Apostila 2 - Somatório e produtório

(1)

Universidade Federal do Piauí Universidade Federal do Piauí Campus Universitário “Prof

Campus Universitário “Prof aa_{. Cinobelina Elvas” – Bom Jesus, PI}_{. Cinobelina Elvas” – Bom Jesus, PI}

Profa. Gisele Profa. Gisele

ESTATÍSTICA

II - SOMATÓRIO E PRODUTÓRIO II - SOMATÓRIO E PRODUTÓRIO

As operações de somatório e produtório são de grande importância para a Estatística por As operações de somatório e produtório são de grande importância para a Estatística por facilitar a indicação e formulação de

facilitar a indicação e formulação de medidas, bem como algumas operações algébricas.medidas, bem como algumas operações algébricas.

1. SOMATÓRIO 1. SOMATÓRIO 1.1

1.1 Índices ou notação por índicesÍndices ou notação por índices O símbolo X

O símbolo Xii (lê-se X índice i) representa qualquer um dos(lê-se X índice i) representa qualquer um dos n n valores, Xvalores, X₁₁, , XX₂₂,....,X,....,X_nn, assumidos, assumidos pela variável X, na amostra ou

pela variável X, na amostra ou no conjunto de dados.no conjunto de dados.

Exemplo:

Exemplo: Seja X a Seja X a variável peso de 10 coelhos abatidos com 90 dias:variável peso de 10 coelhos abatidos com 90 dias:

1.2 Notação de somatório 1.2 Notação de somatório

Para designar o somatório utiliza-se a letra grega sigma maiúsculo (

Para designar o somatório utiliza-se a letra grega sigma maiúsculo (ΣΣ), que deve ser lido), que deve ser lido

SOMATÓRIO ou SOMA DE. SOMATÓRIO ou SOMA DE.

O símbolo O símbolo

∑

= = n n 1 1 ii ii X

X é usado para representar a soma de todos os valores Xé usado para representar a soma de todos os valores Xiidesde i = 1 até i =desde i = 1 até i = n n, ou, ou seja, por definição:

seja, por definição:

∑

= = n n 1 1 ii ii X X = X= X11+ X+ X22+ ...+ X+ ...+ Xnn

Lê-se da seguinte maneira: “somatório de X

Lê-se da seguinte maneira: “somatório de Xii, com i variando de 1 a n”., com i variando de 1 a n”.

X

X11 XX22 XX33 ... ... ... ... ... ... X... ... ... ... ... ... X1010

2,47 2,49

(2)

(3)

Ex.: Ex.: 1010 ₁₁ ₂₂ ₃₃ ₄₄ ₅₅ ₆₆ ₇₇ ₈₈ ₉₉ ₁₀₁₀ 11 ii X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X == ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++

∑

= = ii 70 70 ,, 22 62 62 ,, 22 62 62 ,, 22 62 62 ,, 22 61 61 ,, 22 59 59 ,, 22 56 56 ,, 22 56 56 ,, 22 49 49 ,, 22 47 47 ,, X X 10 10 11 ii + + + + + + + + + + + + + + + + + + = =

∑

= = 22 ii 84 84 ,, 55 X X 10 10 11 ii 22 = =

∑

= = ii

1.3 Número de termos do somatório (NT) 1.3 Número de termos do somatório (NT)

Corresponde ao número de termos que farão parte da soma. Corresponde ao número de termos que farão parte da soma. Tem-se duas formas de calcular o NT:

Tem-se duas formas de calcular o NT: NT = Ls – Li + 1 (sem restrição) NT = Ls – Li + 1 (sem restrição) NT = Ls – Li + 1 – r (com restrição) NT = Ls – Li + 1 – r (com restrição) Em que, Em que,

Ls = limite superior do somatório Ls = limite superior do somatório Li = limite i

Li = limite inferior do somatórionferior do somatório

r = número de restrições no somatório (ou seja,

r = número de restrições no somatório (ou seja, número de termos que não farão parte da soma)número de termos que não farão parte da soma)

Ex.: Ex.: SEM RESTRIÇÃO: SEM RESTRIÇÃO: 84 84 ,, 55 X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X ₁₁ ₂₂ ₃₃ ₄₄ ₅₅ ₆₆ ₇₇ ₈₈ ₉₉ ₁₀₁₀ 10 10 11 ii 22 = = + + + + + + + + + + + + + + + + + + = =

∑

= = ii NT = 10 – 1 + 1 = 10 NT = 10 – 1 + 1 = 10

COM DUAS RESTRIÇÕES (r = 2): COM DUAS RESTRIÇÕES (r = 2):

81 81 ,, 00 X X X X X X X X X X X X X X X X X X ₂₂ ₄₄ ₅₅ ₆₆ ₇₇ ₈₈ ₉₉ ₁₀₁₀ 10 10 33 ,, 11 11 ii 22 = = + + + + + + + + + + + + + + = =

∑

≠ ≠ = = ii ii NT = 10 – 1 + 1 - 2 = 8 NT = 10 – 1 + 1 - 2 = 8 1.4 Propriedades 1.4 Propriedades 1ª) 1ª) K K NT NT K K n n I I .. 11 = =

∑

= =

, sendo K uma constante e

, sendo K uma constante e NT = número de termos.NT = número de termos.

