10 m 17) b 18) R$ 10.400,00 19) R$ 20800,00 20) 5,32%
TAXAS PROPORCIONAIS E TAXAS EQUIVALENTES:
Duas taxas são proporcionais quando há uma proporção direta entre suas formas de expressão e os
respectivos períodos de tempo. Dessa forma, se i e 1 i são taxas proporcionais e 2 m e 1 m são, 2
respectivamente, os períodos que constituem o prazo de aplicação, tem-se:
1 1 2 2
Diante dessa definição, uma taxa de 3% ao mês é proporcional a 36% ao ano, pois i1=3% e
2 36%
i = , m1=12meses e m2 = ano, então 0,03 12 36 0,01 0,361 ´ = ´ = .
Duas taxas são equivalentes quando aplicadas a capitais iguais em tempos iguais produzem juros e, portanto montantes iguais.
No regime de juros simples as taxas proporcionais são sempre equivalentes, no entanto essa situação não se verifica para o regime de juros compostos, onde essa diferença se torna significante e é necessária a clara diferenciação desses conceitos.
Exemplo: Um total de R$ 2.300,00 foi aplicado a juros simples de 3,6% a.m. Por um período de 2
anos.
a) Calcule a taxa proporcional anual; b) Determine os juros e o montante recebidos;
TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA
Taxa nominal é a taxa de juros que consta no contrato de uma operação financeira, no entanto
essa taxa nem sempre é igual à taxa efetiva que a operação financeira proporciona. Isso se deve ao fato de que podem existir outras obrigações tais como taxas, impostos ou comissões que comprometem os rendimentos ou aumentam o custo das operações.
Critérios diferentes para o cálculo de juros também tornam a taxa nominal diferente da efetiva, é o caso de juros cobrados antecipadamente ou calculados sobre um total a ser pago em parcelas, sendo muitas vezes realizados conscientemente com o intuito de fazer os juros parecerem menores ou maiores conforme convier.
Este tratado sobre taxas será retomado para o estudo dos juros compostos.
Exemplo 1: Uma instituição financeira faz
empréstimos e cobra 4% a.m. de juros simples que devem ser pagos antecipadamente. Qual a taxa efetiva mensal de juros que será paga por um empréstimo de R$ 8.000,00 por 3 meses?
Exemplo 2: Um capitalista depositou R$ 85.000,00
a prazo fixo, por dois meses à taxa de 2,5% a.m. Sabendo que sobre os juros são cobrados 10% de Imposto de Renda, determine:
a) O valor dos juros.
b) O imposto de renda retido na fonte. c) A taxa efetiva mensal.
Exemplo 3: Uma loja anuncia a seguinte oferta:
Nas compras a vista 8% de desconto, ou em trinta dias sem acréscimo. Determine a taxa de juros simples que está sendo cobrada.
Exemplo 4: Determinada loja apresenta a
seguinte oferta: “Eletrodoméstico à vista R$ 300,00 ou, a prazo com 6% de aumento em duas parcelas, sendo uma entrada”. Qual a taxa de juros simples efetivamente cobrada na compra a prazo?
JUROS COMERCIAIS E JUROS EXATOS
O Ano Civil aquele é definido como consta no calendário, isto é, com 365 dias (ou 366 nos anos bissextos). Para se efetuar a contagem de tempo, basta fazer a contagem mês a mês. Já o Ano Comercial é definido como o período de tempo em que se considera que o ano tem 360 dias e cada um dos meses 30 dias, indistintamente. Para o primeiro caso, os juros calculados são chamados juros exatos. No segundo caso, juros comerciais ou ordinários.
Por convenção, usam-se os juros comerciais, a não ser que seja explícito que os juros devem ser exatos.
TEMPO EXATO E TEMPO APROXIMADO
Quando se considera o número exato de dias contados no calendário, trata-se do tempo exato. Já se for considerado qualquer mês como tendo 30 dias tem-se o tempo aproximado.
Convenientemente, usa-se o tempo exato quando se conhecem as datas de aplicação e de resgate e o tempo aproximado nos demais casos.
Exemplo 1: Determine os juros de R$ 30.000,00,
aplicados a 36% a.a., de 20 de maio a 20 de novembro do mesmo ano:
a) Juros comerciais e tempo exato; b) Juros comerciais e tempo aproximado; c) Juros exatos e tempo aproximado; d) Juros exatos e tempos exatos.
Exemplo 2: Calcular os juros comerciais e exatos
produzidos por um capital de R$ 7.800,00 aplicado à taxa de 24% a.a.
a) 17 de março a 21 de julho do mesmo ano. b) 14 de dezembro a 22 de março do ano
1) Uma loja vende uma máquina por R$ 30.000,00 à vista. A prazo vende por R$ 33.080,00, sendo R$ 800,00 de entrada e o restante após 4 meses. Qual é a taxa de juros mensal cobrada?
2) Sabendo-se que os juros de R$ 1.200,00 foram obtidos com a aplicação de R$ 1.500,00 à taxa de 8% ao trimestre, determine o prazo de aplicação. 3) Sabendo-se que um capital dobrou em 8 anos a juros simples, pergunta-se a que taxa foi aplicado este capital?
4) Um eletrodoméstico é vendido à vista por R$ 500,00 ou então, com uma entrada de R$ 150,00 e mais uma parcela de R$ 420,00 após 4 meses. Qual a taxa mensal de juros que está sendo cobrada?
5) O capital de R$ 1200,00 foi dividido em duas partes tais que a primeira aplicada a juros simples de 8% ao mês em dois meses rendeu a mesma quantia que a segunda em à 10% ao mês em três meses. Calcule as duas partes do capital.
6) João fez um depósito a prazo fixo por dois anos. Findo esse prazo o montante de R$ 11.200,00 foi reaplicado por mais um ano a taxa de juros simples de 15% superior à primeira, resultando um montante final de R$ 13.776,00. Qual o capital inicialmente aplicado?
7) Um fogão é vendido por R$ 600,00 à vista ou com uma entrada de 22% e mais um pagamento de R$ 500,00 após 32 dias. Qual a taxa mensal de juros simples envolvida na operação?
