Estudo de troca de calor em calhas de resfriamento : uma aplicação na indústria de tubos e mangueiras plásticas

DRÁUSIO DE CASTRO

ESTUDO DE TROCA DE CALOR EM CALHAS DE

RESFRIAMENTO: UMA APLICAÇÃO NA INDÚSTRIA DE

TUBOS E MANGUEIRAS PLÁSTICAS

Campinas-SP 2016

ESTUDO DE TROCA DE CALOR EM CALHAS DE

RESFRIAMENTO: UMA APLICAÇÃO NA INDÚSTRIA DE

TUBOS E MANGUEIRAS PLÁSTICAS

Dissertação apresentada ao Instituto de Ma-temática, Estatística e Computação Cientí-ca da Universidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para a ob-tenção do título de mestre em Matemática Aplicada e Computacional.

Orientador: Prof. Dr. Marcelo Zoéga Maialle Este exemplar corresponde à versão nal da dissertação defendida pelo aluno DRÁUSIO DE CASTRO e orientada pelo Prof. Dr. MARCELO ZOÉGA MAIALLE.

Assinatura do orientador

Campinas-SP 2016

são os mediadores do processo ensino-aprendizagem contribuindo, de forma decisiva, para formação de uma sociedade mais consciente de seus direitos e deveres.

Agradeço a todos os coordenadores, professores, assistentes e colegas do IMECC -Instituto de Matemática, Estatística e Computação Cientíca da UNICAMP - Univer-sidade Estadual de Campinas que tanto contribuíram para meu crescimento acadêmico culminando com a apresentação deste trabalho de pesquisa cientíca. Em particular, meus sinceros agradecimentos ao meu orientador, Prof. Dr. Marcelo Zoéga Maialle, pe-las inúmeras contribuições a este trabalho bem como as proveitosas discussões para o entendimento dos conceitos e de suas aplicações às ciências naturais aqui abordados.

Um dos processos mais utilizados na fabricação de tubos e mangueiras plásticas é a extrusão. Trata-se de um processo de transformação da matéria prima plástica normal-mente fornecida em grânulos onde a mesma é aquecida, cisalhada e comprimida dentro de uma extrusora. O material se funde e passa por uma matriz que dá o formato dese-jado e, na sequência, atravessa um meio, usualmente água, visando baixar a temperatura do material extrudado solidicando-o no perl desejado. O comprimento desta calha de resfriamento é de, comumente, dezenas de metros dependendo da temperatura da água usada no resfriamento e da velocidade da linha de extrusão. A proposta deste estudo é desenvolver um modelo matemático capaz de descrever a temperatura em qualquer ponto de um perl cilíndrico em função do tempo, ou seja, ao longo do processo de resfriamento. Conhecida esta relação, podemos dimensionar o comprimento da calha de resfriamento de modo a otimizarmos os espaços industriais e, indiretamente, estaremos tratando a questão de redução de consumo de energia elétrica e de água.

One of the most used processes in the manufacture of plastic pipes and hoses is the extrusion. This consists in a polymer transformation in which the plastic raw material usually provided in pellets form is heated, compressed and sheared through an extruder barrel. The material melts and travels through a die which gives the desired format and then it is usually immersed in a water bath to cool down and solidify into the desired prole. The length of this cooling bath is commonly many meters depending on the water temperature and the cooling line speed. The scope of this study is to develop a mathematical model that is able to describe the temperature inside a cylindrical prole according to the cooling time. Based on this relationship, it is possible to scale the length of the cooling bath, therefore optimizing the production areas in the industry and, indirectly, we are addressing the issues of reducing water and power consumption.

1 Introdução 10 1.1 Justicativa . . . 11 1.2 Objetivos . . . 13 1.3 Organização do trabalho . . . 13 2 Pressupostos Teóricos 15 2.1 Transmissão de calor . . . 15

2.2 Equação de difusão de calor: Tubo cilíndrico . . . 18

2.3 Separação de variáveis . . . 20

2.4 Solução do problema radial . . . 22

2.5 Solução do problema temporal . . . 25

2.6 Solução completa . . . 26

2.7 Fluxograma . . . 29

2.8 Solução u(r, t) e suas aplicações . . . 31

3 Resultados e Discussões 33 4 Conclusões e Considerações Finais 43 Referências Bibliográcas 46 A Tabelas de Propriedades 47 B Equação de Bessel e Ortogonalidade 48 B.1 O problema de Sturm-Liouville . . . 48

B.2 A equação diferencial de Bessel . . . 48

B.3 Ortogonalidade das funções de Bessel . . . 51

B.4 Normalização das funções de Bessel . . . 52

B.5 Ortonormalização das funções de Bessel . . . 55

Capítulo 1

Introdução

Um dos processos mais utilizados na fabricação de tubos e mangueiras plásticas é a extrusão. Este processo de transformação consiste de algumas etapas bem distintas: a) a matéria-prima, comumente fornecida em grânulos, ingressa dentro do equipamento conhecido como extrusora por meio de um funil; b) os grânulos são transportados por meio de parafuso de Arquimedes, de acordo com Manrich (2013), denominado rosca de extrusão; c) como o barril da extrusora é termo controlado normalmente por resistências elétricas e ventiladores a ar, a matéria-prima plástica é aquecida, cisalhada e comprimida; d) como consequência, o material se funde dentro do cilindro da extrusora e passa por uma matriz responsável por dar o formato desejado e e) o perl plástico, atravessa um meio, usualmente água, visando baixar a temperatura do material extrudado solidicando-o no perl desejado.

A calha de resfriamento ocupa o maior espaço na instalação de uma linha de extrusão. Seu comprimento é, usualmente, de dezenas de metros dependendo da temperatura da água usada no resfriamento e da velocidade da linha que se deseja operar o equipamento. A Fig. 1.1 mostra, de forma esquemática, uma linha de extrusão desde a introdução de plástico na forma de grânulos, o processamento dentro do cilindro de extrusão, a passagem pela matriz de extrusão e o processo de resfriamento dentro da calha de extrusão.

Considerando todo o plástico produzido e utilizado todos os dias, é surpreendente a pouca quantidade de estudos do processo de resfriamento para extrusão contínua de pers plásticos. Na literatura há alguns artigos que lidam com o resfriamento de tubos plásticos. Schmalzer et al. (2012) investigaram o resfriamento utilizando a equação da energia, mas utilizando viscosidade zero, o que signica tratar a transmissão de calor segundo a lei de Fourier, Eq. (2.1) adiante. Eles usaram dois tipos de condições de contorno ao problema, primeiro com paredes isotérmicas, ou seja, com temperaturas denidas, e depois com a parede externa resfriada por convecção. A lei de Fourier foi resolvida em uma dimensão modelando o tubo como se fosse uma placa plana e depois foi utilizado um fator geométrico para transformar a placa num tubo. Este artifício simplica a solução, mas é aproximativo. No entanto, o modelo foi capaz de incluir os efeitos da interface

Fonte: http://www.textoscienticos.com/polimeros/moldeado Figura 1.1: Esquema de uma linha de extrusão.

sólido-líquido e os resultados analíticos foram confrontados com uma resolução numérica através do método de diferenças nitas. Há também trabalhos que se detém no estudo da cristalização, como aquele de Hansen e Wu (1991). Uma outra preocupação é a não uniformidade do tubo gerada pelo efeito da gravidade durante o resfriamento. Neste caso a consideração dos efeitos de viscosidade são importantes, como demonstra o trabalho de Pittman et al. (1994).

Possivelmente a maioria dos fabricantes utilizam-se ainda de métodos empíricos com o objetivo de encontrar-se condições de resfriamento - notavelmente temperatura da água e velocidade da linha de extrusão - visando evitar deformações permanentes do produto nal. Sem um modelo capaz de descrever este fenômeno de resfriamento, fatores de segurança são considerados de forma acumulativa acrescendo desnecessários investimentos dado que, fatalmente, obter-se-ão calhas de resfriamento superdimensionadas ocupando maiores espaços industriais, consumo de água e de energia elétrica.

1.1 Justicativa

O processo de resfriamento tem por objetivo reduzir a temperatura do polímero que se encontra fundido ao deixar a matriz de extrusão. O perl plástico deve ser resfriado até atingir uma temperatura, ao nal da calha resfriamento, que garanta seu manuseio sem causar deformações permanentes no produto nal. Em um primeiro momento, os fabricantes desejariam que o tempo de resfriamento fosse o menor possível, entretanto, isto implicaria em um gasto de energia elevado para se manter a temperatura de resfriamento baixa. Desta forma, se faz necessário analisar os custos de sistema de refrigeração de modo a não inviabilizar os custos de produção.

Nos primórdios da extrusão plástica, conforme Sipe (2012) e Rauwendaal (2014), o resfriamento era feito com o uso de sopro de ar sobre o perl plástico. Mais tarde, a imersão em água em um banho estático passou a ser utilizado e, logo em seguida, água

em movimento visando aumentar o coeciente de transferência de calor com correspon-dente diminuição do tempo de resfriamento. Na década de 90, as taxas de resfriamento foram novamente aumentadas com o uso de bicos de aspersão de água de alta velocidade para obter-se uma convecção forçada no resfriamento do perl. Segundo Sipe (2012), a convecção forçada tornou-se o estado da arte uma vez que a energia requerida para mover a água por aspersão é signicantemente menor que aquela requerida para mover a água de tanque inteiro.

