UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL
CURSO DE MATEMÁTICA
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
TIPOS DE MATRIZES
1. MATRIZ LINHA: é aquela que possui uma única linha. Sua ordem tem a forma geral (1 X n). Ex.: A =
3 5 1/ 2
ordem 1X3B =
6 3
ordem 1X2C =
3 4 6 2 / 5 7 9
ordem 1X62. MATRIZ COLUNA: é aquela que possui uma única coluna. Sua ordem tem a forma geral (m X 1).
Ex.: 1 9 5 P ordem 3X1
4
1
1
7
Q
ordem 4X13. MATRIZ RETANGULAR: é aquela onde o número de linhas é diferente do número de colunas (m n). Ex.:
2
9 1
0
4
2
M
ordem 2X34
4 5 / 2
8
0
0
2
4
1
7
5
9
0
5
2
N
ordem 5X34. MATRIZ QUADRADA: é aquela onde o número de linhas é igual ao número de colunas (m = n). Ex.:
3
2
8 1
A
ordem 2X2 ou de 2ª ordem 4 6 / 5 8 0 9 7 4 2 7 B 3X3 ordem ou de 3ª ordem diag. Secundária diag. Principaldiag. Secundária diag. Principal
Na matriz quadrada temos 2 diagonais: a diagonal principal, formada pelos elementos aij ,
onde i=j e a diagonal secundária (a outra diagonal).
5. MATRIZ TRANSPOSTA: de uma matriz A é a matriz At que se obtém da matriz A,
se, ordenadamente, as linhas pelas colunas da matriz A.
Ex.: sendo 4 2 9 3 9 1 A
, sua transposta é a matriz
4
9 9
2
3
1
t
A
Veja que um elemento de posição (i,j) da matriz A é igual ao elemento de posição (j,i) da matriz At.
6. MATRIZ NULA: é aquela onde todos os elementos são nulos. Ex.:
0 0 0
0 0 0
A
0 0
0 0
B
ordem. Ex.: 2
1 0
0 1
I
3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 I 41 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
I
e assim por diante
A matriz identidade também é conhecida como matriz unidade.
8. MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR: é a matriz quadrada onde os elementos abaixo da diagonal principal são todos nulos.
Ex.: 3 2 5 0 4 8 0 0 1 M
8 2
0
7
P
1 0
6
3
0 5
6
3
0 0
6
4
0 0
0
3
Q
9. MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR: é a matriz quadrada onde os elementos acima da diagonal principal são todos nulos.
Ex.:
2
0
0 0
6
8
0 0
3
7 4 0
8
0
5 4
A
1 0 0 4 3 0 2 7 4 B PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES 1ª) O determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua transposta. 2ª) Se uma matriz te uma linha ou uma coluna de zeros, seu determinante é nulo. 3ª) Se uma matriz tem 2 linhas ou duas colunas iguais, seu determinante é nulo.
4ª) Se uma matriz tiver duas linhas ou duas colunas com elementos correspondentes proporcionais, seu determinante é nulo.
5ª) O determinante das matrizes triangular superior ou triangular inferior é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.
6ª) Se trocarmos entre si duas linhas (ou duas colunas) de uma matriz, seu determinante muda de sinal.
7ª) Multiplicando-se uma linha ou uma coluna de uma matriz por uma constante (um número), seu determinante fica multiplicado por este número.
8ª) Multiplicando-se uma linha (ou uma coluna) de uma matriz por um número diferente de zero e adicionando-se o resultado a outra linha (ou coluna), seu determinante não se altera.
OBS.: Procure criar exemplos que comprovem estas propriedades e/ou consulte a bibliografia recomendada.
EXERCÍCIOS SOBRE MATRIZES E DETERMINANTES
1. Resolva as seguintes equações:a) x52 y32 75 2y3 3 b) 2 3 3 x y x y c) 2 1 1 2 x y x y z d) 2 2 1 1 1 1 x y x y e) 2 3 11 8 4 2 11 7 x y z w x y z w
2. Calcule x e y em cada caso: a) xx 23y xy x1 01 14 b) 2 2 1 0 0 0 0 2 1 x y x y x 3. Dadas as matrizes A = 1 23 0 e B = 0 1 1 0
, determinar a matriz X tal que A – B + 3X = 0.
4. Se A = 2 13 6 , B 2 1 4 3 e C = 0 1 0 1
, calcule a matriz X na equação
1 1 ( ) ( ) 2 X A B 3 X C . 5. Resolver a equação 21 31 xy 14 6. Resolver a equação . 1 3 1 0 1 0 1 0 X
7. Resolver a equação A.X = B, sendo A = 71 04
e B = 2 1 1 1 . 8. Calcule x na equação 3 1 3 2 x x x .