Ex.: Ex.: 1010 22 ((1010 11 11).).22 1010..22 2020 11 = = = = + + − − = =

∑

= = ii

(4)

(5)

2ª) 2ª)

∑

= = = = = = n n ii ii n n ii ii K K X X X X K K 11 11 .. .. Ex.: Ex.: 22.. 22.. 22.(.(XX₁₁ XX₂₂ ... XX₁₀₁₀)) .(.( ,,4747 22,,4949 ... 22,,7070)) 22..2525,,8484 11,,6868 11 10 10 11 55 22 22 ++ ++ ++ == == = = + + + + + + = = = =

∑

= = = = n n ii ii ii ii X X X X 3ª) 3ª)

∑

= = = = = = ± ± = = ± ± n n I I ii n n I I ii ii n n ii

ii Y Y X X Y Y

X X 11 11 11 )) (( Ex.:

Ex.: Considerando duas variáveis X e Y, em que:Considerando duas variáveis X e Y, em que: X X11 =2 =2 XX22= 4 = 4 XX33 = 6= 6 Y Y11 = 3 = 3 YY22= 5 = 5 YY33 = 9= 9 29 29 17 17 12 12 )) 99 55 33 (( )) 66 44 22 (( )) (( )) (( )) (( 33 ₁₁ ₂₂ ₃₃ ₁₁ ₂₂ ₃₃ 11 33 11 33 11 = = + + = = + + + + + + + + + + = = + + + + + + + + + + = = + + = = + +

∑

= = = = = = Y Y Y Y Y Y X X X X X X Y Y X X Y Y X X I I ii I I ii ii I I ii 4ª) 4ª) X X K K X X K K X X NT NT K K n n I I ii n n I I n n I I ii n n I I ii )) .. (( 11 11 11 11 ± ± = = ± ± = = ± ±

∑

= = = = = = = = Ex.:

Ex.: Considerando-sConsiderando-se os dados dos e os dados dos 10 coelhos tem-se:10 coelhos tem-se:

84 84 ,, 55 22 .. 10 10 84 84 ,, 25 25 22 .. 22 )) 22 (( 1010 11 10 10 11 10 10 11 10 10 11 44 = = + + = = + + = = + + = = + +

∑

= = = = = = = = NT NT X X X X X X I I ii I I I I ii ii ii 5ª) 5ª)

∑

= = = = = = ≠ ≠ n n ii ii n n ii ii ii n n ii

iiY Y X X Y Y

X X 11 11 11 Ex.:

Ex.: Considerando duas variáveis X e Y, em que:Considerando duas variáveis X e Y, em que: X X11 =2 =2 XX22= 4 = 4 XX33 = 6= 6 Y Y11 = 3 = 3 YY22= 5 = 5 YY33 = 9= 9 80 80 54 54 20 20 99 .. 66 55 .. 44 33 .. 33 33 22 22 11 11 11 = = + + + + = = + + + + = = + + + + = =

∑

= = 66 22 Y Y X X Y Y X X Y Y X X Y Y X X _ii n n ii ii 04 04 17 17 .. 22 )) ).( ).( (( ₁₁ ₂₂ ₃₃ ₁₁ ₂₂ ₃₃ 11 11 22 11 == = = + + + + + + + + = =

∑

= = = = Y Y Y Y Y Y X X X X X X Y Y X X n n ii ii n n ii ii Logo, 80 Logo, 80 ≠≠204204 ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒AoAo nn _ii ii iiY Y X X

∑

= =11

dá-se o nome de SOMA DE PRODUTOS e ao

∑

= = = = n n ii ii n n ii ii Y Y X X 11 11 dá-se o nome de dá-se o nome de PRODUTO DA SOMA. PRODUTO DA SOMA. 6ª) 6ª)

∑

= = = = ≠ ≠ n n ii ii n n ii ii X X X X 11 22 11 22 ₍₍ ₎₎

(6)

(7)

Ex.:

81 81 ,, 66 66 70 70 ,, 22 ... ... 49 49 ,, 22 47 47 ,, X X ... ... X X X X 22 22 22 22 10 10 22 22 22 11 11 22 = = + + + + + + = = + + + + + + = =

∑

= = 22 n n ii ii X X 71 71 ,, 667 667 )) 84 84 ,, 55 (( )) (( 22 11 22 ₌₌ ₌₌

∑

= = 22 n n ii ii X X Logo, 66,81 Logo, 66,81 ≠≠667,71667,71 ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ _Ao_Ao

∑

= = n n ii ii X X 11

22 _{dá-se o nome de SOMA DE QUADRADOS e ao}_{dá-se o nome de SOMA DE QUADRADOS e ao}

∑

= = n n ii ii X X 11 22 ))

(( dá-se o nome dedá-se o nome de

QUADRADO DA SOMA. QUADRADO DA SOMA. 7ª) 7ª)

∑

== = = ≠ ≠ n n ii ii n n ii ii X X X X 11 11 11 11 Ex.:

0387 0387 ,, 00 70 70 ,, 22 62 62 ,, 22 62 62 ,, 22 62 62 ,, 22 61 61 ,, 22 59 59 ,, 22 56 56 ,, 22 56 56 ,, 22 49 49 ,, 22 47 47 ,, 11 11 11 = = + + + + + + + + + + + + + + + + + + = =

∑

= = 22 n n ii ii X X 87 87 ,, 33 70 70 ,, 22 11 62 62 ,, 22 11 62 62 ,, 22 11 62 62 ,, 22 11 61 61 ,, 22 11 59 59 ,, 22 11 56 56 ,, 22 11 56 56 ,, 22 11 49 49 ,, 22 11 47 47 ,, 22 11 11 11 = = + + + + + + + + + + + + + + + + + + = =

∑

= = n n ii X X ii Logo, 0,0387 Logo, 0,0387 ≠≠_3,87_3,87

1.5 Somatório duplo - Soma de variáveis arranjadas com dupla entrada 1.5 Somatório duplo - Soma de variáveis arranjadas com dupla entrada

É um procedimento comum em que os dados de um experimento ou uma amostra são É um procedimento comum em que os dados de um experimento ou uma amostra são representados em uma tabela de dupla entrada. Desta forma tem se a variável X com dois índices representados em uma tabela de dupla entrada. Desta forma tem se a variável X com dois índices (X

(X_ijij). O índice i ). O índice i representa as linhas e o índice j representa as linhas e o índice j representa as colunas.representa as colunas. Dois tipos de notação de somatório podem ser utilizadas, a

(8)

(9)

Exemplo. Exemplo. Tabela 1

-Tabela 1 - Produtividade em t/ha de uma forrageira sob o efeito de 4 doses de fósforo emProdutividade em t/ha de uma forrageira sob o efeito de 4 doses de fósforo em combinação com 3 doses de nitrogênio.

combinação com 3 doses de nitrogênio.

Teor de nitrogênio ( Teor de nitrogênio ( j j)) Teor de fósforo ( Teor de fósforo (ii)) 1 1 2 2 33 TOTALTOTAL 1 1 4,6 4,6 5,0 5,0 5,5 5,5 15,115,1 2 2 5,0 5,0 5,5 5,5 6,1 6,1 16,616,6 3 3 5,2 5,2 5,8 5,8 6,4 6,4 17,417,4 4 4 6,0 6,0 6,2 6,2 6,8 6,8 19,019,0 TOTAL TOTAL 20,8 20,8 22,5 22,5 24,8 24,8 68,168,1

Na Tabela 1 observa-se que dois fatores determinam a produtividade, portanto dois índices são Na Tabela 1 observa-se que dois fatores determinam a produtividade, portanto dois índices são utilizados para representá-los. Assim dois símbolos

utilizados para representá-los. Assim dois símbolos de somatórios podem ser utilizados.de somatórios podem ser utilizados.

A partir de dados organizados em tabela de

A partir de dados organizados em tabela de dupla entrada obtêm-se os seguintes somatórios:dupla entrada obtêm-se os seguintes somatórios:

a)

a) Somar cada uma das combinaçõesSomar cada uma das combinaçõesijij, ou seja, toda a , ou seja, toda a produtividade da Tabela 1produtividade da Tabela 1

NOTAÇÃO POR ÍNDICE: NOTAÇÃO POR ÍNDICE:

∑

∑ ∑

∑

= = == 4 4 1 1 ii 3 3 1 1 j j ij ij X X = X= X1111+ X+ X1212+ X+ X1313+ X+ X2121+ X+ X2222+ X+ X2323+ X+ X3131+ X+ X3232+ X+ X3333+ X+ X4141+ X+ X4242+ X+ X4343

∑

∑ ∑

∑

= = == 4 4 1 1 ii 3 3 1 1 j j ij ij X X = 4,6 + 5,0 + 5,5 + 5,0 + 5,5 + 6,1 + 5,2 + 5,8 + 6,4 + 6,0 + 6,2 + 6,8 = 68,1= 4,6 + 5,0 + 5,5 + 5,0 + 5,5 + 6,1 + 5,2 + 5,8 + 6,4 + 6,0 + 6,2 + 6,8 = 68,1

NOTAÇÃO POR PONTO: NOTAÇÃO POR PONTO:

.... X

X = X= X₁₁₁₁+ X+ X₁₂₁₂+ X+ X1313+ X+ X1414+ X+ X2121+ ...+ X+ ...+ X4343= 4,6 + 5,0 + 5,5 + 5,0 + 5,5 +...+ 6,8 = 68,1= 4,6 + 5,0 + 5,5 + 5,0 + 5,5 +...+ 6,8 = 68,1

b) Somar cada uma das linhas

b) Somar cada uma das linhas ii, ou seja, o total , ou seja, o total de cada dose de fósforo.de cada dose de fósforo.

