Capital Asset Pricing Model CAPM

Capital Asset Pricing Model

Capital Asset Pricing Model

CAPM

CAPM

EBAPE-FGV

Referências

• Sharpe, W. F. 1964. Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium Under Conditions of Risk. Journal of Finance 19:425–42.

• Lintner, J. 1965. Security Prices, Risk, and the Maximal Gains from Diversification.

Journal of Finance20:587–615.

Outras Referências

Capital Asset Market, Econometrica, Vol. 34, No. 4, pp. 768-783.

• Treynor, Jack L. (1961). Toward a Theory of Market Value of Risky Assets.

Unpublished manuscript http://ssrn.com/abstract=628187

• Até aqui modelos de escolha individual • Modelo de equilíbrio

• Derivada usando o princípio da diversificação com hipóteses simples

Capital

Capital AssetAssetPricingPricingModelModel(CAPM)(CAPM)

• Investidores individuais tomadores de preços • Horizonte de investimento de 1período • Investimentos são limitados aos ativos

financeiros

• Sem impostos ou custos de transação (sem frições)

Hipóteses

Hipóteses

• Informação é gratuita e disponível a todos os investidores

• Investidores são racionais e otimizadores de média e variância

• Expectativas homogêneas Hipóteses (cont.)

Retorno Esperado Variância Util. Crescente Curvas de Indiferença Implicações Implicações

O CAPM assume uma especificação particular da utilidade: a utilidade da distribuição da riqueza depende apenas dos dois primeiros momentos da distribuição de probabilidade (média e variância).

·

A hipótese a respeito da utilidade garante que, independentemente do nível de investimento,

• investidor desejará a menor variância possível para cada nível de retorno esperado. • embora o retorno da carteira escolhida dependa da utilidade do investidor, ela será

aquela carteira que minimiza a variância para um dado nível de retorno.

O problema de todos os investidores pode ser colocado como:

∑ ∑ σ = = A 0 a A 0 b a b ab w ,..., wmin1 A ww s.a.: R R w A 0 a∑= a a= e 1 w A 0 a∑= a= Implicações Implicações Resultados Resultados

Se o portifólio de mercado é eficiente, o retorno de qualquer ativo a pode ser escrito como:

que é o principal resultado do CAPM.

(

)

Resumindo:

• prêmio de risco é proporcional a covariância do ativo com o portifólio de mercado.

• não é o risco idiosincrático do ativo que importa, mas como o seu retorno contribui para o risco total do portifólio dos agentes.

Como mm am σ σ

é o coeficiente angular da regressão de Ra em Rm, escreve-se a equação acima como: ( m 0) a 0 a R R R R = +β − onde: mm am a _σ σ β =

ou seja, para determinar o retorno esperado do ativo, basta saber o β do ativo.

Resultados

Resultados

• Todos investidores carregarão a mesma carteira de ativos arriscados – a carteira de mercado

• A carteira de mercado contém todos os ativos, e a proporção de cada ativo é o seu valor de mercado como percentagem do valor total do mercado

Condições de Equilíbrio Resultantes

Condições de Equilíbrio Resultantes

• O prêmio de risco de um ativo individual é uma função de sua covariância com o mercado

• O prêmio de risco do ativo individual é função da covariância do retorno com os ativos que compõe a carteira de mercado

Condições de Equilíbrio Resultantes

Condições de Equilíbrio Resultantes

(

)

(

)

∑

∑

Como para qualquer carteira c: , para a carteira de mercado m: . Mas: O Beta do Mercado O Beta do Mercado

∑

∑

∑

Do CAPM resulta que para todo ativo a:

ou:

onde: é o risco sistemático e é o risco não-sistemático (ou idiosincrático, ou específico).

• Todo risco específico pode ser reduzido pela diversificação.

Risco sistemático e

Risco sistemático e idiosincráticoidiosincrático

(~ ) ~ cov(~,~) 0 ~ 0 0= − + = − a m a a m a r r r com r r β ε ε ( )~ . var 2 2 2 a m a a βσ ε σ = + 2 2 m aσ β var( )ε~a β_i= [COV(r_i,r_m)] / σ_m2 Inclinação da SML = E(r_m) - r_f

= prêmio de risco do mercado SML = r_f+ β[E(r_m) - r_f]

Beta_m = [Cov (r_m,r_m)] / σm2

= σm2 / σm2 = 1

Relações na SML

E(r) E(rM) rf SML M ß ß = 1.0

Linha do Mercado de Ativos

Linha do Mercado de Ativos

(

(SecuritySecurityMarketMarketLineLine––SML)SML)