8) Se uma dívida de R$ 8.721,00 vencível ao final de 4 meses puder ser quitada hoje com R$ 7.650,00, qual a taxa de juros postecipadas que está sendo usada para o cálculo?
9) Um comerciante tem oferta de uma mesma mercadoria para pagamento em 30 e 60 dias. Para o prazo de 30 dias o preço do metro é de R$
122,00; para 60 dias é de R$ 160,00. Como a taxa de mercado está em 15% a.m., qual a oferta mais vantajosa?
10) Um banco empresta R$ 10.000,00 a juros postecipados de 12% a.m. prazo de 2 meses, mas em compensação exige saldo médio de R$ 2.000,00. Qual a taxa de juros efetivamente cobrada?
11) Um capital, com juros correspondentes a 5 meses, eleva-se a R$ 748,25. O mesmo capital, com juros correspondentes a 8 meses, eleva-se a R$ 759,20. Determine o capital.
12) Determine a taxa mensal de juros que um capital de R$ 48.000,00 esteve aplicado e que em 3 meses e 20 dias rendeu R$ 440,00 de juros. 13) Um comerciante oferece a seus clientes um desconto de 5% nas compras à vista. Nas compras a prazo acresce 4% e divide em duas parcelas iguais, uma de entrada e a outra em 45 dias. Qual a taxa mensal de juros simples que a loja pratica nas compras a prazo?
14) Num empréstimo realizado a taxa de 38% ao ano paguei juros de R$ 54,72 por mês. Qual foi o prazo do empréstimo se, no total – capital mais juros – paguei R$ 2.165,76?
15) Um capital foi aplicado a juros simples de 15% ao ano. Quatro meses depois outro capital igual foi aplicado a juros simples de 18% ao ano. Quanto tempo depois desta segunda aplicação os montantes das duas aplicações serão iguais? 16) Gabriel emprestou quantias iguais a Milena e Moacir. Ambos os empréstimos foram realizados a taxa de 6% ao mês de juros simples. Sabendo que o empréstimo a Milena durou 8 meses e que o de Moacir 5 meses e que Milena pagou R$ 225,00 a mais de juros que Moacir, determine o valor dos empréstimos.
Respostas
1) 2,64% 2) 10 trimestres 3) 12,5% a.a. 4) 5% a.m. 5) R$ 782,61 e R$ 417,39
6) R$ 8.000,00 7) 6,41% a.m. 8) 3,5% a.m. 9) em 30 dias 10) 15% a.m.
11) R$ 730,00 12) 0,25% a.m. 13) 13,95% a.m. 14) 8 meses 15) 20 meses
Ao contrair uma dívida, o devedor fornece um documento chamado título de crédito, o qual é usado para formalizar uma dívida que deverá ser quitada em data futura dentro de um prazo estipulado. Os principais títulos são: a Nota Promissória, a Duplicata e a Letra de Câmbio.
A Nota promissória é um título de crédito que corresponde a uma promessa de pagamento muito utilizada entre pessoas físicas, ou entre pessoa física e uma instituição financeira. A nota promissória deve conter quatro elementos principais: quanto deve ser pago, quando, por quem e a quem.
A duplicata é um título de crédito sacado por uma pessoa jurídica “contra” seu cliente (Pessoa Física ou jurídica) para o qual ele vendeu a mercadoria a prazo, ou prestou serviços para pagamento futuro sem contrato. A emissão da duplicata só é legal se for feita, tendo por base a nota fiscal proveniente do serviço prestado. A duplicata, também deve conter os quatro elementos principais: quanto deve ser pago, quando, por quem e a quem.
A letra de câmbio é um título que corresponde a uma ordem de pagamento emitida apenas por uma financeira direto a uma pessoa física ou jurídica. A letra de câmbio deve apresentar a quantia a ser paga, data do vencimento, quem deve pagá-lo e também o nome do favorecido.
O cheque é uma ordem de pagamento à vista, sacado em benefício próprio ou de terceiros contra fundos disponíveis em estabelecimento bancário. Deve conter o nome da entidade financiada sacada, a data e o local da emissão e a indicação do local de pagamento. (Existem discussões recentes de juízes que defendem o cheque pré-datado como documento para data futura).
Quando o portador de um título de crédito precisa de dinheiro, pode resgatá-lo em data anterior ao seu vencimento, mediante endosso, numa corretora de valores ou banco que procede a operação de desconto.
Assim, a financeira funciona como um órgão intermediário, que capta recursos do mercado para aplicar no próprio mercado. É claro que a taxa de juros cobrados nas notas promissórias é maior que as taxas pagas nas letras de câmbio, sendo a diferença entre elas o lucro bruto da financeira.
Quando do resgate antes do vencimento, o portador não recebe o Valor Nominal do título. Este recebe um desconto conforme o prazo de antecipação.
O valor que o portador recebe se diz Valor Atual (A), que é a diferença entre o valor Nominal
(N) e o desconto(d). Assim o valor atual é dado por:
DESCONTO COMERCIAL
É aquele calculado sobre o valor Nominal do Título. Este corresponde ao juro simples sobre o valor nominal do título. A base do cálculo é o valor nominal do título, diante disso:
Uma vez descontado comercialmente um título pode-se determinar Ac, que é o valor atual do título quando aplicado o desconto comercial. Dessa forma:
Ac= -N dc ou Ac= -N Nin ou, ainda
OBS.: O desconto comercial simples é do tipo de desconto utilizado nas instituições comerciais
e financeiras, como o próprio nome indica. É necessário observar que só é conveniente descontar quando o prazo de vencimento é curto, pois prazos muito longos podem elevar consideravelmente o custo da operação, ou até mesmo situações onde o valor a receber é menor que o próprio valor investido, ou ainda o desconto ser maior que o próprio título.
A = N - d
dc
=
N .i.n
onde n representa o prazo de antecipação do resgate e i representa a taxa unitária de desconto.
-EXEMPLO 01: O portador de uma nota
promissória de R$ 24.000,00, necessitando de dinheiro, procurou uma instituição financeira, 65 dias antes do vencimento do título a fim de descontá-lo. O banco faz o desconto comercial à taxa de 7,2% a.m.
a) Calcule o desconto feito pelo banco.
b) Determine a quantidade recebida pelo portador do título.
