Estatística Descritiva

(1)

Estatística Descritiva

Tabela

Gráficos

Números

s

x , s

2

_,

s, m

_o

,

Q

₁

, Q

₂

, Q

₃

,

...etc.

1

(2)

2. 2. Gráficos

Gráficos

Estatística Descritiva

 As representações gráficas de tabelas de distribuições de frequência

permitem que se tenha uma

rápida e concisa visualização da

distribuição da variável

.

 A utilização de gráficos para ilustrar os resultados de uma pesquisa

sempre é recomendável.

A construção de gráficos

depende muito da habilidade artística de

cada um

!!!

(3)

3

Figura 1. Modelo de gráfico Cabeçalho

(4)

Toda figura (ou gráfico) quando colocada em um trabalho deve ser citado pelo seu número

ANTES de ser apresentada(o) no texto!

Se colocou um gráfico no texto  precisa escrever algo sobre ele!

Recomendações

::

1) Devem ser claros e simples, atraindo a atenção e inspirando confiança; 2) Servem para realçar certos aspectos importantes de uma pesquisa;

3) Devem ser de tamanho adequado à sua publicação em revistas, periódicos, cartazes, livros, etc.;

4) Devem sempre ter um título completo, o qual deve ser colocado na parte inferior do 4) Devem sempre ter um título completo, o qual deve ser colocado na parte inferior do gráfico;

5) Devem ser construídos numa escala que não desfigure os fatos ou as relações que se deseja destacar;

6) Devem ser mais largos do que altos;

7) Seus eixos sempre ser especificados (dar nome) e graduados (criar escala);

8) Quando os dados não são próprios, deve-se citar a fonte, a qual deve ser colocada na parte inferior do gráfico;

(5)

2.1. Gráfico para variáveis

qualitativas

Existem vários tipos de gráficos para representar variáveis qualitativas, Existem vários tipos de gráficos para representar variáveis qualitativas,

contudo, vários são versões diferentes do mesmo princípio. Nos limitaremos em 4 deles:

a)

a) Gráfico de barras

Gráfico de barras

b)

b) Gráfico de

Gráfico de Pareto

Pareto

c)

c) Pictograma

Pictograma

d)

d) Gráfico de setor circular

Gráfico de setor circular

(6)

a) Gráfico de barras

Gráfico de barras

(ou retângulo)

OpRU f R 8 M 1 B 10 N 3 Total 22

Têm por finalidade comparar grandezas, por meio de retângulos de igual largura, dispostos horizontalmente e com alturas proporcionais às grandezas.

 Devemos deixar uma distância entre os retângulos.

 Para as variáveis qualitativas ordinais, devemos respeitar a ordem das categorias.

 Quando os retângulos são colocados na posição vertical, temos os

gráficos de colunas. A finalidade desse tipo de gráfico é a mesma dos gráficos de barras. 0 2 4 6 8 10 12 R M B N OpRU 0 2 4 6 8 10 12 R M B N OpRU Vertical Horizontal gráficos de barras.

(7)

OpRU<- c("R","R","M","R","N","B","R","R","R","N","B", "B","B","R","R","B","B","B","N","B","B","B") tab.opRU<- table(OpRU); tab.opRU

barplot(tab.opRU, horiz=F) barplot(tab.opRU, horiz=T)

# Se deseja as frequências relativas

tab.freq = prop.table(tab.opRU) barplot(tab.freq)

Gráfico de barras

No software R: 7

(8)

b) Gráfico de

Gráfico de Pareto

Pareto

OpRU f R 8 M 1 B 10 N 3 Total 22

É um gráfico de barras ordenadas, das mais

altas para as mais baixas.

Então as categorias da variável ficam ordenadas

de acordo com as frequências.