E(r_m) - r_f= .08 r_f= .03 β_x= 1.25 E(r_x)= .03 + 1.25(.08) = .13 or 13% βy= .6 E(r_y)= .03 + .6(.08) = .078 or 7.8% Cálculos para a SML Cálculos para a SML E(r) Rx=13% SML m ß ß 1.0 Rm=11% Ry=7.8% 3% x ß 1.25 y ß .6 .08 Gráfico dos Cálculos

• Suponha que um ativo com β de 1.25 está oferecendo um retorno esperado de 15% • De acordo com a SML, deveria ser de 13% • Sub-avaliado: oferecendo uma taxa de retorno

muito alta para o seu nível de risco

Exemplo de Desequilíbrio Exemplo de Desequilíbrio E(r) 15% SML ß 1.0 Rm=11% rf=3% 1.25 Exemplo de Desequilíbrio Exemplo de Desequilíbrio

Excel(SML)

Excel(SML)

• http://pages.stern.nyu.edu/~adamodar/New_Home_ Page/datafile/Betas.html

Testando o CAPM

Apêndice de regressão linear simples Seja o processo y definido por:

T ,..., 2 , 1 t x yt=α+β t+εt ∀ = ,

onde: x é uma variável observável; t α eβ são não-observáveis; e εt é o

componente aleatório, com E[ ]εt =0 e E

[ ]

Regressão Linear

Regressão Linear

Como α, β e o εtsão não-observáveis, só vemos os pontos yte xt.

y4 y x x1 x2 x3 x4 y3 y2 y1 Regressão Linear Regressão Linear

y4

y

x

x1 x2 x3 x4

E[y] = αααα+ ββββx

Cada realização de y tem um componente não-aleatório, αααα + ββββx, e um componente aleatório, εεεε. A primeira observação está decomposta nos dois componentes.

α αα α y3 y2 y1 E[y1] E[y4] εεεε1 α α α α+ ββββx1 Regressão Linear Regressão Linear y4 y x x1 x2 x3 x4

Podemos utilizar os pontos y para traçar uma linha que seja uma aproximação de y = αααα + ββββx.

Se escrevermos y = a + bx, a é uma estimativa de αααα, e b é uma estimativa de β.β.β.β. y3 y2 y1 y = a + bx^ a Regressão Linear Regressão Linear y4 y x x1 x2 x3 x4

A diferença entre o valor realizado e o ajustado é o resíduo. Que critério utilizar para traçar a reta y = a + bx ?

y3 y2 y1 y = a + bx^ y (valor realizado) y - y = e (resíduo)^ e1 e2 e3 e4 a 1 yˆ 4 yˆ yˆ(valor ajustado)

Regressão Linear

Critério do Mínimos Quadrados:

Escolha a e b de forma a minimizar a soma dos quadrados dos resíduos:

(

)

Que após derivar e igualar a zero, em relação a a e b resulta em:

( )( ) ( ) . x b y a e ) x var( ) x , y cov( x x x x y y b T 1 t 2 t T 1 t t t ⋅ − = = ∑ − ∑ − − = = = Regressão Linear Regressão Linear

Observe que b tem a mesma fórmula do βββ do ativo, derivado do β CAPM.

Portanto, podemos entender o retorno de qualquer ativo como sendo dado por:

(Rat−R0)=α−β(RMt−R0)+εt

onde o CAPM implica α = 0.

Para obter o ββββ do ativo, basta fazer uma regressão linear simples de (Ra- R0) em (RM- R0) mais uma constante. Ou seja:

( ) ( ) [ ] ∑ − − − − = T 1 t 2 0 Mt 0 at b , a R R a bR R min

O coeficiente b assim obtido é a estimativa do βββ do ativo.β

Regressão Linear Regressão Linear β β β β 1.0

Security Market Line SML

(E[R_a]-R0) = R0+ ββββa(E[Rm] -R0)

E[R]

R0

E[Rm]

Linha de Mercado de Ativos

r_i= E(R_i) + ß_iF + e ß_i= índice de sensibilidade do ativo ao fator

F= algum fator macro; neste caso F é o movimento não antecipado comum ao retorno dos ativos

Hipótese: um índice abrangente do mercado como IBOVESPA é o fator comum

Modelo de 1 fator

Modelo de 1 fator

Relação entre o Modelo de

Relação entre o Modelo de

1 Fator e o CAPM

1 Fator e o CAPM

• Modelo de 1 Fator:

• Onde é o retorno do ativo i na data t e

É o retorno do índice de mercado. Agora para transformar este modelo de 1 fator numa regressão CAPM faremos:

1. Seja a verdadeira carteira de mercado 2. Seja r_fa taxa livre de risco,logo:

3. Somar e subtrair β_ir_f

Onde

4. A SML do CAPM: Implica que para todo ativo i:

Relação entre o Modelo de

Relação entre o Modelo de

1 Fator e o CAPM

Testes da Regressão do CAPM

Testes da Regressão do CAPM

• Faça o seguinte teste de hipótese para cada ativo:

• Que acontece quando rejeitamos o Ho? (CAPM vale) (CAPM Não vale)

* * 0 C o m p re ativo h o je 0 V en d a ativo h o je i i α α > ⇒ < ⇒

Como fazer o teste ?