Conforme Lienhard IV (2008), as principais propriedades do material que afetam o tempo de resfriamento são a densidade ρ, a condutividade térmica κ e o calor especíco c. Materiais mais densos são mais propensos a terem um resfriamento mais lento. A condutividade térmica dene quão rápido o calor pode se mover através do polímero dada uma diferença de temperatura dentro do mesmo. A condutividade térmica é normalmente baixa para plásticos, ou seja, os polímeros são bons isolantes térmicos. O calor especíco é a quantidade de energia necessária para mudar a temperatura de uma determinada massa do polímero sendo, geralmente, expresso em unidades de calor (energia) por unidade de massa por unidade de temperatura.

Relacionam-se estas três propriedades através de uma outra propriedade denominada difusividade térmica do material, conforme a equação:

α = κ

ρc. (1.1)

A difusividade térmica α, cuja unidade no S.I. é m2_{/s, é uma propriedade especíca}

do material para caracterizá-lo quanto à condução de calor. Este valor descreve quão rapidamente um corpo se ajusta às mudanças de temperatura. Conforme Porte (2007), quanto maior o valor de α, mais rapidamente o calor irá se difundir através do material. Materiais de baixa difusividade retardam a transferência de calor frente a variações ex-ternas de temperatura. A m de prever os processos de resfriamento ou para simular os campos de temperatura, a difusividade térmica deve ser conhecida.

Adicionalmente, o tempo requerido para resfriamento é fortemente inuenciado pelas dimensões do perl, espessuras de parede e massa do perl. Outros dados também são relevantes tais como temperatura do material na saída da matriz de extrusão, temperatura da água de resfriamento, coeciente de transferência de calor do uido refrigerante e temperatura crítica de resfriamento que é a temperatura máxima do perl para evitar deformações permanentes após o resfriamento.

Frente a este cenário, parece ser relevante estudarmos e desenvolvermos uma modela-gem para tratar a questão de resfriamento de pers plásticos dentro da calha de resfria-mento onde o perl permanece submerso em um meio refrigerante, geralmente água.

1.2 Objetivos

A proposta deste trabalho é a de desenvolver um modelo matemático que seja capaz de descrever a temperatura em qualquer ponto dentro do perl em função do tempo, ou seja, no decorrer do processo de resfriamento. Uma vez encontrada esta solução, podemos calcular o tempo necessário para atingir-se a temperatura limite de resfriamento. Final-mente, junto com a velocidade de extrusão da linha, poderemos calcular o comprimento da calha de resfriamento de modo a otimizarmos os espaços industriais. Indiretamente estaríamos também tratando a questão de redução de consumo de água e de energia elé-trica. Apesar de existir uma innidade de formatos, limitamos nosso estudo à modelagem de um perl com formato cilíndrico, geometria esta extremamente comum na indústria de tubos e mangueiras plásticas.

Quanto aos objetivos especícos, pretende-se:

ˆ Desenvolver um modelo semi-analítico para obter-se a resolução da equação de di-fusão de calor para uma modelagem de um perl cilíndrico;

ˆ Utilizar tal modelagem para otimizar as condições de processamento do perl; ˆ Desenvolver um programa de computador no software Mathematica da Wolfram

Research, Inc. visando mecanizar os cálculos da modelagem semi-analítica, ou seja, parte dos cálculos é resolvida por métodos numéricos e outra parte é resolvida por resolução direta;

ˆ Desenvolver um modelo simplicado possibilitando o uso de computadores com ca-pacidade de processamento moderada.

1.3 Organização do trabalho

O presente trabalho está organizado em três partes. A 1ª parte é destinada à apre-sentação dos pressupostos teóricos através dos quais construímos toda fundamentação para a modelagem do resfriamento de um cilindro oco imerso em um uido refrigerante. Nesta situação, vamos abordar duas formas de transmissão de calor: a condução que ocorre dentro do cilindro e a convecção que ocorre na parede externa do cilindro. Va-mos simplicar nosso modelo admitindo que não existe troca de calor na parede interna do cilindro, fato este bastante razoável dado que o ar presente no interior do tubo tem baixo coeciente de transferência de calor. Conhecer as condições nas paredes interna e externa são fundamentais para estabelecermos as condições de contorno do problema. Na 2ª parte são apresentados os resultados e discussões utilizando-se um perl muito familiar a todos: uma mangueira plástica de jardim de 1

2

00

. Determinamos a equação da superfície da temperatura dentro do perl em função do raio do cilindro e do tempo e

estudamos como otimizar o processo de fabricação atuando nos parâmetros velocidade de linha, comprimento da calha e temperatura da água de resfriamento. Também estudamos como outros parâmetros afetam o tempo de resfriamento tais como, diferentes coecientes de transferência de calor, difusividades térmicas dos materiais, espessuras de parede do perl plástico e dimensões internas e externas do cilindro. Na 3ª parte, apresentam-se as conclusões e considerações nais.

Capítulo 2

Pressupostos Teóricos

O fenômeno da condução de calor através de um cilindro pode ser analisado mate-maticamente por meio do uso de equações diferenciais parciais. Utilizando argumentos físicos pode-se mostrar como é realizada a formulação da equação do calor em um cilindro, geometria foco deste trabalho.

Neste estudo, temos duas formas de transmissão de calor: condução e convecção. A condução de calor ocorre dentro do próprio meio plástico ao passo que a convecção ocorre entre a superfície externa do cilindro e o meio refrigerante. A equação de transmissão de calor por condução, também denominada equação de difusão de calor, será apresentada inicialmente em coordenadas cartesianas e posteriormente em coordenadas cilíndricas por serem estas mais adequadas à modelagem em questão.

2.1 Transmissão de calor

Conforme Lienhard IV (2008), a lei da condução térmica, também conhecida como lei de Fourier na forma unidimensional, estabelece que o uxo de calor, q (W/m2_{), através de}

um material é proporcional ao gradiente de temperatura du

dx. Se chamarmos esta constante

de proporcionalidade de κ, então

q = −κdu

dx, (2.1)

sendo que o sinal negativo decorre do fato que o uxo de calor é positivo (q > 0) e sempre ocorre da temperatura maior para a menor, ou seja, quando du

dx < 0. A constante κ é

chamada de condutividade térmica cuja unidade no S.I. é W/m K.

Considerando agora a lei de Fourier em três dimensões, seja um volume de controle em um campo de uxo de calor conforme Fig. 2.1. O volume de controle é uma região nita de um corpo condutor de superfície S e volume R, ambos parados. Em um elemento da superfície, dS, temos representados dois vetores: um é o vetor normal unitário −→n e outro que é o uxo de calor , −→q = −κ−→∇u. Observem que −→q = −κ−→∇u é o uxo de calor em três dimensões e −→∇ é o operador−→∇ = (∂

∂x

− →

Figura 2.1: Volume de controle.

Vamos também imaginar que um elemento volumétrico produza e libere calor igual a ˙

q(~r) (W/m3_{)no interior de R. Este calor gerado pode ser oriundo de uma reação química}

ou nuclear, de um aquecimento de uma resistência elétrica, de uma radiação externa sendo absorvida dentro da região, ou outras causas.

Considerando a Fig. 2.1, a taxa de calor conduzido fora de dS, em watts, é dado pelo uxo calculado pelo produto interno (−κ−→∇u).(−→n dS).

O calor gerado ou recebido dentro da região R deve ser adicionado ao total do uxo de calor através de S para obtermos a taxa total de adição de calor, Q, em R. Então

Q = − Z S (−κ−→∇u).(−→n dS) + Z R ˙ qdR. (2.2)

Por outro lado, da 1ª lei da termodinâmica, para uma substância incompressível, temos que

Q = dU

dt , (2.3)

onde U é a energia térmica interna e dU

dt é a taxa de variação de energia térmica interna

U no tempo t.

Admitindo que não haja mudança de fase, a variação da energia térmica dU é dada por dU = ρdR c ∂u sendo ρdR a massa do volume dR, c é chamado de calor sensível e ∂u é a variação de temperatura. Não levamos em consideração o calor latente de solidicação nem a variação na condutividade térmica e densidade das fases líquidas e sólidas. Fizemos isto pois o plástico tem pequena variação nessas propriedades e pequeno calor latente. Isto é uma aproximação que possibilita a resolução analítica do problema de forma simples, o que é o nosso objetivo. Assim, a taxa de aumento de energia dU

dt da região R é dU dt = Z R (ρc∂u ∂t)dR, (2.4)

onde a derivada de u é parcial porque u (temperatura) é função de ~r e t. Substituindo as Eq. (2.2) e Eq. (2.4) na Eq. (2.3) temos

− Z S (−κ−→∇u).(−→n dS) + Z R ˙ qdR = Z R (ρc∂u ∂t)dR.

