Marília Brasil Xavier REITORA
Prof. Rubens Vilhena Fonseca
EDITORAÇÃO ELETRONICA
Odivaldo Teixeira Lopes
ARTE FINAL DA CAPA
Odivaldo Teixeira Lopes
REALIZAÇÃO
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) F676c Fonseca, Rubens Vilhena
Cálculo / Rubens Vilhena Fonseca – Belém:
UEPA / Centro de Ciências Sociais e Educação, 2011. 128 p.; iI.
ISBN: 978-85-88375-59-8
1.Cálculo diferencial. 2. Cálculo integral. I. Universidade Estadual do Pará. II. Título.
CDU: 517.23 CDD: 515.33 Índice para catálogo sistemático
1. Cálculo: 517.23
BELÉM – PARÁ – BRASIL
- 2011 -
5 |
L
L
I
I
M
M
I
I
T
T
E
E
S
S
O cálculo diferencial e integral se baseia em um procedimento conhecido como limite. O objetivo desse procedimento é avaliar o que acontece com uma função quando a variável independente tende a um certo valor.
O limite de uma função pode ser avaliado das seguintes formas:
Graficamente, analisando o comportamento gráfico da função em um software matemático; Numericamente, substituindo valores na função;
Analiticamente, a partir das técnicas algébricas de resolução.
REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA
A operação matemática chamada limite se representa da seguinte forma:
) x ( f lim p x
Devemos ler essa expressão da seguinte forma: “limite de f(x) quando x tende a p”. A expressão do limite encerra a seguinte pergunta:
Qual é o valor da função quando x tende a p ?
EXEMPLO
Leia o limite abaixo:
1
x
lim
2 1 x SOLUÇÃO6 |
ANÁLISE GRÁFICA
Esse tipo de análise permite afirmar o valor de um limite apenas olhando o seu gráfico. Por exemplo, considere a função dada no exemplo anterior:
1
x
y
2O seu gráfico é dado por:
Pelo gráfico podemos perceber que, quando x tende a 1, y tende a 2. Então o limite é igual a:
2
1
x
lim
2 1 xANÁLISE NUMÉRICA
Considerando o limite: ) x ( f lim p xA análise numérica consiste em avaliar o valor da função quando x vai se aproximando de p. Essa aproximação deve ser feita de duas maneiras:
Diminuindo o valor de x até chegar em p; Aumentando o valor de x até chegar em p.
EXEMPLO
Fazer a análise numérica do limite:
1
x
lim
2 1 x 0.5 1 1.5 2 2 3 4 5 x tende a 1 y tende a 21
x
y
27 | SOLUÇÃO
Para facilitar o entendimento, vamos construir a seguinte tabela:
x diminuindo até p=1 x aumentando até p=1
x y = x2+1 x y = x2+1 1,1 2,21 0,9 1,81 1,01 2,0201 0,99 1,9801 1,001 2,002001 0,999 1,998001 ... ... ... ... 1 2 1 2
É muito importante saber que não estamos interessados no valor da função no ponto x=1, mas o que acontece com a função quando x se aproxima cada vez mais de 1.
AVALIAÇÃO ANALÍTICA
A avaliação analítica de um limite é feita basicamente através de teoremas e de um pouco de álgebra. A escolha de uma dentre as várias técnicas de solução depende de como a função se comporta num determinado valor de x.
Existem dois comportamentos que podem ser esperados de uma função: Continuidade;
Descontinuidade.
Dizemos que uma função é contínua num ponto se não existe nenhum tipo de interrupção na sua trajetória nesse local. Por outro lado, uma função descontínua apresenta interrupção na sua trajetória em um ou mais pontos.
EXEMPLO
Imagine duas pessoas subindo um pequeno morro. A pessoa que vem pela esquerda, no ponto P, percebe que chegou a uma altura de 2 metros. A outra pessoa que vem pela direita, no mesmo ponto P, percebe que chegou a uma altura de 5 metros.
Podemos então concluir que existe uma descontinuidade (interrupção) no ponto P, pois o morro apresentou um salto nesse ponto (de 2 metros para 5 metros).
8 |
CONCEITO INFORMAL DE CONTINUIDADE
Observe os gráficos abaixo:
No primeiro gráfico, à medida que nos aproximamos de p pela direita ou pela esquerda, a função tende a f(p). Identificamos esse tipo de gráfico como sendo de uma função contínua.
No segundo gráfico, à medida que nos aproximamos de p pela direita e pela esquerda, a função apresenta valores diferentes. Nesse caso, a função tem uma descontinuidade do tipo salto.
Existe ainda uma terceira situação em que a função tem uma descontinuidade do tipo buraco, ou seja, a função não pode ser calculada em p embora o limite exista.
EXEMPLO Encontrar o limite:
2
x
4
x
lim
2 2 x SOLUÇÃOAo tentarmos substituir x=2 na função aparecerá zero no denominador. Isso aparentemente nos levaria a pensar que o limite não tem solução. Analisando numericamente esse limite:
x
2
x
4
x
)
x
(
f
2 x2
x
4
x
)
x
(
f
2 2,1 4,1 1,9 3,9 2,01 4,01 1,99 3,99 2,001 4,001 1,999 3,999 ... ... ... ... 2 4 2 49 |
Como podemos explicar que o limite quando x tende a 2 é igual a 4 e não seja possível substituir x=2 na função ? vamos enxergar a situação no gráfico:
Chegamos à conclusão que encontrar um determinado limite não quer dizer simplesmente calcular o valor da função num ponto. Nesse exemplo, a finalidade do limite é descobrir o comportamento da função quando x tende a 2 e não quando x é igual a 2.
Fica mais fácil verificar que o limite é igual a 4 fazendo a fatoração do numerador:
2
x 2 x 2 x 2
x
4
(x
2) (x 2)
lim
lim
lim(x
2)
2 2
4
x 2
x 2
Na verdade, o que fizemos foi encontrar uma função equivalente à original que fornecesse os mesmos valores de y quando x tende a 2. Note que a bola aberta no gráfico significa que a função original não é definida no ponto x=2.
O resultado desse limite fornece a localização do buraco na função. Podemos resumir as três situações mostradas no seguinte quadro:
Quando a função é contínua
) p ( f ) x ( f lim p x
Quando a função não é contínua
) x ( f lim p
x não existe quando a função apresenta salto em p. L ) x ( f lim p
x quando a função não é definida em p.
0.5 1 1.5 2 2.5 3 2.5 3 3.5 4 4.5 5
10 |
PROPRIEDADES DO LIMITE
O limite apresenta as propriedades listadas abaixo:
(a) limk f(x) k limf(x) p x p x (b) x p x p x p
lim[f (x) g(x)] lim f (x) lim g(x)
(c) limf(x) g(x) limf(x) limg(x) p x p x p x (d)
)
x
(
g
lim
)
x
(
f
lim
)
x
(
g
)
x
(
f
lim
p x p x px , desde que xlimpg(x) 0
EXEMPLO Calcular os limites: 1)
lim
3
x
3
lim
x
23
1
3
1 x 2 1 x2)
lim
(
3
x
2
x
)
lim
3
x
lim
2
x
3
2
5
1 x 2 1 x 2 1 x
3) lim3x 5 lim3x lim5x 3 5 8 1 x 2 1 x x 2 1 x 4)
5
3
5
lim
x
3
lim
5
x
3
lim
x 1 x 2 1 x x 2 1 x 5) ) 3 x ( lim ) 9 x ( lim 3 x 9 x lim 3 x 2 3 x 2 3x já que limx 3(x 3) 0 e não atende à propriedade (d).
