Matemática. Capítulo: Semelhança em Geometria. Relações métricas no triângulo retângulo. Antonio Abrantes. 9ª série

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Matemática

9ª série

Capítulo: Semelhança em

Geometria. Relações métricas

no triângulo retângulo

Antonio Abrantes

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Matemática 9º ano 2

Apresentação

Este é um trabalho com alguns temas em matemática que constam

da base currricular do Colégio Pedro II para o 9º ano. A ideia do

trabalho é oferecer um suporte adicional para os alunos poderem

manter seus estudos em matemática durante a pandemia.

O material é apresentado online na plataforma Google Meet duas

vezes por semana (https://meet.google.com/qmx-npai-mjp). Uma

apresentação resumida (não a versão online mas uma versão

offline) fica guardada no youtube

(

https://www.youtube.com/playlist?list=PLaw9P95vuAiOxF2jBH3

QvqbfGOwWGLlfT

). Os alunos dispoe também de um aplicativo

chamado QuizMath (ios, Android) onde podem realizar testes.

A preparação das aulas é feita

com base em livros didáticos do

nono ano e vídeos do youtube em

espacial os canais:

Aula Paraná:

https://www.youtube.com/watch?v=q7DBB

m6jYkU&list=PLnGI1S4-A8rseNIFHodv1TOhCU9qcojp6

Portal da Matemática OBMEP

https://www.youtube.com/watch?v=C0lKIg wc5nw&list=PL7RjLI0hJPfAx3HzRmhspfmH kN9LOZ7Up

Toda a Matemática

https://www.youtube.com/c/GustavoViegas curso/playlists

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Aula 12 – Relações

métricas no triângulo

retângulo

1ª Relação: catetos e hipotenusa

O ângulo (z) entre hc está marcado em abóbora. O ângulo entre hb será portanto 90-z e então o ângulo entre ba será o mesmo ângulo z como marcado em abóbora.

Usando a semelhança ABC e ABH podemos dizer que a/c = c/n logo c2_{= an .}

Usando a semelhança ABC e CAH temos a/b = b/m logo b2_{= am.}

1ª Relação - O quadrado da medida de cada cateto é igual ao produto da medida da hipotenusa pela medida da projeção ortogonal desse cateto sobre ela.

Calcule x:

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Calcule x

X2_{= 5.(5+15) = 5.20 = 100 logo x=10}

2ª Relação: altura

Calculando agora a altura h

ABH semelhante a CAH logo n/h = h/m ou seja h2_{= mn}

2ª Relação - O quadrado da medida da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das medidas das projeções ortogonais dos catetos sobre ela

Calcule h

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3ª Relação: catetos, hipotenusa e altura

Pela semelhança de ABC e BAH temos a/b = c/h logo bc = ah

3ª Relação - O produto das medidas dos catetos é igual ao produto da medida da hipotenusa pela medida da altura relativa à hipotenusa

Calcule a hipotenusa x

6.8 = x.(4,8) logo x = 10

Demonstração do teorema de Pitágoras

Da 2ª Relação temos b2 _{= am}

c2_{= an}

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Questões de concurso

[Saresp] Na figura ao lado temos Q1 e Q2 quadrados. Calcule a área do triângulo T a) 100

b) 76 c) 54 d) 48

Resposta: A hipotenusa de T mede 15 e um de seus catetos mede 12 logo o outro cateto mede 152_{= c}2_{+ 12}2_{logo c}2_{= 225 -144=81 logo c=9 A área do triângulo será}

base.altura/2 = produto dos dois catetos/2 = 9.12/2 = 54 Resposta c

[Unifor CE] Na figura tem-se um retângulo cujos lados medem 8 e 6. Os pontos M,N,P,Q são pontos médios. O perímetro do quadrilátero MNPQ é

a)20 b)24 c)32 d)36 e)52

Resposta: a hipotenusa MQ mede MQ2 = (8/2)2_{+ (6/2)}2_{= 16 + 9 = 25 logo MQ=5}

O perímetro MNPQ será 4.5 = 20

[UFPE] Quanto mede a altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos medem 15 e 20 ?

Resposta: a hipotenusa a mede a2_{= 15}2_{+ 20}2_{= 225 + 400 = 625 logo a=25}

Então bc = ah logo 15.20 = 25.h logo h = 12

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Questões (Aula 12):

1) Calcule a altura h

2) Calcule o diâmetro da circunferência ?

3) É possível colocar um lápis de 18 cm num estojo retangular de 12cm por 15 cm ?

4) No triângulo ABC a medida do ângulo A é 90 e AD é a altura relativa ao lado BC, Se m=BD, n=DC e L=25mn então quanto vale L ?

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5) As medidas em centímetros dos três lados de um triângulo retângulo são expressas por (x-2), x e (x+2). A medida, em centímetros, da hipotenusa desse triângulo vale quanto ?

6) A medida da altura relativa à hipotenusa de um triângulo é 12cm e um dos segmentos determinados por essa altura sobre a hipotenusa mede 9cm. Quanto medem os catetos ?