Usado em gestão de qualidade

0 2 4 6 8 10 12 R M B N OpRU Antes _Depois 8

(9)

require(qcc) # instalar esse pacote

pareto.chart(tab.opRU)

Pareto chart analysis for tab.opRU

Frequency Cum.Freq. Percentage Cum.Percent. B 10 10 45.454545 45.45455 R 8 18 36.363636 81.81818 N 3 21 13.636364 95.45455 M 1 22 4.545455 100.00000

Gráfico de

Gráfico de Pareto

Pareto

No software R:

(10)

c)

Pictogramas

_ Os símbolos devem ser auto-explicativos;

_ As diferentes quantidades devem expressar-se mediante maior ou menor

número de símbolos;

(11)

d) Gráfico de setores

Gráfico de setores

(ou gráfico tipo

gráfico tipo “pizza

pizza” ou “torta

torta”)

R 36% N 14% OpRU

Destina-se a representar a composição, usualmente em %, de partes de um todo. Consiste em dividir a área total de um círculo de raio arbitrário (representando o todo) em subáreas (setores) proporcionais às frequências.

O número de setores não deve ser muito grande.

OpRU f f_r _i R 8 0,364 130,91o M 1 0,045 R 36% M 5% B 45% N 14% OpRU 36% M 5% B 45% B 10 0,455 N 3 0,136 Total 22 1 11

(12)

pie(tab.opRU)

Gráfico de setor

B M No software R: N R Para os curiosos: https://www.tutorialspoint.com/r/r_pie_charts.htm

(13)

2.2. Gráfico para variáveis

quantitativas

Apresenta uma variedade maior de representações gráficas.

a)

a) Diagrama de ramos e folhas

Diagrama de ramos e folhas

b)

b) Gráfico

Gráfico de pontos (+

de pontos (+ outliers

outliers))

c)

c) Gráfico de Haste

Gráfico de Haste

d)

d) Histograma

Histograma

e)

e) Polígono de

Polígono de frequência

frequência

f)

Ogiva

Ogiva (Gráfico de frequência acumulada)

(Gráfico de frequência acumulada)

g)

(14)

a)

Ramos e Folhas

É uma forma de representar a distribuição de uma

variável quantitativa

mantendo seus valores originais.

Foi proposta por Tukey (1977).

 Pode ser usado para conjuntos grandes de dados;  Dá uma boa idéia da distribuição dos dados;  Dá uma boa idéia da distribuição dos dados;

 Permite a detecção de valores discrepantes (aberrantes ou outliers) Considere a variável (Z) peso (kg) dos alunos:

Z = {45, 52, 53, 56, 57, 58, 60, 65, 65, 66, 75, 53, 55, 55, 58, 64,

65, 66, 67, 68, 68, 69, 74, 74, 74, 75, 75, 78, 79, 79, 82, 107}

Não existe uma regra fixa para construir o ramo-e-folha.

(15)

Ordene os dados: 45, 52, 53, 53, 55, 55, 56, 57, 58, 58, 60, 64, 65, 65, 65, 66, 66, 67, 68, 68, 69, 74, 74, 74, 75, 75, 75, 78, 79, 79, 82, 107.

4

5

2

3

5

6

7

8

6

0

4

5

6

7

8

9

7

4

5

8

9

8

2

OBS: Um ramo com muitas folhas significa maior incidência daquele

ramo (realização).

8

2

9 10 7

i) A primeira (o ramo) é colocada à

esquerda de uma linha vertical, esta divide os valores das observações numa determinada unidade.

ii) A segunda (a folha) é

colocada à direita. Cada número representa uma

observação. 15 A idéia básica é dividir cada observação em duas partes:

(16)

1) Definir a unidade de medida que dividirá cada valor em duas partes: ramo e folha. Por exemplo:

45 kg  ramo = 4 e folha = 5 107 kg  ramo = 10 e folha = 7

OBS1: Podemos trucar cada valor omitindo os décimos, por exemplo: 69,1 kg = 69 kg  ramo = 6 e folha 9

69,5 kg = 69 kg  ramo = 6 e folha 9

Passos para a construção de um diagrama de ramos e folhas

2) Escrever os ramos em ordem crescente verticalmente e passar uma linha vertical à direita deles.