EXEMPLO 02: Um título de crédito de valor de
face R$ 18.000,00 foi descontado
comercialmente dois meses antes do vencimento, a uma taxa de 2,5% ao mês. Calcule o desconto e o valor atual.
EXEMPLO 03: Sob o regime de desconto
comercial de 2% ao mês, descontei 42 dias antes do vencimento uma Nota Promissória de R$ 12.000,00. Quanto foi o desconto e o valor atual?
EXEMPLO 04: Uma duplicata de R$ 6.900,00
foi resgatada antes de seu vencimento por R$ 6.072,00, se o desconto foi comercial de 4% am, qual o tempo de antecipação?
EXEMPLO 05: Um bem que custa R$
12.000,00 à vista foi vendido a prazo com juros simples de 7,4% a.m. para 7 meses.
a) Calcule o valor nominal do título.
b) Se o título for descontado 2 meses antes de vencer, quanto receberá o proprietário de mesmo, se o desconto for feito à taxa de 7,4% a.m.?
c) Se o desconto for feito 4 meses antes do vencimento, o que vai ocorrer?
d) Se o título for descontado 6 meses antes de vencer à taxa de 7,4% a.m., o que vai ocorrer?
EXEMPLO 06: Um título no valor de R$
4.532,00 foi resgatada por R$ 3.972,00, se o desconto foi comercial de 3,4% a.m, qual o tempo de antecipação?
1) Qual o valor do desconto comercial de um título de R$ 20.000,00, com vencimento para 60 dias, à taxa de 25% a.m?
2) Qual a taxa mensal de desconto comercial utilizada numa operação a 80 dias cujo valor do resgate é de R$ 10.000,00 e cujo valor atual é de R$ 4.800,00?
3) O valor nominal de um título é igual ao dobro do seu valor de aplicação. Sabendo-se que a taxa de juros correspondente é de 12,5% a.m. Qual é o prazo da aplicação?
4) Uma nota promissória, no valor de R$ 10.000,00 em seu vencimento, foi descontada 15 dias antes de vencer. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial era de 8,6% a.m., qual foi o valor de desconto e o valor atual comercial? 5) O desconto comercial de um título foi de $ 750,00, adotando-se uma taxa de 30% a.a. Quanto tempo faltaria para o vencimento do título, se seu valor nominal fosse de $ 20.000,00? 6) João aplicou seu capital a uma taxa de juros de 2,5% ao mês por um período de 10 meses. Passados 150 dias precisou de dinheiro e propôs ao banco uma operação de desconto do título representativo de seu crédito, a qual foi efetuada sob uma taxa de desconto bancário de 4% ao mês. Sabendo que o valor líquido que recebeu foi de R$ 8.000,00 determine o valor do capital que havia sido inicialmente aplicado?
7) O portador de um título resolveu descontá-lo quatro meses antes do vencimento com desconto comercial de 13% ao mês e aplicar o valor apurado a 18% ao mês de juros simples pelo mesmo período. Fez um bom negócio ou teria sido melhor esperar o vencimento do título? Justifique?
8) Efetuada a operação de desconto comercial de um título a taxa de 4% ao mês o valor atual reduziu-se a 88% do valor nominal do título. Qual o prazo de antecipação?
9) Um cliente apresentou ao banco dois títulos para desconto, com prazos de antecipação de 60 e 45 dias. A operação de desconto comercial foi realizada a uma taxa de 48% ao ano e apurado um total de desconto de R$ 1.940,00, o valor líquido creditado ao cliente foi de R$ 25.060,00. Qual o valor nominal de cada um dos títulos? 10) Uma empresa tem como norma descontar títulos de maneira que receba de cada um deles pelo menos 85% de seu valor nominal. Qual o prazo máximo de antecipação dos descontos que a empresa deve escolher de modo a atender esta solicitação, considerando a taxa de mercado de 5,4% a.m.?
11) Dois títulos de R$ 6.500,00 e R$ 7.260,00 têm o mesmo valor atual, se neles aplicarmos a taxas de desconto comercial simples de 6% e 7% ao mês, respectivamente. Determine o prazo de vencimento destes títulos.
Respostas:
1) R$ 10.000,00 2) 19,50% a.m. 3) 8 meses 4) R$ 430,00 e R$ 9.570,00
5) 45 dias 6) R$ 8.000,00 7) Não 8) 3 meses 9) R$ 16.000,00 e
R$ 11.000,00 10) 83 dias 11) 6 meses e 12 dias
DESCONTO RACIONAL
É o desconto calculado sobre o valor atual do título. Na prática, o valor atual do título é sempre uma incógnita, sendo normalmente conhecido o seu valor nominal, prazo e a taxa de desconto. Dessa forma, precisamos obter uma fórmula que dê o valor do desconto em função das variáveis conhecidas.
Consideremos que faltam n períodos de tempo para o vencimento do título de valor nominal N e que a instituição financeira que vai descontá-lo se utiliza da taxa i de desconto racional e que o valor atual é Ar na data do desconto, tem-se:
dr=Ar.i.n, mas Ar = -N dr Þ dr=( N-dr ).i.n dr N .i.n 1 i.n = + ou dc dr 1 i.n = +
Sendo este o desconto racional, podemos determinar o valor atual Ar da seguinte forma: Ar= -N dr e dr N .i.n 1 i.n = + , Þ N Ar 1 i.n = +
Como se pode observar, a operação de desconto racional simples pode ser considerada como a expressão inversa da capitalização simples. Assim, podemos dizer que o Valor Futuro de uma dívida (FV) é igual ao Valor Nominal (N) do título que a representa. O Valor Presente de uma dívida é igual ao Valor
Atual AR do título que a representa.
Nessa situação, ao investir certo capital em um título que vai proporcionar juros a taxa i, durante um certo número de períodos n, e se o título for descontado racionalmente n períodos antes do vencimento a taxa i, seu portador vai receber como valor atual, exatamente o mesmo capital aplicado. Por esta razão, são comuns as expressões, descontar com taxa de desconto e descontar com taxas de juros para representar as operações de desconto comercial e desconto racional respectivamente.