Rearranjando os termos, temos que Z S (κ−→∇u).(−→n dS) = Z R (ρc∂u ∂t − ˙q)dR. (2.5)

Vamos utilizar o teorema de Gauss para convertermos a integral de superfície em uma integral de volume. O teorema de Gauss (Stewart, 2006) diz que se ~A é uma função contínua de posição então

Z S − → A .(−→n dS) = Z R − → ∇.−→A dR (2.6)

e, se identicarmos −→A como (κ−→∇u), podemos reescrever a Eq. (2.6) como Z S (κ−→∇u).(−→n dS) = Z R − → ∇.(κ−→∇u)dR. (2.7)

Disto, substituindo a Eq. (2.7) na Eq. (2.5) obtemos Z R − → ∇.(κ−→∇u)dR = Z R (ρc∂u ∂t − ˙q)dR que, reordenando, resulta

Z R −→ ∇.(κ−→∇u) − (ρc∂u ∂t − ˙q)  dR = 0. (2.8)

A integral da Eq. (2.8) é zero para quaisquer extremos de integração somente se o termo entre colchetes for zero. Assim −→∇.(κ−→∇u) − (ρc∂u

∂t − ˙q) = 0ou

− →

∇.(κ−→∇u) + ˙q = ρc∂u

∂t, (2.9)

que é a equação de difusão de calor tridimensional supondo-se que o meio é incompressível, fato este verossímil para líquidos e sólidos.

Considerando que κ varie muito pouco em relação à temperatura u, então−→∇.(κ−→_{∇u) ≈} κ∇2_u que, junto com a difusividade α denida pela Eq. (1.1), substituímos na Eq. (2.9)

resultando ∇2u + ˙q κ = 1 α ∂u ∂t. (2.10)

O termo ∇2_{u ≡} −→_∇.−→_∇u é o laplaciano da função u = u(x, y, z), que em coordenadas

cartesianas é calculado como

∇2_{u =}−→_∇.−→_{∇u = (} ∂ ∂x − → i + ∂ ∂y − → j + ∂ ∂z − → k ).(∂u ∂x − → i + ∂u ∂y − → j + ∂u ∂z − → k ), ou seja, ∇2u = ∂ 2_u ∂x2 + ∂2u ∂y2 + ∂2u ∂z2. (2.11)

O laplaciano para o sistema de coordenadas cilíndricas (r, φ, z), conforme Lienhard IV (2008) é ∇2_{u =} 1 r ∂ ∂r(r ∂u ∂r) + 1 r2 ∂2_u ∂φ2 + ∂2_u ∂z2. (2.12)

Portanto, a equação de difusão de calor utilizando-se o sistema de coordenadas cilín-dricas é obtida substituindo o laplaciano da Eq. (2.12) na Eq. (2.10) resultando que

1 r ∂ ∂r(r ∂u ∂r) + 1 r2 ∂2u ∂φ2 + ∂2u ∂z2 + ˙q κ = 1 α ∂u ∂t. (2.13)

2.2 Equação de difusão de calor: Tubo cilíndrico

Considere uma seção transversal de um tubo cilíndrico de raios interno a e externo b. Para esta geometria, o sistema de coordenadas cilíndricas é o mais recomendável. Estamos admitindo que a dependência da temperatura em função de sua posição axial z e angular φ (por conta da simetria cilíndrica) são desprezíveis. Desprezamos variações em z pois o resfriamento ao longo da calha é lento, logo as variações em z são pequenas comparadas com as variações em r. Desta forma temos que ∂2_u

∂z2 = 0 e

∂2_u

∂φ2 = 0. Admitimos também

que não há geração de calor interno dentro do tubo, ou seja, ˙q = 0. Assim, a Eq. (2.13) ca reduzida a 1 r ∂ ∂r(r ∂u ∂r) = 1 α ∂u ∂t. (2.14)

Vemos que a temperatura deve ser função da distância radial r e do tempo t, ou seja, u = u(r, t). Obtemos então uma equação diferencial parcial para a qual buscamos a resolução pelo método de separação de variáveis descrito na Seção 2.3. Para o uso desta técnica de resolução, temos que avaliar se a equação diferencial e respectivas condições de contorno são homogêneas.

A Eq. (2.14) é claramente homogênea (Figueiredo, 2002) mas vejamos as condições de contorno. Na parede interna do tubo, em r = a, podemos admitir que não há uxo de

calor (condição adiabática) uma vez que no interior do tubo há ar, que é um bom isolante térmico. Ou seja, da Eq. (2.1), q = −κ∂u

∂r, então

∂u

∂r = 0, em r = a, (2.15)

sendo que esta Eq. (2.15) também é homogênea.

Já na parede externa, em r = b, temos convecção junto à água que resfria o tubo. A lei da convecção térmica (Lienhard, 2008) também conhecida como lei de Newton, estabelece que o uxo de calor, qconvec¸c˜ao (W/m2), é proporcional à diferença de temperatura entre

o corpo u e a temperatura do uido u∞ bastante distante do corpo. Temos então que

qconvec¸c˜ao = h(u − u∞), (2.16)

sendo a constante h denominada coeciente de transferência de calor, cuja unidade no S.I. é W/m2_{K. Vamos admitir que h seja constante e independa da diferença de temperatura}

(u − u∞). Há valores de h estimados para diferentes interfaces de materiais, por exemplo,

como mostrado na Tabela A.1 do Apêndice A.

A condição de contorno na parede externa, em r = b, deve ser expressa como um balanço de energia neste ponto, ou seja, o uxo de calor por condução é igual ao uxo de calor por convecção. Conforme explanado no início desta Seção, o uxo de calor por condução qcondu¸c˜ao é calculado pela lei de Fourier, portanto

qcondu¸c˜ao= −κ

∂u

∂r. (2.17)

Desta forma, igualando a Eq. (2.16) e a Eq. (2.17), temos que

∂u ∂r = −

h

κ(u − u∞), em r = b. (2.18)

Esta Eq. (2.18) é não homogênea, devido à presença de u∞.

Temos também a condição inicial que nos dá uma temperatura uniforme para todo o perl, ou seja,

u(r, 0) = u0, em t = 0 com a ≤ r ≤ b, (2.19)

onde u0 é a temperatura do perl plástico na saída da matriz de extrusão.

A não homogeneidade da Eq. (2.18) impossibilita o uso da separação de variáveis do tipo u(r, t) = R(r)T (t). Para solucionar esta diculdade, vamos simplesmente mudar o zero de temperatura escrevendo:

que satisfaz a Eq. (2.14) dado que u∞ é uma constante. Logo 1 r ∂ ∂r(r ∂v ∂r) = 1 α ∂v ∂t, (2.21) e condições de contorno ∂v ∂r = 0, em r = a, (2.22) ∂v ∂r = − h κv, em r = b (2.23) e condição inicial v(r, 0) = u(r, 0) − u∞= u0− u∞em t = 0 com a ≤ r ≤ b. (2.24)

2.3 Separação de variáveis

Vemos que, com esta mudança de variável, as Eq. (2.21), Eq. (2.22) e Eq. (2.23) passam a ser homogêneas permitindo a separação de variáveis do tipo

v(r, t) = R(r)T (t). (2.25)

Vamos simplicar a notação escrevendo v = v(r, t), R = R(r) e T = T (t). Assim a Eq. (2.25) pode ser reescrita como

v = RT. (2.26)

Substituindo a Eq. (2.26) na Eq. (2.21) obtemos 1 r ∂ ∂r(r ∂(RT ) ∂r ) = 1 α ∂(RT ) ∂t . (2.27) Temos que ∂(RT ) ∂r = ∂R ∂rT + R ∂T ∂r = T ∂R ∂r (2.28) e ∂(RT ) ∂t = ∂R ∂tT + R ∂T ∂t = R ∂T ∂t. (2.29)

Substituindo as Eq. (2.28) e Eq. (2.29) na Eq. (2.27) teremos 1 r ∂ ∂r(rT ∂R ∂r) = 1 αR ∂T ∂t. Como T = T (t) então T r ∂ ∂r(r ∂R ∂r) = 1 αR ∂T ∂t

logo 1 rR ∂ ∂r(r ∂R ∂r) = 1 αT ∂T ∂t. (2.30)

Também temos que ∂ ∂r(r ∂R ∂r) = ∂r ∂r ∂R ∂r + r ∂2R ∂r2 = ∂R ∂r + r ∂2R ∂r2. (2.31)

Substituindo a Eq. (2.31) na Eq. (2.30) então 1 rR( ∂R ∂r + r ∂2_R ∂r2) = 1 αT ∂T ∂t logo 1 R ∂2_R ∂r2 + 1 rR ∂R ∂r = 1 αT ∂T ∂t. (2.32)

Vemos que o lado esquerdo da Eq. (2.32) somente depende de r e o lado direito somente depende de t. Como estas são variáveis independentes, a igualdade será verdadeira apenas se estes dois lados forem iguais a uma constante que vamos denir como −λ com λ > 0. O uso arbitrário da constante −λ ocorre por conveniência para obtermos um decaimento exponencial da temperatura com o tempo como será visto na Seção 2.5. Assim temos que

1 R ∂2_R ∂r2 + 1 rR ∂R ∂r = 1 αT ∂T ∂t = −λ, e temos as seguintes equações

∂2_R ∂r2 + 1 r ∂R ∂r + λR = 0 (2.33) e ∂T ∂t = −αλT. (2.34)

Uma vez que a dependência em r está apenas em R(r), temos, para cada λ, as seguintes condições de contorno do problema radial

∂Rλ ∂r = 0, em r = a (2.35) e ∂Rλ ∂r = − h κRλ, em r = b. (2.36)

Uma solução geral é uma combinação das soluções R(r) e T (t) para cada valor possível de λ. Então

v(r, t) =X

λ

CλRλ(r)Tλ(t), (2.37)

especi-cadas ao impormos a condição inicial (t = 0) conforme Eq. (2.24). Ou seja, a Eq. (2.37) é uma solução geral escrita como combinação linear para cada valor λ e, impondo as condições de contorno, temos a solução especíca para o problema estudado.