9. Calcule o valor do determinante: cos a -sen asen a cos a . 10. Calcule x em cada igualdade:
a) 2 1 0 1 3 x x b) 2 1 2 3 x x x c) 5 21 xx 3 3x xx 11. Resolva as equações: a) 3 1 1 2 1 5 1 2 x x b) 1 3 4 3 1 3 3 x x x c) 1 3 4 5 0 6 3 7 x x d) 2 0 1 3 2 0 1 1 0 x
12. Calcule o valor dos determinantes:
a) 1 2 3 4 2 0 0 5 6 0 3 0 1 0 0 4 b) 1 2 3 4 2 0 1 0 0 0 0 4 0 2 1 0 5 5 1 4 0 1 0 1 2
RESPOSTAS
1. a) x = 5 e y = – 5; b) x = 1 e y = 2; c) x = 0, y = 1 e z = 2; d) x = – 1 e y = – 1; e) x = 1, y = 3, z = 5 e w = 3. 2. a) x = – 3 e y = 2 ; b) x = 0 e y = 1 3. X = 1 1 3 3 2 0 3 4. X = 1221 254 5. 1 1 6. 0 1 0 1 7. 91 21 4 8. x = 1 ou x = 5 3 9. 1 10. a) 1 ; b) 1 ou ½ ; c) 0 11. a) 2 ou – 1 ; b) 2 ou – ½ ; c) 2 ou –11/7 ; d) – 1 12. a) 78 ; b) – 25. SISTEMAS LINEARESToda equação da forma a1x1a2x2 ...anxn b é denominada equação linear, em que: n a ,.., a , a1 2 são coeficientes n x ,..., x , x1 2 são as incógnitas B é um termo independente Exemplos:
a) 2x1 3x2 x3 5 é uma equação linear de três incógnitas.
b) xyzt1 é uma equação linear de quatro incógnitas.
Observações:
1º) Quando o termo independente b for igual a zero, a equação linear denomina-se equação linear homogênea. Por exemplo: 5x y0.
2º) Uma equação linear não apresenta termos da forma 2 1 2 1 ,x .x
x etc., isto é, cada termo da equação tem uma única incógnita, cujo expoente é sempre 1.
As equações 3 2 2 3
2
1 x
x e 4x.y z 2 não são lineares.
3º) A solução de uma equação linear a n incógnitas é a seqüência de números reais ou ênupla
1,2,...,n
, que, colocados respectivamente no lugar de x1,x2,...,xn , tornam verdadeira aigualdade dada.
4º) Uma solução evidente da equação linear homogênea 3x y0 é a dupla
0,0
. Vejamos alguns exemplos:1º exemplo: Dada a equação linear 4xyz2, encontrar uma de suas soluções.
Resolução: Vamos atribuir valores arbitrários a x e y e obter o valor de z.
0 2 y x 6 2 0 4 2 z z .
Resposta: Uma das soluções é a tripla ordenada (2, 0, -6).
2º exemplo: Dada a equação 3x y2 5, determinar
para que a dupla (-1,
) seja solução da equação.Resolução:
1,
y x 1
4 8 2 5 2 3 5 2 1 . 3 Resposta:
= – 4 Exercícios Propostos:1. Determine m para que
1,1,2
seja solução da equação mxy2z6.2. Dada a equação 1 3 2
y x
, ache
para que
,1
torne a sentença verdadeira.Resp: -8/5 2. Sistema linear.
Denomina-se sistema linear de m equações nas n incógnitas x1,x2,...,xn todo sistema da forma:
n n mn m m n n n nb
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
...
...
...
...
...
2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 n n b b b a a a11, 12,..., 1 , '1, '2,..., ' são números reais.
Se o conjunto ordenado de números reais
'1,
'2,...,
'n
satisfizer a todas as equações do sistema, serádenominado solução do sistema linear.
Observações:
1ª) Se o termo independente de todas as equações do sistema for nulo, isto é, b1 b'2 ...b'n 0, o
sistema linear será dito homogêneo. Veja o exemplo:
0
3
2
5
0
4
0
2
z
y
x
z
y
x
z
y
x
Uma solução evidente do sistema linear homogêneo é x = y = z = 0.
Esta solução chama-se solução trivial do sistema homogêneo. Se o sistema homogêneo admitir outra solução em que as incógnitas não são todas nulas, a solução será chamada solução não-trivial.