3) Associar cada folha ao respectivo ramo;

4) Ordenar, em cada ramo, as folhas em ordem crescente da direita para esquerda. OBS2: Podemos trucar cada valor considerando como folha 2

algarismos, por exemplo: 69,1 kg  ramo = 6 e folha 91

(17)

12 0 1 9 13 0 1 6 7 14 3 4 4 8 9 15 1 1 5 5 8 16 0 1

Os valores são referentes ao preço de um determinado produto em vários

estabelecimentos:

Exercício

14,80 18,20 13,60 15,50 12,00 13,70 17,00 16,00 17,30 14,40 16,10 26,80 12,10 15,50 16 0 1 17 0 3 18 2 19 3 20 9 21 22 23 24 25 26 8 17 17,00 12,90 20,90 19,30 14,40 15,10 13,10 15,50 14,30 15,10 15,80 13,00 14,90

(18)

Interpretação:

• Distribuição assimétrica de preços; • Grande variabilidade;

• Preço típico entre 13 e 15;

(19)

preco<- c(14.80,18.20,13.60,15.50,12.00,13.70,16.00,17.30,14.40, 16.10,26.80,12.10,12.90,20.90,19.30,14.40,15.10,13.10, 15.50,14.30,15.10,15.80,13.00,14.90,17.00)

stem(preco, scale=3)

The decimal point is at the |

12 | 019 13 | 0167 14 | 34489 15 | 11558

Gráfico de ramos e folhas

No software R: 19 15 | 11558 16 | 01 17 | 03 18 | 2 19 | 3 20 | 9 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 8

(20)

OBS:

Em geral, existem grandes intervalos vazios entre as observações

extremas e grupo onde se encontram a maioria dos dados.

A detecção de intervalos vazios e observações extremas é importante

Observações discrepantes

(aberrantes

aberrantes, ou Outliers

Outliers)

São observações cujos valores estão distintamente abaixo ou acima da

maioria das demais observações.

A detecção de intervalos vazios e observações extremas é importante

pois nos leva a refletir sobre a qualidade dos dados.

Algum erro de medição ocorreu?

(21)

b)

Gráfico de pontos

Gráfico de pontos (ou

gráfico de dispersão unidimensional

gráfico de dispersão unidimensional)

Para pequenos conjuntos de dados

Dá uma boa idéia da dispersão dos dados e da existência de dados discrepantes.

Herbicida A 70 60 80 80 10 50 Herbicida B 70 85 80 70 100 65

Tabela 1. Porcentagens de controle de capim marmelada (Brachiaria plantaginea).

Fonte: Departamento de Horticultura, ESALQ/USP.

Herb_A <- c(70, 60, 80, 80, 10, 50) Herb_B <- c(70, 85, 80, 70, 100, 65) plot(Herb_A, pch=19, ylim=c(0,100)) plot(Herb_B, pch=19, ylim=c(0,100)) No software R: 21 1 2 3 4 5 6 0 20 40 60 80 100 Index H erb_B 1 2 3 4 5 6 0 20 40 60 80 100 Index H erb_A

Há algum dado aparentemente discrepante? Em caso afirmativo, cite uma possível causa.

Você eliminaria esse(s) dado(s)? Qual herbicida você adotaria?

(22)

Algumas variações do gráfico de pontos

Os valores são representados por pontos ao longo da reta (provida de uma escala)

Considere a variável Z: n.o _{de disciplinas em que o aluno foi reprovado.} Z = {2, 0, 0, 2, 2, 5, 0, 2, 1, 2, 2, 4, 0, 3, 2, 2, 0, 3, 2, 3, 1, 4}

9

Indicado para

pequenos

conjuntos de dados

1 2 3 4 5 0 5 2 9 3 2 1 1 2 3 4 5 0 0 1 2 3 4 5 Z 5 9 3 2 1

Valores repetidos são acompanhados por um número que indica as

repetições.

Valores repetidos são “empilhados”, um em cima do

outro.

Apresentar o ponto mais alto da pilha

Z Z

(23)

c)

Gráfico de Hastes

Gráfico de Hastes (ou Bastões)

(ou Bastões)

_ Bastante utilizado para representar dados não-agrupados em classes, o que normalmente ocorre com dados discretos.

_Pode ser construído utilizando-se indistintamente as frequências absolutas ou as frequências relativas.

Considere a variável X = n. de irmãos.

