Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 1 PROVAS E DEMONSTRAÇÕES EM MATEMÁTICA: UMA QUESTÃO
PROBLEMÁTICA NAS PRÁTICASDOCENTES NO ENSINO BÁSICO
Saddo Ag Almouloud Pontifícia Universidade Católica de São Paulo – PUC/SP
saddoag@pucsp.br
Cristiana Abud da Silva Fusco
cfusco@pucsp.br
Resumo: Nesse trabalho discutiremos entraves existentes quanto à utilização de provas
e demonstrações em sala de aula dos ensinos fundamental e médio. Para tanto utilizaremos dados coletados a partir de um projeto realizado com professores da rede pública do Estado de São Paulo, destacando depoimentos de alguns desses professores a respeito da demonstração da fórmula de Báskara utilizada na resolução de equações do 2º grau. Discutiremos ainda alguns conceitos de provas e demonstração sob a ótica de Duval (1995,2000) e Balacheff (1982).
Palavras-chave: Demonstração; Equação de 2º grau; Formação de Professores.
1. INTRODUÇÃO
A questão de provas e demonstrações em aulas de matemática oferecidas para alunos de 12 a 18 anos vem sendo retomada há algum tempo por pesquisadores. Sabemos da nossa realidade brasileira, especialmente nas escolas públicas que provas e demonstrações não estão presentes na comprovação de conteúdos programáticos oferecidos aos alunos, tal fato pode ser comprovado através da análise de livros didáticos que não contemplam essa forma de validação de resultados apresentados. Nós que somos professores de disciplinas de matemática de ensino superior oferecidas para alunos da área de exatas constatamos essa falta de familiaridade dos alunos com demonstrações quando em nossas aulas temos que realizar demonstrações de teoremas. Os alunos têm uma dificuldade de compreensão do encadeamento de justificativas e atribuem tal fato de não ter tido uma formação que envolve essa forma de se trabalhar a matemática. Ao nos depararmos com essa realidade procuramos investigar: em que medida o professor dos ensinos fundamental e médio utiliza provas e demonstrações em suas aulas? Quais motivos levam o professor de matemática a evitar provas e demonstrações em suas aulas?
No intuito de discutir esses e outros problemas a respeito de demonstração grupos de pesquisadores em educação matemáticapreocupam-se em resgatar atividades matemáticas que proporcionem o desenvolvimento do raciocínio dedutivo e da demonstração em matemática.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 2 Entre eles Almouloud e Fusco (2006) discutem as noções que alguns professores da rede pública do Estado de São Paulo possuem a respeito de teoremas e demonstrações que aparecem nos textos didáticos voltados para os ensinos fundamental e médio.
Neste trabalho apresentamos uma reflexão sobredados coletados a partir de um projeto realizado com professores da rede pública do Estado de São Paulo. Tais professores participam como voluntários de um projeto de pesquisa que trata do raciocínio dedutivo nos processos de ensino e de aprendizagem da matemática nas séries finais do ensino fundamental. Os encontros são semanais com duração de três horas e nas sessões de trabalho, uma pesquisadora orienta os trabalhos que ora são realizados individualmente, ora em duplas ou trios. Geralmente os professores recebem material fotocopiado com problemas para serem resolvidos nos grupos e depois, as soluções propostas são discutidas coletivamente e socializadas.
No decorrer do projeto, os professores realizam atividades que favorecem a compreensão do significado e do papel da demonstração no ensino, com o propósito de incentivá-los a integrar provas e demonstrações ao processo de formação de seus alunos “ajudando-os a restituir a historicidade de prova, de demonstração e de rigor matemático” (Gouvêa, 1998, p. 1).
Nesse trabalho adotamos uma metodologia de caráter qualitativo, no qual realizamos um levantamento bibliográfico de publicações sobre prova, demonstração e os fatores que interferem no ensino e aprendizagem da geometria.. Pretendemos discutir alguns conceitos de provas e demonstração sob a ótica de Duval (1995,2000) e Balacheff (1982), além de trazer alguns resultados recentes de pesquisas. Destacaremos alguns resultados do trabalho que vem sendo desenvolvido com os professores citados no projeto, registrando de forma detalhada algumas ações que ocorreram na sala de aula desses professores. A partir de depoimentos de alguns desses professores discutiremos os entraves ainda existentes quanto à utilização de provas e demonstrações em sala de aula.
2. REFLEXÃO TEÓRICA
Ao procurar compreender melhor o raciocínio lógico, não podemos deixar de nos envolver com as questões ligadas à prova matemática. Com esse intuito de um melhor entendimento dessa noção, o grupo de pesquisa acima mencionado adota as definições utilizadas por Balacheff (1982) para distinguir explicação, prova e demonstração.