2ª) Se dois sistemas lineares, S1 e S2, admitem a mesma solução, eles são ditos sistemas equivalentes. Veja o
exemplo:
21
4
2
5
3
1
,
S
yx
yx
:S
21
1
3
2
2
3
2
,
S
yx
y
x
:S
Exercícios Propostos: 1. Seja o sistema
2
5
2
0
3
2
3 2 1 3 2 1 3 2 1 1x
x
x
x
x
x
x
x
x
:
S
. a) Verifique se (2, -1, 1) é solução de S. b) Verifique se (0,0,0) é solução de S. Resp: a) é b) não é 2. Seja o sistema:
3
2
9
3
2k
y
x
k
y
x
. Calcule k para que o sistema seja homogêneo.
Resp: k = -3
3. Calcular m e n de modo que sejam equivalentes os sistemas:
5
2
1
y
x
y
x
e
2
1
my
nx
ny
mx
Resp: m = 0 e n = 13. Expressão matricial de um sistema de equações lineares.
Dentre suas variadas aplicações, as matrizes são utilizadas na resolução de um sistema de equações lineares.
n n mn m m n n n nb
x
a
...
x
a
x
a
...
...
b
x
a
...
x
a
x
a
b
x
a
...
x
a
x
a
2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11Utilizando matrizes, podemos representar este sistema da seguinte forma:
mn m m n n a a a a a a a a a ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 2 1 2 22 21 1 12 11 . n x x x ... ... 2 1 = n b b b ... ... 2 1
matriz constituída matriz coluna matriz coluna pelos coeficientes constituída pelas dos termos das incógnitas incógnitas independentes
Observe que se você efetuar a multiplicação das matrizes indicadas irá obter o sistema dado. Se a matriz constituída pelos coeficientes das incógnitas for quadrada, o seu determinante é dito determinante do sistema. Exemplo: Seja o sistema:
8
2
7
1
6
3
4
0
5
2
3 2 1 3 2 1 3 2 1x
x
x
x
x
x
x
x
x
.Ele pode ser representado por meio de matrizes, da seguinte forma:
8 1 0 . 2 1 7 6 3 4 1 5 2 3 2 1 x x x Exercícios Propostos:
1. Expresse matricialmente os sistemas:
a)
0
3
5
2
y
x
y
x
b)
2
5
3
0
1
2
c
b
a
c
a
c
b
a
2. A expressão matricial de um sistema S é:
7 4 1 3 5 2 b a . . Determine as equações de S.
4. Classificação dos sistemas lineares
Os sistemas lineares são classificados, quanto ao número de soluções, da seguinte forma:
5. Regra de Cramer
A regra de Cramer consiste num método para se resolver um sistema linear.
n n mn m m n n n nb
x
a
..
x
a
x
a
...
...
b
x
a
..
x
a
x
a
b
x
a
..
x
a
x
a
2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11:
sistema
o
Seja
Vamos determinar a matriz A dos coeficientes das incógnitas:
mn m m n n a ... a a ... ... ... a ... a a a ... a a A 2 1 2 22 21 1 12 11
Vamos determinar agora a matriz Ax1, que se obtém a partir da matriz A, substituindo-se a coluna dos
mn m n n n x a ... a b ... ... ... a ... a b a ... a b A 2 2 22 2 1 12 1 1
Pela regra de Cramer:
A det A det x x1 1
De maneira análoga podemos determinar os valores das demais incógnitas:
mn n m n n x a ... b a ... ... ... a ... b a a ... b a A 1 2 2 21 1 1 11 2 A det A det x x2 2 n m m xn b ... a a ... ... ... b ... a a b ... a a A 2 1 2 22 21 1 12 11 A det A det x xn n
Generalizando, num sistema linear o valor da incógnita x1 é dado pela expressão:
A det A det x i i
tes.
independen
termos
dos
coluna
pela
x
de
es
coeficient
dos
colunas
as
se
-do
substituin
A
de
obtida
matriz
a
é
A
sistema.
do
incompleta
matriz
a
é
A
i iVejamos alguns exemplos.
1º Exemplo: Resolver o sistema
2
5
7
2
y
x
y
x
. Resolução: 11 5 1 1 2 detA A 33 5 2 1 7 1 1 detA A 11 2 1 7 2 2 2 detA A 3 11 33 1 A det A det x 1 11 11 2 A det A det y Resposta: S
3,1
2º Exemplo: Resolver o sistema
2
5
y
x
y
x
. Resolução: 0 1 1 1 1 detA A 7 1 2 1 5 x x det A A 7 2 1 5 1 y y detA A 0 7 A det A det x x impossível 0 7 A det A det y y impossível Resposta: S 3º Exemplo: Resolver o sistema
1
10
5
4
3
0
2
3 2 1 3 2 1 3 2 1x
x
x
x
x
x
x
x
x
. Resolução:1º) Cálculo do determinante da matriz incompleta.
