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MEDIDAS SEPARATRIZES

Olá, meus amigos! Todos bem? Como nos saímos no simulado? Até o momento não tive nenhum retorno sobre isso...! Hoje, veremos com mais detalhes as Medidas Separatrizes - último passo antes de adentrarmos no estudo das Medidas de Dispersão.

Em uma aula passada (Ponto 15), quando iniciamos o estudo da Mediana, já havíamos feito as primeiras considerações acerca das Medidas Separatrizes, afirmando que são também Medidas de Posição (assim como as Medidas de Tendência Central - Média, Moda e Mediana!). Vimos também que a Mediana classifica-se tanto como medida de tendência central, quanto como medida separatriz, e que as separatrizes - como o próprio nome sugere - são aquelas medidas que "separam" ou que dividem o conjunto em um certo número de partes iguais.

No caso da Mediana, vimos que ela divide o conjunto em duas metades. Já o Quartil, separa o conjunto em quatro partes iguais; o Decil, em dez partes e, finalmente, o Centil (ou Percentil), em cem partes iguais!

Recordando disso, lembraremos também que aprendemos uma relação importantíssima entre as quatro Medidas Separatrizes. Na verdade é uma relação até visual, que não precisamos fazer esforço para "decorar", bastando traçar uma reta (que representará o conjunto), e depois fazer as divisões, exatamente como mostramos no Ponto 15 e transcrevemos abaixo:

!---!---! Md !---!---!---!---! Q1 Q2 Q3 !---!---!---!---!---!---!---!---!---!---! D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 !---!---!---!---!---!---!---!---!---!---! C10 C20 C30 C40 C50 C60 C70 C80 C90

Daí, concluímos sem maiores dificuldades que: Md = Q2 = D5 = C50

A Mediana já sabemos como calcular! E as outras medidas separatrizes? Aprenderemos agora!

# Determinação do Quartil

Já sabemos que para dividir um conjunto em quatro partes iguais, precisamos marcar três pontos apenas (como vimos no desenho acima!). Portanto, já sabemos que existem três quartis, os quais designaremos por Q1 (primeiro quartil), Q2 (segundo quartil) e Q3 (terceiro quartil).

Quando estudamos a Mediana, vimos que as questões que exigiam o cálculo desta medida costumavam dizer apenas algo como "determine o valor da Mediana deste conjunto" (e só!). Isso porque existe somente uma Mediana! Porém, em se tratando do Quartil, o enunciado jamais poderia dizer apenas "determine o valor do Quartil". Se assim o fizesse, ficaria no ar a pergunta: "Qual deles?". Se existem três quartis, uma questão de prova teria, logicamente, que explicitar qual deles está exigindo.

Ocorre que, normalmente, as provas da ESAF não contemplam as Medidas Separatrizes como uma questão exclusiva. Explicando melhor: não costuma cair uma questão exigindo que se calcule este ou aquele quartil, este ou aquele decil... O que se pede é que se determine, por exemplo, o coeficiente percentílico de Assimetria, ou o coeficiente percentílico de Curtose. Ainda nem estudamos esses assuntos - Assimetria e Curtose -, mas já posso adiantar que na determinação desses referidos coeficientes, se fará necessário o conhecimento das Medidas Separatrizes!

Em suma: os quartis, decis e percentis serão, normalmente, calculados como um meio para se chegar ao fim desejado pelo enunciado. Este fim será, provavelmente, um coeficiente de Assimetria ou de Curtose (assuntos que veremos em breve!).

Outra coisa importante: quem sabe calcular a Mediana, fatalmente não terá dificuldades em aprender a determinar as outras medidas separatrizes! Daremos ênfase à determinação do Quartil, Decil e Percentil no âmbito das Distribuições de Freqüências, que é a forma comumente exigida em prova.

Lembremos de como se acha a Mediana para uma Distribuição de Freqüências! Por primeiro, temos que encontrar a Classe Mediana. Para isso, fazemos a conta (n/2) - independentemente de n ser um valor par ou ímpar - e depois comparamos este valor (n/2) com os valores da coluna de freqüência absoluta acumulada crescente (fac), fazendo a pergunta de praxe que aprendemos: "esta fac é maior ou igual a (n/2)?". Repetiremos a pergunta até que a resposta seja afirmativa. Daí, a classe correspondente será a classe Mediana.

