Crescimento e Regulação 2019

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Crescimento e regulação

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Organismos anuais, com pouca

sobreposição entre gerações

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• Organismos com reprodução em

épocas definidas e os organismos

vivem pouco: pouca sobreposição entre gerações.

• Em organismos com ciclo de vida

anual, como muitas borboletas, as

gerações simplesmente não se sobrepõem

• Muitas plantas têm ciclo de vida anual, como algumas ervas e

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• O crescimento de populações que se

reproduzem somente em certas épocas ou

que apenas uma vez na vida seguirá uma

progressão geométrica.

• Em t = 1: N

₁

= N

0

. λ

Em t = 2: N

2

= N

1

. λ

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• Substituindo N

₁

na equação 2:

N

2

= (N

0

. λ). λ = N

0

. λ

2

• Qual seria a equação de crescimento

geométrico para o tempo 3 a partir de N

0

?

• Haveria uma equação geral, que preveja o

tamanho em qualquer tempo?

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N3 = N2. λ = [(N0. λ). λ]. λ = N0. λ 3 Nt = N0. λ t R 1.10 x 0 1 2 3 4 5 6 7 0 20 40 60 80 100 120 T a m a n h o d a p o p u la çã o

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• Se uma população crescesse assim, atingiria números enormes, cobrindo todo o planeta!

• O modelo matemático que acabamos de desenvolver não reflete o que observamos na dinâmica de longo prazo das populações.

• Podem haver fases curtas de crescimento semelhante, mas não todo o tempo

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Cooperação:

importância só

demonstrada

recentemente

 _{Cooperação intraespecífica} como mutualismo: isópodes terrestres (“tatuzinhos” de jardim!)

 _{Isópodes terrestres são muito} suscetíveis à desidratação, mas vivem mais quando estão em grupo do que em isolamento quando o solo desseca.

 _{O Efeito Allee}_{ainda é usado para}

situações em que os animais

sobrevivem e/ou sobrevivem mais quando em grupo que solitários.  _{Os organismos frequentemente} cooperam para benefício mútuo.  _{Cooperação é tão importante}

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Crescimento observado e o previsto segundo o crescimento geométrico para uma população do caramujo Melanoides tuberculata, em Sumidouro, RJ. 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Meses D e n s id a d e ( in d /m 2 )

(10)

Por que o modelo de crescimento

geométrico não funcionaria, não

seria um bom modelo?

• Premissas do crescimento geométrico:

1. Não haver mudança alguma no ambiente

2. A estrutura etária manter-se a mesma, ou

λ manter-se o mesmo

3. O crescimento ocorrer em intervalos (não

continuamente)

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Os mesmos dados de crescimento populacional do caramujo Melanoides tuberculata, agora

ajustando-se uma função exponencial

y = 2.5238e0.653x 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Meses D e n s id a d e ( in d / m 2 ) 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Meses D e n s id a d e ( in d /m 2 ) Geométrico Exponencial

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Crescimento contínuo e

sobreposição de gerações

• Precisamos de uma equação semelhante à do crescimento geométrico ...

• ... mas que descreva o crescimento que ocorre a cada instante.

• Basta reduzirmos o intervalo de tempo do crescimento geométrico a um “instante”.

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Crescimento contínuo e

sobreposição de gerações

N

_t

= N

₀

. λ

t

t -> tendendo a zero

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Crescimento contínuo e

sobreposição de gerações

• Uma equação descrevendo crescimento a

cada instante deve conter uma derivada.

• Se torna uma equação diferencial, uma

equação que, como o nome indica, contém

uma derivada.

(15)

• Você não precisa aprender a resolver

equações diferenciais

• Mas precisa guardar a noção do que

representa uma equação diferencial.

• A equação diferencial para o crescimento

exponencial de uma população é:

dN

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Taxa intrínseca de crescimento, r

• A constante r é denominada taxa intrínseca de

crescimento.

• Como a palavra diz, depende das características biológicas dos indivíduos da população, no

ambiente específico

• Multiplicando r pelo tamanho populacional num determinado instante, temos a taxa de

crescimento da população neste instante, que é a derivada dN/dt.

(17)

• Considerando uma população fechada, a

taxa intrínseca de crescimento

populacional seria: r = n – m

• A equação diferencial dN/dt = rN permite

fazer previsões sobre o tamanho da

população no futuro?

(18)

• Para determinar o tamanho da população algum tempo depois, é preciso resolver a equação

diferencial, isto é, torná-la uma equação sem derivadas.

• A equação diferencial pode ser resolvida por técnicas de integração, que você não precisa conhecer se aceitar que sua solução é:

Nt = N0 ert

onde e é a base dos logaritmos naturais ou neperianos, e t, o intervalo de tempo.

(19)

• Os modelos de crescimento geométrico e

exponencial têm uma premissa em comum: que não limite ao crescimento

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Variação no tamanho das populações no caramujo

Biomphalaria glabrata em Sumidouro, RJ

(modificado de GIOVANELLI et al, 2004)

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450

out/95 mai/96 dez/96 jun/97 jan/98 jul/98

P lu v io s id a d e ( m m d e c h u v a ) 0 50 100 150 200 250 A b u n d â n c ia d e B . g la b ra ta

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Número de peles de linces canadenses (Lynx canadense) caçados para a Hudson Bay Company (baseado em Symonides, 1979 e em Begon et al., Fig. 15.12a).

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Determinação x Regulação

das populações

• Diversos fatores podem determinar o

tamanho das populações, afetando-as de

alguma maneira: temperatura,

disponibilidade de alimento, abrigos,

predadores, doenças

• Mas populações na Natureza variam dentro

de limites, umas sempre raras e outras

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Como incorporar regulação das populações

nos modelos de crescimento sem limites?

Crescimento logístico

T am an h o d a p o p u la çã o ( N )         K N rN dt dN 1 rt t be K N _   1

(24)

Como incorporar regulação das populações nos modelos de crescimento sem limites?

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(26)

A capacidade suporte do ambiente, K

• Para N << K:

dN

dt =rN (1−0 , 001)=rN (0, 999 )≈rN

• Para Para N = K:

• N > K: será um número negativo

dN

dt =rN (1−1)=rN (0 )=0

(

1−N

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(29)