Como fazer o teste ?

• Trata-se de um teste bicaudal, isto é para rejeitar Ho, o valor estimado de α* tem que ser muito maior que 0 ou muito menor que 0. Para determinar isto usamos a estatísitca t:

• Onde é o estimador de mínimos quadrados de E é o erro padrão estimado. Para saber quão grande

tem que ser para que rejeitemos Ho, usamos o fato : Com T-2 graus de liberdade

• Se escolhemos o nível de significância (probabilidade de rejeitar Ho dado que seja verdadeira) do nosso teste a um nível de 5%, Então a regra de descisão será: • Rejeito ao 5% de confiança se

Como fazer o teste ?

Exemplo

Exemplo

• Imagine que tivesse mos o seguinte resultado usando uma amostra de 60 meses:

• Façamos o teste:

• A um nível de 5% temos , daqui não podemos rejeitar Ho:

• Os testes realizados com qualquer carteira que não seja a do mercado não são realmente testes do CAPM, eles simplesmente testam a eficiência do índice escolhido como carteira do mercado. • A escolha entre versões do CAPM é

extremamente sensível á escolha do índice. • O CAPM só poderá ser testado caso se conheça

a composição exata da carteira de mercado

Crítica de

Crítica de

Roll

Roll

Arbitrage

Arbitrage

Pricing

Pricing

Theory

Theory

(APT)

(APT)

José Fajardo EBAPE-FGV

Arbitrage Pricing Theory

Pricing Theory of Capital Asset pricing, Journal of Economic Theory 13, 341-360. • Mas de 3000 citações em

scholar.google.com

APT

APT

O APT começa supondo o processo gerador dos retornos, com fatores comuns. Por exemplo: a ~ f ~ b f ~ b b R ~ a 2 a 2 1 a 1 a 0 a= + + +ε ∀ ; onde: 1 2 ~ ~ f e

f são os fatores comuns aos ativos,

b1a e b2a as sensibilidades do ativo a aos fatores 1 e 2, e

~εa é um componente idiossincrático do ativo a.

Por construção E

[ ] [ ]

[

] [

] [

]

Estudemos o caso de um fator, sem risco idiossincrático: a 0a 1af1 ~ b b R~ = +

[ ]

É possível efetuar a construção acima se além dos riscos gerais, os ativos apresentarem riscos específicos ( )?

Resp.: Aplica-se a Lei dos Grandes Números a carteiras altamente diversificadas. 0 ~ a ≠ ε a a a a b b f R~ = 0 + 1~1+ε~ APT APT

σ

= b

_σ

+ σ

(e

)

σ

=

b

_σ

=

σ

(e

) =

Medindo os Componentes do Risco:

a a a a b b f R~ = 0 + 1~1+ε~ APT APT

Para uma carteira P:

) ( 1 1 1 ~ 2 2 1 2 1 2 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 P P P N i i P N i i P N i i P P P P P e b e N e b N b b N b e f b b R σ σ σ = + = = = + ⋅ + =

∑

∑

∑

?

O APT e a Lei dos Grandes Números

O APT e a Lei dos Grandes Números

Redução do Risco com a Diversificação

Número de Dv.Padrão Risco Sistemático Risco específico: b1P2σσσσ12

( )

( )

( )

∑

O APT e a Lei dos Grandes Números

Risco Total = Risco Sistemático + Risco Não-sistemático

(Risco sistemático/Risco Total) = = b_1i2 _σ

12

/

= b_1i2 _σ

12

/

Examinando a Participação da Variância

Examinando a Participação da Variância

• Exemplo da Merrill Lynch

– Usa retornos e não o prêmio de risco α tem uma interpretação diferente α = α + r_f (1-β)

• Prever o beta com uma função do beta passado: β_t= a + b β_t-1

• Prever o beta como uma função do tamanho, crescimento, alavancagem, etc.:

β_t= a + b₁β_t-1+b₂tamanho_t-1 + b₃alavancagem_t-1

Previsão Prática do Beta

Previsão Prática do Beta

Categorias de fatores:

– Externos: produção industrial, inflação esperada, etc. – Extraídos: de informações conhecidas sobre os retornos dos

ativos.