2.4 Solução do problema radial

Fazendo λ = K2_{, onde K é o autovalor da função diferencial de Bessel a ser utilizada}

adiante, a Eq. (2.33) pode ser reescrita como ∂2R ∂r2 + 1 r ∂R ∂r + K 2 R = 0 então r2∂ 2_R ∂r2 + r ∂R ∂r + K 2 r2R = 0. (2.38)

Mudando a variável r para x = Kr, logo ∂x = K∂r. Portanto ∂R ∂r = ∂R ∂x ∂x ∂r = K ∂R ∂x e também ∂2_R ∂r2 = ∂ ∂r( ∂R ∂r) = ∂ ∂r(K ∂R ∂x) = K ∂ ∂r( ∂R ∂x) = K ∂ ∂x( ∂R ∂r) = K ∂ ∂x(K ∂R ∂x) = K 2∂2R ∂x2.

Substituindo na Eq. (2.38) obtemos x2 K2K 2∂2R ∂x2 + x KK ∂R ∂x + x 2_{R = 0,} ou seja, x2∂ 2_R ∂x2 + x ∂R ∂x + x 2 R = 0 e, portanto, ∂2R ∂x2 + 1 x ∂R ∂x + R = 0, com x > 0. (2.39) Esta Eq. (2.39) é chamada equação diferencial de Bessel de ordem zero (Mackowski, s.d.). Dado que x > 0, como x = Kr então temos K > 0 pois r > 0. Como λ = K2_,

limitando K > 0, temos apenas um λ para cada K, ou, equivalentemente, temos apenas um autovetor para cada autovalor da função de Bessel. No Apêndice B, temos um resumo sobre equações de Bessel.

A solução geral da Eq. (2.39) é dada em termos das funções de Bessel de primeiro tipo de ordem zero J0(x)e de segundo tipo de ordem zero Y0(x), que são funções denidas em

termos de séries em x (Arfken, 2007). Uma solução geral da Eq. (2.39) é a combinação

R(x) = B1J0(x) + B2Y0(x)

ou

R(r, K) = B1J0(Kr) + B2Y0(Kr), (2.40)

onde B1 e B2 são constantes.

As condições das Eq. (2.35) e Eq. (2.36) vão denir as constantes B1 e B2 para cada

valor de λ ou K. Temos que ∂Rλ

∂r = 0da condição da Eq. (2.35) e, derivando a Eq. (2.40),

temos que B1KJ00(Kr) + B2KY00(Kr) = 0. Substituindo r = a , obtemos

B1J00(Ka) + B2Y00(Ka) = 0. (2.41)

Temos que ∂Rλ

∂r = −

h

κRλ da condição da Eq. (2.36) e, derivando a Eq. (2.40), temos

que B1KJ00(Kr) + B2KY00(Kr) = − h κRλ. Substituindo r = b, obtemos: B1J00(Kb) + B2Y00(Kb) = − h KκRλ. (2.42)

Para obtermos Rλ, utilizamos a Eq. (2.40) substituindo r = b. Disto Rλ = B1J0(Kb)+

B2Y0(Kb) que, substituindo na Eq. (2.42), então

B1J00(Kb) + B2Y00(Kb) = − h Kκ[B1J0(Kb) + B2Y0(Kb)] portanto B1  J₀0(Kb) + h KκJ0(Kb)  + B2  Y₀0(Kb) + h KκY0(Kb)  = 0. (2.43)

Temos, então, das Eq. (2.41) e Eq. (2.43), um sistema de equações homogêneas, ou seja, os termos independentes são iguais a zero:

   B1J00(Ka) + B2Y00(Ka) = 0 B1J00(Kb) + Kκh J0(Kb) + B2Y 0 0(Kb) + Kκh Y0(Kb) = 0.

A solução não trivial, ou seja, B16=0e B26=0, é obtida quando o determinante deste sistema

de equações é nulo. Logo,

J₀0(Ka)  Y₀0(Kb) + h KκY0(Kb)  − Y₀0(Ka)  J₀0(Kb) + h KκJ0(Kb)  = 0. (2.44) Conforme detalhado no Apêndice B, são válidas as seguintes relações para as derivadas

da função de Bessel: J0

0(x) = −J1(x) e Y00(x) = −Y1(x) onde J1(x) é a função de Bessel

de primeiro tipo de ordem um e Y1(x)é a função de Bessel de segundo tipo de ordem um.

Substituindo na Eq. (2.44) temos

− J1(Ka)  −Y1(Kb) + h KκY0(Kb)  + Y1(Ka)  −J1(Kb) + h KκJ0(Kb)  = 0. (2.45) A Eq. (2.45) fornece os possíveis valores de K, porém ela é uma equação transcendental para K, ou seja, não tem solução analítica devido às presenças das funções de Bessel de primeiro e segundo tipos de ordens zero e um. Assim, esta equação tem sua resolução feita por métodos numéricos.

Voltando à Eq. (2.41), podemos relacionar B1 e B2 como

B2 B1 = −J 0 0(Ka) Y₀0(Ka) = − J1(Ka) Y1(Ka) .

Claramente B1 ∝ Y1(Ka) e B2 ∝ −J1(Ka). Assim a Eq. (2.40) pode ser reescrita,

para cada valor de K, como

R(r, K) = Y1(Ka)J0(Kr) − J1(Ka)Y0(Kr). (2.46)

Ao resolvermos a Eq. (2.45), temos m valores de K com índice m = 1, 2, 3, ..., então genericamente temos

Rm(r, Km) = Y1(Kma)J0(Kmr) − J1(Kma)Y0(Kmr). (2.47)

Rm(r, Km) é uma solução não normalizada. A normalização não é obrigatória porém

facilita o uso da ortogonalidade das funções de Bessel usada mais adiante. Seja R∗

m(r, Km)

a solução normalizada, ou seja,

b

Z

a

[R∗_m(r, Km)]2rdr = 1.

Vamos encontrar uma constante multiplicativa Dmque normaliza Rm(r, Km), ou seja,

R∗_m(r, Km) = DmRm(r, Km). Assim b Z a [R∗_m(r, Km)] 2 rdr = b Z a [DmRm(r, Km)] 2 rdr = 1, logo b Z a [Rm(r, Km)] 2 rdr = 1 D2 m .

Para facilitar a notação, denotemos a constante multiplicativa Mm = _D12 m. Assim, R∗_m(r, Km) = DmRm(r, Km) = 1 √ Mm Rm(r, Km).

Utilizando a Eq. (2.47), temos que

R_m∗(r, Km) = 1 √ Mm [Y1(Kma)J0(Kmr) − J1(Kma)Y0(Kmr)] , (2.48) onde Mm = b Z a [Rm(r, Km)]2rdr. (2.49)

Esta Eq. (2.48), com as raízes Km obtidas da Eq. (2.45), é a solução formal do

problema radial. Na Seção 2.6, vamos resolver esta integral da Eq. (2.49) de modo a determinarmos Mm de forma analítica.

2.5 Solução do problema temporal

Voltando à Eq. (2.34), busquemos sua solução. Reordenando temos que dT

T = −αλdt

e, integrando ambos os lados resulta Z _dT

T = −αλ Z

dt + B,

onde B é uma constante desta integral indenida. Logo ln | T |= −αλt + B.

Como T > 0 para a modelagem em questão, então | T |= T . Assim T = e(−αλt+C) ₌

e−αλteB e, chamando de B3 = eB, então T = B3e−αK

2_t

.

Novamente, como temos m valores de K com índice m = 1, 2, 3, ..., então generica-mente temos

Tm(t, Km) = B3e−αK

2

mt_. (2.50)

Esta Eq. (2.50), com as raízes Km obtidas da Eq. (2.45), é a solução formal do

problema temporal onde obtemos um decaimento exponencial no tempo. Este caráter exponencial do tempo sugere que a distribuição de temperatura tende a ser estacionária conforme o tempo ui.

2.6 Solução completa

Substituindo as Eq. (2.48) e Eq. (2.50) na Eq. (2.37) com a adição do índice m temos

v(r, t) = u(r, t) − u∞ = X m CmR∗m(r, Km)e−αK 2 mt_, (2.51)

onde Cm são constantes a serem determinadas pela condição inicial (t = 0). Em nosso

caso, esta condição inicial indica que todo o tubo está a uma temperatura uniforme u(r, 0) = u0 , em t = 0 com a≤r≤b, ou seja,

v(r, 0) = u(r, 0) − u∞ = u0− u∞ =

X

m

CmR∗m(r, Km). (2.52)

Para obtermos as constantes Cm devemos usar a ortogonalidade entre as soluções da

Eq. (2.39) (vide Apêndice B). Lembremos que a Eq. (2.52) é uma expansão em termos das soluções de um problema de autoestados, onde as autofunções são ortogonais, então

b

Z

a

R∗_m(r, Km)R∗l(r, Kl)rdr = δm,l, (2.53)

onde δm,l é o delta de Kronecker, isto é, δm,l = 1 para m = l e δm,l = 0 para m6=l e

admitimos que R∗

m(r, Km) e R∗l(r, Kl) são funções normalizadas de Rm(r, Km) conforme

Eq. (2.47). As funções R∗

m(r, Km) e R∗l(r, Kl) são ortogonais em relação à função peso r.