Nesse caso, podemos apenas fatorar o numerador para obter:
6 ) 3 x ( lim ) 3 x ( ) 3 x ( ) 3 x ( lim 3 x 9 x lim 3 x 3 x 2 3 x
Para usar essas propriedades, é necessário que os limites existam::
) x ( f lim p x e limx pg(x)
11 |
LIMITES LATERAIS
A noção de limite lateral surge da necessidade de definirmos qual é o limite de uma função quando a variável independente tende pela direita e pela esquerda do ponto considerado. Essa noção é muito importante na caracterização de uma função que possui salto num ponto.
O limite da função f(x) quando x tende a p pela direita é representado da seguinte maneira:
) x ( f lim p x
Da mesma forma, o limite da função quando x tende a p pela esquerda é representado por:
)
x
(
f
lim
p xQuando os limites laterais forem diferentes:
) x ( f lim ) x ( f lim ) x ( f lim p x p x p x não existe
Nesse caso, a função f(x) apresenta uma descontinuidade do tipo salto em x=p.
EXEMPLO
Calcule os limites laterais em x=1 da seguinte função:
1
x
se
,
2x
1
x
se
,
x
)
x
(
f
2 SOLUÇÃO 2 1 2 x 2 lim ) x ( f lim 1 x 1 x 1 1 x lim ) x ( f lim 2 2 1 x 1 xComo os limites à esquerda e à direita são diferentes, a função apresenta um salto em x=1 e é considerada descontínua.
Podemos usar um artifício bem simples para calcular os limites laterais:
)
x
(
f
lim
p x12 | EXEMPLO Calcular o limite: 3 x 2 lim 2 x SOLUÇÃO
Fazendo as devidas substituições:
7 3 ) h 2 ( 2 lim 3 ) h p ( 2 lim 3 x 2 lim 0 h 0 h 2 x ) x ( f lim p x
Nesse caso, substituímos x por p-h e fazemos h tender a zero.
EXEMPLO Calcular o limite: 3 x 2 lim 2 x SOLUÇÃO
Fazendo as devidas substituições:
7 3 ) h 2 ( 2 lim 3 ) h p ( 2 lim 3 x 2 lim 0 h 0 h 2 x
O SÍMBOLO
Até uma certa fase dos nossos estudos em matemática, não tínhamos idéia do resultado da seguinte divisão:
0
1
Vamos agora mostrar o que isso significa. Para isso, chamaremos o denominador dessa fração de x e diminuiremos o seu valor até zero.
x
x
1
)
x
(
f
1 1 0,1 10 0,01 100 0,001 1000 ... ... 013 |
Podemos perceber pela tabela que, diminuindo o valor de x cada vez mais, o valor da divisão aumenta cada vez mais. Quando x é exatamente zero, então a divisão é exatamente o que definimos como infinito.
Representaremos o infinito pelo símbolo:
Infinito =
A idéia de infinito é de um número tão grande quanto você possa imaginar. Na verdade, se você imaginar qualquer número nesse momento, então o infinito ainda é maior do que você imaginou.
O equivalente negativo do infinito é representado pelo símbolo e significa o menor número negativo que você pode imaginar.
LIMITES NO INFINITO
Existem algumas situações em que necessitamos encontrar o limite de uma função quando a variável independente tende ao infinito. Esses tipos de limite são expressos por:
) x ( f lim x e xlim f(x) EXEMPLO Calcular o limite:
x
1
lim
x SOLUÇÃOVamos fazer uma tabela para avaliar numericamente esse limite:
X
x
1
)
x
(
f
1 1 10 0,1 1000 0,001 ... ... + 0 Então:0
x
1
lim
x14 |
Graficamente, podemos ver melhor o resultado desse limite:
À medida que x caminha na direção positiva, f(x) tende a zero. Por outro lado, o limite:
0
x
1
lim
x
À medida que x caminha na direção negativa, f(x) também tende a zero. Os limites abaixo também resultam no mesmo valor:
0 x 1 lim ... x 1 lim x 1 lim x 1 lim x 1 lim n x 4 x 3 x 2 x x , para qualquer n>0.
Esses resultados são utilizados quando precisarmos calcular um limite do tipo:
)
x
(
Q
)
x
(
P
lim
x , sendo P(x) e Q(x) dois polinômios.
A técnica se resume a dividir o numerador e o denominador pela maior potência de x existente nos polinômios P(x) e Q(x), aplicando em seguida o limite.
EXEMPLO Calcular o limite:
2
x
2
x
4
1
x
x
3
x
5
lim
2 5 3 5 x SOLUÇÃO15 | 5 3 5 4 2 x 2 5 3 5 x x 2 x 2 4 x 1 x 1 x 3 5 lim 2 x 2 x 4 1 x x 3 x 5 lim
Aplicando as propriedades dos limites, teremos como resultado:
4
5
2
x
2
x
4
1
x
x
3
x
5
lim
2 5 3 5 xLIMITES INFINITOS
Ao calcularmos os limites laterais de uma função, às vezes nos deparamos com um crescimento (ou decrescimento) ilimitado. Um exemplo disso são os limites:
x
1
lim
0 x ex
1
lim
0 xO gráfico da função pode nos fornecer essa informação valiosa:
Aproximação pela direita Aproximação pela esquerda
À medida que x vai se aproximando pela direita de zero, a função tende a crescer ilimitadamente. Já quando z se aproxima de zero pela esquerda, a função tende a decrescer ilimitadamente. Isso faz com que os limites respectivamente sejam iguais a:
x
1
lim
0 x ex
1
lim
0 x16 |
APLICAÇÃO DE LIMITES INFINITOS
O conceito de limites infinitos tem aplicações interessantes dentro da Física. Por exemplo, considere a famosa lei de Ohm:
I
R
V
Onde:
V é a tensão aplicada em Volts;
R é a resistência elétrica em (Ohms); I é a corrente elétrica em Ampéres. Rearranjando a lei de Ohm:
R
V
I
Vamos agora analisar o significado do seguinte limite:
R
V
lim
0 R
Sabemos que o resultado desse limite é + . Isso significa que, quando a resistência tende a zero, a corrente elétrica tende ao infinito.
Se dois fios desencapados de um eletrodoméstico se tocarem, a resistência elétrica entre esses dois fios será igual a zero e, portanto, a corrente tenderá ao infinito. Esse altíssimo valor de corrente é muito perigoso, pois pode provocar incêndios de grandes proporções.
ASSÍNTOTAS VERTICAIS
Quando os limites são iguais a:
) x ( f lim p x ou xlimpf(x)
Estamos diante de uma informação importante: a assíntota vertical. A assíntota vertical é uma reta imaginária que passa exatamente na descontinuidade da função.
17 |
A equação da reta imaginária é então dada por:
p
x
EXEMPLO
Encontrar a assíntota vertical da função:
1
x
1
)
x
(
f
SOLUÇÃOA assíntota está localizada em x=1, já que os limites são iguais a:
1
x
1
lim
1 x e1
x
1
lim
1 xPortanto, a equação da reta vertical imaginária é igual a:
1
x
O gráfico da função pode ser conferido ao lado.
ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS
Quando os limites no infinito forem iguais a:
L ) x ( f lim x ou xlim f(x) L
A função f(x) se aproxima de uma reta imaginária – a assíntota horizontal. A equação da reta imaginária é dada então por:
L y
EXEMPLO
Encontrar a assíntota horizontal da função:
x
1
x
2
)
x
(
f
18 | SOLUÇÃO Tomando o limite:
2
x
1
2
lim
x
1
x
2
lim
x xDessa forma, a equação da reta horizontal imaginária é igual a:
2 y
O gráfico da função pode ser conferido ao lado.
