Lista de Exercícios – Integração Numérica
1) Nos exercícios abaixo, aproxime a integral utilizando (a) a Regra do Trapézio e (b) a Regra de Simpson. (Arredonde a resposta para três algarismos significativos.) a) 1 2 0 1−x dx n=8
∫
Regra do Trapézio: 1 0 1 8 8 b a x n − − ∆ = = = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 1 3 1 5 3 7 0, , , , , , , , 1 8 4 8 2 8 4 8 x = x = x = x = x = x = x = x = x =( )
0( )
1( ) ( )
1 ( ) 2 2 2 b n n a b a f x dx f x f x f x f x n − − ≈ + + + + ∫
…( )
( )
( )
( )
1 2 0 1 2 8 0 1 1 2 2 16 x dx f x f x f x f x − ≈ + + + + ∫
…[
]
1 2 0 1 1 1,000 1,984 1,936 1,854 1,732 1,561 1,323 0,968 0,000 16 x dx − ≈ + + + + + + + +∫
1 2 0 1−x dx≈0,772∫
Regra de Simpson:( )
0( )
1( )
2( )
3( ) ( )
1 ( ) 4 2 4 4 3 b n n a b a f x dx f x f x f x f x f x f x n − − ≈ + + + + + + ∫
…( )
( )
( )
( )
( ) ( )
1 2 0 1 2 3 7 8 0 1 1 4 2 4 4 24 x dx f x f x f x f x f x f x − ≈ + + + + + + ∫
…[
]
1 2 0 1 1 1,000 3,969 1,936 3,708 1,732 3,122 1,323 1,936 0,000 24 x dx − ≈ + + + + + + + +∫
1 2 0 1−x dx ≈0,780∫
b) 3 2 0 1 6 2 2− x+x dx n=
∫
Regra do Trapézio: 3 0 1 6 2 b a x n − − ∆ = = = 0 1 2 3 4 5 6 1 3 5 0, , 1, , 2, , 3 2 2 2 x = x = x = x = x = x = x =( )
0( )
1( ) ( )
1 ( ) 2 2 2 b n n a b a f x dx f x f x f x f x n − − ≈ + + + + ∫
…[
]
3 2 0 1 1 0,500 1,600 2,000 1,600 1,000 0,615 0,200 2 2− x+x dx≈ 4 + + + + + +∫
3 2 0 1 1,879 2 2− x+x dx≈∫
Regra de Simpson:( )
0( )
1( )
2( )
3( ) ( )
1 ( ) 4 2 4 4 3 b n n a b a f x dx f x f x f x f x f x f x n − − ≈ + + + + + + ∫
…( )
( )
( )
( )
( ) ( )
3 0 1 2 3 5 6 2 0 1 1 4 2 4 4 2 2− x+x dx ≈ 6f x + f x + f x + f x + + f x +f x ∫
…[
]
3 2 0 1 1 0,500 3,200 2,000 3,200 1,000 1,231 0,200 2 2− x+x dx ≈ 6 + + + + + +∫
3 2 0 1 1,888 2 2− x+x dx ≈∫
2) Aplique a fórmula do erro para determinar n tal que o erro na aproximação da integral definida seja inferior a 0,0001, utilizando (a) a Regra do Trapézio e (b) a Regra de Simpson em:
3 2 1 x e dx
∫
Regra do Trapézio: 1. Determinar ( )f x′′ . 2 ( ) x f x =e 2 ( ) 2 x f x′ = e 2 ( ) 4 x f x′′ = e 2. Achar o máximo de f x′′( ) em [ , ]a b .Como e é sempre crescente, o máximo de 2 x f x′′( ) se dará em 3 x = . Portanto, o máx f x′′( ) é igual a 4e . 6 3. Estabelecer a desigualdade
(
)
3 2 ( ) 12 b a E máx f x n − ′′ ≤ .(
)
3 6 6 6 2 2 2 3 1 8 8 4 4 12 12 3 e E e E e E n n n − ≤ ⋅ ⇒ ≤ ⋅ ⇒ ≤4. Para um erro inferior a
ε
, resolver em relação a n a desigualdade(
)
3 2 ( ) 12 b a máx f x n − ′′ < ε
6 2 6 2 8 0,0001 0,0003 8 3.279,95 3.280 3 e n e n n n < ⇒ > ⇒ > ⇒ =Regra de Simpson: 1. Determinar f( 4)( )x . 2 ( ) x f x =e 2 ( ) 2 x f x′ = e 2 ( ) 4 x f x′′ = e 2 ( ) 8 x f′′′ x = e ( 4) 2 ( ) 16 x f x = e 2. Achar o máximo de f( 4)( )x em [ , ]a b .