12 6 5 4 3 10 4 1 1 1 5 4 3 1 2 1 detA A
2º) Cálculo do determinante das incógnitas.
24 20 0 4 10 10 0 1 1 1 5 4 10 1 2 0 1 1 detA A 12 0 5 10 3 0 10 1 1 1 5 10 3 1 0 1 2 2 detA A 0 6 10 0 0 20 4 1 1 1 10 4 3 0 2 1 3 3 detA A
3º) Cálculo das incógnitas.
2 12 24 1 1 A det A det x 1 12 12 2 2 A det A det x 0 12 0 3 3 A det A det x
Resposta: S
2,1,0
Sistema Possível e Determinado. Exercícios Propostos:1. Solucione os sistemas a seguir, utilizando a regra de Cramer.
a)
4
3
2
5
2
y
x
y
x
Resp: {(1,2)} b)
9
3
1
4
3
y
x
y
x
Resp: {(3,2)} 2. Calcule os valores de x, y e z nos sistemas:a)
3
2
3
3
9
3
2
2
2
z
y
x
z
y
x
z
y
x
Resp: {(1,2,3)} b)
0
3
0
5
0
10
z
y
z
x
y
x
Resp: {(6,4,1)}
3. Resolva as equações matriciais:
a) 13 9 3 1 1 2 y x . Resp: 5 2 b) 8 2 2 1 1 5 6 3 2 7 4 1 z y x . Resp: 1 2 1
6. Discussão de um sistema linear
n n nn n n n n n nb
x
a
...
x
a
x
a
...
...
b
x
a
...
x
a
x
a
b
x
a
...
x
a
x
a
2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11Discutir o sistema é saber se ele é possível, impossível ou determinado. Utilizando a regra de Cramer, temos:
A det A det x ,..., A det A det x , A det A det x n n 2 2 1 1
Possível e Determinado
detA0Possível e Indeterminado
0
0
2 1det
A
...
det
A
nA
det
e
A
det
Impossível
0
um
menos
pelo
0
nA
det
e
A
det
Vejamos alguns exemplos:
1º) Exemplo: Discutir o sistema
1
2
3
y
x
my
x
.Resolução: Vamos calcular o valor dos determinantes:
m A det m A 3 1 1 3 m A det m A 2 1 1 2 1 1 1 1 1 2 3 2 2 detA A Fazendo: detA03m0m3 detA1 02m0m2 Resposta: SPD m3 (sistema possível e determinado)
SPI m (sistema possível e indeterminado), pois det A2 = 1 para qualquer valor de m
2º) Exemplo: Determinar m, de modo que o sistema
4
0
2
z
y
x
z
my
x
y
x
seja incompatível. Resolução: 1 1 1 1 1 1 0 1 1 m det A m A6
2
1
1
4
1
0
0
1
2
m
det
A
m
A
x x 4 1 4 1 1 0 1 0 2 1 y y detA A 6 6 4 1 1 0 1 2 1 1 m detA m Az z Fazendo: detA0m10m1 detAx 02m60m3 detAz 06m60m1 Para m = –1, teremos: 0 4 x (impossível) 0 4 y (impossível) 0 0 z (indeterminado). Resposta: SI m13º) Exemplo: Verificar se o sistema
0
0
2
3
y
x
y
x
é determinado ou indeterminado.Resolução: Vamos calcular o valor dos determinantes:
5 det 1 1 2 3 A A det 0 1 0 2 0 x x A A det 0 0 1 0 3 y y A A Como detA50, o sistema é determinado.
Vamos achar a solução:
0 5 0 det det A A x x e 0 5 0 det det A A y y
0,0
SObservação:
Todo sistema homogêneo é sempre possível, pois admite a solução (0, 0,.., 0) chamada solução trivial. Observe que para um sistema homogêneo teremos sempre detA1 0,detA2 0,...,detAn 0
Portanto, para a discussão de um sistema linear homogêneo, é suficiente o estudo do determinante dos coeficientes das incógnitas.
Determinado detA0 Indeterminado detA0
4º)Exemplo: Calcular o valor de a para que o sistema
0
0
ay
ax
y
ax
tenha soluções diferentes da trivial.
Resolução: Neste caso, o sistema deve ser indeterminado, e teremos detA0.