Exemplo 01: Determine o valor do desconto racional de uma nota promissória de R$ 18.000,00 para
daqui a três meses, à taxa de 6,74% a.m. Qual o seu valor atual?
Exemplo 02: Um título foi descontado racionalmente à taxa de 56% a.a., 3 meses antes do vencimento
resultando num desconto de R$ 4.000,00. Determine o valor do desconto comercial e o valor do título
Exemplo 03: Um título de R$ 22.000,00 foi resgatado sessenta dias antes do vencimento com taxa de
6,4% a.m. de desconto racional. a) Qual o valor do desconto?
b) Qual o valor recebido pelo portador do título?
1) Qual é o prazo de antecipação do resgate de um título tal que o desconto racional seja igual a 3/4 do desconto comercial, considerando-se uma taxa de juros de 40% a.a. em ambos os descontos?
2) O valor atual racional de um título é igual a 1/2 do seu valor nominal. Calcule a taxa de desconto se o título foi antecipado de 5 meses?
3) Utilizando o desconto racional, qual o valor que devo pagar por um título com vencimento daqui há 6 meses, se o valor nominal for de R$ 29.500,00 e se eu desejo ganhar 36% a.a.?
4) A diferença entre os descontos comercial e racional de um título é de R$ 56,25. Pede-se o valor nominal do título sabendo-se que foi apresentado a descontos 45 dias antes do vencimento, à taxa de 2,5% ao mês.
5) Ao se fazer um desconto comercial de um título o valor do desconto calculado foi de 25% do valor do título. Se o desconto fosse racional que porcentagem o valor do desconto seria em relação ao valor nominal do título?
6) Jorge emprestou determinada quantia a seu amigo Marcos pelo prazo de 150 dias, a juros simples de 2,5% ao mês, e recebeu uma nota promissória representativa da dívida. Três meses depois Marcos propôs a Jorge a quitação antecipada da dívida, naquele momento, mediante uma operação de desconto racional simples do título à taxa de 2,5% ao mês. Jorge aceitou e recebeu, para liquidar a dívida, o valor de R$
1392,86. Determine o valor originalmente
emprestado?
7) Uma empresa é devedora de dois títulos de R$ 5.000,00 cada, vencível em 20 e 40 dias, respectivamente. Sabendo que não terá condições de saldar o primeiro título em tempo hábil a empresa propõe a substituição de uma única nota promissória com vencimento para 40 dias. Considerando que a taxa de juros simples usada é de 4% ao mês, qual o valor dessa nota promissória? 8)(BB-DF) Uma empresa desconta em um banco um título com vencimento daqui a 4 meses, recebendo no ato o valor de R$ 19.800,00. Sabe-se que a operação utilizada foi desconto comercial simples. Caso tivesse sido a operação de desconto racional simples, com a mesma taxa de desconto anterior, o valor que a empresasa receberia seria de R$ 20.000,00. Qual o valor nominal desse título? 9)(TER-PB) Uma duplicata é descontada 4 meses antes do vencimento através de uma operação de desconto comercial simples a uma taxa de 2% ao mês. O valor do desconto foi igual a R$ 2.640,00. Se esta duplicata tivesse sido descontada através de uma operação de desconto racional simples, a uma taxa de 2,5% ao mês, qual seria o valor do desconto?
10)(CEF) Um determinado banco realiza operações de desconto utilizando a taxa de desconto simples de 2,8% a.m..
Qual a Taxa efetiva mensal cobrada numa operação com prazo de 45 dias?
11)(CVM) Determinado título é descontado 6 meses antes de seu vencimento à taxa de desconto comercial simples de 6% ao mês. Qual a taxa efetiva semestral correspondente a essa operação?
12) Uma empresa desconta em um banco dois títulos, na data de hoje, recebendo um total de R$ 13.110,00. Sabe-se que o primeiro desses descontos foi descontado 3 meses antes de seu vencimento e o segundo, 6 meses antes. A taxa de desconto comercial simples utilizada pelo banco foi de 36% ao ano e o valor do desconto correspondente ao primeiro título, foi de R$ 810,00. Qual o valor nominal do primeiro título? 13)(ARCE) Duas duplicatas foram descontadas a uma mesma taxa mensal com desconto comercial simples. A primeira, de valor nominal igual a R$ 20.000,00, foi descontada 2 meses antes de seu vencimento, apresentando um valor atual de R$ 18.500,00. A segunda, de valor nominal igual a R$ 30.000,00, descontada 3 meses antes de seu vencimento, tem qual valor atual?
14)(MPU) A taxa trimestral de desconto por fora, a juros simples, que a empresa Insolvente Ltda realizou em uma operação de desconto de 80 dias, de um título de R$ 2.400,00, na qual a empresa obteve R$ 1.800,00, foi de:
15)(MPU) A empresa GiroLento S.A. descontou, na modalidade de desconto simples, uma duplicata de R$ 5.000,00 com vencimento em 15 dias, na sua emissão, a uma taxa de 3% a.m..
Qual o valor recebido pela empresa,
considerando que esta empresa não cobrou mais nenhuma despesa?
16) Um título no valor nominal de R4 25.000,00 foi descontado 40 dias antes do vencimento, segundo a operação de desconto comercial simples, a taxa de 3% ao mês. Qual o valor líquido recebido pela empresa considerando a convenção de ano comercial?
Respostas
1) 10 meses 2) 20% a.m. 3) R$ 25.000,00 4) R$ 41.500,00 5) 20%
6) R$ 1300,00 7) 10.133,33 8) R$ 22.000 9) R$ 3.000,00 10) 2,92% a.m.
11) 56,25% a.s. 12) 6.000,00 13) 26.625 14) 28,13% 15) R$ 4.925,00
CUSTO EFETIVO DE OPERAÇÕES DE DESCONTO
O artifício utilizado pelas instituições financeiras para uma operação de desconto é o mesmo que uma operação de empréstimo com desconto antecipado de juros. Assim, para uma mesma taxa de desconto “por fora”, quanto maior o prazo de desconto, maior o custo efetivo da operação.
Aqui também as taxas, impostos e artifícios de cálculo e cobrança fazem com que a operação tenha o seu custo maior do que aparenta.