X_i f_i 0 1 1 6 6 8 10 fr eq uê nci a ab so lut a 23 1 6 2 12 3 2 6 1 0 2 4 n. irmãos fr eq uê nci a ab so lut a 0 1 2 3 6 irmaos<- c(1, 2, 2, 2, 6, 2, 3, 2, 2, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 0) tab.irmaos<-table(irmaos) plot(tab.irmaos) No software R:

(24)

Podemos

aproximar

aproximar uma variável contínua por uma variável

uma variável contínua por uma variável

discreta

.

Isto pode ser feito supondo-se que todas as observações em

determinada classe são iguais ao ponto médio desta classe.

Para

conjuntos de

dados grande

Com a tabela assim construída podemos representá-la por um gráfico

de barras, setores ou de dispersão unidimensional.

Inconveniente

: se perde muita informação da variável contínua.

Uma alternativa a ser usada nestes

casos é o gráfico histograma.

(25)

d)

Histograma

• Utilizados para representar as distribuições de freqüência.

• Dão uma boa idéia do formato da distribuição dos dados.

Tabela 1. Distribuição de frequência dos pesos dos alunos da UFSCar

Peso (X)

_pm

_f

r

f

ra

%

ac

48 |– 55

51,5

1

1/22 = 0,0455 0,0455 4,55 4,55

48 |– 55

51,5

1

1/22 = 0,0455 0,0455 4,55 4,55

55 |– 62

58,5

7

7/22 = 0,3182 0,3637 31,82 36,37

62 |– 69

65,5

8

8/22 = 0,3636 0,7273 36,36 72,73

69 |– 76

72,5

2

0,0909 0,8182 9,09 81,82

76 |– 83

79,5

4

0,1818 1 18,18 100

Total

22

100 25

(26)

f

8 7

Peso (X)

pm

f

48 |– 55

51,5

1

Tabela 1. Distribuição de frequência dos pesos dos alunos da UFSCar



 b.1) Histograma com amplitudes

b.1) Histograma com amplitudes

iguais

de classes

O histograma é uma sequência de retângulos postos lado a lado onde cada retângulo

tem como base a amplitude da classe e como altura a frequência (ou a f

_r

).

7 4 2 1 48 55 62 69 76 83

48 |– 55

51,5

1 55 |– 62

58,5

7 62 |– 69

65,5

8 69 |– 76

72,5

2 76 |– 83

79,5

4 Total

22

X

(27)

Histograma

pesos<- c(48, 55, 55, 58, 58, 58, 59, 60, 62, 62, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 70, 75, 80, 80, 82, 83)

hist(pesos, freq=T, breaks = "Sturges")

Histogram of pesos

6

Vantagem do gráfico de ramos Vantagem do gráfico de ramos

e folhas sobre o histograma e folhas sobre o histograma::

não perdemos (ou perde-se No software R: 27 pesos F req uen cy 50 60 70 80 0 1 2 3 4

5 não perdemos (ou perde-se

pouca) informação sobre os dados em si.

A escolha do número de linhas do ramo-e-folha é equivalente à escolha do número de classes de

(28)

f

8

É um gráfico que se obtém unindo por uma poligonal os pontos correspondentes

à frequência das diversas classes, centradas nos respectivos pontos médios.

Para se obter as interseções do polígono com o eixo, cria-se, em cada extremo

do histograma, uma classe de frequência nula.

Peso (X) pm f

Tabela 1. Distribuição de frequência dos pesos dos alunos da UFSCar

e)

Polígono de

Polígono de frequência

frequência

7 4 2 1 48 55 62 69 76 83 X Peso (X) pm f 48 |– 55 51,5 1 55 |– 62 58,5 7 62 |– 69 65,5 8 69 |– 76 72,5 2 76 |– 83 79,5 4 Total 22

(29)

ff)

) Curva de

Curva de frequências

frequências

A partir do polígono de frequências pode-se representar contornos mais suaves, utilizando curvas para chegar a uma representação de curva de frequência.

set.seed(14)

x <- rchisq(100, df = 4)

hist(x, freq=FALSE, ylim=c(0, 0.3), main="Distrib. Qui-quadrado com v=4") curve(dchisq(x, df = 4), col = 2, lty = 2, lwd = 2, add = TRUE)