# Calculando o Primeiro Quartil - Q1:

Pois bem! Para calcular o primeiro quartil, temos antes que determinar qual será a Classe do Primeiro Quartil!

Lembremos que no caso da Mediana, a primeira conta que fazíamos era (n/2)! Dividíamos o n por 2, exatamente porque a Mediana divide o conjunto em duas partes! Agora, sabemos que o Quartil divide o conjunto em quatro partes! Portanto, a conta que faremos (para o primeiro quartil) é a seguinte:

(n/4)

Para fazer esta conta, também não nos preocuparemos se n é um valor par ou ímpar (da mesma forma da Mediana!). Feita esta continha, passaremos a comparar seu resultado com os valores da fac, exatamente da mesma forma que fizemos para achar a Classe Mediana! A pergunta, agora adaptada ao Quartil, será a seguinte:

Enquanto a resposta for negativa, passaremos para a classe seguinte, e repetiremos a pergunta, até o momento em que a resposta for SIM! Ao chegarmos à resposta afirmativa, pararemos e procuraremos a classe correspondente. Esta será a Classe do Primeiro Quartil! Ou seja, será desta classe que iremos extrair os dados para usar na fórmula do Q1! Vejamos que, até aqui, a única diferença observada nos passos para achar o Quartil e a Mediana, foi que agora fazemos (n/4) - em vez de (n/2) - e comparamos este (n/4) com a coluna da fac!

Uma vez constatada qual é a Classe do Primeiro Quartil, só nos restará aplicar a fórmula! A facilidade em se memorizar a fórmula do Q1 é absoluta! Vamos recordar a fórmula da Mediana:

h fi fac n l Md ANT                       inf 2

Agora é só pensar o seguinte: o que mudou até aqui para o Quartil foi que (n/2) passou a ser (n/4). Então também será apenas isso que irá mudar na fórmula. Daí, o primeiro quartil será determinado por:

h

fi

fac

n

l

Q



























_

















inf

4

1

Ora, esta fórmula nos fala em limite inferior (linf), nos fala em amplitude da classe (h), além de duas freqüências - fi e facANT. A única coisa que teremos que lembrar é que todos esses dados serão retirados, tomando como referência a Classe do Primeiro Quartil.

Em suma, os passos para determinação do Q1 de um conjunto serão os seguintes:

 Determinamos o n (somando a coluna da fi);

 Calculamos o valor de (n/4) (independentemente de n ser par ou ímpar!);

 Construímos a coluna da fac;

 Comparamos o valor do (n/4) com os valores da fac, iniciando da fac da primeira classe (a mais de cima!) e fazendo a seguinte pergunta:

"esta fac é maior ou igual a (n/4)?". Se a resposta for NÃO, passamos à fac da classe seguinte. Quando a resposta for SIM, pararemos e procuraremos a classe correspondente! Esta será a nossa Classe do Primeiro Quartil.

 Finalmente, aplicaremos a fórmula do Q1, extraindo os dados desta classe do Q1, que acabamos de encontrar! Novamente a fórmula:

h

fi

fac

n

l

Q



























_

















inf

4

1

Só isso! Vamos a um exemplo!

Xi fi 0 !--- 10 10 !--- 20 20 !--- 30 30 !--- 40 40 !--- 50 2 5 8 6 3 Sol.:

1º Passo) Encontraremos n e calcularemos (n/4):

Xi fi 0 !--- 10 10 !--- 20 20 !--- 30 30 !--- 40 40 !--- 50 2 5 8 6 3 n=24 Daí, achamos que n=24 e, portanto, (n/4)=6 2º Passo) Construímos a fac:

Xi fi fac 0 !--- 10 10 !--- 20 20 !--- 30 30 !--- 40 40 !--- 50 2 5 8 6 3 2 7 15 21 24 n=24

3º Passo) Comparamos os valores da fac com o valor de (n/4), fazendo a pergunta de praxe, adaptada ao primeiro quartil:

Xi fi fac 0 !--- 10 10 !--- 20 20 !--- 30 30 !--- 40 40 !--- 50 2 5 8 6 3 2 7 15 21 24

 2 é maior ou igual a 6? NÃO!  7 é maior ou igual a 6? SIM!

n=24

Como a resposta foi afirmativa na segunda fac, procuramos a classe correspondente (10 !--- 20) e dizemos que esta será nossa Classe do Primeiro Quartil!