1
0 0 ou 1 . 0 ² det 1 A a a a a a a a a a A Resposta:
0,1 Exercícios Propostos: 1. Discuta os sistemas: a)
m
y
x
y
mx
2
b)
2
1
y
x
y
kx
c)
q
pz
y
x
z
y
x
z
y
x
4
6
10
3
7
2. Classifique, quanto ao número de soluções, os seguintes sistemas homogêneos.
a)
0
8
6
0
4
3
1
2
x
x
x
x
b)
0
3
0
4
2
2
0
z
y
x
z
y
x
z
y
x
c)
0
4
0
3
0
2
y
x
z
y
x
z
y
x
3. Determine a e b para que o sistema
b
y
x
ay
x
4
4
12
6
seja indeterminado.4. Calcule os valores de a para que o sistema
0
4
1
2
3
y
ax
y
x
seja compatível e determinado.
5. Dê os valores de a para que o sistema
5
4
2
2
z
y
ax
a
z
y
x
az
y
seja compatível e determinado.
6. Dê o valor de a para que o sistema
0
5
4
0
2
0
2
az
y
x
a
z
y
x
y
ax
seja impossível.7. Determine o valor de k para que o sistema
k
x
y
z
x
y
z
3
3
2
2
2
4
1
4
3
seja indeterminado.8. Ache m para que o sistema
0
2
3
0
5
4
0
3
2
z
my
x
z
y
x
z
y
x
tenha soluções próprias.
9. Qual o valor de p para que o sistema
2
0
4
y
x
z
py
x
z
y
px
10. (Fuvest-SP) Para quais valores de k o sistema linear
2
3
2
3
1
kz
y
z
y
x
z
y
x
é compatível e determinado?Respostas exercícios propostos:
1. a) SPD se m1 SI se m = –1 b) SPD se k 1 SI se k = 1 c) SPD se p1; SPI se p = –1 e q = 8; SI se p = –1 e q8 2. a) indeterminado. b) indeterminado. c) determinado 3. a = 6 e b = 8 4. a6 5.
aR/a4ea1
6. a4ou a1 7. k = 5 8. 13 3 m 9.
pR/ p1
10. 4 1 k / R k7. Escalonamento de Sistemas Lineares
Considerando um sistemas genérico m x n, dizemos que ele está escalonado quando os coeficientes aij,
com i > j , são todos nulos. Exemplos:
8
4
1
2
3
7
5
2
z
z
y
z
y
x
4
5
4
11
7
2
3
z
y
z
y
x
10
5
4
9
2
t
z
t
z
y
x
Classificação e resolução de sistemas lineares escalonados
1º
10
5
0
2
4
6
2
3
z
z
y
z
y
x
Sistema 3 x 3 já escalonado (número de equações = número de incógnitas) Da 3ª equação tiramos z = 2
Da 2ª equação, fazendo z = 2, tiramos y = 1 Fazendo y =1 e z = 2 na 1ª equação tiramos x = -2
2º
9
0
3
2
5
6
4
2
1
3
2
9
w
w
z
w
z
y
w
z
y
x
Sistema 4 x 4 já escalonado.A 4ª equação permite dizer que o sistema é impossível, logo S =
3ª
0
6
3
0
z
y
z
y
x
Sistema 2 x 3 já escalonado (número de equações < número de incógnitas)
Quando um sistema escalonado tem mais incógnitas que equações e pelo menos um coeficiente não nulo em cada equação, ele é possível e indeterminado. A variável que não aparece no começo das equações é chamada variável livre. Nesse exemplo z é a variável livre. Fazemos z = k, com k
R, para descobrir a solução geral do sistema.Da 2ª equação, temos 3y6z0 y2k.
Usando z = k e y = 2k, temos x2kk0 x3k.
Portanto, o sistema é possível e indeterminado e sua solução geral é (-3k, 2k, k).
4º
1
3
2
2
2
t
z
t
z
y
x
Aqui o sistema é possível e indeterminado (está escalonado e tem 2 equações e 4 incógnitas) e duas são variáveis livres (y e t).