Distrib. Qui-quadrado com v=4 No software R: 29 x D en si ty 0 5 10 15 0. 00 0. 1 0 0. 20 0 .30

Estas curvas serão utilizadas para entender algumas propriedades presentes no estudo das medidas de posição e

(30)

g)

Ogiva

(ou gráfico de frequência acumulada)

É o gráfico representativo de uma distribuição acumulada de frequências. Ou

seja, são gráficos construídos a partir das frequências acumuladas.

n. de al un os 12 16 20 24 Frequências acumuladas decrescente. Idade n. de al un os 0 2 4 6 8 12 18 22 26 30 34 38 42 Interpretação:

Nota-se que não existem alunos com idade inferior a 18 anos enquanto que abaixo de 34 anos existem 20 alunos.

(31)

Exemplo: Exemplo: Dados de idade: Dados de idade: X ={20, 26, 18, 25, 35, 20, 29, 23, 20, 20, 20, 30, 18, 37, 25, 20, 21, 25, 24, 19, 21, 22} Dados ordenados: Dados ordenados: X ={18, 18, 19, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 21, 21, 22, 23, 24, 25, 25, 25, 26, 29, 30, 35, 37}

Tabela Distribuição de frequência da idade de 22 alunos da UFSCar

Gráfico de frequência acumulada

Considere as classes com amplitude 4, iniciando na idade de 18 anos e terminando na idade de 42 anos.

Valores: 18 19 20 21 22 23 24 25 26 29 30 35 37 Freq: 2 1 6 2 1 1 1 3 1 1 1 1 1 X f f_a 18 |–| 22 12 12 22 –| 26 6 18 26 –| 30 2 20 30 –| 34 0 20 34 –| 38 2 22 38 –| 42 0 22 Total 22

da idade de 22 alunos da UFSCar

OBS: Sempre considerar fechado

o limite superior!

(32)

X f f_a 18 |–| 22 12 12 22 –| 26 6 18 26 –| 30 2 20 30 –| 34 0 20 34 –| 38 2 22 38 –| 42 0 22

Tabela Distribuição de frequência da idade de 22 alunos da UFSCar

1

6

20

24

 Consta de uma poligonal ascendente

formada ligando-se os pontos de coordenadas (LS_i; f_a(i)), onde LS_i é o limite superior da classe

i e f_a(i) é a frequência acumulada até a classe i.

Gráfico de frequência acumulada

38 –| 42 0 22 Total 22 Idade n. de al uno s 0 2 4 6 8 12 1 6 18 22 26 30 34 38 42

 O ponto inicial desse gráfico é o limite inferior do primeiro intervalo, com frequência acumulada zero, pois não existe qualquer valor inferior a ele.

(33)

Gráfico de ogiva

20 25 30 35 40 0 5 10 15 2 0 n. d e al u nos X<- c(18,22,26,30,34,38,42) Y<- c( 0,12,18,20,20,22,22) # Gráfico simples

plot(X,Y, type='l', xlab='Idade', ylab='n. de alunos') points(X,Y) No software R: 33 Idade n. d e al u nos 0 4 8 1 2 16 20 24 18 22 26 30 34 38 42 Idade # Gráfico elaborado:

plot(c(18,42), c(0,24), type='n', axes=F, xlab='Idade', ylab='n. de alunos') axis(2, at=seq( 0,24,2));

axis(1, at=seq(18,42,4))

points(X,Y, cex=.8,type='l', lwd=2, col='red') points(X,Y, cex=.8, pch=19)

(34)

Construindo um gráfico de ogiva

1)

Construa uma distribuição de frequência que tenha uma coluna para as

frequências acumuladas (f

_a

);

2)

Especifique as escalas horizontal e vertical. A escala horizontal consiste

dos limites superiores de classe, enquanto a vertical mede as frequências

acumuladas;

3)

Marque os pontos em ordem, da esquerda para a direita;

4)

O gráfico deve começar no limite inferior da primeira classe (cuja

frequência acumulada é zero) e deve terminar no limite superior da última

classe (cuja frequência é igual ao tamanho da amostra).

(35)

h)

Gráfico de linhas

C o m priment o 40 60 1

Usados, sobretudo, na representação de séries temporais. É um gráfico, cujos os dados são observados em instantes de tempo diferentes, sendo estes ligados por segmentos.