4º Passo) Só nos resta agora aplicar a fórmula do Primeiro Quartil, tomando como referência a Classe do Q1, que acabamos de encontrar! Teremos:

h

fi

fac

n

l

Q



























_

















inf

4

1

A determinação do Q2 e do Q3 é semelhante à do Q1, com uma pequena diferença! É preciso sabermos do seguinte:

O que irá ser alterado na determinação do cálculo destas medidas separatrizes é exatamente aquela fração que aparece no numerador da

fórmula!

No caso da Mediana, a fração é (n/2); No caso do primeiro quartil, é (n/4). E nos demais quartis, como será?

Para o segundo quartil, repete-se o (n/4) do primeiro quartil e põe-se um algarismo 2 (de Q2) no numerador, junto ao n! Assim, teremos:

 Fração do Segundo Quartil: Q2  (2n/4) = (n/2) Daí, a fórmula do Segundo Quartil - Q2 - é a seguinte:

h fi fac n l Q ANT              _         4 2 inf 2 _{ Ou seja:} h fi fac n l Q ANT              _         inf 2 2 _{= Mediana!}

E disso já sabíamos: o Segundo Quartil é a própria Mediana! Portanto, não vacilaremos na prova! Se o enunciado da questão fornecer um conjunto, e solicitar que determinemos o Q2, não nos restará qualquer dúvida: calcularemos a Mediana!

Já no caso do terceiro quartil, repete-se o (n/4) do primeiro quartil e põe-se um algarismo 3 (de Q3) no numerador, ao lado do n! Teremos, pois:

 Fração do Terceiro Quartil: Q3  (3n/4)

Daí, a fórmula que empregaremos para determinar o Terceiro Quartil será a seguinte: h fi fac n l Q ANT              _         4 3 inf 3

Ora, conhecer a fração que consta na fórmula da Medida Separatriz implica conhecer também o primeiro passo para encontrá-la!

Senão vejamos: no cálculo da Mediana, calculávamos o valor de (n/2); no cálculo do Primeiro Quartil, calculávamos o valor de (n/4).

Por mera dedução, o primeiro passo para encontrarmos o valor do Terceiro Quartil será exatamente calcularmos o valor de (3n/4)!

Os passos para determinação do Q3 serão, portanto, os seguintes:

 Calculamos o valor de (3n/4) (independentemente de n ser par ou ímpar!);

 Construímos a coluna da fac;

 Comparamos o valor do (3n/4) com os valores da fac, iniciando da fac da primeira classe (a mais de cima!) e fazendo a seguinte pergunta:

"esta fac é maior ou igual a (3n/4)?". Se a resposta for NÃO, passamos à fac da classe seguinte. Quando a resposta for SIM, pararemos e procuraremos a classe correspondente! Esta será a nossa Classe do Terceiro Quartil.

 Finalmente, aplicaremos a fórmula do Q3, extraindo os dados desta classe do Q1, que acabamos de encontrar! Novamente a fórmula:

h fi fac n l Q ANT              _         4 3 inf 3

Neste momento, vocês todos que são bons observadores já perceberam que a única diferença verificada nos passos descritos para calcularmos o Primeiro e o Terceiro Quartil consiste naquela fração presente no numerador da fórmula de cada Medida Separatriz!

Já perceberam também que esta fração é quem define tudo! Claro! Ela será o valor de referência, que utilizaremos para realizar a comparação com a coluna da freqüência absoluta acumulada crescente (fac), para efeitos de encontrarmos a Classe da Medida Separatriz, ou seja, a classe que usaremos para lançar os dados na fórmula!!

Façamos um exemplo para cálculo do Q3!

Exemplo: Para o conjunto abaixo, determine o valor do terceiro quartil!

