Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Apostila Preparat´

oria

para o

Vestibular Vocacionado UDESC

Aline Felizardo Gol¸calves

Andr´

e Alexandre Silveira

Andr´

e Antˆ

onio Bernardo

C´

esar Manchein

Fl´

abio Esteves Cordeiro

Gisele Maria Leite Dalmˆ

onico

Marcio Rodrigo Loos

Priscila Fischer

Ricardo Fernandes da Silva

Sidinei Schaefer

Professores

Luciano Camargo Martins

Coordenador

Nossa Apostila

A edi¸c˜ao dessa apostila, concretiza os esfor¸cos feitos desde o ano de 2003, quando os alunos do antigo Curso de Licenciatura Plena em F´ısica da UDESC mobilizaram-se por for¸ca e von-tade pr´opria no desenvolvimento e apresenta¸c˜ao de um Curso Pr´e-Vestibular aberto `a comunidade, gratuito, que preparasse melhor os alunos interessados nos cursos oferecidos pelo Centro de Ciˆencias Tecnol´ogicas (CCT) da UDESC-Joinville.

Essa primeira tentativa de implantar o Curso Pr´e-Vestibular n˜ao chegou a se realizar, por raz˜oes puramente burocr´aticas, apesar dos esfor¸cos gastos na prepara¸c˜ao das aulas e do mate-rial did´atico inicial.

Nos anos seguintes, a id´eia original foi abra¸cada por um projeto de extens˜ao oficial, e s´o ent˜ao pode ser realizado com sucesso, j´a tendo atendido milhares de alunos desde ent˜ao.

Adaptada ao vestibular vocacionado da UDESC, esperamos que esse material seja suficiente para a revis˜ao dos conte´udos exigidos pela Universidade.

Convidamos a todos para que visitem o nosso site!

Nosso Endere¸co na Internet

http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

Joinville-SC, 29 de agosto de 2007 Professor Luciano Camargo Martins Coordenador da Home Page Mundo F´ısico e-Mail: dfi2lcm@joinville.udesc.br

Sum´

ario

F´ISICA

1

Mecˆ

anica – Aula 1: Grandezas F´ısicas

Mecˆ

anica – Aula 2: Algarismos Significativos

Mecˆ

anica – Aula 3: Grandezas Escalares e Vetoriais

Mecˆ

anica – Aula 4: A Primeira Lei de Newton

Mecˆ

anica – Aula 5: A Segunda Lei de Newton

Mecˆ

anica – Aula 6: Energia

Mecˆ

anica – Aula 7: Energia Potencial

Mecˆ

anica – Aula 8: Trabalho e Energia Potencial

Mecˆ

anica – Aula 9: Dinˆ

amica do Movimento Circular

Mecˆ

anica – Aula 10: Quantidade de Movimento

Mecˆ

anica – Aula 11: Impulso e Momento

Mecˆ

anica – Aula 12: Conserva¸c˜

ao da Quantidade de Movimento

Mecˆ

anica – Aula 13: Colis˜

oes

Mecˆ

anica – Aula 14: Lei da A¸c˜

ao e Rea¸c˜

ao

Mecˆ

anica – Aula 15: For¸ca de Atrito

Gravita¸c˜

ao – Aula 1: As Leis de Kepler

Gravita¸c˜

ao – Aula 2: Gravita¸c˜

ao Universal

Gravita¸c˜

ao – Aula 3: Peso

Gravita¸c˜

ao – Aula 4: Centro de Gravidade

´

Otica – Aula 1: ´

Otica

´

Otica – Aula 2: Espelhos Esf´

ericos

´

Otica – Aula 3: Refra¸c˜

ao da Luz

´

Otica – Aula 4: Lentes Esf´

ericas

´

Otica – Aula 5: ´

Otica da Vis˜

ao

Fluidos – Aula 1: Fluidos

Fluidos – Aula 2: Hidrost´

atica

Cinem´

atica – Aula 1: Cinem´

atica

Cinem´

atica – Aula 2: Movimento Uniforme (MU)

Cinem´

atica – Aula 3: Movimento Uniformemente Variado (MUV)

Cinem´

atica – Aula 4: Queda Livre

Cinem´

atica – Aula 5: Movimento Circular Uniforme (MCU)

Ondas – Aula 1: Ondas

Ondas – Aula 2: Ondas

Ondas – Aula 3: Ondas e Interferˆ

encia

Ondas – Aula 4: Som

Ondas – Aula 5: Efeito Doppler

Termodinˆ

amica – Aula 1: Termodinˆ

amica

Termodinˆ

amica – Aula 2: Dilata¸c˜

ao T´

ermica

Termodinˆ

amica – Aula 3: Transforma¸c˜

oes Gasosas

Termodinˆ

amica – Aula 4: Lei de Avogrado

Termodinˆ

amica – Aula 5: Modelo Molecular de um G´

as

Termodinˆ

amica – Aula 6: Calor e Temperatura

Termodinˆ

amica – Aula 7: Capacidade T´

ermica (C)

Termodinˆ

amica – Aula 8: Primeira Lei da Termodinˆ

amica

Termodinˆ

amica – Aula 9: M´

aquinas T´

ermicas

Termodinˆ

amica – Aula 10: Mudan¸cas de Fase

Termodinˆ

amica – Aula 11: Sublima¸c˜

ao e Diagrama de Fases

Eletricidade – Aula 1: Carga El´

etrica

Eletricidade – Aula 2: Eletrosc´

opio de Folhas

Eletricidade – Aula 3: Campo El´

etrico

Eletricidade – Aula 4: Potencial El´

etrico

Eletricidade – Aula 5: Superf´ıcies Equipotenciais

Eletricidade – Aula 6: Condutores em Equil´ıbrio

Eletricidade – Aula 7: Capacidade El´

etrica

Eletricidade – Aula 8: Associa¸c˜

ao de Capacitores

Eletricidade – Aula 9: Corrente El´

etrica

Eletricidade – Aula 10: Resistˆ

encia Equivalente

Eletricidade – Aula 11: Instrumentos de Medida

QU´IMICA

125

Qu´ımica – Aula 1: Estrutura Atˆ

omica

Qu´ımica – Aula 2: Modelos Atˆ

omicos

Qu´ımica – Aula 3: Liga¸c˜

oes Qu´ımicas

Qu´ımica – Aula 4: Liga¸c˜

oes Qu´ımicas

Qu´ımica – Aula 5: A Estrutura da Mat´

eria

Qu´ımica – Aula 6: Teoria Cin´

etica dos Gases

Qu´ımica – Aula 7: ´

Acidos e Bases

Qu´ımica – Aula 8: Solu¸c˜

oes Qu´ımicas

Qu´ımica – Aula 9: Equil´ıbrio Iˆ

onico

Qu´ımica B – Aula 1: O que ´

e Qu´ımica?