Como e2 x é sempre crescente, o máximo de f( 4)( )x se dará em
3
x = .
Portanto, o máx f( 4)( )x é igual a 16e . 6
3. Estabelecer a desigualdade
(
)
5 ( 4) 4 ( ) 180 b a E máx f x n − ≤ .(
)
5 6 6 6 6 4 4 4 3 1 32 128 16 16 180 180 45 e e E e E e E n n n − ≤ ⋅ ⇒ ≤ ⋅ ⇒ ≤4. Para um erro inferior a
ε
, resolver em relação a n a desigualdade(
)
5 ( 4) 4 ( ) 180 b a máx f x n − < ε
6 4 6 4 128 0,0001 0,0045 128 58,02 60 45 e n e n n n < ⇒ > ⇒ > ⇒ =3) Aplique a Regra de Simpson, com n=4, para determinar o volume do sólido gerado pela revolução, em torno do eixo x, da região delimitada pelos gráficos de
3 4, 0, e 4 y =x x+ y = x = Quando x =0⇒y =0
[ ]
2 ( ) b a V =π
∫
f x dx(
)
4 2 3 0 4 V =π
∫
x x+ dx(
)
4 2 2 3 0 4 V =π
∫
x x+ dx Regra do Trapézio: 4 0 1 4 b a x n − − ∆ = = = 0 0, 1 1, 2 2, 3 3, 4 4 x = x = x = x = x =( )
0( )
1( ) ( )
1 ( ) 2 2 2 b n n a b a f x dx f x f x f x f x n − − ≈ + + + + ∫
…(
)
( )
( )
( )
( ) ( )
4 2 2 3 0 1 2 3 4 0 1 4 2 2 2 2 x x+ dx ≈ ⋅ f x + f x + f x + f x +f x ∫
π
π
(
)
[
]
4 2 2 3 0 4 0,000 5,848 26,415 65,868 64,000 2 x x+ dx ≈ + + + +∫
π
π
(
)
4 2 2 3 0 4 254,67 x x+ dx ≈∫
π
4) Um corpo assimila um comprimido para resfriado com efeito em 12 horas, a uma taxa cujo modelo é
(
2)
8 ln 2 4 , 0 12 dC t t t dt = − − + ≤ ≤ onde dCdt é dada em gramas por hora e t é o tempo (em horas). Determine a quantidade total de remédio absorvida pelo corpo durante as 12 horas.
Supondo que desejássemos determinar o tamanho da amostra de tal forma que o erro fosse inferior a 0,001. Utilizando a regra do Trapézio, determinaremos o tamanho de n.
1. Determinar ( )f t′′ .
(
2)
( ) 8 ln 2 4 f t = − t − +t( )
2 2 1 ( ) 2 4 t f t t t − ′ = − − +(
)
(
) (
)
(
)
(
)
2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 4 ( ) 2 4 d d t t t t t t dt dt f t t t − + ⋅ − − − ⋅ − + ′′ = − − +(
)
(
) (
)
(
)
2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 ( ) 2 4 t t t t f t t t − + ⋅ − − ⋅ − ′′ = − − +(
) (
)
(
)
2 2 2 2 2 4 8 4 8 4 ( ) 2 4 t t t t f t t t − + − − + ′′ = − − +(
)
2 2 2 2 2 4 8 4 8 4 ( ) 2 4 t t t t f t t t − + − + − ′′ = − − +(
)
2 2 2 2 4 4 ( ) 2 4 t t f t t t − + + ′′ = − − +(
)
(
)
2 2 2 2 2 2 ( ) 2 4 t t f t t t − − ′′ = − +Verifique a existência de extremos relativos na expressão anterior pelo teste da derivada primeira, ou seja, f′′′ =( )t 0.
Portanto, o máx f′′(12) é igual a 1 12. 3. Estabelecer a desigualdade
(
)
3 2 ( ) 12 b a E máx f x n − ′′ ≤ .(
)
3 2 2 12 0 1 12 12 12 E E n n − ≤ ⋅ ⇒ ≤4. Para um erro inferior a
ε
, resolver em relação a n a desigualdade(
)
3 2 ( ) 12 b a máx f x n − ′′ < ε
2 2 2 12 0,001 0,001n 12 n 12.000,00 n 109,54 n < ⇒ > ⇒ > ⇒ =Basta dividirmos o intervalo dado em 110 subintervalos.
Com o uso de uma planilha eletrônica, dividiremos em 120 (múltiplo de 12 ) subintervalos:
