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(1)Universidade Federal de Juiz de Fora Instituto de Ciências Exatas Programa de Pós-Graduação em Matemática. Eduardo Huerto Caqui. Multiplicidade de soluções para um problema elíptico semilinear. Juiz de Fora 2015.

(2) Eduardo Huerto Caqui. Multiplicidade de soluções para um problema elíptico semilinear. Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Matemática da Universidade Federal de Juiz de Fora, na área de concentração em Análise, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Matemática.. Orientador: Fábio Rodrigues Pereira Coorientador: Luiz Fernando de Oliveira Faria. Juiz de Fora 2015.

(3) Ficha catalográfica elaborada através do Modelo Latex do CDC da UFJF com os dados fornecidos pelo(a) autor(a) Caqui, Eduardo Huerto. Multiplicidade de soluções para um problema elíptico semilinear / Eduardo Huerto Caqui. – 2015. 93 f. : il. Orientador: Fábio Rodrigues Pereira Coorientador: Luiz Fernando de Oliveira Faria Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal de Juiz de Fora, Instituto de Ciências Exatas. Programa de Pós-Graduação em Matemática, 2015. 1.Equações diferenciais. 2.Expoente crítico. 3.Problema semilinear I. Pereira, Fábio Rodrigues, orient. II. Faria, Luiz Fernando de Oliveira, coorient. III. Título..

(4) Eduardo Huerto Caqui. Multiplicidade de soluções para um problema elíptico semilinear. Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Matemática da Universidade Federal de Juiz de Fora, na área de concentração em Análise, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Matemática.. Aprovada em: 14 de agosto de 2015 BANCA EXAMINADORA. Professor Dr. Fábio Rodrigues Pereira - Orientador Universidade Federal de Juiz de Fora. Professor Dr. Luiz Fernando de Oliveira Faria Luiz Fernando de Oliveira Faria - Coorientador Universidade Federal de Juiz de Fora. Professor Dr. Olimpio Hiroshi Miyagaki Universidade Federal de Juiz de Fora. Professor Dr. Anderson Luís Albuquerque Araújo Universidade Federal de Viçosa.

(5) AGRADECIMENTOS Aos meus familiares em especial para minha mae Pelagia Caqui Mallqui. Ao meu orientador, professor Fábio Rodrigues Pereira, pela atenção e dedicação com que me orientou. Ao meu coorientador, professor Luiz Fernando de Oliveira Faria. À coordenação do Mestrado em Matemática da UFJF juntamente com todos os professores do programa. À professora Flaviana Andréa Ribeiro por me incentivar a continuar os estudos. Aos professores Olímpio Hiroshi Miyagaki e Anderson Luís Albuquerque Araújo por terem aceito o convite para participar da minha Banca. Aos meus amigos de mestrado, pelas proveitosas discussões e pela ótima companhia. À CAPES, pelo apoio financeiro, sem o qual este trabalho não seria possível..

(6) RESUMO Neste trabalho, estudamos a existência de soluções para o problema semilinear elíptico.  . −∆u = −λ|u|q−2 u + au + b(u+ )p−1  u=0 sobre ∂Ω,. em Ω,. onde Ω ⊆ RN é um domínio limitado com fronteira regular, N ≥ 3, b > 0, 1 < q < 2 < p ≤ 2∗ , u+ = max{u, 0}, a ∈ R, λk < a < λk+1 , k ≥ 1, e λj ∈ σ(−∆). Consideramos dois casos, a saber, (i) 2 < p < 2∗ (subcrítico), (ii) p = 2∗ (crítico), usando métodos variacionais, mostramos a existência de pelo menos três soluções. As duas primeiras foram obtidas via o Teorema do Passo da Montanha e a terceira via o Teorema de Enlace. Palavras-chave: Equações diferenciais. Expoente crítico. Problema semilinear..

(7) ABSTRACT In this work, we study the existence of solutions for the semilinear elliptic problem  . −∆u = −λ|u|q−2 u + au + b(u+ )p−1  u=0 sobre ∂Ω,. em Ω,. where Ω ⊆ RN is a bounded smooth domain, N ≥ 3, b > 0, 1 < q < 2 < p ≤ 2∗ , u+ = max{u, 0}, a ∈ R, λk < a < λk+1 , k ≥ 1, and λj ∈ σ(−∆). We consider two cases, namely, (i) 2 < p < 2∗ (subcritical), (ii) p = 2∗ (critical), using variational methods, we show the existence of at least three solutions. The first two were obtained via the mountain pass theorem and the third via the linking Theorem. Key-words: Differential equations. Critical exponent. Semilinear problem..

(8) LISTA DE ILUSTRAÇÕES Figura 1 – A geometria do passo da Montanha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Figura 2 – A geometria do Teorema de Linking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.

(9) LISTA DE SÍMBOLOS Ω ⊂ RN. subconjunto aberto e limitado.. ∂Ω. fronteira de Ω.. Ω. é o fecho de Ω.. Ac. o complementar do conjunto A.. med (A). é a medida de Lebesgue de um subconjunto A de RN. BR (x0 ). Bola de radio R centrada no ponto x0 . !. ∇u ∆u. ∂u ∂u ,..., . ∂x1 ∂xn n X. ∂ 2u . 2 i=1 ∂xi. supp f. suporte da função f.. Dα u. ∂ |α| u , α = (α1 , . . . , αn ). ∂xα1 1 , . . . , ∂xαnn. C(Ω). espaço das funções u : Ω → R contínuas em Ω.. C(Ω, R). espaço das funções u : Ω → R contínuas em Ω.. k.k0. norma definida em C(Ω, R).. C 1 (Ω, R). espaço de todas as funções u : Ω → R que possuem derivadas contínuas em Ω.. C 1 (Ω, R). espaço de todas as funções u : Ω → R que possuem derivadas contínuas em Ω.. k.kC 1. norma definida em C 1 (Ω, R).. C01 (Ω, R). espaço de todas as funções u : Ω → R que possuem derivadas contínuas em Ω com suporte compacto.. C0∞ (Ω, R). espaço das funções u : Ω → R infinitamente diferenciáveis com suporte compacto.. L∞. espaço das funções mensuráveis u : Ω → R onde supx∈Ω |u(x)| < ∞ com norma kuk∞ = inf{C > 0 : |u(x)| ≤ C quase sempre em Ω}..

(10) W k,p (Ω). espaços de Sobolev (veja Apêndice A.10).. H k (Ω). espaço de Sobolev W k,2 (Ω).. H01. fecho de C0∞ (Ω) com respeito ao espaço H 1 (Ω) com norma dada por kukH 1 =. Z. 2. 2. (|∇u| + |u| )dx. 1 2. .. Ω. A norma considerada em H01 (Ω) é dada por kuk = Lp. |∇u|2 dx. 1. 2. .. Ω. espaço das funções mensuráveis u : Ω → R com norma Lp finita |u|p =. U ,→ V p∗ =. Z. pN N −p. Z. p. 1/p. |u| dx. 1 ≤ p < ∞.. Ω. imersão contínua entre os espaços U e V. expoente crítico de Sobolev com respeito à imersão de Sobolev ∗. H01 (Ω) ,→ Lp (Ω). E∗. espaço dual topológico de E.. h., .iE. produto interno definido em E.. →. convergência forte.. *. convergência fraca.. q.t.p.. quase todo ponto (a menos de um conjunto de medida de Lebesgue nula).. u+ = max{u, 0} u− = max{−u, 0}. parte positiva de u. parte negativa de u.. f = O(g) quando x → x0 , significa que existe C ∈ R tal que |f (x)| ≤ C|g(x)|, ∀ x suficientemente próximo de x0 . f = o(g) quando x → x0 ,. significa que lim. x→x0. |f (x)| = 0. |g(x)|.