Qu´ımica B – Aula 2: Mat´

eria e Energia

Qu´ımica B – Aula 3: Metais, Semi-metais e Ametais

Qu´ımica B – Aula 4: Propriedades Peri´

odicas

Qu´ımica B – Aula 5: Liga¸c˜

oes Qu´ımicas

Qu´ımica B – Aula 6: Liga¸c˜

oes Qu´ımicas

Qu´ımica B – Aula 7: Equa¸c˜

oes e Rea¸c˜

oes Qu´ımicas

Qu´ımica B – Aula 8: Equa¸c˜

oes e Rea¸c˜

oes (II)

Qu´ımica B – Aula 9: Solu¸c˜

oes Qu´ımicas

Qu´ımica B – Aula 10: Fun¸c˜

oes Qu´ımicas

Qu´ımica B – Aula 11: Propriedades Coligativas

Qu´ımica B – Aula 12: Eletroqu´ımica

Qu´ımica Orgˆ

anica – Aula 1: Introdu¸c˜

ao `

a Qu´ımica Orgˆ

anica

Qu´ımica Orgˆ

anica B – Aula 2: Nomenclatura

MATEM ´

ATICA

Matem´

atica A – Aula 1: Rela¸c˜

oes e Fun¸c˜

oes

Matem´

atica A – Aula 2: Fun¸c˜

oes Polinomiais

Matem´

atica A – Aula 3: Fun¸c˜

oes Especiais

Matem´

atica A – Aula 4: Fun¸c˜

oes Especiais (II)

Matem´

atica A – Aula 5: Polinˆ

omios

Matem´

atica A – Aula 6: Equa¸c˜

oes Alg´

ebricas

Matem´

atica A – Aula 7: Geometria Anal´ıtica

Matem´

atica A – Aula 9: Circunferˆ

encia

Matem´

atica A – Aula 10: Circunferˆ

encia - II

Matem´

atica B – Aula 1: Matrizes

Matem´

atica B – Aula 2: Opera¸c˜

oes com Matrizes

Matem´

atica B – Aula 3: Determinantes

Matem´

atica B – Aula 4: Sistemas Lineares

Matem´

atica B – Aula 5: Discuss˜

ao de um Sistema Linear

Matem´

atica B – Aula 6: Progress˜

ao Aritm´

etica

Matem´

atica B – Aula 7: Progress˜

ao Geom´

etrica (PG)

Matem´

atica C – Aula 1: Teoria dos Conjuntos

Matem´

atica C – Aula 2: Conjuntos Num´

ericos

Matem´

atica C – Aula 3: N´

umeros complexos (C)

Matem´

atica C – Aula 4: Raz˜

oes e Propor¸c˜

oes

Matem´

atica C – Aula 5: Regras de Trˆ

es Simples e Composta

Matem´

atica C – Aula 6: Juros e Porcentagens

Matem´

atica C – Aula 7: An´

alise Combinat´

oria

Matem´

atica C – Aula 8: Arranjo, Combina¸c˜

ao e Permuta¸c˜

ao

Matem´

atica C – Aula 9: Binˆ

omio de Newton

Matem´

atica C – Aula 10: Probabilidade

Matem´

atica C – Aula 11: Inequa¸c˜

oes

Matem´

atica C – Aula 12: Equa¸c˜

oes Trigonom´

etricas

Matem´

atica C – Aula 13: Introdu¸c˜

ao `

a Geometria

Matem´

atica C – Aula 14: Triˆ

angulos

Matem´

atica C – Aula 15: Quadril´

ateros

Matem´

atica C – Aula 16: Circunferˆ

encia

Matem´

atica C – Aula 17: Pol´ıgonos e Figuras Planas

Matem´

atica C – Aula 18: Retas e Planos

Matem´

atica C – Aula 19: Poliedros

Matem´

atica C – Aula 20: Prismas

L´INGUA PORTUGUESA

L´ıngua Portuguesa – 01: Variantes Ling¨

u´ısticas

L´ıngua Portuguesa – 02: Acentua¸c˜

ao Gr´

afica

L´ıngua Portuguesa – 03: Concordˆ

ancia Nominal

L´ıngua Portuguesa – 04: Concordˆ

ancia Verbal

L´ıngua Portuguesa – 06: Crase

L´ıngua Portuguesa – 07: Interpreta¸c˜

ao de Textos

L´ıngua Portuguesa – 08: Sinˆ

onimos, Antˆ

onimos e etc.

HIST ´

ORIA

287

Hist´

oria – Aula 1: Hist´

oria de Santa Catarina

Grade de Respostas (PARCIAL)

291

Referˆ

encias Bicliogr´

aficas

F´ısica

Mecˆ

anica

Aula 1

Grandezas F´ısicas

Apesar de existirem muitas grandezas f´ısicas, s˜ao estabelecidos padr˜oes e definidas unidades para que tenhamos um n´umero m´ınimo de grandezas denominadas fundamentais. Utilizando as grandezas fundamentais definem-se unidades para todas as demais grandezas, as chamadas grandezas derivadas.

A partir de uma das grandezas fundamentais, o comprimento por exemplo, cuja unidade ´e o metro (m), pode-se definir as unidades derivadas, como ´area (m2_{) e volume (m}3_{). Utilizando}

o metro e outra grandeza fundamental, a de tempo, definem-se as unidades de velocidade (m/s) e acelera¸c˜ao (m/s2_).

Sistema Internacional(SI)

At´e o final do s´eculo XV III era muito grande a quantidade de padr˜oes existentes. Cada regi˜ao escolhia arbitrariamente as suas unidades. Por motivos hist´oricos, os pa´ıses de l´ıngua inglesa utilizam at´e hoje os seus padr˜oes regionais. O elevado aumento nos intercˆambios econˆomicos e culturais levou ao sur-gimento do Sistema Internacional de Unidades ou SI, o sistema m´etrico.

Grandeza Unidade S´ımbolo comprimento metro m massa quilograma kg tempo segundo s corrente el´etrica amp`ere A temperatura kelvin K quantidade de mat´eria mol mol intensidade luminosa candela cd

Tabela 1.1: Unidades fundamentais do SI.

Em 1971, a 14a_{Conferˆencia Geral de Pesos e Medidas escolheu}

sete grandezas como fundamentais, formando assim a base do SI. Al´em das grandezas, definiu-se tamb´em os s´ımbolos, uni-dades derivadas e prefixos. A tabela 1.1 mostra as uniuni-dades fundamentais do SI. A tabela 1.2 apresenta algumas unidades derivadas do SI.

Nota¸c˜

ao Cient´ıfica

A medida de uma determinada grandeza f´ısica pode resultar em um n´umero que seja extremamente grande ou extrema-mente pequeno, por exemplos temos:

• distˆancia da Terra `a Lua: 384.000.000 m.