– Específicos: valores específicos das firmas como razões dividendo/preço, preço/receita, valor contábil/valor de mercado (book-to-market).

Modelo

• Use fatores em adição ao retorno do mercado – Exemplos incluem produção industrial, inflação

esperada, etc.

– Estime um beta para cada fator utilizando regressão múltipla

• Fama & French (J. Finance 1993,427-466) – Retornos como função do tamanho (capitalização de

mercado) e book-to-market além do retorno de mercado

ri- rf= ßim(rm- rf) + ßis(rs- rb) + ßil(rh- rl)

Modelo

Modelo MultifatoresMultifatores

0 5 10 15 20 25 Average Return (%) Company size Smallest Largest

Company Size vs. Average Return Modelo

Modelo MultifatoresMultifatores

0 5 10 15 20 25 Average Return (%) Book-Market Ratio Highest Lowest Book

Book--Market vs. Average ReturnMarket vs. Average Return

Modelo

Fama e French 1993

mercado, tamanho (PMG) e valor (valor contábil / preço – VMC).

• As carteiras PMG (“pequeno menos grande”) e VMC (“alto valor contábil / preço menos baixo valor contábil / preço”).

• As ações analisadas neste estudo podem ser classificadas segundo a categorização proposta por Fama e French. As ações de menor valor contábil / preço podem ser consideradas como ações do tipo crescimento.

• No extremo oposto, ações de maior valor contábil / preço podem ser chamadas de ações do tipo valor.

Fama e French 1993

• As carteiras compostas de ações de valor / pequeno (VP) é usualmente considerada de

alto risco, enquanto a de crescimento / grande (CG) é usualmente consideradas de baixo risco.

• As carteiras compostas de ações de valor / grande (VG) e crescimento / pequeno (CP) são

usualmente consideradas de risco intermediário.

Fama e French 1993

•http://mba.tuck.dartmouth.edu/pages/faculty/ken.french/data_library.html

Fajardo e Fialho (2010):

“OS TRÊS FATORES DE FAMA E FRENCH, CICLO DE NEGÓCIOS E INFLAÇÃO NO BRASIL”

• Um modelo de fatores (ou o APT) só funciona bem se:

(a) identificarmos um número relativamente pequeno de fatores macroeconômicos;

(b) medirmos o prêmio de risco esperado de cada fator; (c) medirmos a sensibilidade das ações individuais a cada

fator.

• Apesar de ser “mais arte que ciência”, alguns critérios estatísticos podem ajudar na seleção. Por exemplo, componentes principais.

Modelo

Fajardo e Eboli (2010): “Selecionar fundos por alpha agrega

valor? Um estudo para a indústria de fundos hedge brasileira”.

Índice Ibovespa, Diferença de retornos entre S&P 500 – Índice Ibovespa, Taxa Swap Pré x DI 180 dias (Referencial BM&F), Taxa Swap Pré x DI 360 dias (Referencial BM&F), Taxa Swap de 2 anos (Pré x DI), Taxa Swap de 5 anos (Pré x DI), IRF-M[1], IMA-B[2], Taxa de Câmbio real/dólar PTAX, Goldman Sachs Commodity Index (Índice de commodities elaborado pelo Banco Goldman Sachs), Índice VIX (Índice de volatilidade da bolsa americana), Taxa Treasury 10 anos (Título de renda-fixa do Governo Americano), Taxa Treasury 2 anos (Título de renda-fixa do Governo Americano), ZAR (moeda da África do Sul), Ouro (Futuro genérico no bloomberg), Petróleo (Futuro genérico no bloomberg), Fatores de risco ao quadrado (para capturar market timing).

No Brasil

No Brasil

[1]O IRF-M representa a valorização dos títulos públicos federais pré-fixados, ou seja, as Letras do Tesouro Nacional (LTNs) – sem cupons – e as Notas do Tesouro Nacional série F (NTNs-F) – com cupons. Para maiores detalhes consultar o endereço

http://www.andima.com.br/ima/arqs/ima_cartilha.pdf. [2]O IMA-B é associado aos títulos públicos federais atrelados ao

Índice de Preços ao Consumidor Amplo (IPCA). Tais títulos são as Notas do Tesouro Nacional série B (NTNs-B). O IPCA é o índice que mede oficialmente a inflação no Brasil. Além do IPCA, as NTNs-B são remuneradas a uma taxa de juros pré-fixada. Para maiores detalhes consultar o endereço

http://www.andima.com.br/ima/arqs/ima_cartilha.pdf.

No Brasil