(11) SUMÁRIO. 1. INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10. 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5. RESULTADOS PRELIMINARES . . . . . . . . REGULARIDADE DO FUNCIONAL . . . . . . . . . SOBRE COMPACIDADE . . . . . . . . . . . . . . . ESTUDO DA PARTE POSITIVA DO FUNCIONAL ESTUDO DA PARTE NEGATIVA DO FUNCIONAL A DECOMPOSIÇÃO DO ESPAÇO H01 . . . . . . .. 12 12 17 28 30 33. 3. MULTIPLICIDADE DE SOLUÇÕES PARA UM PROBLEMA ENVOLVENDO O EXPOENTE SUBCRÍTICO . . . . . . . . 43 SOLUÇÕES VIA O TEOREMA DO PASSO DA MONTANHA . . . . 44 SOLUÇÃO VIA O TEOREMA DE LINKING . . . . . . . . . . . . . . 48. 3.1 3.2 4 4.1 4.2. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . .. MULTIPLICIDADE DE SOLUÇÕES PARA UM PROBLEMA ENVOLVENDO O EXPOENTE CRÍTICO . . . . . . . . . . . 53 SOLUÇÕES VIA O TEOREMA DO PASSO DA MONTANHA . . . . 60 SOLUÇÃO VIA O TEOREMA DE LINKING . . . . . . . . . . . . . . 63. REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 70. APÊNDICE A – Resultados Gerais . . . . . . . . . . . . . . . .. 72. APÊNDICE B – Teoria do Grau . . . . . . . . . . . . . . . . .. 79. APÊNDICE C – Teorema do Passo da Montanha de AmbrosettiRabinowitz e o Teorema de Linking . . . . . 82 APÊNDICE D – O Espectro do Laplaciano . . . . . . . . . . .. 87.

(12) 10. 1 INTRODUÇÃO Essa dissertação tem como objetivo expor o trabalho de F. O. de Paiva e A. E. Presoto [16], o qual será estudado ao longo deste trabalho. Estudamos a possibilidade de existência de solução para o problema semilinear elíptico.  . −∆u = −λ|u|q−2 u + au + b(u+ )p−1  u=0 sobre ∂Ω,. em Ω,. (1.1). onde Ω ⊆ RN é um domínio limitado com fronteira regular, N ≥ 3, a ∈ R, b > 0, λ é um 2N parâmetro posistivo, 1 < q < 2 < p ≤ 2∗ = e u+ = max{u, 0}. N −2 No caso em que a potência p é subcrítica, isto é, 2 < p < 2∗ , a imersão de H01 (Ω) em Lp (Ω) é compacta, assim, é possível mostrar que o funcional associado ao problema (1.1) satisfaz a condição de Palais-Smale em todos os níveis. Por outro lado, no caso em que a potência p é crítica (p = 2∗ ), a imersão de H01 (Ω) em Lp (Ω) não é compacta, e assim, este “problema” é transferido para o funcional. Isto gera uma grande dificuldade em mostrar a existência de solução não-nula. Os argumentos aqui utilizados para o caso crítico são adaptações da técnica desenvolvida por Brezis-Niremberg [5], no qual é mostrado que o funcional satisfaz Palais Smale abaixo de um certo nível. Mostraremos também que em ambas os casos (crítico e subcrítico), o problema (1.1) possui três soluções. As ferramentas Variacionais serão o teorema do Passo da Montanha e o Teorema de Linking. Em 1994, A. Ambrozetti, H. Brezis e G. Cerami [1] consideraram o problema         . −∆u = λuq + up , em Ω, u>0 em Ω, u=0 sobre ∂Ω,. (1.2). onde eles mostraram a existência de um valor Λ > 0 tal que existem pelo menos duas soluções positivas para λ ∈ (0, Λ), pelo menos uma para λ = Λ e nenhuma solução positiva para λ > Λ. Após o surgimento deste trabalho, tem havido a preocupação crescente sobre o estudo de multiplicidade de soluções para o problema elíptico semilinear do tipo: −∆u = µ|u|q−2 u + g(u) em Ω. Quando g é assimétrica e assintoticamente linear este problema foi considerado em [8, 12, 15, 23]. Aqui assimétrica significa que g satisfaz uma condição tipo Ambrosetti-Prodi, g(t) g(t) isto é, g− = lim < λk < g+ = lim . Quando g é assimétrica e superlinear t→−∞ t t→+∞ t em +∞, g+ = ∞, este problema foi abordado em [8, 15, 20]. Em [8] foi considerado um problema com condição de fronteira do tipo Neumann e em [20] os autores estudaram um g(t) problema envolvendo o operador p-laplaciano. Em [15], foi assumido que cruza um t.

(13) 11 autovalor do laplaciano quando t varia de 0 à −∞, isto é, g 0 (0) < λk < g− . Hipóteses similares também aparecem em [23]. Hipóteses que envolvem o primeiro autovalor, como g 0 (0), g− ≤ λ1 , foram considerados em [8, 12, 20]. Sabe-se que o cruzamento de autovalores, em particular, o primeiro, está relacionada com a existência e multiplicidade de soluções de tais problemas. Neste trabalho nota-se que a não linearidade g(t) = at + b(t+ )p+1 , com a > λ1 , não está incluído em nenhum dos trabalhos anteriores. Além disso, problemas semelhantes com µ = 0 foram estudados em [21] para problemas de Dirichlet, e em [2, 24] para problemas Neumann. Nosso problema (1.1) também está intimamente relacionado com a classe de problemas superlineares do tipo Ambrosetti-Prodi: −∆u = au + (u+ )p + f (u) em Ω com f ∈ L2 . Por exemplo no caso em que a = λ1 , este problema tem uma solução, se kf kL2 é suficientemente pequeno (ver [17]). Em 1986, B. Ruf e P. N. Srikanth [26] estudaram o problema superlinear com o expoente subcrítico :  . −∆u = λu + (u+ )p + f (u)  u=0 sobre ∂Ω,. em Ω,. (1.3). onde Ω ⊂ RN é um domínio limitado suave, 1 N e λ ∈ R. Usando a decomposição f = tϕ1 + f1 com f1 ϕ1 = 0 e a hipótese de que Ω λ > λ1 , λ 6= λi para todo i ∈ N, Ruf e Srikanth mostraram a existência de uma constante T = T (f1 ), tal que para t > T, o problema (1.3) possui pelo menos duas soluções. Outros resultados e variações para o problema acima podem ser encontrados em [9, 10, 11, 13, 25]. A principal motivação para o caso crítico do problema (1.1) é o trabalho pioneiro de Brezis-Nirenberg [5], onde o seguinte problema crítico foi considerado :  . ∗. −∆u = λu + |u|2 −2  u=0 sobre ∂Ω,. em Ω,. (1.4). onde λ < λ1 . Eles notaram que o problema tinha uma quebra da compacidade no valor N S2 , de modo que, eles construíram níveis minimax para o funcional energia associado N ao problema (1.4). Tais ideias permearam muitos trabalhos posteriores, dentro os quais o trabalho de Capozzi, Fortunato e Palmieri [7] que basicamente estudaram o problema acima, com λ entre dois autovalores. Eles demostraram que o problema acima tem uma solução não trivial para todo λ > 0 quando N ≥ 5 e quando λ não é autovalor do laplaciano quando N = 4. Iniciamos o Capítulo 2 com resultados que serão usados nos demais capítulos. No Capítulo 3 estudamos o problema (1.1) para o caso subcrítico, onde fizemos uso da técnica do Teorema do Passo da Montanha para obter uma solução negativa e uma positiva. Além disso, usamos o teorema de Linking para obter uma terceira solução. No Capítulo 4 abordamos o problema (1.1) para o caso crítico, onde novamente usamos os mesmos teoremas, com a compacidade satisfeita abaixo de certo nível, para obter três soluções..

(14) 12. 2 RESULTADOS PRELIMINARES Neste capítulo, demonstraremos resultados que serão utilizados para o problema Elíptico Semilinear com condição de fronteira de Dirichlet envolvendo o expoente subcrítico, quanto para o crítico, isto é,  . −∆u = −λ|u|q−2 u + au + b(u+ )p−1  u=0 sobre ∂Ω,. em Ω,. (2.1). onde Ω ⊆ RN é um domíno limitado com fronteira regular, N ≥ 3, a ∈ R, b > 0, λ ∈ R+ , 2N 1 < q < 2 < p ≤ 2∗ = e u+ = max{u, 0}. N −2 As soluções fracas do problema (2.1) correspondem aos pontos críticos do funcional Iλ : H01 (Ω) → R dado por 1Z λZ aZ bZ + p 2 q 2 Iλ (u) = |∇u| dx + |u| dx − |u| dx − (u ) dx. 2 Ω q Ω 2 Ω p Ω Antes de iniciarmos o primeiro resultado, precisaremos de algumas notações que serão utilizadas ao longo do trabalho. Denotamos os autovalores de (−∆, H01 (Ω)) por 0 < λ1 < λ2 ≤ · · · ≤ λj · · · , e por ϕj as autofunções correspondentes. As normas definidas em H01 (Ω) e Lp (Ω) são denotadas por k.k e |.|p respectivamente. 2.1 REGULARIDADE DO FUNCIONAL Começamos mostrando que este funcional Iλ é de classe C 1 (H01 , R) e sua derivada é dada por hIλ0 (u), hi. =. Z Ω. ∇u∇hdx+λ. Z Ω. q−2. |u|. Z. uhdx−a uhdx−b Ω. Z Ω. (u+ )p−1 hdx, ∀ u, h ∈ H01 . (2.2). Lema 2.1 O funcional Iλ é de classe C 1 (H01 , R) e sua derivada é dada por (2.2). Demonstração: Tomamos I1 , I2 , I3 : H01 → R, da seguinte maneira: 1Z I1 (u) = |∇u|2 dx, 2 ZΩ a I2 (u) = |u|2 dx, 2 ZΩ 1 I3 (u) = |u|γ dx, para 1 < γ ≤ 2∗ , γ Ω e iremos provar que I1 , I2 , I3 são de classe C 1 (H01 , R)..