APLICAÇÃO DAS ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS
Um exemplo de aplicação da assíntota horizontal é o carregamento da bateria do seu aparelho celular.
Podemos expressar o percentual de carga P, em função do tempo, pela seguinte função:
)
e
1
(
100
)
t
(
P
ktOnde k é uma constante que depende da bateria usada no aparelho. Ao calcularmos o limite: ) t ( P lim t
Encontraremos a sua assíntota horizontal:
%
100
)
e
1
(
100
)
e
1
(
100
lim
)
t
(
P
lim
kt t t % 100 y19 |
Isso quer dizer que a carga completa (100% da capacidade da bateria) ocorrerá teoricamente apenas num tempo infinito após iniciar o carregamento. Por isso, o fabricante recomenda no manual do aparelho uma carga de 1 hora (em média) que corresponde a aproximadamente 90% da sua capacidade máxima.
LIMITE DE FUNÇÃO COMPOSTA
Algumas funções são compostas de duas ou mais funções elementares, como por exemplo:
)
1
x
ln(
y
2Podemos enxergar essa função da seguinte maneira:
u ln
y , sendo u x2 1
Desejamos conhecer os limites de tais tipos de funções. Considere o limite: x p lim f [g(x)] Se fizermos: ) x ( g u Então:
a
u
quandox
p
x p u alim f [g(x)] lim f (u)
Isso só será válido se limf(u) a u existir. EXEMPLO Calcular o limite:
)
1
x
ln(
lim
2 0 x SOLUÇÃO20 |
Fazendo:
1 x
u 2
Pela equação anterior, podemos concluir que:
1
u
quandox
0
Então: 0 1 ln u ln lim ) 1 x ln( lim 1 u 2 0 xTEOREMA DO CONFRONTO
O teorema do confronto é um dos teoremas mais úteis no cálculo de limites porque permite encontrar um resultado baseado em comparações com outros limites conhecidos.
Vamos supor que num determinado intervalo:
) x ( h ) x ( f ) x ( g Se: ) x ( h lim L ) x ( g lim p x p x Então: L ) x ( f lim p x
O teorema do confronto nos diz que se f(x) for maior ou igual a g(x) e menor ou igual a h(x) num determinado intervalo e se as funções g(x) e h(x) tenderem a um mesmo limite, então f(x) tenderá a esse limite também.
21 |
LIMITES IMPORTANTES
Vamos discutir dois limites importantes, pois precisaremos dos seus resultados mais adiante no capítulo de derivadas. Os dois limites são:
x x x 1 1 lim
x
)
x
(
sen
lim
0 xPrimeiramente, vamos mostrar numericamente que:
e ... 7182 , 2 x 1 1 lim x x
Para avaliar esse limite, vamos montar a seguinte tabela:
x x x 1 1 1 2 100 2,704813... 1.000 2,716923... 1.000.000 2,718280... 1.000.000.000 2,718281... ... ... + e
22 |
Podemos notar que, à medida que x aumenta, a função dada tende a um valor constante que chamaremos de e (número de Euler). Já vimos anteriormente que um limite desse tipo define uma assíntota horizontal dada pela equação:
y
e
O gráfico da função e da sua assíntota é mostrado abaixo:
Observando atentamente o gráfico, também podemos afirmar que:
e x 1 1 lim x x
Queremos agora mostrar que:
1
x
)
x
(
sen
lim
0 xPara avaliar esse limite, vamos montar a seguinte tabela:
x
x
)
x
(
sen
0,1 0,99833 0,01 0,99998 0,001 0,99999 ... ... 0 1O gráfico dessa função é dado por:
x +
- x
23 |
Poderíamos ter calculado o limite através do teorema do confronto. Para isso, devemos saber que é verdadeira a desigualdade (veja a demonstração no apêndice 2):
) x ( tg x ) x (
sen , para qualquer |x| 0. Vamos dividir os três membros por sen(x):
)
x
(
sen
)
x
(
tg
)
x
(
sen
x
1
A tangente do ângulo x é dada pela seguinte relação trigonométrica:
)
x
cos(
)
x
(
sen
)
x
(
tg
Substituindo na desigualdade, obteremos:
)
x
cos(
1
)
x
(
sen
x
1
Para qualquer
x
0
, podemos fazer:)
x
cos(
x
)
x
(
sen
1
Vamos calcular os limites das seguintes funções quando x tende a zero:
) x cos( lim 1 1 lim 0 x 0 x
Então, conforme o teorema do confronto:
1
x
)
x
(
sen
lim
0 x24 |
Às vezes, os dois limites importantes mostrados anteriormente não estão na sua forma padrão. Quando isso acontece, devemos usar o conceito de limite de função composta.
EXEMPLO Calcular o limite:
x
)
x
5
(
sen
lim
0 x SOLUÇÃOPrimeiro, multiplicamos e dividimos a função por 5:
x
5
)
x
5
(
sen
5
x
)
x
5
(
sen
5
5
)
x
(
f
Agora, fazemos:x
5
u
Pela equação anterior, podemos concluir que:
0
u
quandox
0
Portanto, o limite é igual a:
5
1
5
u
)
u
(
sen
lim
5
u
)
u
(
sen
5
lim
x
)
x
5
(
sen
lim
0 u 0 u 0 x EXEMPLO Calcular o limite: x x x 2 1 lim SOLUÇÃOPara transformar esse limite na forma padrão, devemos fazer:
u
1
x
2
x
2
u
Pela equação anterior, podemos concluir que:
u quando x
25 | 2 2 u u u 2 u x x
u
e
1
1
lim
u
1
1
lim
x
2
1
lim
CONCEITO RIGOROSO DE LIMITE
Os conceitos de limite mostrados até agora são informais. Matematicamente, precisamos de uma definição mais precisa.
O limite: ) x ( f lim p x
É igual a L se, dado um número >0, existe um número >0 (dependendo de ) tal que:
L
)
x
(
f
quandox
p
A definição afirma que, escolhendo qualquer positivo de forma que o limite L esteja entre L+ e L- , existirá um valor positivo tal que p estará entre p+ e p- .
Em poucas palavras queremos dizer que, para pontos vizinhos de p, a função se aproxima do seu limite L.
Essa definição de limite pode ser verificada através do seguinte gráfico:
EXEMPLO
26 |
4
2
x
4
x
lim
2 2 x SOLUÇÃOPela definição de limite:
4
)
x
(
f
quandox
2
Substituindo a expressão de f(x):4
2
x
4
x
2 Fatorando o numerador:4
2
x
)
2
x
(
)
2
x
(
O resultado é igual a:4
)
2
x
(
2
x
Se escolhermos então a função f(x) se aproximará de 4 quando x tender a 2.
Podemos explicar essa situação de uma maneira bem mas simples. Se escolhermos 0,1
então para valores de x entre 2,1 (=p+ ) e 1,9 (=p- ), o limite da função estará entre 4,1 (=L+ ) e 3,9 (=L- ) já que 0,1.
LIMITES NO MATHEMATICA
O software Mathematica permite o cálculo de limites através de um comando muito simples:
Limit[expressão, x->a]
Note que o símbolo -> é um sinal de subtração seguido de um sinal de maior.
EXEMPLO
27 |
2
x
2
x
4
1
x
x
3
x
5
lim
2 5 3 5 xO seguinte comando deve ser digitado e executado:
Limit[(5*x^5+3*x^3+x+1)/(4*x^5+2*x^2+2), x->Infinity] O Mathematica fornece 5/4 como resultado.