Vamos multiplicar a Eq. (2.52) por rR∗

l(r, Kl) resultando

(u0− u∞)rR∗l(r, Kl) =

X

m

CmR∗m(r, Km)rR∗l(r, Kl),

e, integrando de a até b, temos

(u0− u∞) b Z a R∗_l(r, Kl)rdr = X m b Z a CmR∗m(r, Km)Rl∗(r, Kl)rdr. (2.54)

Usando a Eq. (2.53) na Eq. (2.54) temos

(u0− u∞) b Z a R∗_l(r, Kl)rdr = X m Cmδm,l.

Temos que PmCmδm,l= Cl pois δm,l = 1 para m = l e δm,l= 0 para m6=l. Disto Cl = (u0− u∞) b Z a R∗_l(r, Kl)rdr, ou, equivalentemente, Cm = (u0− u∞) b Z a R∗_m(r, Km)rdr. (2.55)

Vamos resolver a integral da Eq. (2.55) de modo a determinarmos Cm de forma

analítica. Tal integral pode ser calculada a partir da Eq. (2.30) com a função normalizada e a adição do índice m. Isto é possível pois tanto a função não normalizada Rm quanto a

função normalizada R∗

m são soluções da equação diferencial de Bessel. Assim

1 rR∗ m d dr(r dR∗_m dr ) = −λm = −K 2 m, logo R_m∗r = −K_m−2 d dr(r dR∗_m dr ). Então, substituindo na Eq. (2.55) temos

Cm = (u0− u∞) b Z a  −K−2 m d dr(r dR∗_m dr )  dr = −K_m−2(u0− u∞) b Z a  d dr(r dR∗_m dr )  dr = = −K_m−2(u0− u∞)  rdR ∗ m dr b a .

Portanto, podemos escrever

Cm = −Km−2(u0− u∞)  bdR ∗ m(b) dr − a dR_m∗(a) dr  . (2.56)

Das condições de contorno da Eq. (2.35) e da Eq. (2.36), substituindo na Eq. (2.56), temos Cm = −Km−2(u0− u∞)  b(−h κR ∗ m(b)) − a.0  = K_m−2(u0− u∞)  bh κR ∗ m(b)  .

Disto, segue que

Cm = (u0− u∞)  bh κ R∗_m(b) K2 m  . (2.57)

Igualmente podemos trabalhar a constante de normalização Mm = b Z a [Rm(r, Km)]2rdr, conforme Eq. (2.49), e Rm(r, Km) = Y1(Kma)J0(Kmr) − J1(Kma)Y0(Kmr), conforme Eq. (2.46).

Usamos a relação de ortogonalidade conforme Apêndice B válida para funções de Bessel de primeiro tipo de ordem zero J0(Kmr) assim como para as funções de segundo

tipo de ordem zero Y0(Kmr). Portanto, a relação de ortogonalidade também é válida para

Rm(r, Km)por tratar-se de uma combinação linear de J0(Kmr)e Y0(Kmr). Para este m,

denimos:

Rm(r, Km) = Y1(Kma)J0(Kmr) − J1(Kma)Y0(Kmr) ≡ R0(r, Km)

e

Y1(Kma)J1(Kmr) − J1(Kma)Y1(Kmr) ≡ R1(r, Km),

onde R0(r, Km)são as combinações lineares para as funções de primeiro e segundo tipos

de ordem zero e R1(r, Km) são as combinações lineares para as funções de primeiro e

segundo tipos de ordem um.

Assim, podemos escrever

Mm = b Z a [Rm(r, Km)]2rdr = b Z a [R0(r, Km)]2rdr =  r2 2 (R 2 1(r, Km) + R20(r, Km)  b a , (2.58) sendo que esta última igualdade decorre da relação (B.13) do Apêndice B.

As relações para as derivadas das funções de Bessel, detalhadas no Apêndice B, são válidas também para Rm(r, Km) por ser uma combinação linear destas funções. Disto,

temos que

R1(x) = −R00(x) = −

dR0(x)

dx . Como x = Kmr, então dx = Kmdr, logo

R1(r, Km) = −

1 Km

dR0(r, Km)

Substituindo a Eq. (2.59) na Eq. (2.58) temos Mm =  r2 2  (− 1 Km dR0(r, Km) dr ) 2_{+ R}2 0(r, Km) b a = = b 2 2  1 Km dR0(b, Km) dr  2_{+ R}2 0(b, Km)  −a 2 2  1 Km dR0(a, Km) dr  2_{+ R}2 0(a, Km)  . (2.60) Das condições de contorno da Eq. (2.35) e da Eq. (2.36), substituindo na Eq. (2.60), resulta Mm = b2 2  1 Km (−h κR0(b, Km))  2_{+ R}2 0(b, Km)  −a 2 2  1 Km 0  2_{+ R}2 0(a, Km)  = = b 2 2  (− h Kmκ )  2_{+ 1}  R2 0(b, Km) − a2 2 R 2 0(a, Km), logo Mm = b2 2  1 + ( h Kmκ )2  R2 0(b, Km) − a2 2 R 2 0(a, Km). Como Rm(r, Km) ≡ R0(r, Km), então Mm = b2 2  1 + ( h Kmκ )2  R2_m(b, Km) − a2 2 R 2 m(a, Km). (2.61)

Finalmente, temos que a solução formal do problema u(r, t) é dada por

u(r, t) = v(r, t) + u∞, (2.62) onde v(r, t) =X m CmR∗m(r, Km)e−αK 2 mt_, conforme Eq. (2.51).

2.7 Fluxograma

Vamos reapresentar o algoritmo de cálculo desta modelagem matemática por meio do uxograma representado na Fig. 2.2.

Legenda:

Dados de entrada

a ... raio interno do cilindro; b ... raio externo do cilindro;

u0 ... temperatura do plástico na condição inicial (t = 0);

κ ... condutividade térmica do material;

h ... coeciente de transferência de calor por convecção; c... calor especíco do material;

ρ ... densidade do material.

Parâmetros calculados

Km ... obtidos conforme Eq. (2.45);

m ... número de raízes Km;

p... variável auxiliar usada no teste lógico;

SU M ... variável auxiliar para acumular a soma no loop; Rm(r) ... obtidos conforme Eq. (2.47) para cada valor de Km;

Mm ... constante de normalização obtida conforme Eq. (2.61) para cada valor de Km;

R∗_m(r) ... obtidos conforme Eq. (2.48) para cada valor de Km;

Cm ... obtidos conforme Eq. (2.57) para cada valor de Km;

v(r, t) ... obtidos conforme Eq. (2.51) para cada valor de Km.

Dado de saída

u(r, t) ... obtido conforme Eq. (2.62).

2.8 Solução u(r, t) e suas aplicações

Uma vez obtida a solução u(r, t) que expressa a temperatura em qualquer ponto dentro do cilindro com a≤r≤b em função do tempo t, podemos obter alguns resultados práticos buscando o tempo em que a temperatura do cilindro atinge a temperatura máxima crítica

ucritica após o resfriamento, temperatura a qual o perl já está sucientemente resfriado e

não ocorre mais deformações ao manuseá-lo. Vamos considerar ucritica na parede interna

do cilindro, ou seja, r = a. Assim, temos que calcular o tempo tcritico resolvendo a equação

u(a, tcritico) = ucritica, ou equivalentemente

u(a, tcritico) − ucritica = 0. (2.63)

A resolução da Eq. (2.63) não é elementar devido à presença das funções de Bessel de primeiro e segundo tipos. Deve-se utilizar algum método numérico para sua resolução.

Obtido tcritico, podemos utilizá-lo em várias situações de otimização, tais como:

1. Caso tenhamos que dimensionar o comprimento da calha de resfriamento Llinha

para uma velocidade de extrusão desejada Vlinha, podemos calcular simplesmente

2. Podemos obter a curva Vlinha versus Llinha, que é evidentemente uma reta com

coeciente angular 1

tcritico . Repetindo o algoritmo de cálculo para diversos valores

de temperatura do uido refrigerante u∞, obtemos diversas curvas. Na hipótese

de já termos uma linha de extrusão instalada, ou seja, com comprimento Llinha

já denido, basta vericar no gráco qual é a Vlinha associada à Llinha para uma

temperatura de banho u∞;

3. Por meio das mesmas curvas, é possível analisar os níveis de produtividade em função de u∞ e decidir se haverá necessidade de investimentos em equipamentos de

refrigeração com consequente aumento de consumo de energia elétrica que pode ser compensado por ganhos de produtividade.

Capítulo 3

Resultados e Discussões

Observa-se pelo que foi desenvolvido no Capítulo 2, que a modelagem para tratarmos o resfriamento de um perl cilíndrico dentro de uma calha de extrusão é um modelo semi-analítico, ou seja, parte é resolvida por métodos numéricos e parte é resolvido por resolução direta. Baseando-se no algoritmo descrito na Seção 2.7, foi desenvolvido um programa de computador usando o software Mathematica da Wolfram Research, Inc cujas linhas de comando encontram-se no Apêndice C.

Vamos simular o resfriamento em um tipo de perl plástico bastante familiar a todos: uma mangueira de jardim em PVC de 1

2

00

de diâmetro. Por meio do simulador, exploramos como a condição de resfriamento é afetada ao variarmos alguns parâmetros, notadamente a velocidade de linha, o comprimento da calha de resfriamento (ambos relacionados com o tempo de resfriamento) e a temperatura da água da calha.