∑

= = 44 11 ii ij ij X X = X= X1j1j+ X+ X2j2j+ X+ X3j3j+ X+ X 4j4j ∀∀j = 1, 2, 3j = 1, 2, 3

∑

= = 44 11 ii ij ij X X = (X= (X₁₁₁₁+ X+ X₁₂₁₂+ X+ X1313) + (X) + (X2121+ X+ X2222+ X+ X2323) + (X) + (X3131+ X+ X3232+ X+ X3333) + (X) + (X4141+ X+ X4242+ X+ X4343) = 16,1) = 16,1 + 16,6 + 17,4 + 19,0 = 68,1 + 16,6 + 17,4 + 19,0 = 68,1

(10)

(11)

∑

= = 44 11 ii ij ij X X = X= X1.1.+ X+ X2.2.+ X+ X3.3.+ X+ X4.4. ∀∀j = 1, 2, 3j = 1, 2, 3

∑

= = 44 11 ii ij ij X X = 16,1 + 16,6 + 17,4 + 19,0 = 68,1= 16,1 + 16,6 + 17,4 + 19,0 = 68,1

Ou ainda, para fósforo dose 2 (i

Ou ainda, para fósforo dose 2 (i = 2), a produtividade total é:= 2), a produtividade total é:

= =

∑

= = 33 11 22 j j j j X X XX2121+ X+ X2222+ X+ X2323= 5,0 + 5,5 + 6,1 = 16,6= 5,0 + 5,5 + 6,1 = 16,6

c) Somar cada uma das colunas

c) Somar cada uma das colunas j j, ou seja, o total , ou seja, o total de cada dose de nitrogênio.de cada dose de nitrogênio.

∑

= = 33 11 j j ij ij X X = X= Xi1i1+ X+ Xi2i2+ X+ Xi3i3 ∀∀i = 1, 2, 3, 4i = 1, 2, 3, 4

∑

= = 33 11 j j ij ij X X = (X= (X₁₁₁₁+ X+ X₂₁₂₁+ X+ X3131+ X+ X4141) + (X) + (X2121+ X+ X2222+ X+ X3232+ X+ X3434) + (X) + (X1313+ X+ X2323+ X+ X3333+ X+ X4343))

∑

= = 33 11 j j ij ij X X = 20,8 + 22,5 + 24,8 = 68,1= 20,8 + 22,5 + 24,8 = 68,1

∑

= = 33 11 j j ij ij X X = X.= X.11+ X+ X.2.2+ X+ X.3.3 ∀∀i = 1, 2, 3, 4i = 1, 2, 3, 4

∑

= = 33 11 j j ij ij X X = X.= X.11+ X+ X.2.2+ X+ X.3.3 = 20,8 + 22,5 + 24,8 = 68,1= 20,8 + 22,5 + 24,8 = 68,1

Ou ainda, para nitrogênio dose 3 (j

Ou ainda, para nitrogênio dose 3 (j =3), a produtividade total é:=3), a produtividade total é:

= =

∑

= = 44 11 33 ii ii X X XX₁₃₁₃+ X+ X₂₃₂₃+ X+ X₃₃₃₃+ X+ X₄₃₄₃= 5,5 + 6,1 + 6,4 + 6,8 = 24,8= 5,5 + 6,1 + 6,4 + 6,8 = 24,8

Portanto, neste exemplo de Somatório duplo as seguintes notações por índice e por Portanto, neste exemplo de Somatório duplo as seguintes notações por índice e por ponto se equivalem: ponto se equivalem:

∑

∑ ∑

∑

= = == 4 4 1 1 ii 3 3 1 1 j j ij ij X X = X= X....

(12)

(13)

∑

= = 44 11 ii ij ij X X ==

∑

= = 44 11 .. ii ii X X

∑

= = 33 11 j j ij ij X X ==

∑

= = 33 11 .. j j j j X X

E o mesmo vale para Somatórios duplos com outros números

E o mesmo vale para Somatórios duplos com outros números de linha i e coluna j.de linha i e coluna j.

OBS.:

OBS.: Por somatório duplo entende-se também:Por somatório duplo entende-se também:

∑

∑∑

∑

= = = = = = == = = m m j j j j n n ii ii j j n n ii m m j j

iiY Y X X Y Y

X X 11 11 11 11 .. Ex.:

Ex.: Dados:Dados:

X Xii YY j j X X11 = 2 = 2 YY11= 1= 1 X X22= 4 = 4 YY22= 3= 3 X X33 = 6 = 6 YY33= 5= 5 X X44= 8 = 8 YY44= 7= 7 X X55 = = 10 10 --30 30 11 = =

∑

= = n n ii ii X X 1616 11 = =

∑

= = n n ii ii Y Y 480 480 16 16 .. 30 30 .. 44 11 55 11 55 11 44 11 = = = = = =

∑

∑∑

∑

= = = = = = == jj j j ii ii j j i i jj

iiY Y X X Y Y

X X )) 77 .. 10 10 (( )) 55 .. 10 10 (( )) 33 .. 10 10 (( )) 11 .. 10 10 (( ... ... )) 77 .. 44 (( )) 55 .. 44 (( )) 33 .. 44 (( )) 11 .. 44 (( )) 77 .. 22 (( )) 55 .. 22 (( )) 33 .. 22 (( )) 11 .. 22 (( 55 11 44 11 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + = =

∑

∑∑

∑

= = == j j i i jj iiY Y X X 480 480 55 11 44 11 = =

∑

∑∑

∑

= = == j j i i jj iiY Y X X 2. PRODUTÓRIO 2. PRODUTÓRIO 2.1 Notação de produtório 2.1 Notação de produtório

Para designar o produtório utiliza-se a letra grega pi maiúsculo (

Para designar o produtório utiliza-se a letra grega pi maiúsculo (ΠΠ), que deve ser lido), que deve ser lido

PRODUTÓRIO ou PRODUTO DE. PRODUTÓRIO ou PRODUTO DE.