Podemos também calcular os limites laterais da função através dos seguintes comandos:
Limit[expressão, x->a, Direction->1] Limit[expressão, x->a, Direction->-1]
No primeiro caso, o comando calcula o limite lateral à esquerda de a na expressão. Já o segundo caso, o comando calcula o limite lateral à direita de a na expressão.
E
XERCÍCIOS
1 – Encontre os seguintes limites:
a)
3
x
9
x
lim
2 3 x b)1
x
2
1
x
4
lim
2 2 1 x c)x
x
x
lim
2 0 x d)1
x
1
x
lim
1 x f)1
x
2
x
3
x
lim
2 1 x g)x
)
x
(
tg
lim
0 x h))
x
2
(
sen
x
lim
0 x i)1
x
2
x
3
x
5
lim
4 4 x l) x x x 5 1 lim m) x x 5x 1 1 lim n) 1 x x x 2 1 lim o) x 1 0 xx
2
1
lim
28 | e)
2
x
4
x
4
x
lim
2 2 x j)3
x
x
1
3
x
2
x
5
lim
2 2 x 2 – Calcule o limite:h
)
x
(
f
)
h
x
(
f
lim
0 hPara cada um dos casos abaixo: a) f(x) 2
b) f(x) 3x
c) f(x) 3x 2
d)
f
(
x
)
5
x
229 |
D
D
E
E
R
R
I
I
V
V
A
A
D
D
A
A
S
S
A derivada de uma função é considerada a ferramenta mais importante do cálculo diferencial. Essa popularidade é resultado das inúmeras aplicações dessa poderosa ferramenta.
Por exemplo, o desenvolvimento de novos aparelhos e o aperfeiçoamento dos já existentes, de alguma forma, depende do conhecimento da derivada de uma função.
É interessante saber que a derivada nasceu de uma idéia bem simples: o cálculo do coeficiente angular de uma reta usando limites.
CONCEITO DE DERIVADA
Antes de formalizar a definição de derivada, vamos começar com um exemplo numérico.
EXEMPLO
Considere a seguinte função:
2 x ) x ( f
Primeiramente, vamos escolher dois valores de x:
1
x
0 ex
12
Os valores de y correspondentes a esses pontos são:
1
1
)
1
(
f
y
0 2 e y1 f(2) 22 4Então, a curva da função passa pelos pontos:
)
1
,
1
(
)
y
,
x
(
P
0 0)
4
,
2
(
)
y
,
x
(
Q
1 1Podemos traçar uma reta que passa por P e Q cujo coeficiente angular é dado por:
3
1
3
1
2
1
4
x
x
y
y
x
y
m
0 1 0 130 |
O denominador do coeficiente angular é igual a:
1
x
x
x
1 0Graficamente, podemos enxergar melhor essa situação:
Agora vamos fazer:
1
,
1
x
1 Então: 21 , 1 1 , 1 ) 1 , 1 ( f y1 2Portanto, o ponto Q tem as seguintes coordenadas:
)
21
,
1
,
1
,
1
(
)
y
,
x
(
Q
1 1O coeficiente angular da reta que passa por P e Q é dado por:
1
,
2
1
,
0
21
,
0
1
1
,
1
1
21
,
1
x
x
y
y
x
y
m
0 1 0 1 Sendo que:1
,
0
1
1
,
1
x
x
x
1 0Novamente, vamos fazer:
01
,
1
x
1 Então: 0201 , 1 01 , 1 ) 01 , 1 ( f y1 231 |
)
0201
,
1
,
1
,
1
(
)
y
,
x
(
Q
1 1O coeficiente angular da reta que passa por P e Q é dado por:
01
,
2
01
,
0
0201
,
0
1
01
,
1
1
0201
,
1
x
x
y
y
x
y
m
0 1 0 1 Sendo que:01
,
0
1
01
,
1
x
x
x
1 0Vamos colocar todos os resultados obtidos na seguinte tabela:
x m 1 3 0,1 2,1 0,01 2,01 ... ... 0 2
À medida que x se aproxima de zero, o ponto Q se aproximará cada vez mais de P e a reta que corta a função passará a tangenciá-la. O coeficiente angular da reta tangente a f(x) é igual a 2.
A situação, quando x tende a zero, pode ser vista no gráfico abaixo:
Note que esse é um processo limite dado por:
x
y
lim
m
0 xOnde m é o coeficiente angular da reta tangente a f(x).
Vamos formalizar o conceito de derivada comparando com o exemplo numérico mostrado. Definimos a derivada de uma função f(x) pelo seguinte limite:
x
)
x
(
f
)
x
x
(
f
lim
0 x32 |
Vamos mostrar, de uma forma genérica, o significado dessa expressão. Começamos colocando no gráfico os pontos P e Q:
Note que podemos traçar uma reta que passa por P e Q. O coeficiente angular dessa reta é dado por:
x
)
x
(
f
)
x
x
(
f
x
)
x
x
(
)
x
(
f
)
x
x
(
f
x
x
y
y
x
y
m
0 1 0 1À medida que x tende a zero, o ponto Q se aproxima cada vez mais de P:
No limite, quando x tende a zero, a reta tangenciará a função no ponto P. O coeficiente angular dessa reta é então conhecido como derivada da função:
Derivada =
x
)
x
(
f
)
x
x
(
f
lim
0 xAlguns autores costumam calcular a derivada através da fórmula equivalente:
Derivada =
h
)
x
(
f
)
h
x
(
f
lim
0 hA representação de derivada é feita colocando-se um apóstrofo após o símbolo f em f(x): x 0
33 | ) x ( f Então:
x
)
x
(
f
)
x
x
(
f
lim
)
x
(
f
0 xPela definição, notamos que a derivada depende do valor de x. Isso significa que podemos calcular o coeficiente angular da reta tangente à função f(x) para qualquer valor de x escolhido.
No capítulo 1, vimos que o coeficiente angular de uma reta fornece a taxa de variação da variável y em relação à variável x (por exemplo, graus Celsius por hora ou milhões por ano).
Portanto, a derivada mede a taxa de variação da função f(x) num determinado ponto x, ou seja, quanto maior o valor da derivada em x então mais inclinada será a função f(x) nesse ponto.
Vamos verificar essa afirmação através do seguinte gráfico:
Podemos perceber que a reta r tem inclinação menor que a reta s. Nesse caso, a derivada em x1 é menor que a derivada em x2. O resultado é que a função f(x) em x2 é mais inclinada que em x1.
ENCONTRANDO A DERIVADA DE UMA FUNÇÃO
Vamos aplicar o limite que define a derivada para estabelecermos as regras de derivação de algumas funções.
34 | 5 ) x ( f 5 ) x x (
f (para qualquer valor de x, a função será sempre igual a 5)
x
)
x
(
f
)
x
x
(
f
lim
)
x
(
f
0 x0
x
5
5
lim
)
x
(
f
0 xResumo: A derivada de uma função constante é igual a zero.
x 5 ) x ( f x 5 x 5 ) x x ( 5 ) x x ( f
x
)
x
(
f
)
x
x
(
f
lim
)
x
(
f
0 xx
x
5
x
5
x
5
lim
)
x
(
f
0 x5
5
lim
x
x
5
lim
)
x
(
f
0 x 0 xResumo: A derivada de uma função linear é igual ao seu coeficiente angular.