(15) 13 Afirmação 1) I1 é de classe C 1 (H01 , R). De fato, primeiro vamos mostrar que I1 é Gateaux diferenciável. Para isto, iremos encontrar hI10 (u), hi. I1 (u + th) − I1 (u) t→0 t 1 ku + thk2 − 21 kuk2 = lim 2 t→0 t ! 2 1 kuk t2 khk kuk2 + thu, hiH01 + − = lim t→0 t 2 2 2. hI10 (u), hi = lim. =hu, hiH01 =. Z. ∇u∇hdx.. Ω. Portanto, a derivada de Gateux existe em u com. hI10 (u), hi. =. Z. ∇u∇hdx. Agora mostra-. Ω. remos que I10 é contínua, seja un → u em H01 . Queremos mostrar que I10 (un ) → I10 (u) em (H01 )∗ . Para todo h ∈ H01 com khk ≤ 1, vejamos que |hI10 (un ) − I10 (u), hi| = |hI10 (un )hi − hI10 (u)hi| = |hun , hiH01 − hu, hiH01 | = |hun − u, hiH01 | ≤ kun − ukkhk ≤ kun − uk. Isto implica que |hI10 (un ) − I10 (u), hi| ≤ kun − uk para todo h ∈ H01 com khk ≤ 1, por conseguinte kI10 (un ) − I10 (u)k(H01 )∗ = sup |hI10 (un ) − I10 (u), hi| ≤ kun − uk. khk≤1. Pela hipótese, segue-se kI10 (un ) − I10 (u)k(H01 )∗ → 0, quando n → ∞, isto é, I10 (un ) → I10 (u) quando n → ∞. Deste modo, concluímos que I10 é contínuo e com o resultado (ver Apêndice, Teorema A.3), I1 ∈ C 1 (H01 , R). Afirmação 2) I2 é de classe C 1 (H01 , R). De fato, primeiro vamos mostrar que I2 é Gateaux diferenciável. Para isto iremos encontrar hI20 (u), hi. I2 (u + th) − I2 (u) t→0 t 1 a a = lim |u + th|22 − |u|22 t→0 t 2 2 ! 2 1 |u|2 t2 |h|2 |u|22 + thu, hiL2 + − =a lim t→0 t 2 2 2. hI20 (u), hi = lim. =ahu, hi. L2. =a. Z Ω. uhdx..

(16) 14 Portanto, a derivada de Gateux existe em u com hI20 (u), vi = a. Z. uhdx. Agora mostraremos. Ω. que I20 é contínua. Assim, seja un → u em H01 , queremos mostrar que I20 (un ) → I20 (u) em (H01 )∗ . Para todo h ∈ H01 com khk ≤ 1, obtemos |hI20 (un ) − I20 (u), hi| = |hI20 (un ), hi − hI20 (u), hi| = a|hun , hiL2 (Ω) − hu, hiL2 (Ω) | = a|hun − u, hiL2 | ≤ a|un − u|2 |h|2 ≤ ac1 c2 kun − ukkhk, onde na última desigualdade usamos a desigualdade de Poincaré (ver Apêndice, Teorema A.23), isto é, existem c1 , c2 > 0 tais que |un − u|2 ≤ c1 kun − uk e |h|2 ≤ c2 khk Assim, podemos deduzir que |hI10 (un ) − I10 (u), vi| ≤ ac1 c2 kun − uk para todo h ∈ H01 com khk ≤ 1, por conseguinte kI20 (un ) − I20 (u)k(H01 )∗ = sup |hI20 (un ) − I20 (u), hi| ≤ ac1 c2 kun − uk. khk≤1. Pela hipótese segue-se kI20 (un ) − I20 (u)k(H01 )∗ → 0, quando n → ∞, isto é, I20 (un ) → I20 (u), quando n → ∞. Deste modo, concluímos que I20 é contínuo e com o resultado (ver Apêndice, Teorema A.3), I2 ∈ C 1 (H01 , R). Afirmação 3) I3 é de classe C 1 (H01 , R). De fato, primeiro vamos mostrar que I3 é Gateaux diferenciável. Para isto iremos encontrar hI30 (u), hi. Consideremos a seguinte função f : [0, 1] → R dada por f (s) = 1 |u + sth|γ onde t ∈ R é tal que 0 < |t| < 1 e u, h ∈ H01 . Evidentemente, f é diferenciável γ em (0, 1) e além disso: (i) f (1) =. 1 |u + th|γ , γ. (ii) f (0) =. 1 γ |u| , γ. (iii) f 0 (s) = |u + sth|γ−2 (u + sth)th. Logo, pelo Teorema do valor Médio, existe δ ∈ (0, 1) tal que f (1) − f (0) = f 0 (δ)(1 − 0) 1 1 substituindo os items (i), (ii), (iii) se segue |u + th|γ − |u|γ = |u + δth|γ−2 (u + δth)th. γ γ Dividindo a igualdade acima por t onde 0 < |t| < 1, tem-se 1 γ. |u + th|γ − |u|γ t. !. = |u + δth|γ−2 (u + δth)h.. Assim, podemos obter 1 lim t→0 γ. |u + th|γ − |u|γ t. !. = |u|γ−2 uh.. (2.3).

(17) 15 Além disso,

(18)

(19) 1

(20)

(21)

(22) γ. |u + th|γ − |u|γ t. !

(23)

(24)

(25)

(26)

(27). = |u + δth|γ−1 |h| ≤ (|u| + |δ||t||h|)γ−1 |h| ≤ (|u| + |h|)γ−1 |h|.. Agora, mostraremos que (|u| + |h|)γ−1 |h| ∈ L1 , isto é,. Z. (|u| + |h|)γ−1 |h|dx < ∞.. Ω. Para isso pelo Teorema A.17 (ver Apêndice), podemos observar que H01 ,→ Lγ para γ ∈ (1, 2∗ ]. Logo para u, h ∈ H01 podemos deduzir u, h ∈ Lγ e |u| + |h| ∈ Lγ . Assim, γ γ (|u| + |h|)γ−1 ∈ L γ−1 . Usando a desigualdade de Hölder com expoentes e γ em γ−1 (|u| + |h|)γ−1 |h|, obtemos Z. γ−1. (|u| + |h|). |h|dx ≤. Z. Ω. γ−1. |(|u| + |h|). |. γ γ−1. γ−1 Z. dx. γ. . γ. |h| dx < ∞.. Ω. Ω. γ. Note que a última desigualdade segue-se do fato que (|u| + |h|)γ−1 ∈ L γ−1 e h ∈ Lγ . Assim, segue do Teorema da convergência dominada de Lebesgue (ver Apêndice, Teorema A.20) que lim. Z. t→0 Ω. 1 γ. |u + th|γ − |u|γ t. !. 1 dx = lim Ω t→0 γ Z. |u + th|γ − |u|γ t. !. dx =. Z. |u|γ−2 uhdx,. Ω. onde a última igualdade resulta de (2.3). Então daí, obtemos hI30 (u), hi. = lim. Z. t→0 Ω. 1 γ. |u + th|γ − |u|γ t. !. dx =. Z. |u|γ−2 uhdx,. Ω. e consequentemente, existe a derivada de Gateaux em u, com hI30 (u), hi =. Z. |u|γ−2 uhdx.. Ω. Agora mostraremos que I30 é contínua. Seja un → u em H01 . Queremos mostrar que I30 (un ) → I30 (u) em (H01 )∗ , pelo Teorema A.17 (ver Apêndice) segue que un → u em Lγ , uma vez que γ ∈ (1, 2∗ ]. Logo, pelo Teorema A.4 (ver Apêndice), existe uma subsequência, ainda denotada por (un ) e existe g ∈ Lγ tal que un → u, q.t.p. em Ω, e, |un | ≤ g, q.t.p em Ω. Para todo h ∈ H01 com khk ≤ 1, temos |hI30 (un ). −. I30 (u), hi|. = = ≤.