Os dados de entrada são:

a) Diâmetro interno do mangueira: 12, 7 x 10−3_m

b) Diâmetro externo do mangueira: 17, 7 x 10−3_m

c) Temperatura do perl na saída da matriz: 220°C d) Temperatura da água de resfriamento: 20°C

e) Temperatura máxima do tubo após o resfriamento: 35°C f) Condutividade térmica do PVC: 0, 2 W/(m °C)

g) Coeciente de transferência da água: 10000 W/( m² °C) h) Calor especíco do PVC: 1000 J/(kg °C)

i) Densidade do PVC : 1200 kg/m³

Estamos utilizando inicialmente somente as quatro primeiras raízes K da Eq. (2.45). Discutimos adiante o efeito do número de raízes na precisão dos resultados. Utilizando o programa de simulação, obtém-se o gráco da Eq. (2.45) em função de K mostrado na Fig. 3.1.

As possíveis raízes K, até um truncamento preestabelecido das séries da função de Bessel, são mostradas na Tabela 3.1.

Figura 3.1: Gráco da função apresentada na Eq. (2.45) para efeito de visualização das raízes.

Tabela 3.1: Primeiras quatro raízes K

K f (K)

666, 02 2, 01 x 10−5 1885, 34 −1, 56 x 10−7

3125, 94 1, 08 x 10−6 4370, 01 −5, 15 x 10−6

exponencial no tempo conforme pode ser observado por meio do valor αK2 _{presente no}

expoente do termo e−αK2_t

da Eq. (2.51).

A equação de resfriamento u(r, t) em função do raio r e do tempo t considerando os dados iniciais do problema e as quatro raízes K ca então:

u(r, t) = 20 − 1746, 45.e−0,0739296.t[0, 362588.J0(666, 02.r) + 0, 148587.Y0(666, 02.r)] +

+1852, 85.e−0,592417.t[−0, 0508755.J0(1885, 34.r) + 0, 225225.Y0(1885, 34.r)] +

−1860, 93.e−1,62858.t[−0, 174304.J0(3125, 94.r) − 0, 04148.Y0(3125, 94.r)] +

+ 1860, 71.e−3,18283.t[0, 0410135.J0(4370, 01.r) − 0, 145845.Y0(4370, 01.r)] . (3.1)

O gráco da temperatura em função do raio e do tempo para um truncamento com quatro raízes K é mostrado na Fig. 3.2 . Ao analisarmos esta superfície, observamos que:

ˆ Ocorre um decaimento exponencial da temperatura em função do tempo t, fato este já esperado ao analisarmos a Eq. (2.51);

ˆ À medida que o tempo t aumenta, observa-se que a temperatura u → u∞ = 20°C

indicando que atingimos um regime estacionário;

Figura 3.2: Gráco da distribuição de temperatura em função de r e t para os valores do problema proposto com quatro raízes K.

sempre maior que a temperatura da parede externa, mostrando que o resfriamento ocorre de fora para dentro o que é bastante intuitivo;

ˆ Na parede externa do tubo (r = b), a temperatura admite quase que imediatamente a temperatura da água; consequência disto é a formação de uma camada externa sólida no perl extrudado a qual contribui para a manutenção do perl desejado.

No instante t = 0, observamos um comportamento oscilatório da temperatura ao longo do raio r ao passo que deveríamos ter uma temperatura constante e igual à temperatura do perl na saída da matriz de 220°C. Este efeito decorre do fato que a série truncada com apenas quatro raízes K não consegue descrever apropriadamente a função temperatura uniforme dada pela condição de contorno inicial mostrada na Eq. (2.52).

Apenas a título de completeza, estudemos o efeito do truncamento da série ou, de outra forma, o número de raízes K na equação da superfície u(r, t). Repetindo a simulação anterior considerando agora mil raízes, obtivemos o gráco da temperatura em função do raio e do tempo mostrado na Fig. 3.3.

Claramente observa-se uma melhoria de comportamento com a série truncada com mil raízes K para o qual o modelo matemático consegue descrever apropriadamente a função temperatura uniforme dada pela condição de contorno inicial em t = 0.

Dado que o efeito do número de raízes K é aparentemente relevante apenas nos segun-dos iniciais do processo de resfriamento, aprofundemos este estudo considerando 4 níveis de número de raízes K (4, 10, 100 e 1000) para os tempos t = 0, t = 0, 1 s e t = 1, 0 s. Utilizando o programa de simulação, construímos as curvas de temperatura em função do raio r para os números de raízes e tempos mencionados conforme pode ser visto nas

Figura 3.3: Gráco da distribuição de temperatura em função de r e t considerando mil raízes K.

Figura 3.4: Gráco da distribuição de temperatura em função de r para t = 0.

Fig. 3.4, Fig. 3.5 e Fig. 3.6. Observa-se que o caráter oscilatório da temperatura em função do número de raízes é observável para t ∼ 0 sendo que para t = 1, 0 s temos um comportamento muito estável para os quatro níveis de número de raízes K em estudo. Do ponto de vista deste trabalho, estamos interessados em saber como se dá o resfriamento após vários segundos do perl plástico dentro da calha de resfriamento. Portanto, estamos usando apenas as primeiras quatro raízes K reduzindo o tempo de processamento gasto nos cálculos do programa de simulação.

Vamos supor que a temperatura máxima após o resfriamento medido na parede in-terna da mangueira ucritica seja de 35°C então, utilizando a Eq. (3.1), fazendo r = a e

resolvendo a equação u(a, tcritico) − ucritica = 0utilizando o comando FindRoot do

Figura 3.5: Gráco da distribuição de temperatura em função de r para t = 0, 1 s.

Figura 3.7: Gráco da temperatura na parede interna (r = a) versus o tempo.

Figura 3.8: Gráco de velocidade versus comprimento da calha.

Fig. 3.7 onde está representado o comportamento da temperatura da parede interna do cilindro (r = a) em função do tempo, assim como a linha da temperatura crítica de 35°C. Admitindo que a velocidade de processamento seja de 30 m/min então o comprimento da calha deve ser de 30.38,7

60 = 19, 4 m.

Do ponto de vista prático, frequentemente já temos uma calha de resfriamento ins-talada, ou seja, com comprimento denido. Temos então que encontrar as condições de processamento, em particular a velocidade de linha e a temperatura do uido refrigerante, que respeitem a temperatura crítica máxima da mangueira plástica após o resfriamento. Utilizando o programa de simulação desenvolvido, processamos o algoritmo com 3 níveis de temperaturas do uido refrigerante (15°C, 20°C, 25°C) calculando o tempo de resfria-mento para se atingir a temperatura crítica máxima de 35°C, resultando 35,2 s para 15°C, 38,7 s para 20°C e 43,9 s para 25°C. Podemos construir curvas de velocidade versus com-primento para cada tempo crítico dado que V elocidade = Comprimento

T empo . O gráco mostrado

na Fig. 3.8 relaciona as três grandezas considerando as condições iniciais mencionadas anteriormente.

Figura 3.9: Gráco da temperatura na parede interna (r = a) versus tempo para diversos coecientes de transferência de calor h.

de comprimento de calha de resfriamento, podemos processar a mangueira de 1 2

00

a uma velocidade de 51,1 m/min (= 30

35,2.60) se a temperatura da água for 15°C, 46,5 m/min

(= _38,730 .60) a 20°C e 41,0 m/min (= _43,930 .60) a 25°C. Portanto, pode-se obter ganhos aproximados de 10% em velocidade de processamento por meio de 5°C de variação de temperatura da água de resfriamento.

Podemos analisar a dependência do resfriamento com outros fatores tais como: a) Diferentes meios refrigerantes: estes meios podem ser associados aos respectivos coecientes de transferência de calor por convecção h conforme pode ser visto na Tabela A.1 do Apêndice A. Vamos vericar como o tempo crítico de resfriamento tcritico varia

em função de h. Utilizando o programa de simulação com os mesmos dados de entrada, construímos um gráco de temperatura na parede interna do tubo versus tempo para diversos coecientes de transferência de calor. Na Fig. 3.9, observam-se os resfriamentos para h = 10000 (água com circulação forçada), h = 1000 (água com convecção livre) e h = 100 (resfriamento forçado a ar) cujos tempos de resfriamento para se atingir a temperatura máxima crítica são 38,7 s, 44,1 s e 101,9 s, respectivamente. Por meio de uma comparação entre estes tempos de resfriamento, podemos dizer que o resfriamento a ar apresenta uma ecácia muito inferior em relação ao resfriamento a água e que, por sua vez, é melhorado do momento que optamos por circulações forçadas.

b) Difusividade do material: imaginemos que deseja-se produzir a mangueira de 1 2

00

com três materiais diferentes: cloreto de polivinila (PVC), polietileno de alta densidade (PEAD) e borracha. Cada material possui sua respectiva densidade, calor especíco e condutividade térmica. Estas grandezas estão relacionadas por meio da difusividade tér-mica α conforme Eq. (1.1) e, portanto, vamos analisar o comportamento do resfriamento em função do α de cada material. Consideremos as difusividades térmicas dos materiais citados conforme Tabela 3.2. Considerando os mesmos dados de entrada, utilizando o

Tabela 3.2: Difusividade térmica α Material Difusividade térmica α (m²/s)

PVC 1, 66667 x 10−7 PEAD 1, 52102 x 10−7 Borracha 6, 21891 x 10−8

Figura 3.10: Gráco da temperatura na parede interna (r = a) versus tempo para diversas difusividades térmicas.

programa de simulação, construímos um gráco de temperatura na parede interna do ci-lindro versus tempo para diversas difusividades térmicas conforme mostrado na Fig. 3.10. Para a difusividade de 1, 66667 x 10−7 _{m²/s temos 38,7 s de tempo de resfriamento, para}

1, 52102 x 10−7m²/s temos 42,9 s e para 6, 21891 x 10−8m²/s obtivemos 103,4 s. Plotamos estes 3 pares de pontos conforme pode ser visto na Fig. 3.11. Observa-se um comporta-mento inversamente proporcional entre o tempo de resfriacomporta-mento e a difusividade o que é de se esperar pois materiais de baixa difusividade demoram mais para resfriar.