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A explicação situa-se no nível do sujeito locutor com a finalidade de comunicar ao outro, o caráter de verdade de um enunciado matemático. A explicação, reconhecida como convincente por uma comunidade, adquire um estatuto social e constitui-se uma prova para esta comunidade, sendo a proposição “verdadeira” ou não. As provas são explicações aceitas em um determinado momento, podendo ter o estatuto de prova para determinado grupo social, mas não para um outro. Quando a prova se refere a um enunciado matemático, Balacheff (1982) denomina, somente neste caso, de demonstração. As demonstrações são provas particulares com as seguintes características:
são as únicas aceitas pelos matemáticos;
respeitam certas regras: alguns enunciados são considerados verdadeiros (axiomas), outros são deduzidos destes ou de outros anteriormente demonstrados a partir de regras de dedução tomadas em um conjunto de regras lógicas;
trabalham sobre objetos matemáticos com um estatuto teórico, não pertencentes ao mundo sensível, embora a ele façam referência.
Nessa discussão a respeito de provas temos os comentários bastante pertinentes de De Villiers (2002) que coloca ser costume no ensino da matemática fazer uma abordagem em que as demonstrações aparecem como um recurso para eliminar as dúvidas. Porém, ele alerta que, a demonstração tem outras funções em matemática:
i) Verificação: convencimento próprio e dos outros a respeito da veracidade de uma afirmação;
ii) Explicação: compreensão do por que uma afirmação é verdadeira; iii) Descoberta: de novas teorias, conjecturas ou resultados a partir da tentativa de se demonstrar uma conjectura;
iv) Comunicação: negociação do significado de objetos matemáticos; v) Desafio intelectual: satisfação pessoal pelo êxito na demonstração de um teorema;
vi) Sistematização: organização de resultados em um sistema dedutivo de axiomas, conceitos e teoremas.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 4 Balacheff (2004) discute diversas perspectivas de prova matemática no processo de ensino e aprendizagem e questiona se seria possível um consenso a respeito de prova em Matemática e confronta as afirmações de De Villiers (i) e Hanna e Janke (ii) (apud BALACHEFF, 2004, p. 13) a respeito das funções da prova:
(i) verificação, explicação, sistematização, descoberta e comunicação; (ii) construção de uma teoria empírica, exploração do significado de uma definição ou das conseqüências de uma hipótese, absorvendo um fato novo em uma nova estrutura que permite uma nova percepção.
Enquanto alguns autores procuram diferenciar explicação, argumentação prova e demonstração de um ponto de vista de estrutura de construção ou de discurso, outros se dedicam a explicações sobre demonstrações sob um ponto de vista cognitivo. É o caso de Duval (1995) que, ao analisar as causas do fracasso no ensino e na aprendizagem da demonstração em Matemática entende a demonstração como uma atividade cognitiva específica cuja aprendizagem não está ligada a uma situação de interação social, nem subordinada às pressões internas de um objeto. Pelo contrário, é um modo de processamento cognitivo autônomo com características específicas quando comparada com outras formas de funcionamento de raciocínio como a indução, a argumentação ou a interpretação. Para o autor, a aprendizagem da demonstração consiste primeiramente na conscientização de que se trata de um discurso diferente do que é praticado pelo pensamento natural. No entanto, tal conscientização só ocorre por uma articulação de dois registros, sendo um deles o da linguagem natural, que acredita deva ser utilizado pelo aluno.
Analisando as condições cognitivas para a compreensão do que é demonstrar, Duval (2000) afirma que a demonstração funciona de acordo com um mecanismo normal de expansão discursiva por substituição de enunciados e não por um mecanismo normal de expansão discursiva como o que ocorre em uma descrição ou narrativa; pois a demonstração exige que o sujeito realize uma sequencia de operações discursivas passo a passo. Nessa organização dedutiva a sequencia dos enunciados é produzida pela substituição de um enunciado (como hipótese ou resultado de substituição já efetuada) por um novo, que é efetuada explicitamente por causa de um enunciado normativo (definição, axioma, teorema) que funciona como regra. Para o autor: “demonstrar
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consiste [...] de um ponto de vista cognitivo, em transformar um enunciado dado de partida (ou vários) por um enunciado – resultado de uma ou várias substituições.” (DUVAL e EGRET, 1989, p. 29).
Hanna e Barbeau (2008) acreditam que em educação matemática uma prova pode ser usada para ensinar métodos matemáticos e estratégias. Os autores ponderam “se realmente existem exemplos matemáticos de prova no ensino médio (secondary school) que conduzam à introdução de métodos matemáticos, ferramentas, estratégias e conceitos tão valorizados por Rav (1999)”. (p.348, nossa tradução). Para Rav, as demonstrações são o alicerce do conhecimento matemático.