Xi fi 0 !--- 10 10 !--- 20 20 !--- 30 30 !--- 40 40 !--- 50 2 5 8 6 3 Sol.:

1º Passo) Encontraremos n e calcularemos (3n/4):

Xi fi 0 !--- 10 10 !--- 20 20 !--- 30 30 !--- 40 40 !--- 50 2 5 8 6 3 n=24

Daí, achamos que n=24 e, portanto, (3n/4)=18 2º Passo) Construímos a fac:

Xi fi fac

0 !--- 10

20 !--- 30 30 !--- 40 40 !--- 50 8 6 3 15 21 24 n=24

3º Passo) Comparamos os valores da fac com o valor de (3n/4), fazendo a pergunta de praxe, adaptada ao terceiro quartil:

Xi fi fac 0 !--- 10 10 !--- 20 20 !--- 30 30 !--- 40 40 !--- 50 2 5 8 6 3 2 7 15 21 24

 2 é maior ou igual a 18? NÃO!  7 é maior ou igual a 18? NÃO!  15 é maior ou igual a 18? NÃO!  21 é maior ou igual a 18? SIM! n=24

Como a resposta SIM surgiu na fac da quarta classe (30 !--- 40), diremos que esta será nossa Classe do Terceiro Quartil!

4º Passo) Aplicaremos a fórmula do Q3, usando os dados da Classe do Q3, que acabamos de identificar!

h fi fac n l Q ANT              _         4 3 inf 3 _ 10 6 15 18 30 3 _  _ Q  E: Q3=35 Simplesmente isso!

# Calculando o Primeiro Decil - D1:

Vamos lá! Como já aprendemos aqui, o Decil dividirá o conjunto em dez partes iguais! Daí, a fração que constará no numerador da fórmula do Primeiro Decil será justamente (n/10)!

Daí, faremos o seguinte: independentemente de n ser um valor par ou ímpar, calcularemos o valor de (n/10) e compararemos este valor com a coluna da fac! A nossa pergunta de praxe, agora adaptada ao Primeiro Decil será: "esta fac é maior ou igual a (n/10)?".

E por que faremos isso? Porque precisamos encontrar a Classe do Primeiro Decil! Ou seja, precisamos identificar a classe da qual extrairemos os dados para utilizarmos na fórmula do D1!

Quando encontrarmos a Classe do D1, só teremos que aplicar a fórmula do D1. Creio que já estamos matando a charada! A fórmula do D1 será igual à da Mediana, com uma única diferença! Qual? Em lugar de (n/2), aparecerá a fração (n/10), uma vez que o Decil divide o conjunto em dez partes iguais!

Estamos percebendo que os passos todos se identificam, quando se trata de determinarmos as Medidas Separatrizes!

Serão, portanto, os seguintes passos adotados para cálculo do Primeiro Decil:

 Calculamos o valor de (n/10) (independentemente de n ser par ou ímpar!);

 Construímos a coluna da fac;

 Comparamos o valor do (n/10) com os valores da fac, iniciando da fac da primeira classe (a mais de cima!) e fazendo a seguinte pergunta:

"esta fac é maior ou igual a (n/10)?". Se a resposta for NÃO, passamos à fac da classe seguinte. Quando a resposta for SIM, pararemos e procuraremos a classe correspondente! Esta será a nossa Classe do Terceiro Quartil.

 Finalmente, aplicaremos a fórmula do Q3, extraindo os dados desta classe do Q1, que acabamos de encontrar! Eis a fórmula:

h fi fac n l D ANT                       inf 10 1 Vamos a um exemplo!

Exemplo: Para o conjunto abaixo, determine o valor do primeiro decil!

Xi fi 0 !--- 10 10 !--- 20 20 !--- 30 30 !--- 40 40 !--- 50 2 5 8 6 3 Sol.:

1º Passo) Encontraremos n e calcularemos (n/10):

Xi fi 0 !--- 10 10 !--- 20 20 !--- 30 30 !--- 40 40 !--- 50 2 5 8 6 3 n=24 Daí, achamos que n=24 e, portanto, (n/10)=2,4 2º Passo) Construímos a fac:

Xi fi fac 0 !--- 10 10 !--- 20 20 !--- 30 30 !--- 40 40 !--- 50 2 5 8 6 3 2 7 15 21 24 n=24

3º Passo) Comparamos os valores da fac com o valor de (n/10), fazendo a pergunta de praxe, adaptada ao primeiro decil:

Xi fi fac 0 !--- 10 10 !--- 20 20 !--- 30 2 5 8 2 7 15

 2 é maior ou igual a 2,4? NÃO!  7 é maior ou igual a 2,4? SIM!

30 !--- 40

40 !--- 50 63 2124 n=24

Achamos, portanto, que a classe correspondente (10 !--- 20) será nossa Classe do Primeiro Decil!