Grandeza Unidade S´ımbolo ´

area metro qua-drado

m2

volume metro c´ubico m3

densidade quilograma por metro c´ubico

kg/m3

velocidade metro por se-gundo

m/s acelera¸c˜ao metro por

segundo ao quadrado

m/s2

for¸ca newton N = Kg m/s2

press˜ao pascal P a = N/m2

trabalho, energia, calor joule J

potˆencia watt W = J/s carga el´etrica coulomb C = As diferen¸ca de potencial volt V = J/C resistˆencia el´etrica ohm Ω = V /A

Tabela 1.2: Algumas unidades derivadas do SI. Prefixo S´ımbolo Potˆencia de dez

correspondente pico p 10−12 nano n 10−9 micro µ 10−6 mili m 10−3 centi c 10−2 deci d 10−1 deca D 101 hecto H 102 quilo k 103 mega M 106 giga G 109 tera T 1012

Tabela 1.3: Prefixos, s´ımbolos e potˆencias de dez. • diˆametro de um ´atomo de hidrogˆenio: 0, 0000000001 m. Para manipular tais n´umeros, utilizamos a nota¸c˜ao cient´ıfica, fazendo uso das potˆencias de 10.

O m´odulo de qualquer n´umero g pode ser escrito como um produto de uma mantissa a, entre um e dez, por outro, que ´e uma potˆencia de dez:

g = a_{× 10}n, onde devemos ter 1_{≤ a < 10.} Exemplos

• 243 = 2, 43 × 100 = 2, 43 × 102

• 5.315 = 5, 315 × 1000 = 5, 315 × 103

• 0, 00024 = 2, 4 × 0, 0001 = 2, 4 × 10−4

• 0, 00458 = 4, 58 × 0, 001 = 4, 58 × 10−3

Regra Pr´atica

• N´umeros maiores que 1: deslocamos a v´ırgula para a esquerda, at´e atingir o primeiro algarismo do n´umero. O n´umero de casas deslocadas para a esquerda corresponde ao expoente positivo da potˆencia de 10.

• N´umeros menores do que 1: deslocamos a v´ırgula para a direita, at´e o primeiro algarismo diferente de zero. O n´umero de casas deslocadas para a direita corresponde ao expoente negativo da potˆencia de 10.

Pense um Pouco!

• Quais s˜ao as unidades de Peso e de massa? por que elas n˜ao s˜ao iguais?

• Um analg´esico deve ser inserido na quantidade de 3 mg/kg de massa corporal, mas a dose administrada n˜ao pode ex-ceder 200 mg. Cada gota cont´em 5 mg do rem´edio. Quan-tas goQuan-tas devem ser prescriQuan-tas a um paciente de 80 kg?

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜

ao

1. (UENF-RJ) A tabela abaixo mostra as dimens˜oes e as unidades, no sistema internacional,

Grandeza Dimens˜ao Unidades SI Comprimento L m (metro) Massa M kg (quilograma) Tempo T s (segundo) das grandezas mecˆanicas prim´arias:

a) Sabendo que for¸ca = massa· acelera¸c˜ao, expresse a unidade de for¸ca em unidades de grandezas prim´arias.

b) Determine os valores de n e p, se a express˜ao M Ln_Tn−p

corresponde `a dimens˜ao de energia cin´etica.

2. (FGV-SP) A dimens˜ao de potˆencia em fun¸c˜ao das grande-zas fundamentais, massa (M ), comprimento (L) e tempo (T ) ´e: a) M L2_T−2 b) M L2_T−1 c) M L2_T2 d) M L2_T−3 e) M LT−2

3. (Unifor-CE) Considerando que cada aula dura 50 min, o intervalo de tempo de duas aulas seguidas, expresso em segun-dos, ´e de:

a) 3, 0_{× 10}2_. b) 3, 0_{× 10}3_. c) 3, 6_{× 10}3_. d) 6, 0_{× 10}3_. e) 7, 2× 103_.

Exerc´ıcios Complementares

4. (UFPI) A nossa gal´axia, a Via L´actea, cont´em cerca de 400 bilh˜oes de estrelas. Suponha que 0, 05% dessas estrelas possuam um sistema planet´ario onde exista um planeta seme-lhante `a Terra. O n´umero de planetas semelhantes `a Terra, na Via L´actea, ´e:

a) 2× 104_.

b) 2× 106_.

c) 2× 108_.

d) 2× 1011_.

e) 2_{× 10}12_.

5. Transforme em quilˆometros: a) 3600 m; b) 2.160.000 cm; c) 0, 03 m; d) 5.780 dm; e) 27.600 m; f) 5.800 mm;

6. (Unifor-CE) Um livro de F´ısica tem 800 p´aginas e 4, 0 cm de espessura. A espessura de uma folha do livro vale, em mil´ımetros: a) 0, 025. b) 0, 050. c) 0, 10. d) 0, 15. e) 0, 20.

7. Escreva os seguintes n´umeros em nota¸c˜ao cient´ıfica: a) 570.000 b) 12.500 c) 50.000.000 d) 0, 0000012 e) 0, 032 f) 0, 72 g) 82_{× 10}3 h) 640_{× 10}5 i) 9.150_{× 10}−3 j) 200_{× 10}−5 k) 0, 05_{× 10}3 l) 0, 0025× 10−4

Mecˆ

anica

Aula 2

Algarismos Significativos

A precis˜ao de uma medida simples depende do instrumento utilizado em sua medi¸c˜ao. Uma medida igual a 2, 00 cm n˜ao deve ser escrita como 2, 0 cm ou 2 cm.

Denominamos algarismos significativos todos os algarismos co-nhecidos com certeza, acompanhados de um ´ultimo duvidoso, que expressam o valor da medida de uma grandeza, ou seja: to-dos os algarismos que representam a medida de uma grandeza s˜ao algarismos significativos, sendo chamados de corretos, com exce¸c˜ao do ´ultimo, que recebe o nome de algarismo duvidoso. O algarismo duvidoso de uma medida ser´a sublinhado para destac´a-lo, quando for preciso.

Exemplos

1. A medida 2, 35 cm apresenta trˆes algarismos significativos (2, 3 e 5), sendo dois algarismos corretos (2 e 3) e um algarismo duvidoso (5).

2. A medida 0, 00057 mm apresenta somente dois algaris-mos significativos ( 5 e 7), sendo um correto (5) e um duvidoso (7). Observe que os zeros `a esquerda n˜ao s˜ao algarismos significativos, pois servem apenas para posi-cionar a v´ırgula no n´umero. Nesse caso, ´e aconselh´avel escrever a medida em nota¸c˜ao cient´ıfica: 5, 7× 10−4_mm.

3. A medida 150, 00 km apresenta cinco algarismos significa-tivos, sendo os quatro primeiros corretos, e o ´ultimo zero ´e o algarismo duvidoso. Em nota¸c˜ao cient´ıfica escrevemos: 1, 5000× 102 _{km. Note que ao escrevermos um n´umero}

usando as potˆencias de 10 mantemos a quantidade de al-garismos significativos deste n´umero, ou seja, mantemos sua precis˜ao.

4. Considere a medida do comprimento de uma haste com r´egua com divis˜oes em cent´ımetros:

0 cm 1 2 3 4 5 6 7

Qual das op¸c˜oes abaixo melhor representa o comprimento da haste? a) 5, 0 cm b) 5, 40 cm c) 5 cm d) 5, 5 cm e) 5, 2 cm 5. Considere a figura: 0 cm 1 2 3 4 5 6 7

A mesma haste do exemplo anterior, medida agora com uma r´egua milimetrada:

a) 5, 2 cm b) 5, 240 cm c) 5, 45 cm d) 5, 24 cm e) 5, 21 cm

6. Indique o n´umero de algarismos significativos de cada n´umero abaixo:

a) 7, 4 2 significativos b) 0, 0007 1 significativo c) 0, 034 2 significativos d) 7, 40_{× 10}−10 _{3 significativos}

Crit´

erios de Arredondamento

Considere a velocidade da luz c = 2, 9979 . . .× 108_m/s.