O símbolo O símbolo

_∏

= = n n ii ii X X 11

é usado para representar a multiplicação de

é usado para representar a multiplicação de todos os valores Xtodos os valores Xiidesde desde i i = = 1 até1 até

i =

i = n n, ou seja, por definição:, ou seja, por definição:

n n ii n n ii X X X X X X X X ₁₁.. ₂₂... 11 = =

∏

= =

(14)

(15)

Lê-se da seguinte maneira: “produtório de X

Lê-se da seguinte maneira: “produtório de Xii, com i variando de 1 a n”., com i variando de 1 a n”.

2. 2 Número de termos (NT) do produtório 2. 2 Número de termos (NT) do produtório NT = Ls – Li + 1 (sem restrição) NT = Ls – Li + 1 (sem restrição) NT = Ls – Li + 1 – r (com restrição) NT = Ls – Li + 1 – r (com restrição) 2.3 Propriedades 2.3 Propriedades 1ª) 1ª) 11..22..33... !! 11 n n n n ii n n ii = = = =

∏

= = Ex.: Ex.: 11..22..33..44 44!! 2424 11 = = = = = =

∏

= = ii n n ii 2ª) 2ª) NT NT n n ii K K K K ==

∏

= =11 Ex.: Ex.: 44 22 22..22..22..22 2244 66 11 11 = = = = = =

∏

= = ii 3ª) 3ª) (( )) (( ₁₁ ).().( ₂₂ )...()...( )) 11 K K X X K K X X K K X X K K X X _ii _n_n n n ii ± ± ± ± ± ± = = ± ±

∏

= = Ex.: Ex.: 33 (( 22)) (( ₁₁ 22).().( ₂₂ 22).().( ₃₃ 22)) 11 + + + + + + = = + +

∏

= = X X X X X X X X _ii ii

Considerando a variável X, em que: Considerando a variável X, em que: X X11 =2 =2 XX22= 4 = 4 XX33 = 6= 6 Tem-se que: Tem-se que: 192 192 88 .. 66 .. 44 )) 22 66 ).( ).( 22 44 ).( ).( 22 22 (( )) 22 (( 33 11 = = = = + + + + + + = = + +

∏

= = ii ii X X 4ª) 4ª) nn _ii ii n n ii n n ii X X K K K K X X

∏

= = = = = = 11 11 ..

Considerando a variável X, em que: Considerando a variável X, em que: X X11 =2 =2 XX22= 4 = 4 XX33 = 6= 6 Ex.: Ex.: ..22 22 22 ..22.. 2233.(.(22..44..66)) 384384 33 22 .. 11 33 11 = = = = = =

∏

= = X X X X X X X X _ii ii

(16)

(17)

5ª) 5ª) aa ii n n ii n n a a ii n n ii X X K K K K X X

∏

= = = = = = 11 11 .. Ex.:

Ex.: Considerando a variável X, em que:Considerando a variável X, em que: X X11 =2 =2 XX22= 4 = 4 XX33 = 6= 6 E a = 3 e K = 5, tem-se que: E a = 3 e K = 5, tem-se que: 55 .. .. 33 33 11 11 ii ii a a ii n n ii X X K K X X

∏

= = = = = = 13824000 13824000 110592 110592 .. 125 125 )) 66 .. 44 .. 22 .( .( 55 .. 55 55 .. 66 .. 55 .. 44 .. 55 .. 55 .. .. 55 .. 55 55 .. 33 33 33 33 33 11 33 33 33 33 33 33 33 33 22 33 11 33 33 11 = = = = = = = = = = = =

∏

= = = = ii ii ii ii X X X X X X X X X X 22 6ª) 6ª) nn _ii ii ii n n ii ii ii n n ii Y Y X X Y Y X X

∏

= = = = = = = = 11 11 11 Ex.:

Ex.: Considerando duas variáveis X e Y, em que:Considerando duas variáveis X e Y, em que: X X11 =2 =2 XX22= 4 = 4 XX33 = 6= 6 Y Y11 = 3 = 3 YY22= 5 = 5 YY33 = 9= 9 6480 6480 )) 99 .. 55 .. 33 ).( ).( 66 .. 44 .. 22 (( )) 99 .. 66 .. 55 .. 44 .. 33 .. 22 (( )) ).( ).( (( .. .. ₂₂ ₂₂ ₃₃ ₃₃ ₁₁ ₂₂ ₃₃ ₁₁ ₂₂ ₃₃ 11 11 33 11 = = = = = = = = = =

∏

= = Y Y Y Y Y Y X X X X X X Y Y X X Y Y X X Y Y X X Y Y X X _ii _ii ii 7ª) 7ª)

_∏

∑

= = = = = = + + + + + + = = = = n n ii ii n n n n ii n n ii X X X X X X X X X X X X X X X X 11 22 11 22 11 11 log log )) log( log( ... ... )) log( log( )) log( log( )) .... .... .. log( log( )) log log