2 x 5 ) x ( f 2 2 2 2 2 x 5 x x 10 x 5 ) x x x 2 x ( 5 ) x x ( 5 ) x x ( f
x
)
x
(
f
)
x
x
(
f
lim
)
x
(
f
0 x x x 5 x 5 x x 10 x 5 lim ) x ( f 2 2 2 0 x x ) x 5 x 10 ( x lim x x 5 x x 10 lim ) x ( f 0 x 2 0 xx
10
)
x
5
x
10
(
lim
)
x
(
f
0 x ) x 2 ( 5 ) x ( fResumo: A derivada de uma função quadrática é igual à sua constante (5) multiplicada pelo valor do expoente (2) e pela variável x com o expoente reduzido de 1 unidade.
3 x 5 ) x ( f
35 | ) x x x 3 x x 3 x ( 5 ) x x ( 5 ) x x ( f 3 3 2 2 3 3 2 2 3 x 5 x x 15 x x 15 x 5 ) x x ( f
x
)
x
(
f
)
x
x
(
f
lim
)
x
(
f
0 x x x 5 x 5 x x 15 x x 15 x 5 lim ) x ( f 3 3 2 2 3 0 x x ) x 5 x x 15 x 15 ( x lim x x 5 x x 15 x x 15 lim ) x ( f 2 2 0 x 3 2 2 0 x 2 2 2 0 x(
15
x
15
x
x
5
x
)
15
x
lim
)
x
(
f
) x 3 ( 5 ) x ( f 2Resumo: A derivada de uma função cúbica é igual à sua constante (5) multiplicada pelo valor do expoente (3) e pela variável x com o expoente reduzido de 1 unidade.
A regra geral para o caso de funções com potências de x é dada por:
n x k ) x ( f 1 n x n k ) x ( f EXEMPLO
Calcular a derivada da função:
5 x 10 ) x ( f SOLUÇÃO
Pela regra geral:
4 1 5 x 50 x 5 10 ) x ( f
Outras funções podem ser enquadradas na forma geral mostrada anteriormente. Por exemplo:
36 | 2 x ) x ( f
Primeiramente, vamos modificar essa função:
2 1 2 1 x x ) x ( f
Aplicando a regra da derivada vista anteriormente:
1 n x n k ) x ( f 2 2 1 2 1 1 2 1 x 2 1 x 1 2 1 x 2 1 x 2 1 1 ) x ( f
Resumo: A derivada da função raiz quadrada é formada colocando 1 no numerador, 2 (índice da raiz) no denominador, seguido da raiz quadrada de x.
3 x ) x ( f
Primeiramente, vamos modificar essa função:
3 1 3 1 x x ) x ( f
Aplicando a regra da derivada:
1 n x n k ) x ( f 3 2 3 2 3 2 1 3 1 x 3 1 x 1 3 1 x 3 1 x 3 1 1 ) x ( f
Resumo: A derivada da função raiz cúbica é formada colocando 1 no numerador, 3 (índice da raiz) no denominador, seguido da raiz cúbica de x elevado à potência 2.
4 3
x
)
x
(
f
Primeiramente, vamos modificar essa função:
4 3 4 3 x x ) x ( f
Aplicando a regra da derivada:
1 n x n k ) x ( f
37 | 4 1 4 1 4 1 1 4 3 x 4 3 x 1 4 3 x 4 3 x 4 3 1 ) x ( f
Resumo: A derivada da função é formada colocando 3 no numerador (potência de x dentro da raiz), 4 (índice da raiz) no denominador seguido da raiz quarta de x elevado à potência 1.
A regra geral para o caso de funções raiz é dada por: q p
x
k
)
x
(
f
, com q>p q q p x q p k ) x ( f EXEMPLOEncontrar a derivada da função:
5 2
x
5
)
x
(
f
SOLUÇÃOAplicando a regra para funções raiz:
5 3 5 5 2
x
5
10
x
5
2
5
)
x
(
f
x
1
)
x
(
f
Primeiramente, vamos modificar essa função:
1 1
x
x
1
)
x
(
f
Aplicando a regra da derivada:
1 n x n k ) x ( f 2 2 1 1
x
1
x
1
x
)
1
(
1
)
x
(
f
Resumo: A derivada da função é formada colocando -1 no numerador, seguido de x elevado à potência 2 no denominador.
38 | 2
x
1
)
x
(
f
Primeiramente, vamos modificar essa função:
2 2
x
x
1
)
x
(
f
Aplicando a regra da derivada:
1 n x n k ) x ( f 3 3 1 2
x
2
x
2
x
)
2
(
1
)
x
(
f
Resumo: A derivada da função é formada colocando -2 no numerador, seguido de x elevado à potência 3 no denominador.
3
x
1
)
x
(
f
Primeiramente, vamos modificar essa função:
3 3
x
x
1
)
x
(
f
Aplicando a regra da derivada:
1 n x n k ) x ( f 4 4 1 3
x
3
x
3
x
)
3
(
1
)
x
(
f
Resumo: A derivada da função é formada colocando -3 no numerador, seguido de x elevado à potência 4 no denominador.
A regra geral esse tipo de função é dada por:
n
x
1
k
)
x
(
f
1 nx
)
n
(
k
)
x
(
f
39 | EXEMPLO
Encontrar a derivada da função:
4
x
3
)
x
(
f
SOLUÇÃOAplicando a regra estabelecida:
5 1 4
x
12
x
)
4
(
3
)
x
(
f
EQUAÇÃO DA RETA TANGENTE
Sabemos calcular o coeficiente angular da reta tangente a f(x). Nesse ponto, vamos encontrar a equação que define a reta tangente a f(x).
EXEMPLO
Encontrar a equação da reta tangente a f(x) x2 no ponto x 3
0 .
SOLUÇÃO
O coeficiente angular da reta tangente à função f(x) x2 é dada por:
x 2 ) x ( f
No ponto x0 3, o valor do coeficiente angular é igual a:
6
3
2
)
3
(
f
)
x
(
f
0Se quisermos saber a equação dessa reta basta saber em que ponto ela passa. No caso, quando x0 3:
9
3
)
3
(
f
)
x
(
f
y
0 0 240 |
Então, a reta tangente passa pelo ponto P:
) 9 , 3 ( ) y , x ( P 0 0
Logo, a equação procurada é dada por:
)
x
x
(
m
)
y
y
(
0 0)
x
x
(
)
x
(
f
)
y
y
(
0 0 0 ) 3 x ( 6 ) 9 y ( 9 x 6 yO resultado é mostrado no gráfico ao lado.
É importante notar que o sinal do coeficiente angular indica se a função é crescente ou decrescente em determinados intervalos. No exemplo anterior, quando x>0, a derivada será sempre positiva o que quer dizer que a função será sempre crescente nesse intervalo. Por outro lado, quando x<0, a derivada será sempre negativa o que quer dizer que a função será sempre decrescente nesse intervalo.
O gráfico abaixo expressa bem o que afirmamos anteriormente:
DERIVADAS DE OUTRAS FUNÇÕES
Derivadas de outras funções podem ser demonstradas através de limites. A tabela a seguir mostra o resultado desse cálculo.
Função Derivada ) x ( sen ) x ( f f (x) cos(x) ) x cos( ) x ( f f (x) sen(x) ) x ( tg ) x ( f f (x) sec2(x) f(x)=x2 y=6x-9
41 | x e ) x ( f f (x) ex x a ) x ( f f (x) axlna x ln ) x ( f
x
1
)
x
(
f
EXEMPLOProvar que, se f(x) ex então f (x) ex.