7) O cateto de um triângulo retângulo e a porjeção desse cateto sobre a hipotenusa medem 1cm e (raiz5)/5 respectivamente. Quanto mede a hipotenusa ?

8) Se em um triângulo os lados medem 9,12 e 15 cm então a altura relativa ao maior lado mede quanto ?

9) Em um triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa mede 12cm e a diferença entre as medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa é de 7cm. Quanto mede a hipotenusa desse triângulo ?

10) No triângulo retângulo temos AB=12cm e AC=9cm. Se o ponto D divide AB na razão de 2 para 1 então a razão entre os perímetros do

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Bons estudos !

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Matemática 9º ano 10 Respostas Aula 12 1. Calcule a altura h (2raiz7)2 _{= 8.n} Logo n = 4.7/8 = 3,5 Então m = 8 – 3,5 = 4,5 H2_{= mn = (3,5)(4,5) = 15,75 logo h = 3,97}

2. Qual o diâmetro da circunferência ?

O ângulo A é de 90 graus por ABC estar inscrito numa circunferência passando pelo raio. Portanto h2_{= mn ou seja 3 = x(x+2) ou x}2_{+ 2x – 3 = 0 delta = 4 – 4.1(-3) = 16 logo 2x = -2}

± 4 então x = 1 pois x não pode assumit valores negativos

3. É possível colocar um lápis de 18 cm num estojo retangular de 12cm por 15 cm ? A hipotenusa desse estojo mede a2 _{= 12}2_{+ 15}2_{= 144 + 225 = 369 logo a=19,20 como o}

lápis tem 18 cm então tem espaço para colocar na diagonal

4. No triângulo ABC a medida do ângulo A é 90 e AD é a altura relativa ao lado BC, Se m=BD, n=DC e L=25.m.n então quanto vale L ?

Por Pitagoras BC2_{= 4}2_{+ 3}2_{= 16 + 9 = 25 logo BC=5}

Temos AB2_{= BD.BC ou seja 4}2_{= m.5 =16 logo m=16/5}

32_{= n.5 = 9 logo n=9/5 então L=25mn =25(16/5)(9/5) = 16.9 = 144}

5. As medidas em centímetros dos três lados de um triângulo retângulo são expressas por (x-2), x e (x+2). A medida, em centímetros, da hipotenusa desse triângulo vale quanto ? A hipotenusa é o maior lado (x+2)2_{= (x-2)}2_{+ x}2_{logo x}2 _{+4x + 4= x}2 _{-4x + 4 + x}2 _{então x}2

-8x = 0 logo x=0 , x=8 porem x=0 teria um lado negativo logo só admite como resposta x=8 , a hipotenusa terá x+2 = 10

6. A medida da altura relativa à hipotenusa de um triângulo é 12cm e um dos segmentos determinados por essa altura sobre a hipotenusa mede 9cm. Quanto medem os catetos ?

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Temos h2_{= mn logo 12}2_{= BD.9 então BD=144/9=16}

AB2_{= BD.BC = 16.25 logo AB=20}

AC2_{= DC.BC = 9.25 logo AC=15}

7. O cateto de um triângulo retângulo e a porjeção desse cateto sobre a hipotenusa medem 1cm e (raiz5)/5 respectivamente. Quanto mede a hipotenusa ?

AB2 = BD.BC logo 12_{= BC((raiz5)/5) logo BC = 5/(raiz5) = raiz5}

8. Se em um triângulo os lados medem 9,12 e 15 cm então a altura relativa ao maior lado mede quanto ?

Este é um triângulo 3,4,5 porque temos 3x3, 4x3 e 5x3 porque é retângulo. O maior lado é a hipotenusa que vale 15. A altura é dada por h2_{= m.n onde 9}2_{= m.15 e no outro cateto 12}2

= n.15 então h2_{= (9}2_/15).(122_{/15) então h = 9.12/15 = 7.2}

9. Em um triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa mede 12cm e a diferença entre as medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa é de 7cm. Quanto mede a hipotenusa desse triângulo ?

H2_{= mn = 144 então m(m-7)=144 logo m}2_{– 7m -144 =0 delta =}

49-4.1.(-144)=49+576=625 logo 2m=7±25 então m= 16 e então n = 9 a hipotenusa mede m+n=25 10. No triângulo retângulo temos AB=12cm e AC=9cm. Se o ponto D divide AB na razão de 2

para 1 então a razão entre os perímetros do quadrilátero ADEC e o triângulo DBE nessa ordem é igual a quanto ?

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Se ABC é retângulo entao a hipotenusa BC2_{= AC}2_{+ AB}2_{logo BC}2 _{= 81+144=225 logo}

BC=15. Se D divide AD=2x w DB=x então 3x = AB=12 logo x=4 entao AD=8 e DB=4 por semelhança temos DB/AB=DE/AC logo 4/12=DE/9 logo DE=3 Por semelhança

DE/AC=BE/BC logo 3/9 = BE/15 logo BE=5 entao CE=15-5=10 O perímetro de ADEC será = 8+3+10+9=30 O perímetro DBE será = 4+5+3=12 a razão procurada é 30/12=5/2