((

Ex.:

Ex.: Considerando a variável X, em que:Considerando a variável X, em que: X X11 =2 =2 XX22= 4 = 4 XX33 = 6= 6

∑

∏

= = = = = = + + + + = = = = 33 11 33 22 11 33 22 11 33 11 log log )) log( log( )) log( log( )) log( log( )) .. .. log( log( )) log log

((

ii ii ii ii X X X X X X X X X X X X X X X X 68 68 ,, 11 78 78 ,, 60 60 ,, 00 30 30 ,, 00 )) 66 log( log( )) 44 log( log( )) 22 log( log( )) log log

((

33 11 = = + + + + = = + + + + = =

∏

= = ii ii X X

(18)

(19)

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ Campus Universitário “Prof

Campus Universitário “Prof aa. Cinobelina Elvas” – Bom Jesus, PI. Cinobelina Elvas” – Bom Jesus, PI

Lista de exercícios: Somatório e produtório. Lista de exercícios: Somatório e produtório. 1 –

1 – Considerando os seguintes valores:Considerando os seguintes valores: X X11= 2 = 2 XX22= 6 = 6 XX33 = 7 = 7 XX44 = 9= 9 Y Y11 = 1 = 1 YY22= 4 = 4 YY33 = 5 = 5 YY44 = 11= 11 Calcular: Calcular: a) a)

∑

= = = = + + 44 22 33 11 )) 22 (( j j ii ii X X b)b)

∑

= = = = − − 33 22 44 22 )) (( 33 j j j j ii ii Y Y X X c)c)

∑

= = − − 33 11 22 )) 22 (( t t t t Y Y d)d)

∑

= = − − 44 11 )) 44 (( ii ii ii Y Y X X 2 – Efetuar 2 – Efetuar a) a)

∑

− − = = + + 33 11 22 11₎₎ (( ii jj ii b)b)

∑

= = = = − − + + 22 00 66 33 11 )) 33 (( ). ). (( j j ii ii j j ii 3 – Calcule X

3 – Calcule X11e Xe X33, dado que:, dado que:

∑

= = = = 66 11 42 42 ii ii X X

∑

= = = = 66 11 22 364 364 ii ii X X

∑

≠ ≠ = = = = 66 33 ,, 11 11 34 34 ii ii ii X X

∑

≠ ≠ = = = = 66 33 ,, 11 11 22 ₃₂₄₃₂₄ ii ii ii X X 4

4 – – Seja Seja uma uma variável variável X, X, assumindo assumindo os os seguintes seguintes valores: valores: X X = = {5,2,3,0,1,2,6,9{5,2,3,0,1,2,6,9,4,8} ,4,8} n n = = 1010 Calcule: Calcule: a) a)

∑

= = 10 10 11 ii ii X X b)b)

∑

= = 10 10 11 22 ii ii X X c)c)

∑

= = 10 10 11 22 )) (( ii ii X X d)d) 11 10 10 10 10 )) (( 10 10 11 10 10 11 22 22 − − − −

∑

= = = = ii ii ii ii X X X X e) e)

∑

= = − − 10 10 11 )) 44 (( ii ii X X f)f) 22 10 10 11 )) 44 ((

∑

= = − − ii ii X X g)g) 11 10 10 )) 44 (( 10 10 11 22 − − − −

∑

= = ii ii X X h) h) 10 10 10 10 11

∑

= = ii ii X X 5 – Sabendo-se que 5 – Sabendo-se que 55 66 11 − − = =

∑

= = ii ii X X ee 1212 55 11 22 = =

∑

= = ii ii X X , Calcule:, Calcule: a) a)

∑

= = + + 55 11 )) 55 44 (( ii ii X X b)b)

∑

= = − − 55 11 )) 22 (( ii ii ii X X X X c)c) 22 55 11 )) 33 ((

∑

= = − − ii ii X X 6 – Desenvolver e calcular: 6 – Desenvolver e calcular: a) a)

∑

∑∑

∑

= = == + + 33 11 66 22 )) .. (( i i jj j j b b ii b)b)

∑

∑∑

∑

= = == − − 22 11 55 22 )) (( j j ii j j ii c)c) 22 22 11 22 11 )) 33 ((

∑

∑∑

∑

= = == − − i i jj j j ii d) d)

∑

∑∑

∑

= = == 77 11 88 00 i i jj cb cb e)e)

∑

∑∑

∑

= = == 44 11 55 11 22 i i jj ii

(20)

(21)

7 – Utilizando os dados da t

7 – Utilizando os dados da tabela abaixo, calcule:abela abaixo, calcule:

j j ii 1 2 3 4 1 2 3 4 1 8 7 5 9 1 8 7 5 9 2 2 4 4 0 0 10 10 22 a) a)

∑

= = 22 11 11 ii ii X X b)b)

∑

= = 44 11 11 j j j j X X c)c)

∑

∑∑

∑

= = == 22 11 44 11 i i jj ij ij X X d)d)

∑

∑∑

∑

≠ ≠ = = == 44 33 11 22 11 j j j j ii ij ij X X e) e)

∑

= = 33 22 22 j j j j X X f)f)