Como devemos proceder para escrever “c” com um n´umero me-nor de algarismos significativos? Devemos utilizar os crit´erios de arredondamento. Podemos escrever: c = 2, 998_{× 10}8_{m/s 4 significativos} c = 3, 00_{× 10}8_{m/s 3 significativos} c = 3, 0_{× 10}8_{m/s 2 significativos}

REGRAS

• Se o algarismo a ser eliminado ´e menor que 5, ele ´e sim-plesmente eliminado.

Exemplo: √2 = 1, 41421 . . . = 1, 414

• Se o algarismo a ser eliminado ´e igual ou maior que 5, ele ´e eliminado, mas acrescentamos uma unidade no algarismo anterior.

Exemplo: π = 3, 1415926 . . . = 3, 1416

Opera¸c˜

oes com Algarismos Significativos

Adi¸c˜ao e Subtra¸c˜ao

O resultado da adi¸c˜ao e subtra¸c˜ao de dois n´umeros n˜ao pode ter maior n´umero de casas decimais, do que a parcela mais pobre (em casas decimais). Procede-se a opera¸c˜ao normal-mente e arredonda-se o resultado.

Exemplos

• 5, 3 m + 4, 38 m = 9, 68 m = 9, 7 m • 138, 95 m − 12, 3 m = 126, 65m = 126, 7 m

Sublinhamos o algarismo duvidoso, identificando-o, para a se-guir procedermos o arredondamento.

Multiplica¸c˜ao e Divis˜ao

O resultado de uma multiplica¸c˜ao e divis˜ao n˜ao pode ter maior n´umero de algarismos significativos do que o fator mais pobre (em algarismos significativos). Procede-se a opera¸c˜ao normalmente e arredonda-se o resultado.

Exemplos

• 4, 23 m × 2, 0 m = 8, 46 m2_{= 8, 5 m}2

• 4, 98 cm ÷ 2, 0 s = 2, 49 cm/s = 2, 5 cm/s

Rela¸c˜

oes entre Grandezas F´ısicas

Muitos fenˆomenos f´ısicos podem ser reduzidos ao estudo da rela¸c˜ao entre duas grandezas. Quando isto ocorre, os dados ob-tidos das medi¸c˜oes podem ser expressos por uma representa¸c˜ao gr´afica num plano cartesiano por meio de dois eixo perpendi-culares entre si.

Atrav´es da representa¸c˜ao gr´afica da rela¸c˜ao entre duas grande-zas pertencentes a um determinado fenˆomeno f´ısico, podemos obter algumas conclus˜oes sobre o comportamento de uma das

grandezas (vari´avel dependente) em rela¸c˜ao a outra (vari´avel independente).

Consideremos o seguinte exemplo: Uma pessoa com febre foi medicada, ingerindo uma dose do medicamento `as 8 horas e uma outra dose `as 12 horas da manh˜a. A temperatura da pessoa foi verificada de hora em hora e os resultados obtidos s˜ao mostrados abaixo. Tempo (h) Temperatura (◦_C) 0 39,0 1 39,0 2 38,5 3 38,0 4 38,5 5 37,5 6 37,0 7 36,5 8 36,5 9 36,5

Podemos representar os dados da tabela acima em um gr´afico. A representa¸c˜ao gr´afica das vari´aveis temperatura (vari´avel de-pendente: eixo vertical) e tempo (vari´avel independente: eixo horizontal) est´a mostrada na Fig. 1.1.

35.0 36.0 37.0 38.0 39.0 40.0 0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 T(oC) t(h)

Figura 1.1: Gr´afico da temperatura em fun¸c˜ao do tempo O gr´afico cartesiano mostrado anteriormente, al´em de facilitar a visualiza¸c˜ao do comportamento da temperatura da pessoa durante as 9 horas de observa¸c˜ao, permite tamb´em, algumas conclus˜oes.

Como Construir um Gr´

afico

Para que gr´aficos sejam constru´ıdos de forma objetiva e clara ´e necess´ario respeitar algumas regras simples:

• O eixo vertical ´e chamado de eixo das abscissas e o hori-zontal de eixo das coordenadas;

• a vari´avel dependente deve ser colocada no eixo vertical e a vari´avel independente no eixo horizontal;

• os eixos devem se encontrar no canto inferior esquerdo do papel, ou espa¸co (retˆangulo) reservado para o gr´afico;

• as escalas s˜ao independentes e devem ser constru´ıdas in-dependentemente;

• as divis˜oes num´ericas das escalas (lineares) devem ser re-gulares;

• o valor zero (0) n˜ao precisa estar em nenhuma das escalas; • as escalas devem crescer da esquerda para a direita, e de

baixo para cima;

• antes de iniciar a constru¸c˜ao de um gr´afico dese ve-rificar a escala a ser usada levando em considera¸c˜ao os valores extremos, ou seja, o maior e o menor valor assu-mido por ambas as vari´aveis do gr´afico. Divide-se ent˜ao o espa¸co dispon´ıvel, em cada eixo, para que acomode todos os pontos experimentais;

• o teste final para saber se as escalas est˜ao boas ´e feito verificando-se se ´e f´acil de ler as coordenadas de qualquer ponto nas escalas.

Pense um Pouco!

• A fun¸c˜ao da posi¸c˜ao x em rela¸c˜ao ao tempo t de um ponto material em movimento retil´ıneo, expressa em unidades do SI, ´e

x = 10 + 5, 0t Determine:

a) a posi¸c˜ao do ponto material no instante 5, 0 s;

b) o instante em que a posi¸c˜ao do ponto material ´e x = 50 m;

c) esboce o gr´afico x× t do movimento.

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜

ao

1. Determine o comprimento de cada haste:

a) 0 cm 1 2 3 4 5 6 7 b) 0 cm 1 2 3 4 5 6 7 c) 0 cm 1 2 3 4 5 6 7 d) 0 cm 1 2 3 4 5 6 7 e) 0 cm 1 2 3 4 5 6 7 f) 0 cm 1 2 3 4 5 6 7

2. (UFSE) A escala de uma trena tem, como menor divis˜ao, o mil´ımetro. Essa trena ´e utilizada para se medir a distˆancia

entre dois tra¸cos paralelos, muito finos, feitos por um estilete sobre uma superf´ıcie plana e lisa. Considerando que n˜ao houve erro grosseiro, o resultado de uma s´o medi¸c˜ao, com o n´umero correto de algarismos significativos, ´e mais bem representado por: a) 2 m b) 21 dm c) 214 cm d) 2, 143 m e) 2.143, 4 m