Fazemos yet ,comReR. Substituindo nas equações:
4 3 5 2 3 5 2 4 4 2 3 1 2 4 2 2 3 1 2 2 3 1 3 1 2 1 3 2 x x x x z z z Solução geral: , , , 2 3 1 4 3 5 2
Exercício: Classifique e resolva os sistemas lineares escalonados:
a)
6
2
1
2
0
3
2
z
z
y
z
y
x
b)
0
2
2
3
z
y
z
y
x
c)
0
2
2
d
c
d
c
b
a
8. Processo para escalonamento de um sistema linear
Para escalonar um sistema linear e depois classificá-lo e resolvê-lo, alguns procedimentos podem ser feitos:
1º Eliminamos uma equação que tenha todos os coeficientes e o termo independente nulos. Por exemplo: 0x + 0y + 0z = 0 pode ser eliminada, pois todos os termos de números reais são soluções:
2º Podemos trocar a posição das equações. Exemplo:
62
3
14
14
62
3
yx
yx
yx
yx
3º Podemos multiplicar todos os termos de uma equação pelo mesmo número real diferente de zero: 10 2 2 6 5 3xyz x y z
Podemos multiplicar os 2 membros de uma equação por um mesmo número real diferente de zero e somarmos aos membros correspondentes da outra equação. Regra de Chio de matrizes = 10ª propriedade. Exemplo:
43
74
2
259
53
3
74
2
zy
zy
x
zy
x
zy
x
4º Se no processo de escalonamento obtivermos uma equação com todos os coeficientes nulos e o termo independente diferente de zero, esta equação é suficiente para afirmar que o sistema é impossível., isto é, S = . Exemplo 1:
32
16
135
7
2
7
3
313
5
7
2
135
7
3
7
2
82
53
21
72
32
7
2
z
zy
zy
x
zy
zy
zy
x
zy
zy
zyx
zy
x
zy
x
zy
x
O sistema obtido está escalonado e é equivalente ao sistema dado. Podemos agora resolver:
1 7 2 3 2 3 13 2 5 2 16 32 x x y y z
Sistema possível e determinado, com S = {(-1,3,2)} Exemplo 2:
)inar
lime(
zy
x
zy
zy
x
zy
x
zy
x
zy
x
00
00
8
47
3
2
62
42
1
3
2
3
3
2
8
4
7
3
2
z
y
z
y
x
Sistema possível e indeterminado (escalonado e 2 x 3). Variável livre: z.
7 4 8 8 4 7 y y z 7 5 3 7 4 8 2 x x Solução geral: , , 7 4 8 7 5 Exercícios propostos:
1) Escalone, classifique e resolva os sistemas lineares abaixo:
a)
0
2
8
3
3
1
3
2
z
y
z
y
x
z
y
x
Resp: Sistema possível e determinado, com S = {(1,-1,2)}
b)
5
2
3
2
2
z
y
x
z
y
x
Resp: Sistema possível e indeterminado, com S = {(1+5k, 1-4k, k)} c)
0
3
2
3
z
y
x
z
y
x
Resp: Sistema possível e indeterminado, com S = {(9-2k, k-6, k)}
9. Testes:
1. O valor de a para que o sistema
54
3
18
2
ay
x
y
x
seja possível e indeterminado é:
a) -6 b) 6 c) 2 d) -2 e) 3/2 Resp: a) 2. O sistema
0
14
0
4
2
0
3
2
z
x
z
y
x
z
y
x
é: a) determinado. b) Impossívelc) Determinado e admite como solução (1, 1, 1). d) Indeterminado.
e) N.D.A.
3. A solução do sistema
13
2
3
5
2
4
6
z
y
x
z
y
x
z
y
x
é: a) (-2, 7, 1) b) (4, -3, 5) c) (0, 1, 5) d) (2, 3, 1) e) (1, 2, 3) Resp: e) 4. O sistema linear
7
2
4
9
4
3
2
2
2
z
y
x
z
y
x
z
y
x
:a) admite solução única; b) admite infinitas soluções; c) admite apenas duas soluções; d) não admite solução;
e) N.D.A. Resp: b) 5. O sistema de equações
0
5
5
y
bx
y
ax
, terá uma única solução se:
a) a5b b) a b5 0 c) a b5 0 d) 5ab 0 e) 5ab 0 Resp: c)
6. Para que o sistema linear
1
5
2
7
y
x
by
ax
admita uma única solução, é necessário que:
a) 5 2b a b) 5 2b a c) 2 5b a d) 5 2b a e) 2 5b a
7. O sistema linear
1
2x
y
a
a
y
x
é impossível se e somente se:
a) a1 e a1 b) a1 ou a = –1 c) a1 d) a 1 e) a Resp: R d)
8. Se x = A, y = B e z = C são as soluções do sistema
10
4
4
3
z
y
z
x
y
x
, então ABC vale:
a) -5 b) 8 c) -6 d) -10 e) 5 Resp: c) 9. O sistema sobre R
11
11
4
2
1
3
2
z
y
x
b
z
y
x
z
y
x
, terá solução apenas se o valor de b for igual a:
a) 6 b) 4 c) 1 d) -11 e) -12 Resp: b) 10. O sistema
2
4
2
my
x
k
y
x
é indeterminado. Então k + m vale:
a) 1/2 b) 1 c) 3/2 d) 2 e) 3
Resp: e)
11. Para qual valor de m o sistema
0
2
3
0
2
0
2
y
x
z
my
x
z
y
mx
admite infinitas soluções?