4º Passo) Aplicamos a fórmula do Primeiro Decil: h fi fac n l D ANT              _         inf 10 1 _ 10 5 2 4 , 2 10 1         D  E: D1=10,8 Somente isso!

# Calculando os Outros Decis - D2 a D9:

Creio que já estamos quase prontos para generalizar o nosso entendimento sobre as Medidas Separatrizes! Vejamos apenas o que haverá de novo na determinação dos demais Decis!

Já sabemos que o que diferencia uma Medida Separatriz de outra, para fins de cálculo, é aquela fração que aparece no numerador da fórmula! Para o Primeiro Decil (D1), essa fração é (n/10), conforme vimos acima! E para os demais Decis, qual será a fração de cada um deles?

Para o segundo Decil, repete-se o (n/10) do primeiro decil e põe-se um algarismo 2 (de D2) no numerador, junto ao n! Assim, teremos:

 Fração do Segundo Decil: D2  (2n/10)

Logo, para sabermos a fórmula do D2, basta repetir a fórmula da Mediana e, em lugar do (n/2), usarmos o (2n/10)! Teremos:

h fi fac n l D ANT                       10 2 inf 2

Para o terceiro Decil, repete-se o (n/10) do primeiro decil e põe-se um algarismo 3 (de D3) no numerador, junto ao n! Assim, teremos:

 Fração do Terceiro Decil: D3  (3n/10)

Daí, concluímos que a fórmula do D3 será a fórmula da Mediana com a seguinte alteração: em lugar do (n/2), usarmos o (3n/10)! Teremos:

h fi fac n l D ANT              _         10 3 inf 3

E assim por diante! Ou seja, o que irá mudar nas fórmulas dos nove Decis será apenas a fração do numerador! Seguindo o mesmo raciocínio, teremos que as frações próprias dos próximos Decis serão as seguintes:

 Fração do Quarto Decil: D4 à (4n/10)  Fração do Quinto Decil: D5 à (5n/10)  Fração do Sexto Decil: D6 à (6n/10)  Fração do Sétimo Decil: D7 à (7n/10)  Fração do Oitavo Decil: D8 à (8n/10)  Fração do Nono Decil: D9 à (9n/10)

Então, traçaremos os passos para determinação de qualquer um dos Decis! Usaremos o artifício de substituir o número do Decil por X, de forma que encontraremos o X-ésimo Decil, ok? Os passos são os seguintes:

 Determinamos o n (somando a coluna da fi);

 Calculamos o valor de (Xn/10) (independentemente de n ser par ou ímpar!);

 Construímos a coluna da fac;

 Comparamos o valor do (Xn/10) com os valores da fac, iniciando da fac da primeira classe (a mais de cima!) e fazendo a seguinte pergunta:

"esta fac é maior ou igual a (Xn/10)?". Se a resposta for NÃO, passamos à fac da classe seguinte. Quando a resposta for SIM, pararemos e procuraremos a classe correspondente! Esta será a nossa Classe do X-ésimo Decil, ou seja, a Classe do DX.

 Finalmente, aplicaremos a fórmula do DX, extraindo os dados desta classe do DX, que acabamos de encontrar! Eis a fórmula:

h fi fac Xn l DX ANT                       inf 10

Aproveitemos o ensejo para mais um exemplo!

Exemplo: Para o conjunto abaixo, determine o valor do nono decil!

Xi fi 0 !--- 10 10 !--- 20 20 !--- 30 30 !--- 40 40 !--- 50 2 5 8 6 3 Sol.:

1º Passo) Encontraremos n e calcularemos (9n/10):

Xi fi 0 !--- 10 10 !--- 20 20 !--- 30 30 !--- 40 40 !--- 50 2 5 8 6 3 n=24 Daí, achamos que n=24 e, portanto, (n/10)=21,6 2º Passo) Construímos a fac:

Xi fi fac 0 !--- 10 10 !--- 20 20 !--- 30 30 !--- 40 40 !--- 50 2 5 8 6 3 2 7 15 21 24 n=24

3º Passo) Comparamos os valores da fac com o valor de (9n/10), fazendo a pergunta de praxe, adaptada ao nono decil:

Xi fi fac 0 !--- 10 10 !--- 20 20 !--- 30 30 !--- 40 40 !--- 50 2 5 8 6 3 2 7 15 21 24

 2 é maior ou igual a 21,6? NÃO!  7 é maior ou igual a 21,6? NÃO!  15 é maior ou igual a 21,6? NÃO!  21 é maior ou igual a 21,6? NÃO!  24 é maior ou igual a 21,6? SIM! n=24

Achamos, portanto, que a classe correspondente (40 !--- 50) será nossa Classe do Nono Decil!