Exerc´ıcios Complementares

3. (Cesgranrio) Um estudante deseja medir o comprimento de sua mesa de trabalho. N˜ao dispondo de r´egua, decide utilizar um toco de l´apis como padr˜ao de comprimento. Verifica ent˜ao que o comprimento da mesa equivale ao de 13, 5 tocos de l´apis. Chegando ao col´egio, mede com uma r´egua o comprimento do seu toco de l´apis, achando 8, 9 cm. O comprimento da mesa ser´a corretamente expresso por:

a) 120, 15 cm b) 120, 2 cm c) 1× 102_cm

d) 1, 2_{× 10}2_cm

e) 102_cm

4. (PUC-MG) Um estudante concluiu, ap´os realizar a medida necess´aria, que o volume de um dado ´e 2, 36 cm3_{. Levando-se}

em conta os algarismos significativos, o volume total de cinco dados, idˆenticos ao primeiro, ser´a corretamente expresso por: a) 6, 8 cm3

b) 7 cm3

c) 13, 8 cm3

d) 16, 80 cm3

e) 17, 00 cm3

5. Medindo a espessura de um caderno comum de 100 folhas, sem considerar as capas, um estudante obteve a medida de 1, 0 cm. A ordem de grandeza da espessura m´edia de uma folha ´e: a) 10−1_mm b) 10−2_mm c) 10−3_mm d) 10−4_mm e) 10−5_mm

Mecˆ

anica

Aula 3

Grandezas Escalares e Vetoriais

Na F´ısica tratamos de dois tipos principais de grandezas: as grandezas escalares e grandezas vetoriais.

Grandezas Escalares

A grandeza escalar ´e aquela que fica perfeitamente carac-terizada quando conhecemos apenas sua intensidade acom-panhada pela correspondente unidade de medida. Como

exemplos de grandeza f´ısica escalar podemos citar a massa de um corpo (por exemplo, 50 kg), a temperatura (por exem-plo 36o_{C), o volume (5 m}3_{, por exemplo), a densidade (para}

a ´agua, 1000 kg/m3_{), a press˜ao (10}5 _N/m2_{), a energia (por}

exemplo 100 J) e muitas outras.

Para operar com grandezas escalares, segue-se as regras de opera¸c˜oes alg´ebricas comuns, arredondando-se quando ne-cess´ario.

Grandezas Vetoriais

Dada a velocidade instantˆanea de um m´ovel qualquer (por exemplo, um avi˜ao a 380 km/h), constatamos que apenas essa indica¸c˜ao ´e insuficiente para dizermos a dire¸c˜ao em que o m´ovel segue. Isso acontece porque a velocidade ´e uma grandeza vetorial.

Para uma grandeza f´ısica vetorial ficar totalmente caracteri-zada, ´e necess´ario saber n˜ao apenas a sua intensidade ou m´odulo mas tamb´em a sua dire¸c˜ao e o seu sentido. Geral-mente a grandeza vetorial ´e indicada por uma letra com uma setinha (por exemplo, ~v) e o m´odulo ou intensidade, por|~v| ou simplesmente por v.

A grandeza f´ısica vetorial pode ser representada graficamente por um segmento de reta (indicando a dire¸c˜ao da grandeza) dotado de uma seta (indicativa de seu sentido) e trazendo ainda seu valor seguido da unidade de medida (indica¸c˜ao de seu m´odulo ou intensidade). Tal representa¸c˜ao ´e denominada vetor.

No exemplo anterior do avi˜ao, poder´ıamos dizer, por exemplo, que ele se movimenta num certo instante com velocidade ~v, de m´odulo v = 380 km/h, na dire¸c˜ao norte-sul e sentido de sul para norte. Essa velocidade vetorial instantˆanea pode ser representada por um vetor, como mostra a figura 1.1.

N

S

O L

380 km/h

Figura 1.1: Exemplo de representa¸c˜ao vetorial

Como afirmamos anteriormente, para representar grandezas vetoriais ´e preciso indicar, al´em do m´odulo, a dire¸c˜ao e o sen-tido da grandeza. Podemos fazer essa indica¸c˜ao utilizando um vetor (veja a figura 1.2). O vetor pode ser representado por um segmento de reta orientado cujo tamanho - intensidade - ´e proporcional `a intensidade da grandeza que representa. Para melhor entendermos o significado e a representa¸c˜ao de um vetor, observe a figura 1.3.

Na figura de cima os vetores representados possuem mesma dire¸c˜ao e sentido; na figura de baixo os vetores apresentam a mesma dire¸c˜ao e sentidos opostos. Portanto, podemos notar que vetores de mesma dire¸c˜ao s˜ao paralelos, o que n˜ao garante que tenham o mesmo sentido.

S

Figura 1.2: A reta s, que cont´em o vetor, indica a dire¸c˜ao e a seta indica o sentido

a

b _d

a b

c

Figura 1.3: Representa¸c˜ao de alguns vetores

Soma de Vetores Paralelos

Quando os vetores tem a mesma dire¸c˜ao, podemos determi-nar o m´odulo do vetor soma estabelecendo convencionalmente um sentido como positivo e somando algebricamente os seus m´odulos. Observe:

a

c

b

c

b

a

d

Figura 1.4: De acordo com a conven¸c˜ao adotada, o m´odulodo vetor ser´a d = a + b− c.

Os vetores ~a, ~b e ~c possuem a mesma dire¸c˜ao (horizontal). Adotamos como positivo o sentido horizontal para a direita. Assim, os vetores ~a e ~b s˜ao positivos e o vetor ~c ´e negativo. O m´odulo do vetor soma, ~d, ´e dado por

d = a + b_{− c}

Se obtermos um valor positivo para ~d, isso significa que seu sentido ´e positivo, ou seja, o vetor ´e horizontal para a direita; se for negativo, o seu sentido ´e negativo, isto ´e, o vetor ´e hori-zontal para a esquerda.

Vetores Perpendiculares

Imaginaremos agora, que um m´ovel parte de um ponto A e so-fre um deslocamento ~d1no sentido leste, atingindo um ponto B

e, em seguida, um deslocamento ~d2no sentido norte, atingindo

um ponto C (veja a figura 1.5)

d₁ d d₂ S O L N B A C

Figura 1.5: O deslocamento ~d equivale aos deslocamentos ~d1 e

~

d2. Portanto ~d = ~d1 + ~d2.