a) m = 0 b) m 0 c) m = 2 d) m = 10 e) m = 1 Resp: c) 12. O sistema
0
0
2ky
x
y
x
k
nas incógnitas x e y: a) é impossível se k 1b) admite apenas a solução trivial se k = 1 c) é possível e indeterminado se k = -1 d) é impossível para todo k real
e) admite apenas a solução trivial para todo k real.
13. O sistema
b
y
x
z
ay
x
z
y
ax
1
0
tem uma infinidade de soluções. Então, sobre os valores dos parâmetros a
e b, podemos concluir que:
a) a = 1 e b arbitrário. b) a = 1 e b 0 c) a = 1 e b = 1 d) a = 0 e b = 1 e) a = 0 e b = 0 Resp: d) 14. O sistema linear:
3
1
0
2
z
y
x
z
y
x
z
y
x
não admite solução se for igual a:
f) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) -2
Resp: e)
EXERCÍCIOS SOBRE MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES
1. Sejam as matrizes: 1 1 2 3 2 1 A , 1 0 3 1 0 2 B , 4 2 1 C e D
2 1
, calcule: a) A + B b) 2B – 3C c) A . C d)B.C e) C.D f) D.A g) D.B 2. Dadas as matrizes: 2 1 6 5 A . 6 8 12 10 B e C = 3 1 2 5 , calcule: a) A B 2 1 3 b)3C2A c) B C 5 1 2 3 d) ) .( 2 C B A 3. Calcule A2 , sabendo que . 2 3 1 2 A 4. Dadas as matrizes: 1 1 0 2 A , 1 0 1 3 B e 0 1 2 0 C , determine a matriz X na equação 2.A+ B = X + 2.C.
5. Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, mediterrâneo e colonial. A quantidade de material empregada em cada tipo de casa é dada pela matriz:
Colonial eo Mediterrân Moderno 13 5 8 25 6 21 9 12 18 7 17 7 16 20 5
(Qualquer semelhança dos números com a realidade é mera coincidência). Utilizando operações entre matrizes resolva as seguintes situações:
a) Se ele vai construir 5, 7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterrâneo e colonial, respectivamente, quantas unidades de cada material serão empregadas?
b) Suponha agora que os preços por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam, respectivamente, 15, 8, 5, 1 e 10 unidades. Qual o preço unitário de cada tipo de casa?
c) Qual o custo total do material empregado?
6. Dadas as matrizes: 0 1 2 1 A e 1 0 1 3
B , calcule: a) det(A) + det(B) b) det(A+B)
7. Calcule o determinante de cada matriz a seguir:
7 3 4 2 0 3 1 0 2 A 9 8 7 6 5 4 3 2 1 B 0 2 1 1 3 1 0 2 1 0 2 0 0 5 1 3 C 1 6 5 3 8 0 0 3 2 4 0 0 5 6 0 0 0 18 19 0 0 0 0 3 D 8. Sendo 7 5 6 4 A e 1 6 5 2
B , calcule a matriz X na equação A.X = B. 9. Construa a matriz A(aij)3X3, com aij 2i36j2 e calcule det(A).