Ainda nesse trabalho, Hanna e Barbeau (2008) realizaram estudos de caso em que as provas têm a capacidade de expandir as técnicas e estratégias de resolução de problemas dos estudantes. Os autores ponderam que os alunos são expostos a muito poucos teoremas, em geral, da área de geometria e que, entretanto, devem aprender umas poucas fórmulas que são essencialmente afirmações de resultados. Eles consideram como exemplo a fórmula para a solução da equação quadrática. As soluções da equação quadrática ax2+bx+c = 0, com a≠0, são dadas por
2a 4 b
- b ac
x No
nível básico, os alunos podem simplesmente usar essa fórmula para resolver certas equações quadráticas. É até mesmo possível que eles a apliquem cegamente, sem perceber que podem checar suas soluções as substituindo de volta na equação. Entretanto, se eles fizerem tais substituições, então de forma empírica, eles sem dúvida confiarão na fórmula e a aplicarão mecanicamente. A essa altura, os alunos podem perceber que existem dois métodos independentes para resolver equações quadráticas. Um dos métodos seria por fatoração que não é garantia de sucesso, e o outro, a utilização da fórmula, que sempre funcionará.
3. ESTUDO DE CASO
Nessa investigação constatamos que o professor não só evita demonstrações como se opõe a elas apresentando fortes motivos. Descreveremos a seguir comentários de professores participantes desse grupo e, para tanto, selecionamos o encontro em que
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se discutiria a fórmula de Báskara. Na semana anterior, os professores haviam sido avisados que o tema seria Báskara e que deveriam recuperar a forma como costumavam introduzir esse tópico para que apresentassem aos colegas. Passaremos a descrever os comentários de quatro professores que denominaremos por P1, P2, P3 e P4.
P1: Costumo fazer uma síntese do conteúdo relativo à resolução de equações do 2º grau
na lousa. Inicio escrevendo a equação completa, ax2 +bx + c = 0, destacando que a deve ser diferente de zero e que b e c são números reais. Comento sobre as equações incompletas e resolvo alguns exemplos sem utilizar a fórmula de Báskara. Depois coloco na lousa a fórmula de Báskara ,
2a b
-x , onde = b2 – 4ac. Tentei
demonstrar a fórmula uma única vez, mas foi um desastre; os alunos ficaram assustados e não entenderam. Durante a demonstração ouvi comentários do tipo: “isso é coisa de louco”, ”nunca vi tantas letras”, “pensei que matemática fosse só números”. Cheguei a dizer para os alunos: “calma gente, vocês só terão que usar a fórmula”. Consegui a demonstração num caderno meu da faculdade; fiz licenciatura em matemática. Não encontrei a demonstração da fórmula em nenhum dos livros de 8ª série que eu conheço. Nos anos seguintes, voltei a colocar a síntese na lousa, mas desisti de fazer a demonstração da fórmula; fiquei um pouco “traumatizada”.
P2: Começo colocando na lousa exemplos numéricos de equações do 2º grau
incompletas e bem fáceis do tipo x2 =4. Pergunto a classe que valores x deve assumir para que a afirmação seja verdadeira e vou “aumentando” o grau de dificuldade,
2a b
-x , onde = b2 – 4ac.ax2 +bx + c = 0. Digo que existem equações incompletas quando b=0 ou c=0 e resolvo alguns exemplos por fatoração. Para a resolução das equações completas apresento a fórmula de Báskara. Não penso em fazer a demonstração da fórmula porque acho que assusta, teria que usar recursos algébricos.
4. CONSIDERAÇÕES SOBRE OS DEPOIMENTOS DOS PROFESSORES
Dentre os professores que consideramos nesse estudo, somente P1 tentou fazer a
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de louco”. Esse comentário reforça a falta de familiaridade que nossos alunos têm com relação a demonstrações. Acham a redação matemática complicada e de difícil compreensão. A professora P1 diante da reação negativa dos alunos nessa sua aula em
que demonstrou a fórmula desiste de repetir a demonstração nos anos seguintes e volta “apresentar” a fórmula com algumas explicações. A experiência de fazer a demonstração chegou a deixá-la “traumatizada”.
Nos demais depoimentos dos professores, fica evidente que eles não tinham a intenção de fazer a demonstração da fórmula, ainda mais que, os livros não a apresentam. Iniciam o assunto com equações incompletas, depois completas, resolvem algumas equações por fatoração e a seguir apresentam a fórmula de Báskara que funciona sempre. Isto é, a fórmula funciona tranquilamente porque os coeficientes utilizados são números inteiros. Os professores P2 e P4 não só não fazem a
demonstração em sala, mas consideram que seria algo além da capacidade de compreensão dos alunos e que o retorno não seria positivo ao fazerem afirmações do tipo: “...acho que assusta...”. No caso do professor P3 que trabalhava numa sala
ambiente, a fórmula do delta ( =b2 - 4ac) já estava permanentemente exposta na parede. Sendo assim, a professora seguiu o livro mostrando as equações quadráticas incompletas, completas e no final apresentou a fórmula partindo para o esquema “decoreba”. Os alunos memorizam a fórmula e a aplicam mecanicamente.