Considerando todo custo efetivo de uma operação de desconto, definimos:
T = tarifa por título
Io = (IOF) calculada sobre o valor atual do título (Ac)
Ir = taxa de registro (taxa de abertura de crédito), % sobre o valor N
LR = Líquido recebido (Valor que realmente pode ser retirado)
A operação ocorre como se fosse feito um empréstimo de valor LR e pago um Valor N.
R e R N L i L n -= ×
Exemplo 01: Um banco faz uma operação de
desconto de um título à taxa de 7,4% a.m. cobrando 0,7% sobre o valor nominal do mesmo como taxa de registro. Determinar:
a) O valor líquido recebido por um título de R$ 1480,00 descontado 70 dias antes de vencer. b) A taxa efetiva da operação considerando ainda IOF de 0,0042% ao dia.
Exemplo 02: Um banco realiza o desconto de
um título à taxa de 9% a.m. de desconto simples cobrando ainda 0,8% do valor nominal como taxa de despesas administrativas.
a) Determine o valor realmente retirado por uma empresa que desconta um título de R$ 9.000,00, 30 dias antes de vencer, sabendo que o banco cobra uma tarifa por título de R$ 4,20 e IOF de 0,015% ao dia.
b) Qual a taxa efetiva de juros simples mensal paga pela empresa.
1) No financiamento de R$ 15.000,00 pelo prazo de 6 meses, o cliente recebeu o valor líquido de R$ 12.525. Se a taxa fixada foi de 27 % a.a., qual
será a taxa de serviço cobrada no desconto bancário?
LR
N n ie
A taxa efetiva de uma operação de desconto pode ser dada por
2) O portador de um titulo de R$ 2.600,00, precisando de R$ 1.500,00, resgatou-o 33 dias
antes do vencimento mediante desconto
comercial simples de 3,5% ao mês. Retirou o que necessitava e aplicou o restante, a juros simples, recebendo, 9 meses depois, um montante de R$ 1.224,88. A que taxa anual de juros foi realizada a aplicação?
3) Um banco descontou uma nota promissória de R$ 618000,00 um mês antes de vencer, para um cliente e depositou o valor correspondente em sua conta corrente. O extrato do conta recebido pelo cliente acusou um depósito do R$ 522000,00 e o banco cobra nestas operações 0,8% sobre a valor do titulo como despesas administrativas, Pede-se:
a) A taxa do desconto comercial cobrada pelo banco.
b) A taxa efetiva mensal da operação.
4) Um titulo deveria ser descontada
racionalmente, 75 dias antes do vencimento a uma taxa de 6% a.m.. No entanto, no momento de efetuar a operação foi, por engano, efetuado a desconto comercial, a mesma taxa. Isto acarretou um prejuízo de R$ 25,24 a pessoa que levou o titulo para desconto. Qual era a valor nominal do titulo?
5) Dois titulo de valores nominais R$ 25.400,00 e R5 77.000,00, com vencimento para 90 e 180 dias, respectivamente produziram o valor liquido do R$ 53.512,74, quando descontados e somados.
a) Se o desconto for comercial, qual a taxa mensal correspondente?
b) E se o desconto for o desconto racional? 6) Um banco utiliza a taxa mensal do desconto comercial de 29% a.m. e acrescenta 4% sabre o valor do titulo como taxa de registro. Qual a taxa efetiva mensal de juros para uma operação a 1 mês?
7) O valor atual de um título e igual a 50% do seu valor nominal. Calcular a taxa de desconto, sabendo-se que o pagamento desse título foi antecipado 5 meses.
8) Quanto se deve aplicar a 12% a.m. para que se obtenham os mesmos juros simples que as produzidos por R$ 10.000,00 emprestados a 15% a.m., durante o mesmo período?
9) Calcular a taxa que foi aplicado a um capital de R$ 4.000,00, durante 3 anos, sabendo-se que um capital do R$ 10.000,00 foi aplicado durante o mesmo tempo, a juros simples de 5% a.a renderia mais R$ 600,00 que o primeiro.
10) Uma geladeira é vendida por R$ 600,00 a vista ou com uma entrada de 22% e mais um pagamento de R$ 542,88 após 32 dias. Qual a taxa do juros mensal envolvida na operação? 11) Uma pessoa toma emprestado em um banco que esta cobrando uma taxa de desconto comercial simples de 10% ao mês (também chamada de taxa de juro adiantado). Determine a quantia recebida par essa pessoa, sabendo que assinou uma nota promissória de R$ 50.000,00 para 90 dias. Qual a taxa de juros simples dessa operação?
12) Um taxista obteve financiamento para adquirir seu veiculo, devendo paga-lo em 18 prestações mensais e consecutivas, de R$ 1.140,00. No dia do vencimento da décima prestação, após ter pago esta, o financiado propõe a financeira a quitação nesta data, das oito prestações restantes. Sabendo-se que a financeira concedeu desconto “por fora” de 1,1% a.m. para pagamentos antecipados, calcule a valor total pago pela quitação das oito prestações restantes.
13) Determinada empresa descontou uma duplicata de R$ 10.600,00, vencível 40 dias, a uma taxa de desconto bancário de 3% a.m. Incidiu IOF na operação com alíquota de 0,0041% ao dia e a empresa não pagou tarifa ao banco, mas, coma reciprocidade, deixou 10% do valor líquido em conta corrente não remunerada, a título do saldo médio, durante o prazo de antecipação do titulo. Calcule o valor liquido recebido e a taxa mensal efetivamente paga pela empresa.
Respostas:
1) 3% 2) 30% a.a. 3a) 14,73% a.m.; 3b) 18,39% a.m 4) R$1290,07
5a) 9,08% a.m; 5b) 18,00% a.m 6) 49,25% 7) 10%a.m 8) R$ 12.500,00
9) 7,5% a.a. 10) 15% a.m. 11) R$ 35.000,00 e 14,29 % a.m. 12) R$ 8.668,56
No regime de juros compostos os juros produzidos a cada período financeiro passam a compor o capital para cálculo dos juros no período seguinte, alterando assim a base de cálculo. No regime de juros simples a base de cálculo não se altera, é sempre o valor presente.