Podemos notar facilmente que o deslocamento ~d1, de A para

B, e o ~d2, de B para C, equivalem a um ´unico deslocamento, ~d,

de A para C. Desta forma, o deslocamento ~d ´e a soma vetorial ou resultante dos deslocamentos ~d1 e ~d2, ou seja,

~

d = ~d1+ ~d2

Este resultado ´e v´alido para qualquer grandeza vetorial. Veja a figura 1.6.

a c

b b

Figura 1.6: O vetor ~c ´e a resultante ou soma vetorial de ~a e ~b. Os vetores ~a e ~b tem como vetor soma resultante o vetor ~c. ´E crucial notar que a coloca¸c˜ao do vetor ~b na origem ou na extre-midade do vetor ~a n˜ao altera o vetor soma ~c. Deve-se observar que os vetores ~a, ~b e ~c formam um triˆangulo retˆangulo, em que ~c ´e a hipotenusa ~a e ~b s˜ao catetos. Para obtermos o m´odulo do vetor resultante, basta aplicar o teorema de Pit´agoras:

c2= a2+ b2 Soma de Vetores

A soma de vetores perpendiculares entre si ou de dire¸c˜oes quaisquer n˜ao apresenta muita diferen¸ca. Para um m´ovel, par-tir de A e atingir B num deslocamento ~d1e, em seguida, atingir

C num deslocamento ~d2equivale a partir de A e atingir C num

deslocamento ~d (veja figura 1.7). Desta forma, ~

d = ~d1+ ~d2

Na determina¸c˜ao do m´odulo do vetor ~d resultante, n˜ao po-demos aplicar o teorema de Pit´agoras, tendo em vista que o

d d₂ d₁ A C B

Figura 1.7: O deslocamento ~d equivale aos deslocamentos ~d1e

~ d2.

ˆ

angulo entre ~d1e ~d2n˜ao ´e reto (90o). Assim, aplicamos a regra

do paralelogramo, como mostra a figura 1.8.

Os vetores ~a e ~b formam um paralelogramo cuja diagonal ´e o vetor resultante ~c. De acordo com a regra do paralelogramo, se ~a e ~b formam entre si um ˆangulo α, o m´odulo do vetor resultante ~c ser´a dado pela express˜ao:

c2= a2+ b2+ 2ab· cos α Decomposi¸c˜ao de Vetores

Ao somarmos dois vetores, podemos obter um ´unico vetor, o vetor resultante, equivalente aos dois vetores somados. Ao decompormos dois vetores, realizamos um processo inverso. Dado um vetor ~a, obt´em-se outros dois vetores ~axe ~ay tal que

~

ax+ ~ay= ~a (veja a figura 1.9).

O vetor ~ay pode ser deslocado para a extremidade do vetor

~ax de tal forma que o vetor ~a e seus vetores componentes ~ax

e ~ay formem um triˆangulo retˆangulo (figura 1.10). Aplicando

a trigonometria ao triˆangulo retˆangulo, podemos determinar o m´odulo dos componentes ~ax (horizontal) e ~ay (vertical) de ~a

em fun¸c˜ao do ˆangulo α. Desta forma, no triˆangulo hachurado da figura 1.10, temos

cos α = cateto adjacente

hipotenusa ⇒ cos α = ax

a ax= a· cos α

onde ax´e o m´odulo da componente horizontal ~axdo vetor ~a.

Temos ainda

sin α = cateto oposto

hipotenusa ⇒ sin α = ~ay

a ay= a· sin α

onde ay ´e o m´odulo da componente vertical ~ay do vetor ~a.

Podemos relacionar o m´odulo do vetor e o m´odulo de seus componentes ortogonais, aplicando o teorema de Pit´agoras no triˆangulo formado por ~a e seus componentes ~ax e ~ay:

a2= a2x+ a2y

Pense um Pouco!

• Qual a condi¸c˜ao para que a soma de dois vetores seja nula? • O m´odulo da soma de dois vetores pode ser igual `a soma

de seus m´odulos? Quando?

• O m´odulo de um vetor pode ser negativo? Por quˆe?

c b c a b a α α α α

Figura 1.8: A diagonal do paralelogramo, cujos lados s˜ao os vetores ~a e ~b, ´e o vetor resultante ~c. Podemos deslocar o vetor ~b para outra extremidade de ~a, reproduzindo a figura anterior.

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜

ao

1. Um m´ovel desloca-se 120 m no sentido oeste-leste, e em seguida, 50 m no sentido norte-sul.

a) Represente esquematicamente esses deslocamentos. b) Determine o m´odulo do deslocamento resultante.

2. Na figura, F1 = F2 = 100 N . Determine o m´odulo da

resultante de F1 e F2. Dado: cos(120◦) =−0, 50.

F₁ F₂

120o

3. Um proj´etil ´e atirado com velocidade de 400 m/s fazendo um ˆangulo de 45◦_{com a horizontal. Determine os componentes}

a a_x a_y α x y

Figura 1.9: O vetor ~a pode ser decomposto em um componente horizontal, ~ax, e outro vertical, ~ay.

a

a_y a_y

a_x

α

Figura 1.10: O vetor ~a e seus componentes ~ax e ~ay formam

um triˆangulo retˆangulo, onde ~a ´e a hipotenusa e ~ax e ~ay s˜ao

os catetos.

Exerc´ıcios Complementares

4. Na figura abaixo est˜ao representadas duas for¸cas: ~F1, de

m´odulo F1 = 5, 0 N e ~F2, de m´odulo F2 = 3, 0 N , formando

entre si um ˆangulo α = 60◦_{. Determine a for¸ca resultante ~F} R

para o sistema de for¸cas mostrado.

F

F

α = 60

5. Um vetor velocidade ´e decomposto em dois outros, perpen-diculares entre si. Sabendo que o m´odulo do vetor ´e 10, 0 m/s e que um dos componentes tem m´odulo igual a 8, 0 m/s, deter-mine o m´odulo do vetor correspondente ao outro componente.

6. Um proj´etil ´e lan¸cado do solo segundo uma dire¸c˜ao que forma 53o com a horizontal com uma velocidade de 200 m/s (veja a figura a seguir). Determine o m´odulo dos componen-tes horizontal, ~vx, e vertical, ~vy, dessa velocidade. Dados:

sin(53◦_{) = 0, 80 e cos(53}◦_{) = 0, 60}

v

α = 53

7. Um avi˜ao voa no sentido sul-norte com uma velocidade de 900 km/h. Num determinado instante passa a soprar um forte vento com velocidade 50 km/h, no sentido sudoeste-nordeste. a) Fa¸ca um esquema gr´afico representando a velocidade do avi˜ao e do vento.

b) Determine o m´odulo da velocidade resultante. Dado: cos(45◦_{) = 0, 71.}

Mecˆ

anica

Aula 4

A Primeira Lei de Newton

O Conceito de For¸ca

Geralmente utilizamos uma for¸ca com o objetivo de empur-rar, puxar ou levantar objetos. Essa id´eia ´e correta, por´em incompleta. A id´eia de puxar ou empurrar est´a quase sempre associada a id´eia de contato, o que exclui uma caracter´ıstica fundamental da no¸c˜ao de for¸ca: a a¸c˜ao `a distˆancia. A atra¸c˜ao gravitacional entre o Sol e a Terra, por exemplo, ´e exercida a milh˜oes de quilˆometros de distˆancia.

A palavra for¸ca n˜ao possui uma defini¸c˜ao ´unica, expressa em palavras. A F´ısica moderna admite a existˆencia de quatro ti-pos de for¸ca na natureza, chamadas mais adequadamente de intera¸c˜oes: gravitacional, eletromagn´etica, e as for¸cas nuclea-res forte e fraca.

Em rela¸c˜ao ao estudo dos movimentos e de suas causas, pode-se dizer que for¸ca ´e a a¸c˜ao capaz de modificar a velocidade de um corpo.