∑

≠ ≠ = = 44 22 11 22 11 j j j j X X jj g) g)

_∏

≠ ≠ = = 44 33 11 11 66 j j j j j j X X h)h)

∏

≠ ≠ = = 44 22 11 22 j j j j j j X X

8 – Escreva usando notação de somatório ou produtório, conforme o caso: 8 – Escreva usando notação de somatório ou produtório, conforme o caso: a) a) 22 44 44 22 22 11 11 22 22 22          −− + + − − + + −

−Y Y X X Y Y X X Y Y X

X

b) a! b) a! c)

c) (( X X ₁₁++Y Y ₁₁)()( X X ₁₁++Y Y ₂₂)()( X X ₁₁++Y Y ₃₃)) d)

d) (( X X ₁₁Y Y ₁₁))++(( X X ₁₁Y Y ₂₂))++(( X X ₁₁Y Y ₃₃))++(( X X ₂₂Y Y ₁₁))++(( X X ₂₂Y Y ₂₂))++(( X X ₂₂Y Y ₃₃)) e)

e) (( X X ₁₁Y Y ₁₁)()( X X ₂₂Y Y ₂₂)...()...( X X _n_n..Y Y _n_n))

9 – Considere os seguintes valores: 9 – Considere os seguintes valores:

X

X11= 2 = 2 XX22= 4 = 4 XX33 = 6 = 6 XX44= 8 = 8 XX55 = = 10 10 XX66= = 12 12 XX77 = = 14 14 XX88= 16= 16

Y

Y11= 1 = 1 YY22= 3 = 3 YY33 = 5 = 5 YY44= 7 = 7 YY55 = 9 = 9 YY66= = 11 11 YY77 = = 13 13 YY88 =15=15

Calcule os seguintes somatórios e

Calcule os seguintes somatórios e produtórios:produtórios:

a) a) 88 (( 33)) 11 55 22 − −

∑

∑∑

∑

= = == i i jj ii X X b)b)

∑

= =           − − 88 11 22 22 ii ii ii _Y_Y X X c) c)

_∏

= = 44 11 ii ii X X d) d)

_∏

= = 44 22 33 ii ii iiY Y X X 10 – De 10 – Desenvolver:senvolver: a) a)

∑

= =          + + 33 11 22 11 ii jj ii b)b)

∑

∑∑

∑

≠ ≠ = = == ++ − − 55 44 11 44 22 22 22 ₎₎ (( j j j j ii ii jj j j j j ii c) c) 22 55 11 )) 88 (( _      + +

∑

= = ii ii d) d)

_∏

= = + + 55 11 )) 88 (( ii ii 11 – Se 11 – Se

∑

= = = = 33 11 12 12 ii ii X X

∑

= = = = 33 11 22 ₅₆₅₆ ii ii X

X ee Y Y ₁₁ ==33 Y Y ₂₂ ==55 Y Y ₃₃ ==66, calcule:, calcule:

a) a)

∑

= = 33 11 99 ii b) b)

∑

= = 33 11 12 12 ii ii X X c)c) (( 22)) 33 11 22 11 −−

∑

= = ii X X d)d) (( )) 33 11 ii ii iiY Y X X

∑

= = 12 – Se X 12 – Se X11= 2, X= 2, X22= 4, X= 4, X33= 6 e Y= 6 e Y11= 3, Y= 3, Y22= 5, Y= 5, Y33= 6, calcule:= 6, calcule: a) a) 33 (( )) 11 ii ii iiY Y X X

∑

= = b) b) 33 (( 22)()( 55)) 11 − − − −

∑

= = ii ii ii Y Y X X

(22)

(23)

13 – Calcule

13 – Calcule X X 99ee X X 2121, sabendo-se que:, sabendo-se que:

∑

= = = = 50 50 11 200 200 ii ii X X

∑

= = = = 50 50 11 22 ₁₂₀₆₁₂₀₆ ii ii X X

∑

≠ ≠ = = = = 50 50 21 21 99 11 190 190 ee ii ii ii X X

∑

≠ ≠ = = = = 50 50 21 21 99 11 22 1154 1154 ee ii ii ii X X 14 – Dados: 14 – Dados: i i f f ii XXii 1 3 10 1 3 10 2 5 11 2 5 11 3 9 15 3 9 15 4 10 19 4 10 19 Calcule: a) Calcule: a)

∑

= = 44 11 ii ii X X b)b)

∑

= = 44 11 ii ii f f c)c)

∑

= = 44 11 ii ii ii X X f f d)d)