SOLUÇÃO
Primeiramente, devemos calcular:
x x x x e e e ) x x ( f
A derivada da função é dada pelo seguinte limite:
x 1 e lim e x ) 1 e ( e lim x ) x ( f ) x x ( f lim ) x ( f x 0 x x x x 0 x 0 x
Para resolver esse limite, vamos fazer:
1
e
u
x x ln(1 u)Pela equação anterior, podemos concluir que:
0
u
quandox
0
Substituindo no limite: u 1 0 u u 1 0 u 0 u x 0 x)
u
1
ln(
lim
1
)
u
1
ln(
1
lim
)
u
1
ln(
u
lim
x
1
e
lim
1 e ln 1 ) u 1 ( lim ln 1 x 1 e lim u 1 0 u x 0 x Então: x e ) x ( f42 |
PROPRIEDADES DA DERIVADA
A derivada de uma função apresenta as seguintes propriedades: (e) [k f (x)] k f (x) (f) [f (x) g(x)] f (x) g (x) (g) [f (x) g(x)] f (x) g(x) f (x) g (x) (h) f (x) f (x) g(x) f (x) g (x)2 g(x) [g(x)] , desde que g(x) 0 EXEMPLO Calcular as derivadas: 1) f(x) 3x2, então f (x) 3 (x2) 3 (2x) 6x
2) f(x) 3cos(x), então f (x) 3 [cos(x)] 3 [ sen(x)] 3sen(x)
3) f(x) x3 2x2, então f (x) (x3) 2 (x2) 3x2 4x
4) f(x) x3 cos(x), então f (x) (x3) cos(x) x3 [cos(x)]
) x ( sen x ) x cos( x 3 )] x ( sen [ x ) x cos( x 3 ) x ( f 2 3 2 3 5) ) x cos( x ) x ( f 3 , então 2 3 3
)]
x
[cos(
]
)
x
[cos(
x
)
x
cos(
)
x
(
)
x
(
f
)
x
(
cos
)
x
(
sen
x
)
x
cos(
x
3
)
x
(
cos
)]
x
(
sen
[
x
)
x
cos(
x
3
)
x
(
f
2 3 2 2 3 2DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR
Até o momento, aprendemos apenas a calcular a primeira derivada (também chamada de derivada de primeira ordem). Vamos definir agora as derivadas de ordem superior a um.
A segunda derivada é expressa por:
] ) x ( f [ ) x ( f
43 | EXEMPLO
Encontrar a segunda derivada da função:
3 x ) x ( f SOLUÇÃO
A primeira derivada é dada por:
2 x 3 ) x ( f
Então, a segunda derivada é igual a:
x 6 ) x 2 ( 3 ) x ( f
Definimos as derivadas de ordem três, quatro, cinco e a derivada de ordem n da seguinte forma: ] ) x ( f [ ) x ( f ] ) x ( f [ ) x ( f(iv) ] ) x ( f [ ) x ( f(v) (iv) ] ) x ( f [ ) x ( f(n) (n 1)
Conforme a última fórmula, se quisermos obter a décima derivada de uma função, então, precisamos encontrar todas as derivadas de ordem inferior a dez.
EXEMPLO
Encontrar a quinta derivada da função:
10 x ) x ( f SOLUÇÃO
A primeira derivada é dada por:
9 x 10 ] ) x ( f [ ) x ( f
A segunda derivada é igual a:
8 8 x 90 ) x 9 ( 10 ] ) x ( f [ ) x ( f
44 |
A terceira derivada é igual a:
7 7 x 720 ) x 8 ( 90 ] ) x ( f [ ) x ( f
A quarta derivada é igual a:
6 6 ) iv ( x 5040 ) x 7 ( 720 ] ) x ( f [ ) x ( f
Finalmente, a quinta derivada é igual a:
5 5 ) iv ( ) v ( x 30240 ) x 6 ( 5040 ] ) x ( f [ ) x ( f
NOTAÇÃO PARA DERIVADAS
Chamamos de notação à maneira que representamos uma idéia matemática. Por exemplo, a notação de uma função é feita de uma das seguintes formas:
f(x) ou y
EXEMPLO
A notação de primeira derivada é dada por uma das formas abaixo:
) x ( f , y , y ou
dx
dy
A última forma é a mais importante e significa a primeira derivada de y em relação a x. A segunda derivada pode ser representada por uma das formas abaixo:
) x ( f , y , y ou 2 2
dx
y
d
A notação da terceira derivada é dada por uma das seguintes formas:
) x ( f , y , y ou 3 3
dx
y
d
E assim sucessivamente, até a n-ésima derivada:
) x ( f(n) , y(n) ou n n
dx
y
d
45 |
REGRA DA CADEIA
A derivada de uma função composta é conhecida como regra da cadeia, ou seja, desejamos conhecer a derivada de funções do tipo:
)) x ( g ( f y
Nesse caso, vamos fazer:
) x ( g u
Então a função inicial se torna:
) u ( f y
A derivada de y em relação a x é dada por:
dx
du
du
dy
du
du
dx
dy
dx
dy
Essa expressão é conhecida como regra da cadeia.
Podemos escrever a regra da cadeia de uma forma mais simples:
) x ( u ) u ( y dx dy EXEMPLO
Encontrar a derivada de y em relação a x da função:
) x sen(
y 2
SOLUÇÃO
Podemos notar que a função g(x) x2 está dentro da função seno. Devemos fazer então:
2 x u A função y se torna: ) u sen( y
A derivada de y em relação a u é igual a: ) u cos( ) u ( y
A derivada de u em relação a x é igual a: x 2 ) x ( u
46 |
Então a derivada de y em relação a x é dada por:
) x ( u ) u ( y dx dy
x
2
)
u
cos(
dx
dy
Substituindo u por x2 na equação anterior:
x
2
)
x
cos(
dx
dy
2 EXEMPLOEncontrar a derivada de y em relação a x da função abaixo:
2 2 3 ) x 2 x x ( y SOLUÇÃO
Note que a função g(x) x3 x2 2x está dentro da função quadrática. Devemos fazer:
x
2
x
x
u
3 2A função y se torna então:
2 u y
A derivada de y em relação a u é igual a: u 2 ) u ( y
A derivada de u em relação a x é igual a: 2 x 2 x 3 ) x ( u 2
Então a derivada de y em relação a x é dada por:
) x ( u ) u ( y dx dy
)
2
x
2
x
3
(
u
2
dx
dy
2Substituindo a expressão de u na equação anterior:
)
2
x
2
x
3
(
)
x
2
x
x
(
2
dx
dy
3 2 247 |
Podemos generalizar a regra da cadeia através da seguinte fórmula:
dx df df df ... df df df df df dy dx dy n n 1 n 3 2 2 1 1
Ou na forma mais simples:
) x ( f ) f ( f ... ) f ( f ) f ( f ) f ( y dx dy n n 1 n 3 2 2 1 1 EXEMPLO
Encontrar a derivada de y em relação a x da função abaixo:
)) x (ln( sen y 3 SOLUÇÃO
Para resolver o problema, devemos fazer:
3
2 x
f
A função y se tornará então:
))
f
(ln(
sen
y
2 Agora fazemos:)
f
ln(
f
1 2Isso torna a função y igual a:
)
f
(
sen
y
1Começaremos calculando a derivada de f2 em relação a x:
2
2(x) 3x
f
Em seguida, vamos calcular a derivada de f1 em relação a f2:
3 2 2 1 x 1 f 1 ) f ( f
O cálculo da derivada de y em função de f1 fornece:
)) x cos(ln( )) f cos(ln( ) f cos( ) f ( y 1 1 2 3
48 |
A derivada de y em relação a x é dada pela regra da cadeia:
) x ( f ) f ( f ) f ( y dx dy 2 2 1 1 2 3 3
x
3
x
1
))
x
cos(ln(
dx
dy
Finalmente, a derivada de y em relação a x é dada por:
x )) x cos(ln( 3 dx dy 3
APLICAÇÕES DA REGRA DA CADEIA
No capítulo 1, mostramos que a curva de Gauss é dada pela seguinte função:
2 x 2 1 e 2 1 ) x ( f
Observando f(x) atentamente, podemos identificar uma composição de três funções. Portanto, para calcularmos a primeira derivada devemos fazer uso da regra da cadeia:
) x ( g ) g ( u ) u ( f dx dg dg du du df dx df
Primeiramente, devemos fazer:
x
g
A função f se tornará então:
2 g 2 1
e
2
1
f
Agora fazemos: 2g
2
1
u
Isso torna a função f igual a:
u
e
2
1
f
49 |
Começaremos calculando a derivada de g em relação a x: 1
) x ( g
Lembre-se que o parâmetro que aparece em g é constante e a sua derivada é nula. Em seguida, vamos calcular a derivada de u em relação a g:
g ) g ( u
O cálculo da derivada de f em função de u fornece:
u u u e 2 1 ) e ( du d 2 1 e 2 1 du d ) u ( f
Note que o parâmetro 2 1
é constante, portanto, devemos derivar apenas a função exponencial.