(28)

(29) Z Z

(30)

(31) γ−2

(32) |un |γ−2 un hdx − |u| uhdx

(33)

(34)

(35) Ω

(36) ZΩ

(37)

(38)

(39)

(40) (|un |γ−2 un − |u|γ−2 u)hdx

(41)

(42)

(43) ZΩ Ω. ||un |γ−2 un − |u|γ−2 u||h|dx.. (2.4).

(44) 16 Portanto, |hI30 (un ) − I30 (u), hi| ≤. Z. ||un |γ−2 un − |u|γ−2 u||h|dx.. Ω. (2.5). Por (2.4), temos un → u, q.t.p. em Ω, então ||un |γ−2 un − |u|γ−2 u||h| → 0, q.t.p. em Ω,. (2.6). e observamos que 2∗. γ. 2∗. (||un |γ−2 un − |u|γ−2 u| γ−1 ) γ = ||un |γ−2 un − |u|γ−2 u| γ−1 2∗. ≤ (|un |γ−2 |un | + |u|γ−2 |u|) γ−1 2∗. ∗. ∗. ≤ 2 γ−1 (|un |2 + |u|2 ) 2∗. ∗. ∗. ≤ 2 γ−1 (g 2 + |u|2 ), onde, a desigualdade acima segue-se de (2.4). Daí obtemos 2∗. γ. 2∗. ∗. ∗. (||un |γ−2 un − |u|γ−2 u| γ−1 ) γ ≤ 2 γ−1 (g 2 + |u|2 ) γ. γ. ∗. ∗. γ. ||un |γ−2 un − |u|γ−2 u| γ−1 ≤ 2 γ−1 (g 2 + |u|2 ) 2∗ . ∗. γ. ∗. γ. Como (g 2 + |u|2 ) 2∗ ≤ 2 2∗ (g γ + |u|γ ), então γ. ||un |γ−2 un − |u|γ−2 u| γ−1 ≤ M (g γ + |u|γ ), γ. (2.7). γ. onde M = 2 γ−1 + 2∗ é uma constante positiva. Logo, do fato que g, u ∈ Lγ , podemos γ concluir ||un |γ−2 un − |u|γ−2 u| ∈ L γ−1 . Lembre-se também que pelo Teorema A.17 (ver Apêndice), podemos observar que H01 ,→ Lγ para γ ∈ (1, 2∗ ], logo para h ∈ H01 podemos γ deduzir h ∈ Lγ . Agora, usando a desigualdade de Hölder com expoentes γ−1 e γ em ||un |γ−2 un − |u|γ−2 u||h|, obtemos Z Ω. γ−2. ||un |. γ−2. un − |u|. u||h|dx ≤. Z. γ−2. Ω. Z. ||un |. |h|γ dx. Note que existe C > 0 tal que. 1 γ. Ω. γ−2. un − |u|. u|. γ γ−1. γ−1 Z. dx. γ. γ. |h| dx. 1 γ. .. Ω. ≤ Ckhk para todo h ∈ H01 , pois isto decorre. de H01 ,→ Lγ , consequentemente, como khk ≤ 1 segue-se Z Ω. ||un |γ−2 un − |u|γ−2 u||h|dx ≤ C. Z. γ−1. γ. γ. ||un |γ−2 un − |u|γ−2 u| γ−1 dx. Ω. .. (2.8). Resulta de (2.5) e (2.8) que |hI30 (un ). −. I30 (u), hi|. ≤C. Z Ω. γ−2. ||un |. γ−2. un − |u|. u|. γ γ−1. γ−1. dx. γ. .. (2.9). Observe que, por (2.6) e (2.7) onde M (g γ + |u|γ ) ∈ Lγ podemos aplicar o Teorema da Convergência dominada de Lebesgue (ver Apêndice, Teorema A.20), isto é, Z Ω. γ. ||un |γ−2 un − |u|γ−2 u| γ−1 → 0..

(45) 17 Concluímos que por (2.9) I30 (un ) → I30 (u), quando n → ∞. Portanto, I30 é contínuo, logo I3 ∈ C 1 (H01 , R) (ver Apêndice, Teorema A.3). Finalmente pelas afirmações 1), 2), 3) segue-se Iλ ∈ C 1 (H01 , R) e hIλ0 (u), hi. =. Z. ∇u∇hdx + λ. Z. Ω. q−2. |u|. Z. uhdx − a uhdx − b. Ω. Z. Ω. Ω. (u+ )p−1 hdx, ∀u, h ∈ H01 . . 2.2 SOBRE COMPACIDADE No seguinte lema mostraremos que cada sequência (P.S.) de Iλ (isto é, uma sequência (un ) ⊂ H01 que satisfaz |Iλ (un )| 6 M para alguma constante real positiva M e Iλ0 (un ) → 0 no dual de H01 quando n → ∞) é limitada. Lema 2.2 Sejam λ1 < a, 2 0, então cada sequência (P.S.) de Iλ é limitada. Demonstração: Por hipótese (un ) ⊂ H01 satisfaz as condições abaixo |Iλ (un )| =.

(46) Z

(47) 1

(48) |∇un |2 dx +

(49)

(50) 2 Ω. |hIλ0 (un ), hi|. =.

(51) Z

(52)

(53)

(54). Ω.

(55). λZ aZ 2 b Z + p

(56)

(57) q |un | dx − u dx − (u ) dx

(58) ≤ M,

(59) q Ω 2 Ω n p Ω n. ∇un ∇hdx + λ. Z Ω. q−2. |un |. ≤ n khk, para todo h ∈. H01 ,. un hdx − a. Z. un hdx − b. Ω. Z Ω. (2.10)

(60)

(61). p−1 (u+ hdx

(62)

(63) n). onde n → 0, quando n → ∞.. (2.11). 1 1 De (2.10), (2.11) e |Iλ (un )− hI 0 (un ), un i| ≤ |Iλ (un )|+| hI 0 (un ), un i| (desigualdade 2 2 triangular), obtemos 1 M + n kun k ≥ |Iλ (un ) − hI 0 (un ), un i| 2

(64) Z

(65) 1 λZ aZ 2 bZ + p

(66) 2 q =

(67) |∇un | dx + |un | dx − u dx − (u ) dx

(68) 2 Ω q Ω 2 Ω n p Ω n

(69) Z Z Z Z

(70) 1 2 q−2 2 2 + p−1 − |∇un | dx + λ |un | un dx − a un dx − b (un ) un dx

(71)

(72) . 2 Ω Ω Ω Ω Assim, segue que M + n kun k ≥ = =.

(73)

(74) λ

(75)

(76)

(77) q

(78)

(79) λ

(80)

(81)

(82) q

(83)

(84) λ

(85)

(86)

(87) q. bZ + p |un | dx − (u ) dx − p Ω n Ω Z bZ + p q |un | dx − (u ) dx − p Ω n Ω Z bZ + p |un |q dx − (u ) dx − p Ω n Ω Z. q. λZ |un |q dx + 2 Ω λZ |un |q dx + 2 Ω λZ |un |q dx + 2 Ω.

(88).

(89) b Z + p−1

(90) (un ) un dx

(91)

(92) 2 Ω

(93)

(94) b Z + p−1 +

(95) − (un ) (un − un )dx

(96)

(97) 2 Ω

(98) b Z + p

(99)

(100) (u ) dx

(101) .

(102) 2 Ω n.

(103) 18 Portanto, M + n kun k ≥.

(104)

(105)

(106)

(107)

(108).

(109) ! ! λ λ Z b b Z + p

(110)

(111) q − − |un | dx + (u ) dx

(112)

(113) . q 2 Ω 2 p Ω n. Como λ > 0, b > 0 e 1 < q < 2 < p, segue que M + n kun k ≥. ! b b Z + p − (u ) dx, 2 p Ω n. pela hipótese p > 2 e b > 0 e multiplicando por obtemos b b − 2 p. M. !−1. b b − 2 p. + n. b b − 2 p. !−1. kun k ≥. !−1. > 0 em ambos os lados,. Z Ω. p (u+ n ) dx.. Sem perda de generalidade, podemos considerar M em vez de M de n. b b − 2 p. b b − 2 p. !−1. e n em vez. !−1. , logo M + n kun k ≥. Z Ω. p (u+ n ) dx.. (2.12). Por outro lado, |hIλ0 (un ), u− n i|.

