Vetores

F 

F 

F 

F Í 

Í Í S 

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S 

S I 

S 

I I C 

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C 

C A

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A

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L I  

L 

I  

I  L 

I  

L E  

L 

L 

E  

E  U  

E  

U  

U  

U  

1. NOÇÃO NOÇÃO DE DE DIREÇÃO DIREÇÃO E E SENTIDO SENTIDO  Dizemos que duas retas têm a

Dizemos que duas retas têm a mesma direção mesma direção  quando elas são

quando elas são paralelas paralelas . . O conceito O conceito de direção de direção aplica- aplica-se também a

se também a segmentos de reta segmentos de reta . . Dizemos Dizemos que que doisdois segmentos de reta têm a mesma direção quando eles segmentos de reta têm a mesma direção quando eles estão sobre a mesma reta ou estão sobre retas paralelas estão sobre a mesma reta ou estão sobre retas paralelas (Figura). (Figura). A A B B  _rr C  C  D D  E E F F  _ss Sendo r e s paralelas, os segmentos Sendo r e s paralelas, os segmentosAB AB ,,CD CD 

e

eEF EF têm a mesma direção.têm a mesma direção.

A direção pode ser caracterizada pelo ângulo que A direção pode ser caracterizada pelo ângulo que uma das retas do conjunto acima, forma com outra uma das retas do conjunto acima, forma com outra adotada como referência.

adotada como referência. Na figura abaixNa figura abaixo, a direçãoo, a direçãod d dodo

segmento AB é definida pelo ângulo

segmento AB é definida pelo ânguloque ela forma com aque ela forma com a

reta de referência reta de referênciar r .. rr d d   A A B B 2.

2. GRANDEZAS GRANDEZAS ESCALARES ESCALARES E E GRANDEZAS GRANDEZAS  VETORIAIS 

VETORIAIS 

Algumas grandezas ficam totalmente Algumas grandezas ficam totalmente determinadas por um valor numérico e uma unidade; tais determinadas por um valor numérico e uma unidade; tais grandezas são chamadas

grandezas são chamadas escalares.escalares. É o caso, porÉ o caso, por exemplo, da ma

exemplo, da massa e ssa e do volume de do volume de um corpo. um corpo. QuandoQuando dizemos que a massa de um corpo é igual a 80 kg e que dizemos que a massa de um corpo é igual a 80 kg e que seu volume é de 10 litros, nada mais precisamos seu volume é de 10 litros, nada mais precisamos acrescentar para definir essas grandezas. Além do volume acrescentar para definir essas grandezas. Além do volume e da massa, são grandezas escalares tempo, densidade, e da massa, são grandezas escalares tempo, densidade, energia,

energia, temperatura, temperatura, etc. etc. No No entanto, entanto, há há outrasoutras grandezas que, além do

grandezas que, além do módulo módulo (valor numérico e da(valor numérico e da unidade), necessitam de direção

unidade), necessitam de direção e sentido para que fiquem e sentido para que fiquem definidas.

definidas. Consideremos, Consideremos, porpor exemplo, o caso ilustrado na exemplo, o caso ilustrado na figura, de uma partícula que, a figura, de uma partícula que, a partir de um ponto

partir de um ponto AA, , sese desloque

desloque 4 4 cm. cm. É É necessárionecessário acrescentar “para o

acrescentar “para onnde” foi ode” foi o

deslocamento; isso pode ser feito através de um

deslocamento; isso pode ser feito através de um segmentosegmento orientado,

orientado, como como está está na na figura. figura. As As grandezas grandezas queque necessitam dessa “informação” são chamadas

necessitam dessa “informação” são chamadas grandezas grandezas  vetoriais 

vetoriais . . São São exemplos exemplos de de grandezas grandezas vetoriais: vetoriais: força,força, velocidade, aceleração, quantidade de movimento, velocidade, aceleração, quantidade de movimento, impulso, etc.