A derivada de f em relação a x é dada pela regra da cadeia:
) x ( g ) g ( u ) u ( f dx df
1
)
g
(
e
2
1
dx
df
u Substituindo os valores de u e g: 1 x e 2 1 dx df 2 x 2 1A derivada de f(x) será usada posteriormente para mostrar onde se localiza o ponto de máximo dessa função. Esse resultado é importante, pois nos informa qual é a ocorrência que tem a maior probabilidade de acontecer. Por exemplo, em uma distribuição de alturas dos alunos de uma escola, qual será a altura mais provável de ser encontrada ?
50 |
DERIVADA DE FUNÇÃO INVERSA
Vamos dividir por dy o numerador e o denominador da derivada
dx
dy
: dy dx dy dy dx dyPara encontrar a derivada de uma função inversa, basta aplicar a seguinte regra:
dy dx 1 dx dy EXEMPLO
Encontrar a derivada da função abaixo:
) x ( arcsen y SOLUÇÃO
A função inversa de y é dada por:
x ) y ( sen
Derivando a expressão anterior:
)
y
cos(
dy
dx
Então, a derivada de y em relação a x é igual a:
y
cos
1
dx
dy
O segundo membro não pode ficar em função de y. Podemos eliminar a dependência de y através da relação trigonométrica fundamental:
1 y cos y sen2 2 y sen 1 y cos2 2 2 2 x 1 y sen 1 y cos
Substituindo na expressão da derivada:
2
x
1
1
dx
dy
51 |
Resumo: a derivada da função arco-seno é igual a
2
x
1
1
. EXEMPLOEncontrar a derivada da função abaixo:
x ln y
SOLUÇÃO
A função inversa de y é dada por:
x
e
yDerivando a expressão anterior:
y
e
dy
dx
Então, a derivada de y em relação a x é igual a:
y
e
1
dx
dy
O segundo membro não pode ficar em função de y. Podemos eliminar a dependência de y sabendo que:
x
e
y Então:x
1
dx
dy
Resumo: a derivada da função logaritmo neperiano de x é igual a
x
1
.Através desse método, podemos encontrar as seguintes derivadas:
Função Derivada ) x cos( ar ) x ( f 2
x
1
1
)
x
(
f
) x ( arctg ) x ( f 2x
1
1
)
x
(
f
x ) x ( fx
2
1
)
x
(
f
52 |
DERIVADA DE FUNÇÃO IMPLÍCITA
Quando existirem somente ocorrências da variável x no segundo membro da equação de uma função, então dizemos que a função é explícita. Esse tipo de função possui a seguinte representação: ) x ( f y EXEMPLO
São funções explícitas:
2 x 5 y 2 ) x cos( y
Note que a variável x aparece apenas no segundo membro em todas as funções dadas. Por outro lado, dizemos que uma função é implícita quando estiver na forma:
0 ) y , x ( f
A derivada desse tipo de função é feita usando as regras e as propriedades das derivadas de funções explícitas.
EXEMPLO
Encontre a derivada da seguinte função implícita:
0 2 x y2 2
SOLUÇÃO
Tomando a derivada em relação a x nos dois membros:
)
0
(
dx
d
)
2
x
y
(
dx
d
2 2Podemos aplicar a propriedade da derivada da soma para encontrar:
)
0
(
dx
d
)
2
(
dx
d
)
x
(
dx
d
)
y
(
dx
d
2 2Fazendo u y2, podemos calcular a derivada do primeiro termo através da regra da cadeia:
dx dy dy du dx du
53 |
dx
dy
y
2
)
y
(
dx
d
2Chamando
u
x
2, podemos calcular a derivada do segundo termo:x
2
dx
du
x
2
)
x
(
dx
d
2As derivadas do terceiro termo do primeiro membro e do segundo membro são iguais a zero já que a derivada de uma constante é igual a zero.
Vamos substituir as derivadas em cada um dos termos da equação de origem:
0
x
2
dx
dy
y
2
Isolandodx
dy
no primeiro membro teremos:
y
x
y
2
x
2
dx
dy
EXEMPLOEncontre a derivada da seguinte função implícita:
0 1 x xy 2
SOLUÇÃO
Podemos aplicar a propriedade da derivada da soma para encontrar:
)
0
(
dx
d
)
1
(
dx
d
)
x
(
dx
d
)
xy
(
dx
d
2O primeiro termo é a derivada do produto de duas funções:
y
dx
dy
x
dx
dx
y
dx
dy
x
)
xy
(
dx
d
Chamando
u
x
2, podemos calcular a derivada do segundo termo:x
2
dx
du
54 |
As derivadas do terceiro termo do primeiro membro e do segundo membro são iguais a zero já que a derivada de uma constante é igual a zero.
Vamos substituir as derivadas em cada um dos termos da equação de origem:
0
x
2
y
dx
dy
x
x x 2 y dx dyDERIVABILIDADE E CONTINUIDADE
Em alguns casos, uma função pode ser contínua mas não ser derivável num ponto. Isso significa que a continuidade não garante que a função é derivável. Por outro lado, se uma função é derivável num ponto podemos ter certeza que a função é contínua.
Funções que apresentam pontas ou cantos nos seus gráficos são contínuas mas não são deriváveis.
EXEMPLO
As funções abaixo são contínuas mas não são deriváveis nas pontas ou cantos:
Gráfico com ponta Gráfico com canto
Quando uma função é contínua mas não é derivável, torna-se impossível traçar uma única reta tangente nos pontos em que ocorrem os cantos e as pontas. Veja o gráfico:
55 |
Note que podemos traçar as retas r e s tangentes à função f(x) no ponto p. Na verdade, existem infinitas retas que tangenciam a função no ponto p.
Provamos que uma função pode ser contínua mas não derivável através dos limites que definem a continuidade e a derivada.
INTERVALOS DE CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO
Analisando o sinal da primeira derivada, podemos ter uma idéia do comportamento de uma determinada função. Observe o gráfico abaixo:
Para cada um dos pontos analisados, podemos observar que o coeficiente angular da reta tangente à função tem um sinal diferente.
Na primeira reta à esquerda o coeficiente angular é negativo, logo, a reta tangente é decrescente e a função também está decrescendo. Já na segunda reta à esquerda o coeficiente angular é positivo, portanto, a reta tangente é crescente e a função está crescendo.