4º Passo) Aplicamos a fórmula do Nono Decil: h fi fac n l D ANT              _         10 9 inf 9 _ 10 3 21 6 , 21 40 9         D  E: D9=42,0 E é só! # Calculando os Percentis:

Restaram agora os Percentis! Lembraremos que o Percentil (ou Centil) dividirá o conjunto em cem partes iguais! Por analogia, já podemos concluir que a fração do numerador da fórmula para o Primeiro Centil será (n/100)! E para os demais Percentis, teremos que:

 Fração do Segundo Percentil: P2  (2n/100)  Fração do Terceiro Percentil: P3  (3n/100)  Fração do Quarto Percentil: P4  (4n/100)

. .

 Fração do Nonagésimo Percentil: P90  (90n/100) .

 Fração do Nonagésimo Oitavo Percentil: P98  (98n/100)  Fração do Nonagésimo Nono Percentil: P99  (99n/100)

Daí, a seqüência de passos que usaremos para determinar os Percentis, usando o mesmo artifício para encontrarmos o X-ésimo Percentil - o PX, será a seguinte:

 Determinamos o n (somando a coluna da fi);

 Calculamos o valor de (Xn/100) (independentemente de n ser par ou ímpar!);

 Construímos a coluna da fac;

 Comparamos o valor do (Xn/100) com os valores da fac, iniciando da fac da primeira classe (a mais de cima!) e fazendo a seguinte pergunta: "esta fac é maior ou igual a (Xn/100)?". Se a resposta for NÃO, passamos à fac da classe seguinte. Quando a resposta for SIM, pararemos e procuraremos a classe correspondente! Esta será a nossa Classe do X-ésimo Centil, ou seja, a Classe do PX.

 Finalmente, aplicaremos a fórmula do PX, extraindo os dados desta classe do PX, que acabamos de encontrar! Eis a fórmula:

h fi fac Xn l PX ANT                       inf 100 É isso!

Reparem que fizemos quatro exemplos nesta aula, nos quais determinamos os valores do Q1 (Primeiro Quartil), Q3 (Terceiro Quartil), D1 (Primeiro Decil) e D9 (Nono Decil)! Isso não foi feito por acaso! Quando chegarmos mais adiante na matéria, e formos estudar os Coeficientes Percentílicos de Assimetria e de Curtose, ou mesmo antes disso, já nas Medidas de Dispersão (quando veremos a "Amplitude Semiinterquartílica"), constataremos que essas quatro Medidas Separatrizes -Q1 e Q3, D1 e D9 - nos serão necessárias!

Para encerrar esta aula e tornar o entendimento mais fácil, repetiremos nas páginas seguintes o resumo dos passos para determinação das Medidas Separatrizes e, na seqüência, o "dever de casa" (aposto que estavam com saudades, hein?).

RESUMO - MEDIDAS SEPARATRIZES # Mediana:

 Determinamos o n (somando a coluna da fi);

 Calculamos o valor de (n/2) (independentemente de n ser par ou ímpar!);

 Construímos a coluna da fac;

 Comparamos o valor do (n/2) com os valores da fac, iniciando da fac da primeira classe (a mais de cima!) e fazendo a seguinte pergunta:

"esta fac é maior ou igual a (n/2)?". Se a resposta for NÃO, passamos à

fac da classe seguinte. Quando a resposta for SIM, pararemos e procuraremos a classe correspondente! Esta será a nossa Classe Mediana.