Figura 3.12: Gráco da temperatura na parede interna (r = a) versus tempo para diversas espessuras da mangueira de 1

2

00

.

Figura 3.13: Gráco do tempo de resfriamento versus espessura para mangueira de 1 2

00

.

c) Espessura da parede do tubo: suponhamos que a mangueira de 1 2

00

atual tenha 2,5 mm de espessura e que desejemos produzir uma mangueira mais econômica com 2,0 mm de parede e outra mais reforçada com 3,0 mm. Devido aos engates hidráulicos, temos que manter o diâmetro interno inalterado e, portanto, vamos alterar o diâmetro externo. Procura-se entender como as condições de resfriamento serão afetadas ao alterarmos a espessura da parede da mangueira. Novamente, por meio do programa de simulação, utilizando os mesmos dados de entrada, construímos um gráco de temperatura na parede interna do cilindro versus tempo para diversas espessuras conforme mostrado na Fig. 3.12. Para a espessura de 2,0 mm temos 25,4 s de tempo de resfriamento, para 2,5 mm temos 38,7 s e para 3,0 mm obtemos 54,6 s. Plotamos estes 3 pares de pontos conforme pode ser visto na Fig. 3.13. Observa-se um comportamento não linear entre o tempo de resfriamento e a espessura o que é de se esperar pois o volume de material na mangueira cilíndrica é proporcional à diferença dos quadrados dos raios externo e interno do cilindro.

Tabela 3.3: Dimensões das mangueira em PVC de 1 2 00 , 3 4 00 e 100

Mangueira Diâmetro interno (mm) Diâmetro externo (mm)

1 2 00 12,70 17,70 3 4 00 19,05 24,55 100 25,40 31,40

Figura 3.14: Gráco da temperatura na parede interna (r = a) versus tempo para man-gueiras de 1 2 00 , 3 4 00 e 100_.

d) Dimensões interna e externa do tubo: imaginemos que deseja-se ampliar a linha de mangueiras em PVC produzindo-se mangueiras de 3

4

00

e de 100_{e deseja-se vericar como}

os tempos de resfriamento serão afetados por estas novas dimensões e compará-las com a mangueira de 1

2

00

. Suponhamos que as dimensões internas e externas sejam conforme os valores da Tabela 3.3. Admitindo os mesmos dados de entrada, construímos um gráco de temperatura na parede interna do cilindro versus tempo para as três mangueiras conforme mostrado na Fig. 3.14. Para a mangueira de 1

2

00

temos 38,7 s de tempo de resfriamento, para a mangueira de 3

4

00

temos 48,1 s e para a mangueira de 100 _{obtemos 58,1 s. Supondo}

novamente que exista uma linha de extrusão com 30 metros de comprimento de calha de resfriamento, podemos processar a mangueira de 1

2

00

a uma velocidade de 46,5 m/min (= 30 38,7.60), a 37,4 m/min (= 30 48,1.60) para a mangueira de 3 4 00 e a 31,0 m/min (= 30 58,1.60)

para a mangueira de 100_{. Tendo como referência a mangueira de} 1 2 00 , verica-se que a mangueira de 3 4 00

será processada com cerca de 20% a menos de velocidade e a mangueira de 100 _{com uma redução de aproximadamente 33%.}

Capítulo 4

Conclusões e Considerações Finais

Tendo como ponto de partida a equação de difusão de calor escrita em coordenadas ci-líndricas associada às técnicas de resolução de equações diferenciais parciais, desenvolveu-se um modelo matemático capaz de descrever a temperatura em qualquer ponto dentro do perl plástico em função do tempo, ou seja, no decorrer do processo de resfriamento. Limitamos nosso estudo à modelagem de um perl cilíndrico, geometria esta extrema-mente comum na indústria de tubos e mangueiras. Admitimos que o perl plástico é uma substância incompressível, que não existe troca de calor na parede interna do cilindro uma vez que o ar presente no interior do tubo tem baixo coeciente de transferência de calor por convecção e que a variação da temperatura ao longo do tubo era bem menor que a variação de temperatura radial. Com isto, necessitou-se a resolução apenas do problema radial. As condições de contorno nas paredes interna e externa do cilindro possibilitaram o desenvolvimento de um processo de cálculo semi-analítico onde parte da modelagem matemática é resolvida por métodos numéricos e outra parte é resolvida analiticamente.

Utilizando-se o algoritmo desenvolvido neste trabalho, foi elaborado um programa de computador no software Mathematica da Wolfram Research, Inc visando mecanizar os cál-culos da modelagem semi-analítica possibilitando o uso de computadores com capacidade de processamento moderada.

Para a geometria estudada neste trabalho, o número de raízes do parâmetro K in-uencia a resposta do modelo sobretudo quando o tempo t tende a zero. Para termos uma aderência do modelo à condição de contorno inicial onde a temperatura do cilindro é constante ao longo do raio r, temos que utilizar mais de mil raízes fato este que eleva consideravelmente o tempo de processamento dos cálculos. Utilizando o programa desen-volvido no Mathematica sob várias condições de número de raízes e tempo, observou-se que o número de raízes pouco inuencia as simulações a partir do tempo de um segundo. Como estamos interessados no que se passa dentro da calha de resfriamento após alguns segundos dentro do meio refrigerante, pode-se utilizar apenas as primeiro quatro raízes K agilizando substancialmente os tempos computacionais sem prejuízo à precisão dos cálcu-los. Evidentemente, para outras condições, este estudo da inuência do número de raízes

nas precisões dos cálculos deve ser refeito.

Uma vez conhecido como a temperatura varia em função das variáveis raio do cilindro e tempo, calculou-se o tempo necessário para atingir-se a temperatura limite de resfria-mento, temperatura esta medida na parede interna do cilindro ao nal do resfriamento e que garante o manuseio do perl sem deformá-lo. Com a informação do tempo mínimo de resfriamento, utilizamos tal modelagem para otimizarmos as condições de processamento que foram exemplicadas nas seguintes situações:

a) Ao dimensionarmos o comprimento da calha de resfriamento para uma velocidade de extrusão desejada simplesmente multiplicando a velocidade da linha preestabelecida pelo tempo mínimo de resfriamento. Com isto, podemos otimizar os espaços industriais e também poderíamos tratar a questão de redução de consumo de água e de energia elétrica; b) Repetindo o algoritmo de cálculo para diversos valores de temperatura do uido refrigerante, levantamos diversas curvas da velocidade versus o comprimento da calha. As-sim, para uma linha de extrusão instalada com comprimento preestabelecido, foi possível denir velocidades de linha associadas às diferentes temperaturas da água de resfriamento; c) Por meio das mesmas curvas, foi possível analisar os ganhos de produtividade em função da temperatura da água de resfriamento permitindo, se desejado, uma análise futura de custo-benefício de investimentos em equipamentos de refrigeração com conse-quente consumo de energia elétrica.

Explorando-se alguns parâmetros relevantes desta modelagem, observaram-se signi-cativas dependências do tempo de resfriamento tais como:

ˆ Coeciente de transferência de calor por convecção: meios que apresentam baixas capacidade de troca de calor por convecção têm sua capacidade de resfriamento bastante limitada. Como exemplo, se optarmos por resfriarmos o perl plástico soprando ar ao invés de usarmos circulação com água forçada, cujos coecientes de transferência de calor distam cerca de 100 vezes, temos perdas signicativas de produtividade;

ˆ Difusividade térmica: observou-se que materiais com menor difusividade térmica apresentam um maior tempo de resfriamento. Isto era de se esperar uma vez que a difusividade térmica é uma propriedade cujo valor descreve a rapidez com a qual um corpo se ajusta às mudanças de temperatura;

ˆ Espessura da parede: esta grandeza afeta diretamente o processo de transmissão de calor por condução dentro do cilindro, ou seja, paredes mais nas trocam mais calor e resfriam mais rapidamente do que paredes mais espessas. A relação entre aumento de tempo de resfriamento e espessura não é linear sendo que esta taxa é crescente; ˆ Dimensões do tubo: à medida que se aumenta as dimensões do perl cilíndrico,

massa térmica que está trocando calor. Como resultado disto, temos necessaria-mente que, para uma linha de extrusão que já possua um calha de resfriamento com um determinado comprimento, a velocidade de processamento é reduzida à medida que a dimensão do tubo aumenta. Podemos utilizar este resultado para analisarmos a viabilidade econômica e capacidade industrial de novos produtos.

Este trabalho pode ser ampliado de modo a estudarmos outros pers plásticos com ge-ometrias mais complexas. Os resultados obtidos através do algoritmo aqui apresentado, válido para geometrias cilíndricas, serviriam de referência para se analisar a aderência de um novo método de cálculo a ser desenvolvido como, por exemplo, o método dos elementos nitos.