Lembramos que o coeficiente angular da reta tangente à função f(x) é dado pela primeira derivada de f(x), portanto, o seu sinal mostra onde a função cresce ou decresce.
EXEMPLO
Caracterizar a função abaixo em crescente ou decrescente em x=2.
x 27 x
56 | SOLUÇÃO
A primeira derivada é dada por:
27 x 3
y 2
No ponto x=2, a primeira derivada é igual a:
15 27 2 3 ) 2 ( y 2
Como a primeira derivada é negativa, então a função y x3 27x é decrescente em x=2.
EXEMPLO
Partindo do exemplo anterior, caracterizar a função em crescente ou decrescente em x=4.
SOLUÇÃO
No ponto x=4, a primeira derivada é igual a:
21 27 4 3 ) 4 ( y 2
Como a primeira derivada é positiva, então a função y x3 27x é crescente em x=4.
CONCAVIDADE E PONTO DE INFLEXÃO
Assim como a primeira derivada, a segunda derivada também tem um significado especial. É possível demonstrar que a segunda derivada indica a concavidade da função no ponto.
Quando a segunda derivada é positiva, a concavidade está para cima; Quando a segunda derivada é negativa, a concavidade está para baixo.
EXEMPLO Considere a função: c bx ax y 2 SOLUÇÃO
A segunda derivada é dada por:
b ax 2 y a 2 y
57 |
O que podemos perceber é que, dependendo do sinal de a, a segunda derivada mostra se a concavidade da função está para cima ou para baixo.
Como a segunda derivada é constante, então a função possui apenas uma concavidade.
EXEMPLO
Qual é a concavidade da função no ponto x=2 ?
1 x x 3 y 3 SOLUÇÃO
A segunda derivada é dada por:
1 x 9 y 2 x 18 y
O ponto x=2 "enxerga" a função y com concavidade para cima porque:
36 2 18 ) 2 ( y é positivo. EXEMPLO
No exemplo anterior, qual é a concavidade da função no ponto x=-1 ?
SOLUÇÃO
O ponto x=-1 "enxerga" a função y com concavidade para baixo já que:
18 ) 1 ( 18 ) 1 ( y é negativo.
Em algumas funções, existe um valor de x em que a segunda derivada se anula. Esse ponto é chamado ponto de inflexão. Nesse caso, o valor de x encontrado separa a função em duas concavidades diferentes.
EXEMPLO
Encontrar, se houver, o ponto de inflexão da função:
1 x 12 x 2 y 3 2 SOLUÇÃO
A segunda derivada é dada por:
x 24 x 6 y 2 24 x 12 y
58 |
Igualando a segunda derivada a zero:
0 y
0
24
x
12
24 x 12 2 xO ponto x=2 separa a função em dois tipos de concavidade. Por exemplo, para qualquer x<2 o valor da segunda derivada é negativo, então a função tem concavidade para baixo. Já para x>2, o valor da segunda derivada é positivo e a função tem concavidade para cima. Observe o gráfico:
Então x 2 é ponto de inflexão.
PONTO DE MÁXIMO E MÍNIMO
Numa função do segundo grau, xv é chamado ponto de máximo ou de mínimo, dependendo
da sua concavidade. Vamos agora formalizar um método para encontrar esse ponto para qualquer tipo de função.
Sabemos que a primeira derivada fornece o coeficiente angular da reta tangente a qualquer função. Pois bem, em algumas funções, existe um valor de x em que a primeira derivada se anula. Nesse ponto x estamos sobre o ponto de máximo ou de mínimo.
EXEMPLO
Imagine uma estrada com altos e baixos. Um automóvel está no ponto mais alto (máximo) ou mais baixo (mínimo) quando o automóvel se encontra alinhado na horizontal.
Concavidade para cima
59 |
Quando o automóvel está alinhado na horizontal, o coeficiente angular da reta tangente à estrada é igual a zero (reta com inclinação nula).
Conhecendo a concavidade da função, saberemos se x é um ponto de máximo ou de mínimo. Essa informação é dada pelo sinal da segunda derivada.
Graficamente, isso significa:
EXEMPLO
Encontrar, se existir, o ponto de máximo ou mínimo da função:
6 x 5 x y 2 SOLUÇÃO
Primeiro, vamos encontrar as duas derivadas da função acima:
5 x 2 y 2 y
Igualando a primeira derivada a zero:
0 y
0
5
x
2
2
5
x
60 |
Esse ponto é chamado de mínimo já que a função, analisando o sinal da segunda derivada, tem concavidade para cima. Compare com os cálculos que você já tinha aprendido no capítulo de funções!
EXEMPLO
Encontrar, se existir, o ponto de máximo ou mínimo da função:
2 x 27 x y 3 SOLUÇÃO
Primeiro, vamos encontrar as duas derivadas da função acima:
27 x 3 y 2 x 6 y
Igualando a primeira derivada a zero:
0 y
0
27
x
3
227
x
3
23
x
Substituindo x=+3 na segunda derivada:
18 ) 3 ( 6 ) 3 ( y
A função tem concavidade para cima e +3 é o ponto de mínimo. Agora, substituindo x=-3 na segunda derivada:
18 ) 3 ( 6 ) 3 ( y
A função tem concavidade para baixo e -3 é o ponto de máximo. Através do gráfico da função, podemos localizar esses dois pontos:
61 |
Pontos de máximo e mínimo podem ser locais ou globais. Um ponto x=p é chamado de máximo local se não existir um valor da função maior que f(p) na vizinhança de p.
Por outro lado, um ponto x=p é chamado de mínimo local se não existir um valor da função menor que f(p) na vizinhança de p.
Um ponto p é chamado máximo global se não existir um valor da função maior que f(p) para qualquer valor de x dentro do domínio da função. Um ponto p é chamado mínimo global se não existir um valor da função menor que f(p) para qualquer valor de x dentro do domínio da função.
APLICAÇÕES DE MÁXIMO E MÍNIMO
Mostramos anteriormente que a curva de Gauss:
2 x 2 1 e 2 1 ) x ( f
Tem derivada igual a:
1 x e 2 1 dx df 2 x 2 1
Vamos encontrar onde se localiza o seu ponto de máximo. Primeiramente, devemos igualar a derivada a zero:
0
dx
df
0 1 x e 2 1 2 x 2 1Alguns termos presentes na equação acima nunca serão iguais a zero, como por exemplo:
2
1
e
1
, já que é sempre maior que zero;2
x 2 1
e
, pois a função exponencial nunca se anula. A única possibilidade da derivada se tornar nula acontecerá quando:0 x
Então:
62 |
Esse resultado nos conduz à seguinte interpretação: a ocorrência que possui a maior possibilidade de acontecimento é a média das ocorrências. Isso significa que, se pesquisarmos as alturas dos alunos de uma escola, será mais provável encontrarmos alunos com a altura média.
Para o ponto de máximo, a função f(x) é igual a:
2 1 e 2 1 ) ( f 2 2 1
Note que a dispersão das ocorrências, dada por , faz com que a curva de Gauss fique mais concentrada em torno da média (mais comprimida) ou mais dispersa (mais achatada).
REGRAS DE L’HÔPITAL
As regras de L’Hôpital são usadas nos cálculos de limites dos tipos:
0 0 ) x ( g ) x ( f lim p x ou
g
(
x
)
)
x
(
f
lim
p xEsses limites podem ser resolvidos fazendo:
) x ( g ) x ( f lim ) x ( g ) x ( f lim p x p x EXEMPLO Encontrar o limite: 2 x 6 x 5 x lim 2 2 x SOLUÇÃO
O limite dado é do tipo:
0 0 ) x ( g ) x ( f lim p x