Tempo

20

50 100 150

OBS: Espera-se que exista relação entre as observações em

instantes de tempos diferentes.

35

Esse gráfico também pode receber o nome de gráfico de

perfis, quando se trata da observação de um indivíduo

(36)

Desafio

(37)

f

8 7

4

Onde se concentra a maior ocorrência dos dados?

f

3 4

2

CUIDADO: amplitudes

CUIDADO: amplitudes desiguais!!!desiguais!!!

2 1 48 55 62 69 76 83 X 37 2 1 48 55 62 76 80 X

Nesse caso temos que tomar alguns cuidados quanto à análise

(38)



 b.2) Histograma com amplitudes

b.2) Histograma com amplitudes

desiguais

de classes

É comum o uso de classes com amplitudes desiguais no

agrupamento de dados em tabelas de distribuição de frequência.

f 4 f/a 0,43 0,50 3 2 1 48 55 62 76 80 X 0,29 0,43 0,14 48 55 62 76 80 X

Em classes em que as amplitudes são maiores, espera-se que mais elementos caiam nessa classe, mesmo que a

(39)

a) Complete a tabela para construir um histograma para a variável

distribuição das rendas das pessoas com 10 anos de idade ou mais na

região sudeste do Brasil, considerando os dados:

Variável (Renda) f fr= f /n Amplitude (a) Densidade de freq. (f/a) Densidade de freq. relativa (f_r/a) 0 |– ½ 1,09 0,0329 0,5 2,180 0,0658 ½ |– 1 5,62 0,1695 0,5 11,24 0,3390

Tarefa

Tarefa 1

1

½ |– 1 5,62 0,1695 0,5 11,24 0,3390 1 |– 2 7,25 0,2187 1,0 7,250 0,2187 2 |– 3 5,04 0,1520 1,0 5,040 0,1520 3 |– 5 5,55 0,1674 2,0 2,775 0,0837 5 |– 10 5,02 0,1514 5,0 1,004 0,0303 10 |– 20 2,33 0,0703 10,0 0,233 0,00703  20 1,25 0,0377   0  0 Total 33,15 39

(40)

Tarefa

Tarefa 1

1 Construa o histograma para o exemplo anterior utilizando:

b) Intervalos de

classes desiguais

e a

frequência relativa

(

f

_r

)

c) Intervalos de

classes desiguais

e a

densidade de frequência relativa

(

f

_r

/a

)

(41)

1)

Construir a coluna que indica as amplitudes (a) das classes, ou seja, a_(i) será a amplitude da i-ésima classe.

2)

Construir uma coluna das densidades de frequências em cada classe, que é obtida dividindo as frequências f pelas amplitudes a ou seja, a medida que indica qual a concentração por unidade da variável. Para compreender a distribuição, estes dados são muito mais informativos do que as f

3)

De modo análogo, pode-se construir a densidade da proporção (ou porcentagem

Histograma com intervalos de

classes desiguais

3)

De modo análogo, pode-se construir a densidade da proporção (ou porcentagem por unidade da variável) que é calculada como: f_r/a, sendo f_r= f /n. A interpretação para f_r /a é muito semelhante àquela dada para f/a

4)

Para a construção do histograma, basta lembrar que a área total deve ser igual a 1 (ou 100%), o que sugere usar no eixo das ordenadas os valores de f_r /a ,

representando melhor a distribuição dos dados.

41

Logo, a altura da i-ésima coluna deverá ser igual à

(42)

Construa um histograma e um polígono de frequências para os dados da

Tabela 2.

Utilize a regra: k=n

para determinar o número de classes.

Classifique a distribuição quanto à simetria e quanto ao número de “picos”.

Tabela 2. Diâmetros médios, em cm, de Pinus elliotti com 14 anos (amostra de 25 árvores)

Tarefa

Tarefa 2

2

17,1 19,4 18,1 18,4 9,9 14,8 14,5 18,3 18,5 17,6 17,5 17,4 19,9 21,1 16,5 15,5 19,2 21,0 14,2 16,4 16,3 17,0 17,8 13,7 18,2