Os juros compostos são de relevante importância, pois a capitalização composta é a que melhor representa a realidade. Compras a prazo, Caderneta de Poupança, financiamentos, entre outros são exemplos de operações que acontecem mediante capitalização composta.
Um valor está submetido à capitalização composta, quando o juro de cada período financeiro é calculado sobre o montante relativo ao período anterior. Esse sistema também é conhecido como regime de juros capitalizados, pois os juros produzidos em cada mês passam a constituir, juntamente com o capital anterior, o novo capital.
1º Período Fv = Pv(1 + i)
2º Período Fv = Pv( + i)(1 + i) = Pv(1 + i)2
3º Período Fv = Pv(1 + i)2 (1 + i) = Pv(1 + i)3
: : : : : :
nº Período Fv = Pv(1 + i)n
Para a determinação do prazo n a partir da
equação Fv=Pv( 1 i )+ n, obtemos:
Já a determinação da taxa i é dada por:
EXEMPLO 1: Uma pessoa toma emprestado a
juros de 6% a.m. R$ 16.450,00 pelo prazo de 8 meses. Qual o montante a ser devolvido? Qual o juro pago neste caso?
EXEMPLO 2: Qual o capital que aplicado a
3,2% a.m., durante 6 meses, rende juros compostos de R$ 6.563,00?
Fv = Pv + J
Fv = Pv(1 + i)
n ln( Fv / Pv ) n ln( 1 i ) = + 1 / n Fv i 1 Pv æ ö =ç ÷ -è ø Pv 1 n Juros Simples Juros Compostos(
)
é
ù
=
ë
+
n-
û
J
Pv
1 i
1
EXEMPLO 3: Um investidor aplicou R$
319.985,00 em títulos que lhe proporcionarão um resgate de R$ 337.004,00 após 90 dias de aplicação. A que taxa mensal de juros compostos está aplicado seu capital?
EXEMPLO 4: Qual o tempo necessário para
que um capital qualquer aumente 75% do seu valor, a uma taxa mensal composta de 3,20% a.m.?
1) Um capital de R$ 560.000,00 ficou aplicado durante um ano e três meses à taxa de 15% a.m. de juros compostos. Qual o montante final? 2) Qual o capital que em dois anos produz R$ 1.906,00 de juros compostos a 2,5% a.m.?
3) A que taxa mensal deve ser colocado um capital de R$ 480.000,00 para que renda juros compostos de R$ 573.586,85 em 6 meses?
4) Em quanto tempo um capital dobra se for colocado à taxa de 10% a.m.
a) em regime de juro compostos? b) em regime de juros simples?
5) Calcule juros e montante correspondentes a um capital de R$ 100.000,00, empregado no regime de juros compostos, durante um ano a cada uma das seguintes taxas:
a) 24% a.a. b) 12% a.s.
c) 6% a.t. d) 2% a.m.
6) Numa aplicação a juros compostos o valor dos juros é equivalente a 20% do valor do capital empregado. Qual seria este percentual se a aplicação fosse realizada pelo dobro do tempo? 7) Apliquei R$ 600,00 a juros compostos de 6% a.m. durante 5 meses. Qual o valor dos juros que me serão pagos.
8)Determinado capital foi aplicado a juros compostos por 5 meses a taxa de 4% a.m. gerando um montante de R$ 3.100,00. Qual seria o montante se a aplicação fosse efetuada por 8 meses? E se fosse por 3 meses?
9) O capital de R$ 1.600,00 foi aplicado a juros compostos por 2 meses, transformando-se num montante de R$ 1.762,29. A taxa do segundo mês foi 20% maior que no primeiro mês. Qual o valor da taxa de juros de 1º mês?
10) Para uma aplicação pelo prazo de três anos o que é mais vantajoso receber: juros simples de 5%, ou juros compostos de 3% ao mês?
11) Um capital aplicado durante 6 anos a taxa de juros compostos de 15% a.a. transformou-se em R$ 14.00,00. Qual foi o capital inicialmente aplicado? 12) A que taxa de juros compostos um capital de R$ 13.200,00 transformou-se em 35.112,26 se o período de aplicação for 7 meses?
13) Durante quanto tempo deve ficar aplicado o capital de R$ 35.000,00, à taxa composta de 10% a.m. para que o mesmo produza de juros R$ 11.585,00?
14) Em 1992, um capital de R$ 50.000,00 foi aplicado a taxa de juros composta de 23% a.m e se elevou para Cr$ 75.645,00. Por quantos meses esteve aplicado?
15) Um agiota emprestou a uma pessoa a quantia de R$ 100.000,00 pelo prazo de 15 dias exigindo por este empréstimo o pagamento de R$ 55.796,70 de juros. Que taxa de juros compostos o agiota esta cobrando?
16) O preço de um objeto é de R$ 1.300,00, podendo esse valor ser pago daqui a três meses. Na compra deste objeto, a vista, dá-se um desconto de 15%. Qual a taxa de juro composto envolvida nessa operação?
17) Em 1992, depositei Cr$ 300.000,00 a juro composto e recebi, após 4 meses, Cr$ 856.830,00. Por quanto tempo deveria aplicar esse capital, a mesma taxa, para obter Cr$ 1.882.455,51?
18)(ANS) Um capital no valor de R$ 8.000,00 foi aplicado a uma taxa de juros simples durante 25 meses e apresentou, no final do período, um montante igual ao produzido por um capital no valor de R$ 10.000,00 aplicado a uma taxa de
juros compostos de 10% ao semestre, durante um ano e meio. Qual é a taxa anual de juros simples da primeira aplicação?
19)(CEF) Um capital de R$ 500,00 foi aplicado a juros simples por 3 meses, à taxa de 4% ao mês. O montante obtido nessa aplicação foi aplicado a juros compostos por dois meses a taxa de 5% a.m. Qual o montante obtido ao final da segunda aplicação?