(114)

(115) Z Z Z Z

(116)

(117) − q−2 − − + p−1 −

(118) =

(119) ∇un ∇un dx + λ |un | un un dx − a un un dx − b (un ) un dx

(120)

(121) Ω Ω Ω

(122) ZΩ Z

(123) − − − − =

(124)

(125) ∇(u+ |un |q−2 (u+ n − un )∇un dx + λ n − un )un dx Ω Ω

(126) Z Z

(127) + p−2 + − + − − −a (un − un )un dx − b (un ) un un dx

(128)

(129) . Ω. Ω. Donde |hIλ0 (un ), u− n i|. = = =.

(130) Z

(131) Z Z

(132)

(133) − 2 q−2 − 2 − 2

(134) − |∇un | dx − λ |un | (un ) dx + a (un ) dx

(135)

(136)

(137) Ω Ω

(138) ZΩ

(139) Z Z

(140)

(141) − 2 + − q−2 − q−2 − 4−q − 2

(142) − |∇un | dx − λ (un + un ) (un ) (un ) dx + a (un ) dx

(143)

(144)

(145) Ω Ω

(146)

(147) ZΩ Z Z

(148)

(149) − 2 − 2 + − − q−2 − 4−q

(150) − |∇un | dx − λ ((un + un )un ) (un ) dx + a (un ) dx

(151)

(152) .

(153) Ω. Ω. Ω. Assim, |hIλ0 (un ), u− n i|. = = =.

(154) Z

(155) Z Z

(156)

(157) − 2 − q − 2

(158) − |∇un | dx − λ (un ) dx + a (un ) dx

(159)

(160)

(161) Ω Ω

(162)

(163) Z Ω Z Z

(164)

(165)

(166) |∇u− |2 dx + λ (u− )q dx − a (u− )2 dx

(167) n n n

(168)

(169) Ω Ω

(170)

(171) Ω

(172) − 2 q − 2

(173)

(174) kun k + λ|u− n |q − a|un |2

(175) .. Daí concluímos que − 2 − q − 2 |hIλ0 (un ), u− n i| = |kun k + λ|un |q − a|un |2 |..

(176) 19 Usando este fato, por (2.11), obtemos que − 2 − q − 2 0 − n ku− n k ≥ |kun k + λ|un |q − a|un |2 | = |hIλ (un ), un i|.. (2.13). Note que (2.10) implica que 1Z λZ aZ 2 bZ + p 2 q |∇un | dx + |un | dx − u dx − (u ) dx ≤ M. 2 Ω q Ω 2 Ω n p Ω n Como |un | ≥ obtemos. u− n. λ ≥ 0, então 2. Z Ω. q. |un | dx −. Z Ω. q (u− n ) dx. . (2.14). ≥ 0 e pela estimativa (2.14),. Z Z 1Z λZ aZ bZ + p λ 2 q 2 q − q |∇un | dx + |un | dx− |un | dx − (u ) dx ≤ |un | dx− (un ) dx + M. 2 Ω q Ω 2 Ω p Ω n 2 Ω Ω. Portanto, obtemos a seguinte desigualdade bZ + p λZ λZ λZ − q aZ 1Z 2 q q |∇un | dx − (un ) dx ≤ |un | dx − |un | dx− (un ) dx + |un |2 dx +M. 2 Ω p Ω 2 Ω q Ω 2 Ω 2 Ω − + − Como |∇un | = ∇u+ n + ∇un e |un | = un + un , temos. 1Z 1Z bZ + p 2 − 2 |∇u+ | dx + |∇u | dx − (u ) n n 2 Ω 2 Ω p Ω n λZ λZ λZ − q aZ − 2 aZ + 2 q q ≤ |un | dx − |un | dx − (u ) dx + (u ) dx + (u ) dx + M, 2 Ω q Ω 2 Ω n 2 Ω n 2 Ω n e assim, aZ + 2 bZ + p 1Z 2 |∇u+ | dx − (u ) dx − (u ) dx n 2 Ω 2 Ω n p Ω n λZ λZ 1 − 2 q − 2 |un |q dx − |un |q dx − ≤ kun k + λ|u− | − a|u | n q n 2 + M. 2 Ω q Ω 2 Pela igualdade (2.13) decorre aZ + 2 1Z 2 |∇u+ | dx − (u ) dx − n 2 Ω 2 Ω n λZ ≤ |un |q dx − 2 Ω. bZ + p (u ) dx p Ω n λZ 1 |un |q dx + |hIλ0 (un ), u− n i| + M. q Ω 2. Então 1 + 2 ku k ≤ 2 n. ! λ λ Z aZ + 2 bZ + p 1 − |un |q dx + (un ) dx + (un ) dx + |hIλ0 (un ), u− n i| + M. 2 q Ω 2 Ω p Ω 2. Como λ > 0 e 1 < q < 2, então. λ λ − < 0, donde 2 q. 1 + 2 aZ + 2 bZ + p 1 kun k ≤ (un ) dx + (un ) dx + |hIλ0 (un ), u− n i| + M. 2 2 Ω p Ω 2.

(177) 20 Como p > 2 e Ω ⊂ RN é aberto e limitado, temos Lp ,→ L2 . Assim, existe T > 0 tal que. Z Ω. T. 2. Z Ω. 2 2 (u+ n ) dx ≤ T p (u+ n ) dx. 2. p. Z Ω. p (u+ n ) dx. 2. p. . Agora pelo Lema A.28 (ver Apêndice), temos que. !. ≤. p p−2 2Z + p 2 p−2 (T ) + (u ) dx, então p p Ω n. !. Z Ω. 2 (u+ n ) dx ≤. p 2Z + p p−2 2 p−2 (T ) + (u ) dx. p p Ω n. Daí 1 + 2 a ku k ≤ 2 n 2. !. p p−2 bZ + p 1 aZ + p 2 p−2 (T ) (un ) dx + (un ) dx + |hIλ0 (un ), u− + n i| + M. p p Ω p Ω 2. a Sem perda da generalidade consideremos M em vez de 2 1 + 2 ku k ≤ 2 n. !. p p−2 (T 2 ) p−2 + M, logo p. ! 1 a+b Z + p (un ) dx + |hIλ0 (un ), u− n i| + M. p 2 Ω. Portanto, segue que : Z 1 0 1 + 2 p − kun k ≤ C (u+ n ) dx + |hIλ (un ), un i| + M, onde C é uma constante positiva. 2 2 Ω. Agora, substuindo (2.12) e (2.13) na desigualdade acima, obtemos: 1 + 2 1 kun k ≤ C(M + n kun k) + n ku− n k + M. 2 2. (2.15). 1 Como n é limitada, existe uma constante positiva K tal que Cn < K e n < K. 2 Além disso, sem perda da generalidade consideremos M em vez de CM + M. Deste modo, de (2.15) decorre 1 + 2 ku k ≤ Kkun k + Kku− n k + M. 2 n. (2.16). Mostraremos que (un ) é limitada em H01 . 1 Antes disso, primeiro mostraremos que (u+ n ) é limitada em H0 .. De fato, suponha por absurdo que ku+ n k → ∞. Por (2.16) e pela desigualdade − + − triangular kun k = ku+ n − un k ≤ kun k + kun k, segue que 1 + 2 − − ku k ≤ K(ku+ n k + kun k) + Kkun k + M. 2 n Assim, 1 + ku k − K ≤ 2Kku− n k + M. 2 n Isto significa que como ku+ n k → ∞ quando n → ∞, então ku+ nk. . . ku− n k → ∞ quando n → ∞.. (2.17).