Como muitas outras grandezas em F´ısica, a for¸ca ´e uma gran-deza vetorial, ou seja, possui m´odulo dire¸c˜ao e sentido. Pode-mos resumir, ent˜ao a defini¸c˜ao de for¸ca da seguinte forma:

For¸ca ´e uma grandeza vetorial que caracteriza a a¸c˜ao de um corpo sobre outro e que tem como efeito a deforma¸c˜ao ou a altera¸c˜ao da

velocidade do corpo sobre o qual ela est´a sendo aplicada.

A Primeira Lei de Newton

Figura 1.1: Isaac Newton (1642-1727).

Antes de falarmos da Primeira Lei de Newton, devemos pen-sar em uma pergunta: “o que acontece com o movimento de um corpo livre de qualquer for¸ca?” Essa pergunta pode ser respondida em duas partes. A primeira trata do efeito da ine-xistˆencia de for¸cas sobre o corpo em repouso: se nenhuma for¸ca atua sobre o corpo em repouso, ele continua em repouso. A segunda parte trata do efeito da inexistˆencia de for¸cas sobre o corpo em movimento: se nenhuma for¸ca atua sobre o corpo em movimento, ele continua em movimento.

Mas que tipo de movimento? J´a que n˜ao existem for¸cas atu-ando sobre o corpo, sua velocidade n˜ao varia de m´odulo ou dire¸c˜ao. Desta forma, o ´unico movimento poss´ıvel do corpo na ausˆencia de qualquer for¸ca atuando sobre ele ´e o movimento retil´ıneo uniforme.

A Primeira Lei de Newton re´une as duas respostas anteriores em um ´unico enunciado:

Todo corpo tende a manter seu estado de re-pouso ou de movimento retil´ıneo e uniforme, a menos que for¸cas externas provoquem va-ria¸c˜ao na sua velocidade.

De acordo com a primeira Lei de Newton, podemos afirmar que na ausˆencia de for¸cas, todo corpo tende a ficar como est´a: parado se estiver parado, em movimento retil´ıneo uniforme, se estiver em movimento (retil´ıneo uniforme). Por este motivo essa lei tamb´em ´e chamada de Princ´ıpio da In´ercia.

O que ´

e In´

ercia?

Todos os corpos apresentam a tendˆencia de se manter em re-pouso ou em movimento retil´ıneo uniforme. Essa propriedade dos corpos ´e chamada in´ercia. A palavra in´ercia ´e derivada do latim inertia, que significa indolˆencia ou pregui¸ca. Os corpos tˆem uma esp´ecie de resistˆencia `as modifica¸c˜oes de sua veloci-dade.

Equil´ıbrio de uma Part´ıcula

Dizemos que uma part´ıcula se encontra em equil´ıbrio, quando a resultante das for¸cas atuando sobre ela for nula. Se a resultante ´e nula, n˜ao ocorre altera¸c˜ao na velocidade do objeto. Assim,se ele estiver em repouso, chamamos o equil´ıbrio de est´atico; se

Figura 1.2: Ao parar bruscamente, o cavaleiro continua seu movimento pra frente...

ele estiver em movimento retil´ıneo e uniforme, o equil´ıbrio ser´a chamado de dinˆamico.

Pense um Pouco!

• Qual a rela¸c˜ao entre a Primeira Lei de Newton e o cinto de seguran¸ca? e o encosto para a cabe¸ca no banco do carro? • Por que quando um ˆonibus freia repentinamente, os pas-sageiros s˜ao “arremessados” para a frente? e o que ocorre quando o ˆonibus ´e acelerado?

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜

ao

1. (UFMG) Um corpo de massa m est´a sujeito `a a¸c˜ao de uma for¸ca ~F que o desloca segundo um eixo vertical em sentido contr´ario ao da gravidade. Se esse corpo se mover com veloci-dade constante ´e porque:

a) a for¸ca ~F ´e maior do que a da gravidade. b) a for¸ca resultante sobre o corpo ´e nula. c) a for¸ca ~F ´e menor do que a gravidade.

d) a diferen¸ca entre os m´odulos das for¸cas ´e diferente de zero. e) a afirma¸c˜ao da quest˜ao est´a errada, pois qualquer que seja

~

F o corpo estar´a acelerado porque sempre existe a acelera¸c˜ao da gravidade.

2. (UNESP-SP) Assinale a alternativa que representa o enun-ciado da Lei da In´ercia, tamb´em conhecida como primeira Lei de Newton.

a) Qualquer planeta gira em torno do Sol descrevendo uma ´

orbita el´ıptica, da qual o Sol ocupa um dos focos.

b) Dois corpos quaisquer se atraem com uma for¸ca proporcio-nal ao produto de suas massas e inversamente proporcioproporcio-nal ao quadrado da distˆancia entre eles.

c) Quando um corpo exerce uma for¸ca sobre outro, este re-age sobre o primeiro com uma for¸ca de mesma intensidade e dire¸c˜ao, mas de sentido contr´ario.

d) A acelera¸c˜ao que um corpo adquire ´e diretamente propor-cional `a resultante das for¸cas que nele atuam, e tem mesma dire¸c˜ao e sentido dessa resultante.

e) Todo corpo continua em seu estado de repouso ou de mo-vimento uniforme em uma linha reta, a menos que sobre ele estejam agindo for¸cas com resultante n˜ao nula.

3. (UNESP-SP) As estat´ısticas indicam que o uso do cinto de seguran¸ca deve ser obrigat´orio para prevenir les˜oes mais graves em motoristas e passageiros no caso de acidentes. Fisicamente, a fun¸c˜ao do cinto est´a relacionada com a:

a) primeira Lei de Newton. b) lei de Snell.

c) lei de Amp`ere. d) lei de Ohm.

e) primeira Lei de Kepler.

Exerc´ıcios Complementares

4. (Unitau-SP) Uma pedra gira em torno de um apoio fixo, presa por uma corda. Em um dado momento, corta-se a corda. Pela Lei da In´ercia, conclui-se que:

a) a pedra se mant´em em movimento circular.

b) a pedra sai em linha reta, segundo a dire¸c˜ao perpendicular `

a corda no instante do corte.

c) a pedra sai em linha reta, segundo a dire¸c˜ao da corda no instante do corte.

d) a pedra p´ara.

e) a pedra n˜ao tem massa.

5. (Ucsal-BA) Uma mesa, em movimento uniforme retil´ıneo, s´o pode estar sob a a¸c˜ao de uma:

a) for¸ca resultante n˜ao-nula na dire¸c˜ao do movimento. b) ´unica for¸ca horizontal.

c) for¸ca resultante nula. d) for¸ca nula de atrito.

e) for¸ca vertical que equilibre o peso.

6. (Fiube-MG) Uma part´ıcula se desloca ao longo de uma reta com acelera¸c˜ao nula. Nessas condi¸c˜oes, podemos afirmar corretamente que sua velocidade escalar ´e:

a) nula.

b) constante e diferente de zero. c) inversamente proporcional ao tempo. d) diretamente proporcional ao tempo.

e) diretamente proporcional ao quadrado do tempo.