 Finalmente, aplicaremos a fórmula da Md, extraindo os dados desta classe da Mediana, que acabamos de encontrar! Eis a fórmula:

h fi fac n l Md ANT              _         inf 2

# Quartis: (Para Determinação do X-ésimo Quartil - QX)  Determinamos o n (somando a coluna da fi);

 Calculamos o valor de (Xn/4) (independentemente de n ser par ou ímpar!);

 Construímos a coluna da fac;

 Comparamos o valor do (Xn/4) com os valores da fac, iniciando da fac da primeira classe (a mais de cima!) e fazendo a seguinte pergunta:

"esta fac é maior ou igual a (Xn/4)?". Se a resposta for NÃO, passamos à fac da classe seguinte. Quando a resposta for SIM, pararemos e procuraremos a classe correspondente! Esta será a nossa Classe do X-ésimo Quartil, ou seja, a Classe do QX.

 Finalmente, aplicaremos a fórmula do QX, extraindo os dados desta classe do QX, que acabamos de encontrar! Eis a fórmula:

h fi fac Xn l QX ANT              _         inf 4

# Decis: (Para Determinação do X-ésimo Decil - DX)  Determinamos o n (somando a coluna da fi);

 Calculamos o valor de (Xn/10) (independentemente de n ser par ou ímpar!);

 Construímos a coluna da fac;

 Comparamos o valor do (Xn/10) com os valores da fac, iniciando da fac da primeira classe (a mais de cima!) e fazendo a seguinte pergunta:

"esta fac é maior ou igual a (Xn/10)?". Se a resposta for NÃO, passamos à fac da classe seguinte. Quando a resposta for SIM, pararemos e procuraremos a classe correspondente! Esta será a nossa Classe do X-ésimo Decil, ou seja, a Classe do DX.

 Finalmente, aplicaremos a fórmula do DX, extraindo os dados desta classe do DX, que acabamos de encontrar! Eis a fórmula:

h fi fac Xn l DX ANT              _         inf 10

# Percentis: (Para Determinação do X-ésimo Percentil - PX)  Determinamos o n (somando a coluna da fi);

 Calculamos o valor de (Xn/100) (independentemente de n ser par ou ímpar!);

 Construímos a coluna da fac;

 Comparamos o valor do (Xn/100) com os valores da fac, iniciando da fac da primeira classe (a mais de cima!) e fazendo a seguinte pergunta: "esta fac é maior ou igual a (Xn/100)?". Se a resposta for NÃO, passamos à fac da classe seguinte. Quando a resposta for SIM, pararemos e procuraremos a classe correspondente! Esta será a nossa Classe do X-ésimo Centil, ou seja, a Classe do PX.

 Finalmente, aplicaremos a fórmula do PX, extraindo os dados desta classe do PX, que acabamos de encontrar! Eis a fórmula:

h fi fac Xn l PX ANT              _         inf 100

Ok! De teoria por hoje é só! Fiquemos agora com os...

...EXERCÍCIOS DE HOJE

01. Determine para o conjunto abaixo os valores do Primeiro Quartil, Terceiro Quartil, Primeiro Decil e Nono Decil:

Xi fi 0 !--- 15 15 !--- 30 30 !--- 45 45 !--- 60 60 !--- 75 4 13 15 10 6

02. Utilizando-se do enunciado abaixo, determine os valores do Primeiro Quartil, Terceiro Quartil, Primeiro Decil e Nono Decil:

Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X), foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna

Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P

representa a freqüência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes.

Classes P (%) 70 – 90 5 90 – 110 15 110 – 130 40 130 – 150 70 150 – 170 85 170 – 190 95 190 – 210 100

Ok, meus amigos! Hoje ficaremos mesmo por aqui!

Vocês me dão licença para duas palavrinhas? Como vocês puderam ver, estive ausente por uns dias... Recebi vários e vários e-mails, de alunos de todos os cantos, perguntando pelas aulas e se eu os havia

abandonado... Mas é lógico que isso sequer se passou pela minha cabeça!

Ocorre que nesses dias eu estava de mudança! Mudança de cidade, mudança de vida! E quem já mudou sabe o trabalho que é isso...

Estive, realmente, sem condições de colocar as aulas como de praxe. E isso me deixou aperreado (como se diz aqui no Nordeste!). Infelizmente,

as coisas não saem sempre como a gente planeja... Sábado passado, eu iniciei a elaboração desta aula de hoje; já estava na última página, quando ocorreu um desses “erros fatais” e eu simplesmente perdi tudo! Passei mais de hora tentando recuperar o arquivo, mas em vão! O jeito foi recomeçar e refazer tudinho! Espero que valha a pena esta mão-de-obra, e que vocês aproveitem bem esta teoria!