∑

= = = = 44 11 44 11 ii ii ii ii ii f f X X f f

15 – Com a finalidade de aumentar a produção de lã de suas ovelhas, por meio de uma alimentação 15 – Com a finalidade de aumentar a produção de lã de suas ovelhas, por meio de uma alimentação mais apropriada um criador separou 28 ovelhas de sua criação. Como as ovelhas eram de idades mais apropriada um criador separou 28 ovelhas de sua criação. Como as ovelhas eram de idades diferentes, dividiu-as em 7 grupos (G), sendo que dentro de cada um destes grupos havia 4 ovelhas diferentes, dividiu-as em 7 grupos (G), sendo que dentro de cada um destes grupos havia 4 ovelhas de mesma idade e homogeneidade para as demais características. Dentro de cada grupo foi de mesma idade e homogeneidade para as demais características. Dentro de cada grupo foi realizado um sorteio para distribuir ao acaso, os 4 tipos de alimentação (TA) às

realizado um sorteio para distribuir ao acaso, os 4 tipos de alimentação (TA) às ovelhas do grupo. Oovelhas do grupo. O

experimento se iniciou logo após as ovelhas terem sido submetidas a uma tosquia e se encerrou experimento se iniciou logo após as ovelhas terem sido submetidas a uma tosquia e se encerrou quando já era o momento de se realizar uma nova tosquia, da qual obtiveram-se os seguintes quando já era o momento de se realizar uma nova tosquia, da qual obtiveram-se os seguintes resultados, expressos em unidade de medida de lã por animal:

resultados, expressos em unidade de medida de lã por animal: GRUPOS GRUPOS TA TA ₁₁ ₂₂ ₃₃ ₄₄ ₅₅ ₆₆ ₇₇ TotaisTotais 1 1 30 30 32 32 33 33 34 34 29 29 30 30 33 33 221221 2 2 29 29 31 31 34 34 31 31 33 33 33 33 29 29 220220 3 3 43 43 47 47 46 46 47 47 48 48 44 44 47 47 322322 4 4 23 23 25 25 21 21 19 19 20 20 21 21 22 22 151151 Totais 125 135 134 131 130 128 131 914 Totais 125 135 134 131 130 128 131 914 Calcular: Calcular: a) a)

∑

= = 44 11 .. ii ii X X b)b)

∑

= = 77 11 .. j j j j X X c)c)

∑

= = 44 11 22 .. ii ii X X d)d)

∑

= = 77 11 22 .. j j j j X X e) e) 44 22 11 ..)) ((

∑

= = ii ii X X f)f) 22 77 11 .. )) ((

∑

= = j j j j X X g)g)

∑

= = = = 77 11 22 .. 44 11 .. j j j j ii ii X X X X h) h) X.. X.. i)i)

∑

∑∑

∑

= = == 44 11 77 11 i i jj ij ij X X j)j)

∑

∑∑

∑

= = == 44 11 77 11 22 i i jj ij ij X X k) k)

∑

∑∑

∑

= = == 44 11 77 11 22 )) (( i i jj ij ij X X l)l)

∑

= = 44 11 11 ii ii X X m)m)

∑

= = 77 11 11 j j j j X X n)n)

∑

= = 44 11 22 11 ii ii X X o) o)

∑

= = 77 11 22 11 j j j j X X p)p) 22 44 11 77)) ((

∑

= = ii ii X X q)q)

∑

= = 44 11 22 77 ii ii X X r)r) 22 77 11 44 )) ((

∑

= = j j j j X X s)s)

∑

= = 77 11 22 44 j j j j X X

(24)

(25)

RESPOSTAS RESPOSTAS 1 – 1 – a) a) 63 63 b) b) 51 51 c) c) 14 14 d) d) -60-60 2 – 2 – a) a) 5(3+ 5(3+ 1/j) 1/j) b) b) 429/20429/20 3 – 3 – X X11 = 2 ou 6; X= 2 ou 6; X22= 6 ou 2= 6 ou 2 4 – 4 – a) a) 40 40 b) b) 240 240 c) c) 1600 1600 d) 80/9 d) 80/9 e) e) 0 0 f) f) 80 80 g) g) 80/980/9 h) 4 h) 4 5 – 5 – a) a) 1 1 b) b) 24 24 c) c) 9393 6 – 6 – a) a) 30 30 + + 60b 60b b) b) 16 16 c) c) 159 159 d) d) 63cb 63cb e) e) 150150 7 – 7 – a) a) 12 12 b) b) 29 29 c) c) 45 45 d) d) 30 30 e) e) 10 10 f) f) 17/20 17/20 g) g) 108864108864 h) 80 h) 80 9 – 9 – a) a) 192 192 b) b) 140 140 c) c) 19,59 19,59 d) 746,66d) 746,66 10 – 10 – a) a) 5(3 5(3 + + 1/j) 1/j) b) b) -18 -18 c) c) 3025 3025 d) d) 154440154440 11 – 11 – a) a) 27 27 b) b) 144 144 c) c) 50 50 d) 3Xd) 3X11+ 5X+ 5X22+ 6X+ 6X33 12 – 12 – a) a) 62 62 b) b) 44 13 – 13 – X X99= 4 e X= 4 e X2121 = 6= 6 14 – 14 – a) a) 55 55 b) b) 27 27 c) c) 410 410 d) d) 410/27410/27 15 – 15 – a) a) 914 914 b) b) 914 914 c) c) 223726 223726 d) d) 119412 119412 e) e) 835396835396 f) f) 835396 835396 g) g) 109142568 109142568 h) h) 914 914 i) i) 914 914 j) j) 32050 32050 k) k) 835396835396 l) l) 125 125 m) m) 221 221 n) n) 4119 4119 o) o) 6999 6999 p) p) 17161 17161 q) q) 46234623 r) r) 22801 22801 s) s) 32813281

(26)