impulso, etc. 3. VETOR  3. VETOR 

A fim de que as operações envolvendo grandezas A fim de que as operações envolvendo grandezas vetoriais se tornem simples, utilizamos a entidade vetoriais se tornem simples, utilizamos a entidade matemática denominada matemática denominada vetor  vetor .. Observe que, na Observe que, na figura ao lado, os segmentos figura ao lado, os segmentos têm a mesma extensão têm a mesma extensão geométrica, isto é, o mesmo geométrica, isto é, o mesmo comprimento e, por serem comprimento e, por serem paralelos, a mesma direção. paralelos, a mesma direção. Têm ainda o mesmo sentido. Têm ainda o mesmo sentido.

Vetor 

Vetor é o ente matemático caracterizado pelo queé o ente matemático caracterizado pelo que há de comum ao conjunto dos segmentos orientados há de comum ao conjunto dos segmentos orientados acima

acima descritos: descritos: o mo mesmo esmo comprimento comprimento (tamanho), (tamanho), aa mesma direção

mesma direção e o e o mesmo sentidmesmo sentido. o. Assim um Assim um vetorvetor possui

possui módulo módulo ,, direção direção ee sentido sentido ..

Graficamente o vetor é representado por um Graficamente o vetor é representado por um segmento de reta orientado, indicado por uma letra que segmento de reta orientado, indicado por uma letra que geralmente lembra a grandeza vetorial em questão sobre a geralmente lembra a grandeza vetorial em questão sobre a qual colocamos uma seta (Fig.)

qual colocamos uma seta (Fig.)

Vetor 

Vetor a a (aceleração)(aceleração) Vetor 

Vetor d d (deslocamento) (deslocamento) Vetor Vetor v v (velocidade)(velocidade)

Vetor  Vetor F F (força)(força)

F  F    v  v    d  d    a  a    O

O módulo módulo  do vetor é indicado da formado vetor é indicado da forma seguinte:

seguinte:||vv|| ouou v.v.

4.

4. IGUALDADE DE VETORES IGUALDADE DE VETORES 

Dois vetores não-nulos são iguais se, e somente se, Dois vetores não-nulos são iguais se, e somente se, tiverem o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo tiverem o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido.

sentido. Para Para indicar indicar que que o o vetorvetor a a é igual ao vetoré igual ao vetor b b ,, escrevemos

escrevemos aabb..

E 

E 

E 

E 

Vetores iguais (mesmo módulo, mesma  Vetores iguais (mesmo módulo, mesma 

direção e mesmo sentido). direção e mesmo sentido).

rr s s a a   b b  

Vetores diferentes (os módulos são  Vetores diferentes (os módulos são 

diferentes). diferentes). rr s s a a   b b  

Vetores iguais (mesmo módulo, mesma  Vetores iguais (mesmo módulo, mesma 

direção e mesmo sentido). direção e mesmo sentido).

rr s s a a   b b  

Vetores diferentes (as direções são  Vetores diferentes (as direções são 

diferentes). diferentes). rr s s a a   b b   5.

5. ADIÇÃO DE VETORES ADIÇÃO DE VETORES 

Consideremos que sejam Consideremos que sejam dados os dois vetores representados dados os dois vetores representados pelos segmentos orientados

pelos segmentos orientados aa ee bb,, como indicado na figura 1.

como indicado na figura 1.

Para adicionar vetorialmente Para adicionar vetorialmente a

a ee bb, podemos utilizar dois, podemos utilizar dois

processos: a regra do polígono e a regra do processos: a regra do polígono e a regra do paralelogramo. paralelogramo. Regra do polígono  Regra do polígono  Procedimento: Procedimento: transportamos

transportamos aa ee bbde modo que ade modo que a origem de um coincida com a origem de um coincida com a extremidade do outro, sem modificar extremidade do outro, sem modificar seus módulos, direções e sentidos seus módulos, direções e sentidos (figura 2);

(figura 2);

ligamos a origem de

ligamos a origem de aa com acom a extremidade de

extremidade de bb. . O O vetorvetor ss, assim, assim

A A B  B  4 cm 4 cm A A B  B  a a   b b   Figura 1 Figura 1 a a   b b   Figura 2 Figura 2 a a   b b   Figura 3 Figura 3 s s   s s   a a   b b   = = ++

F 

F Í Í S 

S I I C 

C A

A

AL 

A

L I  

I  L 

L E  

E  U  

U  

b) R2 AD c) R3 AB d) R4 AD e) R5 2AE f) R6 2AE 8. PROJEÇÕES DE UM VETOR 

Considere o vetor V representando pelo

segmento orientado AB e o eixo x. Sejam  A’ e B’ as

projeções ortogonais (perpendiculares) de A e B sobre o

eixo x. A B  A’ B’ x V  Vx  A B’ A’ x V  Vx  B

Chamemos de Vxa medida do segmento A’B’ com sinal:

+, se o sentido de A'B' concorda com o sentido de x;  –, se o sentido de A'B' é contrário ao sentido de x.

Vxé denominadocomponente do vetor  V no eixo 

x ou projeção de  V em x.

9. DECOMPOSIÇÃO DE UM VETOR 

A componente de um vetor, segundo uma direção, é a projeção (ortogonal) do vetor

naquela direção.

Considerando o plano cartesiano formado pelos eixos

x e y , A componente do vetor V segundo o eixo x , nada

mais é do que sua projeção ortogonal segundo este eixo e a componente deste mesmo vetor segundo o eixo y , é sua

projeção ortogonal segundo o eixoy (figura).

Estas componentes Vxe Vy, são denominadas

componentes retangulares do vetor V .

Para calcularmos os módulos destas componentes, utilizemos o triângulo0AB da figura anterior.

Lembrando que em um triângulo retângulo temos as relações: hipotenusa a oposto cateto sen  hipotenusa a adjacente cateto cos 

teremos, para o triângulo0AB da figura; V

V

sen y donde _Vy _V.sen V

V

cos_ x _{donde V V.cos} x

Estas relações nos permitem calcular os valores das componentes Vx e Vy quando conhecemos o módulo

do vetor V e o ângulo que ele forma com o eixo0X .

Por outro lado, se conhecermos os valores das componentesVx e Vy, o módulo do vetor Vpoderá ser

obtido pelo teorema de Pitágoras:

2 y 2 x 2 _{V V} V  

E 

E 

1. Determine o módulo das componentes retangulares do

vetor a de módulo 10 m, conforme as figuras abaixo.

a) 60o a  x y c) a  x y b) 30o a  x y d) a  x y

2. Um projétil é atirado com velocidade de 400 m/s fazendo

um ângulo de 45o _{com a horizontal. Determine os}

componentes vertical e horizontal da velocidade do projétil.

3. Um vetor velocidade é decomposto em dois outros, perpendiculares entre si. Sabendo que o módulo do vetor

x y 0 V  Vx  Vy  A B

F 

F Í Í S 

S I I C 

C A

A

AL 

A

L I  

I  L 

L E  

E  U  

U  

O resultado da operação v – t+u é o vetor:

a) _r+u c) r+s e) r

b) t+u d) 2u

22. (CEFET-PR) Quatro vetores a, b,

c e d de módulos iguais a 7

unidades cada um, assumem, numa

primeira situação, o aspecto

indicado no diagrama vetorial a seguir.

Numa segunda situação, invertemos

o sentido de um deles. a resultante, na primeira e na segunda situação, terá o módulo, respectivamente, igual a: a) 28 unidades e zero; b) zero e 14 unidades; c) zero e 7 unidades; d) 7 unidades e 28 unidades; e) zero e zero. 23. (ACAFE-SC) Analisando a figura abaixo, afirma-se que:

I. Q+R=P+S

II. Q –R=P –S

III. Q+R+U=S

IV.Q=R+T

A alternativa com afirmações verdadeiras é:

a) I e II c) I e III e) I e IV b) III e IV d) II e IV a  b  d  e  Q  S  R  P  T  U 