10. Resolva os sistemas: 0 2 5 3 1 7 3 2 ) z y z x z y x a 12 5 7 4 5 2 3 2 5 ) z y x z y x z y x b 5 0 2 3 0 4 2 ) z y x z y x z y x c 2 4 4 0 ) w z y x w z y x w z y x w z y x d 50 16 10 34 8 5 ) y x y x e 10 3 2 3 23 6 4 3 10 3 2 ) z y x z y x z y x f
4
2
2
0
)
2
2
0
9
3
5
0
x y z t
x y
t
g
y
z t
x
y
z
0 2 1 2 2 3 3 2 0 ) u z y x u z y x u z y x u z y x ha) 3 2 3 y x y x b) 6 3 5 2 y x y x c) 3 6 3 2 y x y x d) 2 4 2 y x y x e) 12 3 3 2 y x y x f) 3 0 2 y x y x Resp.: (2,1) (-1,3) (3,0) (0,2) (3,3) (1,-2)
RESPOSTAS
1. a) 0 1 5 4 2 1 b) Impossível c) 4 15 d) 1 6 e) 4 8 2 4 1 2 f)
0 3 7
g)
7 0 1
2. a) 9 1 12 20 b) 1 7 6 5 c) 5 44 5 63 5 92 14 d) 12 21 22 15 3. 7 0 0 7 4. Resp: X = 1 4 5 75. a) Ferro: 146 Madeira: 526 Vidro: 260 Tinta: 158 Tijolo: 388
b) Moderno: $ 492,00 Mediterrâneo: $ 528,00 Colonial: $ 465,00 c) $ 11.736,00 6. a) 1 b) 3 7. det(A) = 21 det(B) = 0 det(C) = 12 det(D) = 0
8. X =
2
21
7
2
29
11
9. 38 44 50 0 6 12 14 8 2 A e det(A) = 0 10. a) S = {(61/23, -9/23,-18/23)} b) S = {(3,-5,7)} c) S = {(0,-10,5)} d) S = {(1,-1,2,-2)} e) S = f) S = g) S = {(1,2,3,-2)} h) S = {(1,0,2,3)} EXERCÍCIOS DE REVISÃO 1. Dadas as matrizes: 6 2 1 4 5 1 3 2 1 A , 9 1 7 2 5 4 5 2 6 B , 7 4 2 1 C , 4 1 1 0 1 3 D e 1 3 5 1 4 2 ECalcule, quando possível, as operações abaixo, justificando as operações que não são possíveis: a) A – B f) 4A + 5B k) 3Dt - E
b) 2E – A g) 7E l) (-ED) + A c) A x D h) -3C m) (4B)C + D d) D x A i) (DE)t n) AtBt – (AB)t
e) D – D j) Bt + At
2. Determine a matriz X nas igualdades, considerando as matrizes:
4 3 3 5 2 1 A 6 0 2 4 1 2 B 1 0 1 1 2 4 C a) B + X = A + C b) A + C + X = B 3. Dadas as matrizes 5 4 3 1 A e 7 4 1 2
B calcule o valor de
x
e dey
nas equações abaixo: B A y x B A y x 2 3 44. Dadas as matrizes 3 2 1 5 4 2 2 0 1 A e 5 5 2 11 5 2 0 1 4
B determine
x
ey
nas equações abaixo: B y x A y x 2
5. Determine
x
ey
nas igualdades abaixo:a) 2 1 2 4 6 1 y x b) 1 0 0 1 5 2 4 2 X
6. Calcule o determinante da matriz A (aij)2X2 com i ij
2 ij
a .
7. Resolva as equações a seguir, calculando o valor de
x
:a) 8 1 3 2 x b) x32 2x41 8x 32
8. Calcule o determinante da matriz A (aij)3X3 com
j i j i j i se j i , 2 , 2 3 aij 3 9. Calcule os determinantes:
a)
2 3 2 2 1 1 3 0 4 0 1 5 2 4 0 1 b) 1 5 1 2 2 2 0 1 1 0 3 3 3 0 4 2 RESPOSTAS 1. a) 3 1 6 6 0 5 8 0 5 BA b) Operação impossível, pois as matrizes não possuem a mesma ordem. c) 23 3 10 7 11 0 XD A
d) Operação impossível, pois o número de colunas da matriz D (2 colunas) é diferente do número de linhas da matriz A (3 linhas).
e) 0 0 0 0 0 0 D D f) 69 13 39 6 45 16 13 18 34 5 4A B g) 7 21 35 7 28 14 7E h) 21 12 6 3 3C i) 3 1 4 8 3 15 18 5 11 ) X (D E t j) 15 2 2 3 10 4 8 3 7 t t A B k) 11 6 2 4 4 7 X 3 Dt E
l) Operação impossível, pois o resultado da multiplicação
6 14 2 5 XD
E é uma matriz 2x2 que tem ordem diferente da matriz A que é 3x3.
m) Operação de multiplicação (4B)C impossível, pois a matriz 4B é 3x3 e a matriz C é 2x2, assim o número de colunas da matriz 4B é diferente do número de linhas da matriz C.
n) 34 11 22 19 2 3 41 45 36 ) X ( X t t t B A B A
2. a) 3 3 2 2 1 7 X b) 3 3 2 2 1 7 X 3. 3 12 7 4 x e 26 8 0 5 y 4. 11 9 4 21 13 6 4 1 6 x e 8 7 3 16 9 4 2 1 5 y 5. a) x = 5/13 e y = 3/13 b) 1 1 2 2 / 5 x