(178) 21 2 − 2 Além disso, como kun k2 = ku+ n k + kun k podemos deduzir que. kun k → ∞ quando n → ∞.. (2.18). un . Como (vn ) é limitada em H01 , então existe uma subsequência kun k (vnj ) de (vn ) e v ∈ H01 tais que vnj * v em H01 e vnj → v q.t.p em Ω. Agora, defina vn =. Sem perda de generalidade, podemos trocar (vnj ) por (vn ), donde vn * v em H01 e vn → v, q.t.p. em Ω. Pelo teorema de Rellich Kondrachov (ver Apêndice, Teorema A.18), vn → v em Lr , 1 ≤ r < 2∗ e vn → v, q.t.p em Ω. ku+ n. Por outro lado, segue de (2.16) e novamente pela desigualdade triangular kun k = + − − u− n k ≤ kun k + kun k, que 1 + 2 ku k ≤ Kkun k + Kku− nk + M 2 n − − ≤ K(ku+ n k + kun k) + Kkun k + M.. Isto implica que 1 + 2 − ku k ≤ Kku+ n k + 2Kkun k + M. 2 n 2 Dividindo ambos os lados por ku+ n k , segue. K 2Kku− M 1 nk ≤ + + + + 2. + 2 2 kun k kun k kun k Como ku+ n k → ∞, então existe n0 ∈ N tal que Assim, por (2.19),. (2.19). K M 1 + + 2 < , ∀ n ≥ n0 . + kun k kun k 4. 1 2Kku− 1 nk ≤ + , ∀ n ≥ n0 e consequentemente 2 2 ku+ 4 nk 1 ku− k ≤ +n 2 , ∀ n ≥ n0 . 8K kun k. Tomando δ =. 1 , observanos que 8K + 2 ku− n k ≥ δkun k , ∀ n ≥ n0 .. (2.20). Desse modo, elevando ambos os lados ao quadrado, segue que 2 2 + 4 ku− n k ≥ δ kun k , ∀ n ≥ n0 .. Usando algumas manipulações algébricas, obtemos 1. 1. + 2 2 + 4 2 2 + 2 2 (ku− n k + kun k ) ≥ (kun k + δ kun k ) , ∀ n ≥ n0 ..

(179) 22. Portanto, segue que. ku+ nk. ≥. 1. 2 2 + 4 2 (ku+ n k + δ kun k ). ku+ nk 2 (ku+ nk. Como 0 ≤. +. ku+ nk 2 2 + 4 (ku+ n k + δ kun k ). 1 2. 1. 4 2 δ 2 ku+ nk ). ≤. ku+ nk , ∀ n ≥ n0 , ou seja kun k ≥ kvn+ k ≥ 0, ∀ n ≥ n0 .. (2.21). 1 e ku+ n k → +∞, então δku+ k n. ku+ nk 1. 2 2 + 4 2 (ku+ n k + δ kun k ). → 0, quando n → ∞.. Assim, por (2.21), vn+ → 0 em H01 , quando n → ∞ e segue da desigualdade de Poincaré (consultar Apêndice, Teorema A.23), que vn+ → 0 em L2 , quando n → ∞.. (2.22). vn + |vn | Lembrando que vn → v em L2 e vn+ = max{0, vn } = , então vn+ → v + em L2 . 2 Portanto decorre de (2.22) que, v + = 0 e como v = v + − v − , segue que v ≤ 0. Além disso, como vn− =. (2.23). u− u− n n = 1 , obtemos + 2 2 2 kun k (kun k + ku− nk ) kvn− k =. ku− nk 2 − 2 (ku+ n k + kun k ). ≤. 1 2. ku− nk 1. 2 2 (ku− nk ). .. Assim, podemos concluir que kvn− k ≤ 1.. (2.24). Por (2.20), temos para n ≥ n0 , existe δ > 0 tal que + 2 ku− n k ≥ δkun k . 2 Assim, somando δku− n k a ambos os lados obtemos, 1. 1. − 2 2 + 2 − 2 2 (ku− n k + δkun k ) ≥ [δ(kun k + kun k )] .. Por conseguinte 1. ku− nk 1. 2 − 2 2 (ku+ n k + kun k )) Logo, nós concluímos que. ≥. δ 2 ku− nk 1. − 2 2 (ku− n k + δkun k )) 1. kvn− k. ≥. δ 2 ku− nk 1. − 2 2 (ku− n k + δkun k )). .. Portanto, por (2.24), vale a seguinte estimativa para kvn− k : 1. 1≥. kvn− k. ≥. δ2. 1 +δ ku− nk. !1 . 2. ..

(180) 23 Usando a estimativa acima, podemos deduzir de (2.17) que kvn− k → 1, quando n → ∞.. (2.25). Por outro lado pela desigualdade obtida em (2.13), segue que q

(181) |u− 1 |u− |2

(182)

(183)

(184) n |q n − ≥

(185) 1 + λ − 2 − a n− 22

(186) . kun k

(187) kun k kun k

(188).

(189).

(190). Como n → 0, (2.17) concluímos que −. q 2 λ|u− a|u− n |q n |2 + → 1, quando n → ∞. 2 2 ku− ku− nk nk. (2.26). Note agora que podemos reescrever a expressão acima da seguinte forma −. Logo,. q q 2 2 λ|u− a|u− λkun k2 |u− akun k2 |u− n |q n |q n |2 n |2 + = − + 2 2 2 2 2 2 ku− ku− ku− ku− nk nk n k kun k n k kun k a λ |u− |q = − − 2 n q2 + − 2 |vn− |22 . kvn k kun k kvn k. q q 2 λ|u− |u− a|u− 1 n |q n |q n |2 − − 2 + − 2 = − 2 −λ + a|vn− |22 . 2 kun k kun k kvn k kun k. !. (2.27). Assim, como vn → v em Lr para todo 1 ≤ r < 2∗ e 1 < q < 2, então vn → v em Lq . Logo, a sequência (vn ) é limitada em Lq e portanto (vn− ) é limitada em Lq . Como kun k → ∞, usando a limitação de (vn− ) temos que q |u− −λ n |q = |v − |q → 0, quando n → ∞. 2 kun k kun k2−q n q. −λ. Então, por (2.25), (2.26) e (2.27), podemos concluir que a|vn− |22 → 1, quando n → ∞, e assim, |vn− |2 →. 1 1. a2. , quando n → ∞.. 1. Além disso, como |vn |2 = (|vn+ |22 + |vn− |22 ) 2 , por (2.22), |vn |2 →. 1 1. a2. Agora, lembrando que como vn → v em L2 , então |v|2 =. , quando n → ∞. 1 1. a2. , isto é,. v 6= 0.. (2.28). Agora, tomando h = ϕ1 em (2.11) obtemos,

(191) Z

(192)

(193)

(194). Ω. Z. ∇un ∇ϕ1 dx + λ. Ω. q−2. |un |. un ϕ1 dx − a. Z Ω. un ϕ1 dx − b. Z.

(195)

(196). p−1 (u+ ϕ1 dx

(197)

(198) n) Ω. ≤ n kϕ1 k..

(199) 24 Portanto, podemos reescrever a expressão acima da seguinte forma

(200) Z

(201)

(202)

(203) ∇un ∇ϕ1 dx +

(204) Ω.

(205). Z Z

(206) λ Z |un |q−2

(207) + p−1 u ϕ dx − a

(208) ≤ n kϕ1 k. u ϕ dx − b ) ϕ dx (u n 1 n 1 1 n

(209) kun k2−q Ω kun kq−2 Ω Ω. Dividindo ambos os lados por kun k e lembrando que vn =

(210) Z

(211)

(212)

(213) ∇vn ∇ϕ1 dx +

(214) Ω. un , resulta que kun k

(215). Z

(216) λ Z n kϕ1 k b Z + p−1

(217) q−2

(218) ≤ . (u ) ϕ dx |v | v ϕ dx − a v ϕ dx − 1 n n 1 n 1 n 2−q

(219) kun k kun k Ω kun k Ω Ω. Como ϕ1 é autofunção associada ao autovalor λ1 , vemos que

(220)

(221)

(222)

(223) (λ1

(224).

(225).

(226) λ Z n kϕ1 k b Z + p−1

(227) q−2 − a) vn ϕ1 dx +

(228) ≤ . (u ) ϕ dx |v | v ϕ dx − 1 n n 1 n 2−q

(229) kun k kun k Ω kun k Ω Ω Z. Usando o fato que n → 0 e. 1 → 0, quando n → ∞, temos kun k. Z b Z + p−1 λ q−2 |vn | vn ϕ1 dx− (u ) ϕ1 dx → 0, quando n → ∞ (λ1 −a) vn ϕ1 dx+ kun k2−q Ω kun k Ω n Ω (2.29) Vamos mostrar que os dois últimos termos do limite acima tendem a zero, quando n tende ao infinito. Z λ Afirmação 1) |vn |q−2 vn ϕ1 dx → 0, quando n → ∞. kun k2−q Ω Z. De fato, basta provar que

(230) Z

(231)

(232)

(233). Ω.

(234)

(235) |vn |q−2 vn ϕ1 dx

(236)

(237). Z. q−2. Ω. Z. ≤. Ω. |vn |. vn ϕ1 é limitada. Note que.

(238) Z

(239)

(240)

(241). Ω. q−2. |vn |.

(242)

(243) vn ϕ1 dx

(244)

(245). =. | vn |q−1 |ϕ1 |dx.. Além disso, como ϕ1 é regular e Ω é compacto, temos que existe M > 0 tal que |ϕ1 (x)| ≤ M ∀ x ∈ Ω. Deste modo,

(246) Z

(247)

(248)

(249). q−2. Ω. |vn |.