20)(ICMS-SP) Uma pessoa aplica 40% de seu capital, na data de hoje, a uma taxa de juros simples de 30% ao ano durante 6 meses. Aplica o restante na mesma data, a taxa de juros compostos de 10% ao trimestre, durante um semestre. Sabendo-se que a soma dos montantes obtidos através destas duas operações é igual a R$ 65.230,00, qual o valor do capital inicial que esta pessoa possui
Respostas
1)R$ 4.556.754,51 2) R$ 2.356,79 3) 14% a.m. 4ª) 7 meses e 8 dias 4b) 10 meses
5ª)R$ 24.000,00 e R$ 124.000,00; 5b) R$ 25.440,00 e R$ 125.440,00 5c) R$ 26.247,70
e R$ 126247,70 5d) R$ 26.824,18 e 126.824,18 6) 44% 7) R$ 202,94
8) R$ 3.487,00; R$ 2866,12 9) 4,5% a.m. 10) 3% 11) R$ 6.052,62
12) 15% a.m. 13) 3 meses 14) 2 meses 15) 3% a.d. 16) 5,6% a.m. 17) 7 meses
18) 24,6% a.a. 19) 617,40 20) R$ 55.000
O regime de juros compostos, estudado até então, é caracterizado pela taxa de juros pré-fixada, onde a taxa não se altera durante todo o período de aplicação.
No mercado financeiro são comuns operações onde a taxa é conhecida após apurada a inflação do período e, muito dificilmente são iguais em todos os períodos da operação. São as taxas pós-fixadas.
Consideremos um capital PV, aplicado a juros compostos e às seguintes taxas: 1
i no primeiro período, i no segundo período, 2 i no terceiro período e 3 i no enésimo período. n
(
1)(
2)(
3) (
n)
FV =PV 1 i+ 1 i+ 1 i+ L 1 i+ Pv Fv i1 i2 i3 in n períodos 1 2 3A taxa total do período pode ser dada por: 1 1 FV i 1 PV æ ö =ç ÷ -è ø Þ
(
1)(
2)(
3) (
n)
PV 1 i 1 i 1 i 1 i i 1 PV + + + + = L - ÞPara determinarmos a taxa media, calculamos a média geométrica do rendimento desse período, ou seja:
EXEMPLO 1: Um capital de R$ 1000,00 foi aplicado por três meses consecutivos
às taxas mensais de 3,60%, 3,5% e 2,02%. Qual o valor a resgatar após o vencido o terceiro mês?
EXEMPLO 2: Um capital de R$ 10.000,00 foi aplicado por três meses. No primeiro, rendeu 3%, no
segundo 4% e, ao final do terceiro mês, o total de juros mais capital importava em R$ 11.200,00. A que taxa mensal de juros esteve aplicado no terceiro mês? Qual a taxa total desse período? Qual a taxa média mensal dessa aplicação?
EXEMPLO 3: Um produto teve seu preço reajustado mensalmente pelos seguintes índices: 7%, 5% e
10%. Determine o aumento acumulado no trimestre e o aumento médio mensal.
Dizemos que duas taxas são equivalentes se considerados o mesmo prazo de aplicação e o mesmo capital, for indiferente aplicar uma ou outra taxa. De outro modo, considerando-se o mesmo capital aplicado por um mesmo intervalo de tempo a cada uma das taxas, ambas produzirão um mesmo montante se forem equivalentes.
Seja Pv, um capital aplicado por um período n q´ , onde q é o número de vezes que o período
menos está contido no período maior, onde i é a taxa do período maior e iq a taxa do período menor.
(
)(
)(
) (
)
t 1 2 3 n i = +1 i 1 i+ 1 i+ L 1 i+ -1(
)
1 n m i = +1 i - 1...
Aplicando o capital Pv pelo período n à taxa i, obtemos Fv i( )=Pv(1+i)n.
Aplicando o mesmo capital Pv pelo período n q´ à taxa iq , obtemos Fv i( )q Pv(1 iq)n q
´
= + . Pela definição de taxas equivalentes, temos:
( ) ( )q
Fv i =Fv i ,
EXEMPLO 01: Qual a taxa equivalente anual,
nas seguintes hipóteses abaixo? a) 10% a.m.
b) 20% a.b. c) 30% a.t. d) 40% a.q.
EXEMPLO 02: Qual a taxa trimestral
equivalente a 30 % a.a. no regime de JC?
EXEMPLO 03: Em JC, qual a taxa anual
equivalente a 2% a.m.?
EXEMPLO 04: Determinada instituição financeira paga juros de 56,42% a.a.. Pede-se qual a taxa paga numa aplicação para 67 dias?
i = (1 + i
q)
q- 1
i
q= (1 + i)
1/q- 1
Fornece a taxa no período maior conhecida a do período menor Fornece a taxa no período menor conhecida a do período maior(1+i
d)
360= (1+i
m)
12= (1 + i
t)
4= (1 + i
s)
2= 1+ i
a Pv Fv i iq iq iq iq n períodos 1 2 3 1 q 1 q 1 q 1 q n´q (períodos)1) Qual a taxa mensal de juros compostos que faz com que o capital de R$ 100,00 produza, em um ano, o mesmo montante que produz com a taxa anual de 45%?
2) O Produto Nacional Bruto de um país cresceu 200% em 10 anos. Qual foi a taxa de crescimento anual?
3) Em quanto tempo dobra uma população que cresce a 2,82% a.a.?
4) determine as taxas equivalentes a 55% a.a. se os prazos respectivamente forem:
a) 6 meses b) 1 mês
5) Qual a taxa bimestral equivalente a uma inflação de 7,5% a.m.?
6) Qual a taxa anual acumulada equivalente a uma inflação de 7,5% a.m.?
7) No início do mês de setembro de 1986, empreguei uma quantia à taxa de 4% a.m., em regime de juros compostos. Depois de 5 meses, com a elevação da taxa para 12% a.m., o meu capital ficou ainda empregado por 3 meses a nova taxa, quando, então, retirei o montante de R$ 170930,97. Qual a quantia inicialmente aplicada? 8) Certo capital esteve empregado durante um ano, à juros compostos, da seguinte forma: nos
seis primeiros meses, a 4% a.m.; nos três meses seguintes, a 1,2% a.m. e nos últimos três meses a 2 % a.m.
a) A que taxa anual esteve empregado? b) Qual a taxa mensal equivalente?