Referências Bibliográcas

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Vlachopoulos, J. Basic Heat Transfer and Some Applications in Polymer Processing. Bethel: SPE, 2002.

Apêndice A

Tabelas de Propriedades

Tabela A.1: Coecientes de transferência de calor por convecção

Condição h (W/m² °C)

AR, Convecção livre 4 a 28 AR, Convecção forçada 4 a 570 ÁGUA, Convecção livre 284 a 1500 ÁGUA, Convecção forçada 284 a 17000

ÁGUA, Fervendo 2840 a 57000

Tabela A.2: Propriedades térmicas de diversos polímeros Polímero Densidade ρ (kg/m³) Calor especíco c (J/kg °C) Condutividade térmica κ (W/m °C) PEAD 941 a 967 2200 a 2400 0,25 PEBD 915 a 935 2200 a 2400 0,20 PEBD Linear 910 a 925 2200 a 2400 0,20 PP 890 a 910 2000 a 2200 0,18 PVC 1300 a 1580 1000 a 1700 0,17 PET 1340 a 1390 1800 a 2000 0,18 Nylon-66 1130 a 1150 2400 a 2600 0,20

Apêndice B

Equação de Bessel e Ortogonalidade

B.1 O problema de Sturm-Liouville

Conforme Mackowski (s.d.), a propriedade de ortogonalidade pode ser generalizada considerando uma equação diferencial ordinária (EDO) da forma:

(p(x)y0)0 + [s(x) + K2w(x)]y = 0, (B.1) conhecida como equação de Sturm-Liouville, onde p(x), s(x) e w(x) são funções de x e K são os possíveis autovalores. A solução para y = y(x) será na forma das autofunções {φn(x)} e estas autofunções devem ser ortogonais. A forma especíca da relação de

ortogonalidade é b Z a φn(x)φm(x)w(x)dx =    0, para n 6= m n˜ao necessariamente 0, para n = m ,

onde a e b são os extremos do domínio do sistema. A função w(x), presente na Eq. (B.1), é comumente conhecida como função peso.

B.2 A equação diferencial de Bessel

O problema da equação diferencial de Bessel tem p(x) = w(x) = r = x

K e s(x) = 0.

De fato, substituindo estes valores na Eq. (B.1), temos que (ry0₎0 _{+ [0 + K}2_{r]y = 0 e,}

portanto, ry00 _{+ y}0 _{+ K}2_{ry = 0. Multiplicando por r, temos r}2_y00_{+ ry}0 _{+ K}2_r2_{y = 0 e,}

fazendo a substituição x = Kr, obtemos y00₊ 1 xy

0 _{+ y = 0 que é a equação diferencial de}

Bessel de ordem zero. As autofunções desta EDO são as funções de Bessel de primeiro tipo de ordem zero J0(x) e também as funções de Bessel de segundo tipo de ordem zero

Y0(x)associados aos respectivos autovalores.

é uma EDO do tipo

x2y” + xy0 + (x2− n2

)y = 0, x > 0, n ∈ R. (B.2) Uma solução geral desta EDO é dada como combinação linear das funções Jn(x) e

Yn(x) denominadas como funções ordinárias de Bessel de primeiro tipo de ordem n e

função de Bessel de segundo tipo de ordem n (ou função de Neumann de ordem n), respectivamente. Portanto, temos que a solução geral da Eq. (B.2) é y(x) = AJn(x) +

BYn(x), com A e B constantes arbitrárias.

Em termos de séries, as funções de Bessel de primeiro e segundo tipos podem ser expressas, segundo Arfken (2007), como

Jn(x) = ∞ X s=0 (−1)s s!(n + s)!( x 2) n+2s₌ xn 2n_n! − xn+2 2n+2_{(n + 1)!} + ... e Yn(x) = Jn(x) cos(nπ) − J−n(x) sen(nπ) .

As funções ordinárias de Bessel apresentam características similares às funções seno e cosseno exibindo um comportamento oscilatório ao redor do eixo das abscissas. De fato, quando x  n, estas funções se aproximam a

Jn(x  n) ∼ r 2 πxcos(x − nπ 2 − π 4) e Yn(x  n) ∼ r 2 πxsen(x − nπ 2 − π 4),

fato este que indica uma relação direta entre as funções de Bessel e as funções trigonomé-tricas conforme pode ser observado nas Fig. B.1 e Fig. B.2 as quais foram geradas com o auxílio do software Mathematica.

Quando x → ∞, ambas as funções Jn(x) e Yn(x) tendem a zero a uma taxa de √1_x.

Quando x → 0, as propriedades são

Jn(x  1) ∼ 1 n!( x 2) n_{, n ≥ 0} Y0(x  1) ∼ 2 πln(x), Yn(x  1) ∼ − (n − 1)! π ( x 2) −n , n ≥ 1.

Vemos aqui, e também pelas Fig. B.1 e Fig. B.2, que as funções Yn divergem quando

Figura B.1: Funções Ordinárias de Bessel Jn(x).

Seguem algumas relações úteis, segundo Mackowski (s.d.), que foram usadas no de-senvolvimento das seções 2.4 e 2.6.

Z

J1(x)dx = −J0(x) =⇒ J1(x) = −J00(x)

e _Z

Y1(x)dx = −Y0(x) =⇒ Y1(x) = −Y00(x).

As provas destas igualdades podem facilmente ser obtidas pelo uso das expansões em séries dessas funções.

B.3 Ortogonalidade das funções de Bessel

Conforme Mesquita Filho (1996), se a variável independente x é substituída por Kr, com K constante, a equação diferencial de Bessel de ordem n é

r2y” + ry0+ (K2r2− n2_{)y = 0, r > 0,}

onde K ≡ autovalor e n ≡ ordem da equa¸c˜ao de Bessel cuja solução geral é

y(r, K) = AJn(Kr) + BYn(Kr).

Sejam σ e µ dois autovalores da equação de Bessel. Assim as autofunções y1 = Jn(σr)

e y2 = Jn(µr) são soluções da EDO correspondentes aos autovalores K = σ e K = µ.

Portanto r2y1” + ry10 + (σ 2_r2_{− n}2_)y 1 = 0 (B.3) e r2y2” + ry02+ (µ 2_r2_{− n}2_)y 2 = 0. (B.4)

Multiplicando a Eq. (B.3) por y2 e a Eq. (B.4) por y1 e subtraindo membro a membro,

temos r2_(y

1”y2− y1y2”) + r(y2y10 − y1y02) = (µ2− σ2)r2y1y2.

Como r > 0 então r(y1”y2 − y1y2”) + (y2y10 − y1y02) = (µ2 − σ2)ry1y2 e portanto

r_drd(y2y10 − y1y20) + (y2y10 − y1y20) = (µ2 − σ2)ry1y2. Aplicando a regra de derivação do

produto temos que d

dr [r(y2y 0

1− y1y20)] = (µ2 − σ2)ry1y2 que, integrada no intervalo [a, b]

resulta em (µ2− σ2₎ b Z a ry1y2dr = r [y2y10 − y1y20] b a. (B.5)

con-torno impostas sobre as autofunções e suas derivadas. Se ele se anular, então (µ2− σ2₎ b Z a ry1y2dr = 0,

ou, como µ 6= σ, então (µ2_{− σ}2_{) 6= 0}, logo b Z a ry1y2dr = b Z a Jn(σr)Jn(µr)rdr = 0, (B.6)

que conduz à armativa de que autofunções y1 = Jn(σr) e y2 = Jn(µr), correspondendo

a autovalores distintos (µ 6= σ), são ortogonais dois a dois em relação à função peso r no intervalo [a, b].

A relação r [y2y10 − y1y02] b

a= 0 pode ser satisfeita por várias condições (Butkov, 1988),

algumas das quais estão listadas a seguir:

a) As autofunções y1(r) e y2(r) se anulam em r = a e r = b. Estas condições de

contorno são geralmente chamadas de condições (homogêneas) de Dirichlet. b) As derivadas y0

1(r) e y20(r) das autofunções se anulam em r = a e r = b. Estas

condições de contorno são geralmente chamadas de condições (homogêneas) de Neumann. c) Uma combinação linear de y1(r) e de suas derivadas se anula para r = a e r = b:

y1(a) + αy10(a) = 0, y1(b) + βy10(b) = 0 (α, β constantes), onde α e β são os mesmos para

todas as autofunções. Podemos chamá-las de condições (homogêneas) intermediárias. d) Uma das condições elencadas em a), b) ou c) para r = a e uma outra para r = b. Todas estas condições são conhecidas por não-mistas porque os valores de y1(r) e

y0₁(r) em r = a não estão relacionadas com os de r = b.

Condições mistas são também possíveis sendo que a mais comum é a exigência de que y1(a) = y1(b) e y10(a) = y

0

1(b). A condição de periodicidade é desta forma.

Para a equação diferencial de Bessel de ordem (n = 0), a Eq. (B.6) passa a ser

b

Z

a

J0(σr)J0(µr)rdr = 0, com µ 6= σ. (B.7)

B.4 Normalização das funções de Bessel

Da Eq. (B.5), dividindo por (µ2 _{− σ}2_{) e utilizando-se as igualdades y}

1 = Jn(σr) e y2 = Jn(µr)obtemos b Z a Jn(σr)Jn(µr)rdr = r [σJn(µr)Jn0(σr) − µJn(σr)Jn0(µr)] b a (µ2_{− σ}2₎ .