(250)

(251) vn ϕ1 dx

(252)

(253). =.

(254) Z

(255)

(256)

(257). Ω. q−2. |vn |.

(258)

(259) vn ϕ1 dx

(260)

(261). ≤M. Z Ω. |vn |q−1 dx.. Agora usando aZdesigualdade de Hölder (consultar, Apêndice Teorema A.19) na última integral, isto é, |vn |q−1 dx ≤ ||vn |q−1 | 1 .|1| 1 , temos q−1. Ω.

(262) Z

(263)

(264)

(265). Ω. q−2. |vn |.

(266)

(267) vn ϕ1 dx

(268)

(269). ≤ M ||vn |q−1 | Z. =M Ω. 2−q. 1 q−1. |vn |dx. |1|. 1 2−q. q−1. [med(Ω)]2−q .. Assim, a prova da afirmação segue-se de vn → v em L1 e Ω é compacto. −b Z + p−1 Afirmação 2) (u ) ϕ1 dx → 0 quando n → ∞. kun k Ω n.

(270) 25 De fato, de forma similar ao procedimento da afirmação 1), podemos obter que

(271)

(272)

(273)

(274) −b Z

(275)

(276) + p−1

(277) (un ) ϕ1 dx

(278)

(279)

(280) kun k Ω. =.

(281)

(282)

(283) −b Z

(284)

(285)

(286) + p−1

(287) (un ) ϕ1 dx

(288)

(289) kun k Ω

(290) Z. b (u+ )p−1 ϕ1 dx kun k Ω n M b Z + p−1 (u ) dx. ≤ kun k Ω n. ≤. Donde.

(291)

(292)

(293) −b Z

(294)

(295) + p−1

(296) (un ) ϕ1 dx

(297)

(298)

(299) kun k Ω

(300). M b Z + p−1 ≤ (u ) dx. kun k Ω n. (2.30). Por outro lado, decorre de (2.12) que 1 kun k. Z p p−1. (u+ )p dx ≤. Ω. M kun k. p p−1. +. n kun k p. .. 1. .. kun k p−1. Logo, obtemos Z " Ω. (u+ )p−1 kun k. #. p p−1. dx ≤. M kun k. p p−1. +. n kun k p−1. (u+ )p−1 Lembrando que p > 2 e kun k → ∞ pois, por (2.18), se conclui que n → 0 em kun k p p p L p−1 quando n → ∞. Daí, como 1 < e Ω é um domínio limitado, então L p−1 ,→ L1 , p−1 p−1 (u+ ) isto é, n → 0 em L1 , quando n → ∞. e isto é equivalente a dezir que kun k 1 Z + p−1 (u ) dx → 0, quando n → ∞. kun k Ω n Agora, como em (2.30), M e b são constantes positivas, podemos concluir que −b Z + p−1 (u ) ϕ1 dx → 0 quando n → ∞. kun k Ω n Agora, mostraremos que o limite fraco v da sequência (vn ) é nulo. De fato, por (2.29), pelas afirmações 1), 2) e como vn → v em L2 , podemos deduzir que (λ1 − a) Pela hipótese λ1 < a, segue que (2.23), −v ≥ 0.. Z Ω. Z Ω. vϕ1 dx = 0.. (−v)ϕ1 dx = 0. Assim, −vϕ1 = 0 q.t.p em Ω pois, por. Usando o fato que ϕ1 > 0 é autofunção associada ao primeiro autovalor λ1 , obtemos v = 0 q.t.p. em Ω, o que é um absurdo, pois por (2.28), v 6= 0. Portanto (u+ n ) é, de fato, limitada..

(301) 26 Voltando ao nosso objetivo, agora mostraremos que a sucessão (un ) é limitada em Suponha por absurdo que kun k → ∞, Como H01 ,→ Lp para 2 0 + + tal que |u+ n |p ≤ kkun k para todo n ∈ N, então |un |p ≤ CkZpara todo n ∈ N, pois como foi p 1 provado acima (u+ (u+ n ) é limitada em H0 . Isto significa que n ) dx < ∞, portanto H01 .. Ω. 1 Z + p (u ) dx → 0, quando n → ∞. kun k Ω n. (2.31). Por outro lado, tomando h = vn em (2.11), obtemos

(302) Z

(303)

(304)

(305). Ω. ∇un ∇vn dx + λ. Pela definição de vn =

(306) Z

(307) 2

(308)

(309) Ω |∇un | dx

(310)

(311) kun k2

(312)

(313). +. Z Ω. q−2. |un |. Z. un vn dx − a. Ω. un vn dx − b. Z Ω.

(314)

(315). p−1 vn dx

(316)

(317) (u+ n). ≤ n .. un , dividindo a desigualdade acima por kun k, segue que kun k. λ kun k. Z Ω. 2 q−2 un. |un |. kun k. dx − a. Z Ω. u2n kun k. dx − 2.

(318)

(319)

(320)

(321) b + p

(322) (u ) dx n

(323) kun k2 Ω

(324)

(325) Z. ≤. n . kun k. Assim,

(326)

(327)

(328)

(329) 1 +

(330).

(331) Z Z λ b Z + p

(332)

(333) n |un |q 2 v dx − dx − a (u ) dx

(334) ≤ , n n

(335) kun k2−q Ω kun kq kun k2 Ω kun k Ω. e consequentemente

(336)

(337)

(338)

(339) 1 +

(340).

(341) b Z + p

(342)

(343) n λ q 2 |v | − a|v | − (u ) dx

(344) ≤ . n n q 2 n

(345) kun k2−q kun k2 Ω kun k. Sabemos que (vn ) é limitada em Lq para 1 < q < 2 e kun k → ∞, quando n → ∞, assim por (2.31) e pela estimativa acima, decorre que a|vn |22 → 1, quando n → ∞.. (2.32). Agora, lembrando que vn → v em Lr , para todo 1 ≤ r < 2∗ ; em particular, vn → v em L2 , usando (2.32), obtemos que v 6= 0. (2.33) Note que em (2.28), mostramos também que v 6= 0, mas neste caso estamos com hipóteses distintas do caso em que provamos que v 6= 0 em (2.33). Mostraremos agora que v ≤ 0. u+ n 1 + e (u+ n ) é limitada em H0 , podemos afirmar que vn → 0 kun k em H01 , quando n → ∞ e segue da desigualade de Poincaré (consultar Apêndice, Teorema A.23) que vn+ → 0 em L2 , quando n → ∞. Da desigualdade vn = vn+ − vn− ≤ vn+ resulta que v ≤ 0. (2.34) De fato, como vn+ =.

(346) 27 Por outro lado, o resultado obtido em (2.11) nos dá que cada h ∈ H01 verifica a estimativa

(347) Z

(348)

(349)

(350). Ω. ∇un ∇hdx + λ. Z. q−2. Ω. |un |. un hdx − a. Z Ω. un hdx − b. Z Ω.

(351)

(352). p−1 (u+ hdx

(353)

(354) n). ≤ n khk.. Dividindo esta desigualdade por kun k segue que

(355) Z

(356)

(357)

(358)

(359) Ω.

(360). Z Z Z p−1

(361) n un (u+ ∇un

(362) n) q−2 un ∇hdx + λ |un | hdx − a hdx − b hdx

(363) ≤ khk.

(364) kun k kun k kun k Ω Ω kun k Ω kun k. Agora, usando a definição de vn =. un , obtemos kun k.

(365) Z

(366)

(367)

(368) ∇vn ∇hdx +

(369) Ω.

(370) Z Z + p−1

(371) λ Z n ) (u

(372) n q−2 hdx khk.