9) Uma pessoa efetuou, no início de um trimestre, um investimento de R$ 100.000,00 em um fundo de investimento que pagou as seguintes taxas de juros: 4,5% no primeiro mês, 5,2% no segundo mês e 3,8% no terceiro mês. Determine:
a) O valor resgatado no final desse trimestre; b) A taxa total do investimento;
c) A taxa média mensal desse investimento; 10) Encontre a taxa mensal de juros compostos, equivalente a 9,2727% ao trimestre.
11) Uma pessoa aplicou R$ 15.600,00 e após 8 meses recebeu juros de R$ 8.000,00. Pede-se: a) Qual foi a taxa mensal de juros compostos paga pelo banco?
b) Qual a taxa anual que está sendo paga?
12) Certo capital esteve empregado durante um ano, a juros compostos da seguinte forma: nos seis primeiros meses a 10% a.m.; nos três meses seguintes a 15% a.m.; nos últimos três meses a 20% a.m.
a) A que taxa anual esteve empregado? b) Qual a taxa mensal equivalente?
Respostas:
1) 3,14%a.m. 2) 11,6123%a.a 3) 24,9 anos 4a) 24,50%a.s. 4b) 3,72%a.m.
5) 15,56%a.b. 6) 138,18%a.a. 7) R$ 100.000,00 8a) 39,17%a.a. 8b) 2,79%a.m.
9a) R$114.111,49 9b) 14,11% 9c) 4,5%a.m. 10) 3%a.m. 11) 5,31% ; 86,05
12a) 365,58%a.a. 12b) 13,68%a.m.
O que se estudou sobre taxa nominal e taxa efetiva no regime de juros simples, também vale para o sistema de juros compostos.
A cobrança de impostos, comissões e taxas faz com que as taxas nominal e efetiva sejam distintas. Artifícios como a cobrança de juros antecipados e outras formas de cálculo constituem-se em procedimentos amplamente utilizados no mercado financeiro e geralmente elevam a taxa paga pelo mutuário.
Uma prática comum das instituições financeiras é indicar a taxa de juros com capitalização de juros diferente do período a que se refere a taxa. Assim é comum falar-se de 12% ao ano, capitalizados
mensalmente ou 100% a.a, com capitalização trimestral. Tal maneira de expressar as taxas é de uso corrente no mercado financeiro e é responsável também por diferirem as taxas de juros nominal e efetiva.
EXEMPLO 01: A caderneta de poupança, além
da correção monetária, paga juros de 6% a.a. Como sabemos, a capitalização dos juros na caderneta de poupança é mensal. Portanto, temos a taxa de 6%a.a, capitalizados mensalmente. Pede-se:
a) Qual é a taxa nominal anual de juros paga pela Caderneta de poupança?
b) Qual a taxa efetiva mensal? c) Qual a taxa efetiva anual?
EXEMPLO 02: Uma pessoa tomou um
empréstimo de R$ 9800,00 para pagar após 3 meses com juros de 9% a.a. capitalizados
mensalmente. Na data da liberação do
empréstimo pagou uma taxa de serviço de 2% sobre o valor do empréstimo. Qual a taxa efetiva anual paga pelo tomador do empréstimo?
EXEMPLO 03: Uma pessoa aplicou R$
15600,00 e após 8 meses recebeu de juros R$ 8000,00 Pede-se:
a) Qual foi a taxa efetiva mensal de juros compostas paga pelo banco?
b) Qual a taxa anual que está sendo paga? c) Qual a taxa anual com capitalização mensal
referente à taxa encontrada?
EXEMPLO 04: Qual a taxa efetiva anual nas
seguintes hipóteses?
a) 24% a.a com capitalização mensal. b) 87% a.a, com capitalização anual. c) 36% a.a. com capitalização trimestral.
d) 67% a.a. com capitalização
quadrimestral.
Vimos no início de nossos estudos, que Juro é a remuneração do capital e que reajuste não é sinônimo de acréscimo. Nesse contexto, se faz necessário discutir as taxas nominais praticadas em operações financeiras, as quais são obtidas através de diferentes fatores que a compõe.
Entende-se por taxa aparente, a taxa total que é usada nas operações correntes no mercado financeiro. Também denominada de taxa nominal, é uma taxa acumulada, resultante de duas outras taxas, a taxa de inflação e a taxa de juros realmente paga como remuneração pelo capital, a qual se denomina de taxa real, ou seja:
EXEMPLO 01: Um produto recebeu os
seguintes reajustes mensais: 6%, 5%, 9% e 10%. Se nesse período, a taxa de inflação foi de 25%, qual foi o aumento real no preço do produto nesse período?
EXEMPLO 02: A taxa aparente de juros para
aplicações de um banco é de 2,1% ao mês. Se um cliente fez uma aplicação nesse banco durante um mês e se a inflação foi de 1,3% ao mês, qual a taxa real de remuneração recebida pelo cliente?
EXEMPLO 03: Uma secretária recebeu um
aumento salarial anual de 14%. Se a taxa média mensal de inflação no ano foi de 1%, qual foi o aumento real recebido por essa secretária?
EXEMPLO 04: Um investidor aplicou R$
5.000,00 durante 4 meses e recebeu R$ 550,00 de juros. Qual a taxa de juros real mensal ganha, se a inflação média mensal foi de 1,2%?
1) Dada a taxa nominal de 12% a.a. com capitalização mensal, determine:
a) A taxa efetiva mensal correspondente. b) A taxa efetiva anual correspondente.
2) Uma pessoa contraiu um empréstimo do R$ 200.000,00 taxa do 80% a.a com capitalização trimestral. Determine o Valor do montante a ser pago por um empréstimo por dois anos.
3) Certo capital esteve empregado durante um ano, a juros compostos, da seguinte forma: nos
seis primeiros meses a 10% a.m.; nos três meses seguintes a 15% a.m.; nos últimos três meses a 20% a.m.
a) A que taxa anual esteve empregado? b) Qual a taxa mensal equivalente?
4) Um banco concede empréstimos pessoais, cobrando juros compostos, a taxa de 20% a.s. com capitalização trimestral. Qual o montante a ser pago per um empréstimo de R$ 6.000,00 du-rante 9 meses?