Pode-se resumir que os alunos dos quatro professores citados acabaram utilizando a fórmula de Báskara a partir de memorização. A não apresentação de uma demonstração priva o aluno de um convencimento próprio a respeito da veracidade de uma afirmação que é uma de suas funções segundo De Villiers (2002). Retomando Balacheff (1982) que considera como uma das características da demonstração a dedução de um enunciado a partir de regras de dedução tomadas em um conjunto de regras lógicas; os alunos deixaram de ter contato com essa forma de redação matemática que para Hanna e Barbeau (2008) também contribui para ensinar métodos e estratégiuas matemáticas. Caso tivesse sido feita a demonstração da fórmula para os alunos eles teriam visto a técnica de adicionar e subtrair um mesmo termo em uma expressão, nesse caso com a finalidade de completar um quadrado. Essa sequencia de transformações,
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sem dúvida, é uma nova forma de linguagem para o aluno, é um discurso diferente do praticado pelo pensamento natural. E para Duval (1995) que pesquisa as causas do fracaso no processo de ensino da demonstraçaõ é fundamental a conscientização de que se trata de um discurso diferente do que é praticado pelo pensamento natural e tal conscientização só ocorre por uma articulação desses dois registros: o da linguagem natural e o encadeamento de regras lógicas.
Observa-se que ainda existe uma grande preocupação por parte dos professores em contextualizar conteúdos e não sabem que conceitos matemáticos poderiam ser mais bem compreendidos a partir de uma demonstração significativa para o aluno, não uma demonstração “jogada” na lousa que nem o próprio professor compreende. Segundo os autores Hanna e Barbeau (p.348, 2008) as demonstrações possuem uma função que vai além da comprovação da afirmação em questão, “elas têm a capacidade de expandir a caixa de ferramentas de técnicas e estratégias dos estudantes para a resolução de problemas”.
Constatamos que os professores participantes desse projeto (acredito que podemos estender essa conclusão para seus colegas) não se sentem seguros de trabalhar com demonstrações e como os livros também não trazem esse conteúdo eles não estão habituados a trabalhar situações que envolvem provas e demonstrações.. Sem dúvida, não se pode ensinar o que não se tem domínio. Esperamos que com um trabalho mais eficaz de formação continuada para professores da rede pública e particular se resgate o hábito de trabalhar com demonstrações nos ensinos fundamental e médio.
REFERÊNCIAS
ALMOULOUD, S. A.; FUSCO, C. A. Discutindo algumas dificuldades de professores dos ensinos Fundamental e Médio a respeito do conceito de demonstração. In: Anais do III SIPEM – Simpósio Internacional de Pesquisa em Educação Matemática, Água de Lindóia, SP, 2006.
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BALACHEFF, N. The researcher epistemology: a deadlock for educational research on proof. Les Cahiers du Laboratoire Leibniz, Grenoble, n. 109, 2004.
DE VILLIERS, M.. Para uma Compreensão dos Diferentes Papéis da Demonstração em Geometria Dinâmica. Trad. Rita Bastos. ProfMat, 10, 2002, Visue, Portugal. Actas (CD-ROM) Visue: Associação de Professores de Matemática, 2002. Disponível em:<http://mzone.mweb.co.za/residents/profmd/homepage.html>. Acesso em: 10 dez.2009
DUVAL, R. Sémiosis et pensée humaine: registres sémiotiques et apprentissages intellectuels. Suiça: Peter Lang, 1995.
____. Écriture, raisonnement et découverte de la démonstration en mathématiques. In : Recherches en Didactique des Mathématiques, vol. 20, nº 2, 2000. p.135-170.
DUVAL, R.; EGRET, M. A. L’organisation deductive du discours: interaction entre structure profonde et structure de surface dans l´accès à la démonstration. In: Annales de Didactique et de Sciences Cognitives 2, Strasbourg: IREM de Strasbourg, 1989, p. 25-40.
HANNA,G. e BARBEAU, E. ZDM Mathematics Education (2008) 40:345-353 DOI 10.1007/s11858-008-0080-5
GOUVÊA, F. A. T. Aprendendo e ensinando geometria com a demonstração: uma contribuição para a prática pedagógica do professor de matemática do ensino fundamental. Dissertação (mestrado em Educação Matemática), PUC-SP, 1998.