(373) ≤ |v | v hdx − a v hdx − b n n n 2−q

(374) kuk kun k Ω Ω Ω kun k (2.35) Repetindo os mesmos argumentos feitos nas afirmações 1) e 2), temos Z p−1 (u+ λ Z n) q−2 |v | v hdx → hdx → 0 quando n → ∞, para todo h ∈ H01 . 0 e b n n kuk2−q Ω Ω kun k Portanto, por (2.35) Z. ∇v∇hdx = a. Ω. Z Ω. vhdx, para todo h ∈ H01 .. Agora, tomando h = ϕ1 , integrando por partes e usando que ϕ1 é autofunção associada ao autovalor λ1 , obtemos (λ1 − a). Z. vϕ1 dx = 0.. Pela hipótese, λ1 < a e por (2.34), conclui-se −vϕ1 = 0 q.t.p. em Ω. Assim usando o fato que ϕ1 > 0 em Ω, podemos deduzir que v = 0 q.t.p. em Ω, o que é um absurdo, pois por (2.33) v 6= 0. Portanto a sequência (un ) é limitada. O próximo resultado pode ser encontrado em [6]. Proposição 2.1 Seja Φ : H01 → R um funcional definida por Φ(u) = onde G(x, s) =. Z s 0. Z 1Z |∇u|p dx − G(x, u)dx, p Ω Ω. g(t, s)dt e g satisfaça a condição de crescimento |g(x, s)| ≤ C(1 + |s|σ ),. para algum σ ≤ p∗ − 1 e alguma constante C. Seja u0 ∈ H01 um mínimo local de Φ na topologia C 1 , isto é, existe 0 > 0 tal que Φ(u0 ) ≤ Φ(u0 + w), ∀ kwkC 1 ≤ 0 . Então u0 é um mínimo local de Φ na topologia H01 , isto é, existe 1 > 0 tal que Φ(u0 ) ≤ Φ(u0 + w), ∀ kwkH01 ≤ 1 ..

(375) 28 2.3 ESTUDO DA PARTE POSITIVA DO FUNCIONAL Nesta seção, definiremos a parte positiva do funcional Iλ para encontrarmos soluções positivas para o problema envolvendo o expoente subcrítico, como também, para o problema crítico. Considere o funcional: Iλ+ : H01 → R 1Z λZ + q aZ + 2 bZ + p Iλ+ (u) = |∇u|2 dx + (u ) dx − (u ) dx − (u ) dx. 2 Ω q Ω 2 Ω p Ω Pelo mesmo argumento utilizado anteriormente, o funcional Iλ+ é de classe C 1 (H01 , R) e h(Iλ+ )0 (u), hi. =. Z. ∇u∇hdx + λ. Z. Ω. + q−1. |u |. hdx − a. Ω. Z. +. u hdx − b. Ω. Z. (u+ )p−1 hdx, ∀ u, h ∈ H01 .. Ω. Note que, encontrar um ponto crítico para o funcional Iλ+ equivale a encontrar uma função u ∈ H01 que satisfaz a equação: Z. ∇u∇ϕdx + λ. Z. Ω. (u+ )q−1 ϕdx − a. Ω. Z. u+ ϕdx − b. Ω. Z Ω. (u+ )p−1 ϕdx = 0, ∀ ϕ ∈ H01 ,. ou seja, a obter uma solução fraca para a equação :  . −∆u = −λ|u+ |q−1 + au+ + b(u+ )p−1  u=0 sobre ∂Ω,. em Ω,. (2.36). onde Ω ⊆ RN é um domínio limitado com fronteira regular, N ≥ 3, a ∈ R, b > 0, λ ∈ R+ , 2N e u+ = max{u, 0}. 1 < q < 2 < p ≤ 2∗ = N −2 Se u é um ponto crítico de Iλ+ , então h(Iλ+ )0 (u), hi = 0, ∀ h ∈ H01 , em particular para h = u− , assim 0=. h(Iλ+ )0 (u), u− i. =. Z. −. ∇u∇(u )dx = −. Z. Ω. ∇(u− )∇(u− )dx = −ku− k. Ω. e consequentemente, u− = 0. Portanto, o ponto crítico u de Iλ+ satisfaz u = u+ ≥ 0, ou seja, é uma função positiva de H01 . Lema 2.3 Sejam λk < a < λk+1 e 1 < q < 2 0. Demonstração: Pela Proposição 2.1, basta mostrar que u = 0 é um mínimo local de Iλ+ na topologia C 1 . Seja u ∈ C01 (Ω), assim, Iλ+ (u) ≥ Usando kukC 1 =. X. λZ aZ bZ |u+ |q dx − |u+ |2 dx − |u+ |p dx. q Ω 2 Ω p Ω. (2.37). kDα uk0 , ∀ u ∈ C 1 (Ω), onde kuk0 = max |u(x)|, ∀ u ∈ C(Ω), x∈Ω. |α|≤1. como 0 ≤ u ≤ |u| ≤ kukC 1 e 1 < q < 2 0, podemos concluir que −. Z aZ + 2 a 2−q |u+ |q dx. (u ) dx ≥ − kukC 1 2 Ω 2 Ω. (2.38). Analogamente, obtemos −. Z bZ + p b p−q |u+ |q dx. (u ) dx ≥ − kukC 1 p Ω p Ω. (2.39). De (2.37), (2.38) e (2.39), segue-se Z Z b λZ a 2−q p−q + q |u | dx − kuk |u+ |q dx |u+ |q dx − kukC 1 C1 q Ω 2 p Ω Ω !Z λ a b 2−q p−q = − kukC 1 − kukC 1 |u+ |q dx q 2 p Ω. Iλ+ (u) ≥. e portanto, Iλ+ (u). ≥. !Z λ a b 2−q p−q − kukC 1 − kukC 1 |u+ |q dx. q 2 p Ω.  . 2λ Agora, seja R = min  q(a + b) Se kukC 1 < R, então kukC 1 < mente. !. 2λ q(a + b). a aλ kuk2−q C1 < 2 q(a + b). 1 2−q. !. pλ , q(a + b). !. 1 p−q. 1 2−q. e kukC 1 <. .. . pλ q(a + b). !. 1 p−q. e consequente-. b bλ p−q kukC . 1 0, ∀ kukC 1 < R. q 2 p. (2.41). Finalmente (2.40) e (2.41) implicam que Iλ+ (u) ≥ 0 = Iλ+ (0), ∀ kukC 1 < R e assim, concluímos que u = 0 é um mínimo local de Iλ+ na topologia C 1 . O seguinte lema será utilizado para provar uma das condições geométricas exigidas pelo Teorema do Passo da Montanha. Lema 2.4 Sejam λk < a < λk+1 , 1 < q < 2 0, então existe t0 ∈ R+ tal que Iλ+ (t0 ϕ1 ) < 0, para todo λ em um conjunto limitado..

(377) 30 Demonstração: Para t > 0, segue que : 1Z λZ aZ bZ |∇(tϕ1 )|2 dx + [(tϕ1 )+ ]q dx − [(tϕ1 )+ ]2 dx − ((tϕ1 )+ )p dx 2 Ω q Ω 2 Ω p Ω t2 Z at2 Z 2 tq λ Z q btp Z p = |∇ϕ1 |2 dx + ϕ1 dx − ϕ1 dx − ϕ dx. 2 Ω q Ω 2 Ω p Ω 1. Iλ+ (tϕ1 ) =. Lembrando que ϕ1 é a autofunção positiva associado ao λ1 , obtemos Iλ+ (tϕ1 ). λ1 t2 Z 2 tq λ Z q at2 Z btp Z p 2 = ϕ dx + ϕ dx − tϕ dx − ϕ dx 2 Ω 1 q Ω 1 2 Ω 1 p Ω 1 Z btp Z p t2 tq λ Z q 2 = (λ1 − a) ϕ1 dx + ϕ dx − ϕ dx. 2 q Ω 1 p Ω 1 Ω. Como λk < a < λk+1 , concluímos que : Iλ+ (tϕ1 ). tq λ Z q btp Z p ≤ ϕ dx − ϕ dx. q Ω 1 p Ω 1. (2.42). Agora, segue dos fatos t > 0, 1 < q < 2 < p, b > 0 e ϕ1 > 0 em Ω que Z. p qb p−q Ω ϕ1 dx t Z > 0. p ϕq dx Ω. Z.  . Logo, se λ ∈  0,. 1. . ϕp1 dx . btp Z p qb p−q Ω tq λ Z q  , nós temos que dx − ϕ ϕ1 dx < 0. t Z 1  q p q p Ω Ω ϕ dx Ω. 1. Desta última desigualdade e por (2.42), segue Iλ+ (tϕ1 ) < 0 para todo t > 0. Como t > 0 é arbitrário, podemos escolher um t0 > 0 tal que Z. . Iλ+ (t0 ϕ1 ) < 0, ∀ λ ∈  0, . . ϕp1 dx . qb p−q Ω . t Z  q p 0 ϕ dx Ω. 1. 2.4 ESTUDO DA PARTE NEGATIVA DO FUNCIONAL Nesta seção, definiremos a parte negativa do funcional Iλ com o objetivo de encontrar soluções negativas para o problema (2.1). A técnica aqui não depende da criticalidade da não linearidade. Assim, considere o funcional dado por : Iλ− : H01 → R.