Mecˆ

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Aula 5

A Segunda Lei de Newton

´

E muito comum encontrarmos a defini¸c˜ao de massa de um corpo da seguinte maneira: “a massa de um corpo representa a quantidade de mat´eria que ele possui”. Em cursos elementa-res de ciˆencias, esta defini¸c˜ao pode ser aceita como uma id´eia inicial da no¸c˜ao de massa, embora n˜ao possa ser considerada uma defini¸c˜ao precisa dessa grandeza. De fato, a defini¸c˜ao apresentada n˜ao ´e adequada, pois pretende definir um novo conceito – massa – por meio de uma id´eia vaga, que n˜ao tem significado f´ısico preciso – quantidade de mat´eria.

Experimentalmente os f´ısicos constataram que entre a for¸ca F aplicada a um corpo e a acelera¸c˜ao a, que ele adquire, existe uma propor¸c˜ao direta. Desta forma, o quociente F/a ´e cons-tante para um certo objeto. Este quociente, que ´e intr´ınseco a

cada corpo, foi denominado pelos f´ısicos de massa do corpo. Desta forma, podemos afirmar:

A massa m de um corpo ´e o quociente entre o m´odulo da for¸ca que atua num corpo e o valor da acelera¸c˜ao a que ela produz neste corpo. Assim,

m = F a

No sistema internacional (SI), a unidade para medida de massa ´e o quilograma:

1 quilograma = 1 kg = 1000 g

Massa e In´

ercia

Suponhamos que uma for¸ca F foi aplicada a trˆes corpos de massa diferentes, como trˆes blocos de ferro, com volumes di-versos. Imaginaremos que a superf´ıcie na qual estes blocos est˜ao apoiados n˜ao apresenta atrito. Analisando a equa¸c˜ao m = F/a, percebemos facilmente que:

- Quanto maior m→ menor a

- Quanto maior m→ maior a dificuldade de alterar a veloci-dade do corpo.

Podemos concluir que

Quanto maior ´e a massa de um corpo, maior ser´a sua in´ercia (dificuldade de ter sua velo-cidade alterada), isto ´e, a massa representa a medida de in´ercia de um corpo.

As conclus˜oes anteriormente, explicam porque um caminh˜ao vazio (quando sujeito a uma for¸ca F) adquire uma acelera¸c˜ao maior do que quando esta cheio, por exemplo.

A Segunda Lei de Newton

De acordo com o princ´ıpio da in´ercia, um corpo s´o pode sair de seu estado de repouso ou de movimento retil´ıneo com velo-cidade constante se sobre ele atuar uma for¸ca resultante ex-terna. Neste momento, poder´ıamos perguntar: “O que acon-tece se existir uma for¸ca resultante externa agindo no corpo?” Nesta situa¸c˜ao, o corpo fica sujeito a uma acelera¸c˜ao, ou seja, um corpo sujeito a uma for¸ca resultante externa movimenta-se com velocidade vari´avel.

0 0 1 1 0 0 1 1

F

0000000000000

0000000000000

1111111111111

1111111111111

E f´acil perceber que, se quisermos acelerar um corpo, por exemplo, desde o repouso at´e 30 km/h em um intervalo de tempo de 30 s, a intensidade da for¸ca que teremos de aplicar depender´a da massa do corpo. Se, por exemplo, o corpo for um carro, ´e evidente que a for¸ca necess´aria ser´a muito menor do

que se tratasse de um caminh˜ao. Desta forma, quanto maior a massa do corpo, maior dever´a ser a intensidade da for¸ca necess´aria para que ele alcance uma determinada acelera¸c˜ao. Foi Isaac Newton quem obteve essa rela¸c˜ao entre massa e for¸ca, que constitui a segunda lei de Newton ou princ´ıpio fun-damental da dinˆamica. Temos, ent˜ao que

A acelera¸c˜ao de um corpo submetido a uma for¸ca resultante externa ´e inversamente pro-porcional `a sua massa, e diretamente propor-cional a intensidade da for¸ca.

Assim, para uma dada for¸ca resultante externa F, quanto maior a massa m do corpo tanto menor ser´a a acelera¸c˜ao a adquirida. Matematicamente, a segunda lei de Newton ´e dada por:

~ F = m~a

Esta equa¸c˜ao vetorial imp˜oe que a for¸ca resultante e a ace-lera¸c˜ao tenham a mesma dire¸c˜ao e o mesmo sentido. No SI a unidade de for¸ca ´e o newton ou (N ):

1 N = 1 kg_{· m/s}2

Por defini¸c˜ao, o newton ´e a for¸ca que produz uma acelera¸c˜ao de 1 m/s2_{quando aplicada em uma massa de 1 kg.}

Diagrama de Corpo Livre

Antes de resolver qualquer problema de dinˆamica, ´e de fun-damental importˆancia a identifica¸c˜ao de todas as for¸cas rele-vantes envolvidas no problema. Para facilitar a visualiza¸c˜ao destas for¸cas, isola-se cada corpo envolvido e desenha-se um diagrama de corpo livre ou diagrama de for¸cas para cada corpo, que ´e um esquema simplificado envolvendo todas as massas e for¸cas do problema.

Por exemplo, se um bloco escorrega, descendo um plano incli-nado com atrito, teremos o seguinte diagrama de corpo livre para o bloco:

m

N

F

_at

P

θ

Figura 1.1: Diagrama de corpo livre para um bloco escorre-gando num plano inclinado.

Observe

Nesse exemplo, o bloco ´e tratado como uma part´ıcula, por sim-plifica¸c˜ao, n˜ao sendo relevante suas dimens˜oes ou o ponto de aplica¸c˜ao das for¸cas, colocadas todas no seu centro geom´etrico, por conveniˆencia. Desprezou-se a for¸ca de empuxo do ar, a for¸ca de resistˆencia viscosa ao movimento do bloco, tamb´em causada pelo ar, e outras for¸cas irrelevantes ao problema.

Pense um Pouco!

• ´E muito comum nos depararmos com a situa¸c˜ao na qual um carro e um caminh˜ao est˜ao emparelhados aguardando o sinal verde do sem´aforo. Vocˆe sabe por quˆe, quando o sinal fica verde, o carro quase sempre sai na frente, apesar de o caminh˜ao ter um motor mais possante?

• Se o peso de um corpo ´e proporcional `a sua massa, ent˜ao podemos afirmar que todos os corpos ter˜ao a mesma ace-lera¸c˜ao, em queda livre?

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜

ao

1. Na figura abaixo os blocos A, B e C est˜ao sobre um plano horizontal sem atrito.

B

A

Sendo F = 20 N , ma = 3, 0 kg, mb = 8, 0 kg e mc = 9, 0 kg,

determine:

a) a acelera¸c˜ao do conjunto;

b) a tra¸c˜ao nos fios (TAB entre A e B e TBC, entre B e C).

Admitir a massa dos fios desprez´ıvel.

2. (Uneb-BA) Um elevador de 500 kg de massa sobe acelerado a 2 m/s2_{. Considerando g = 10 m s}2_{, a tra¸c˜ao no cabo que o}

sustenta, ´e de: a) 6000 N b) 5000 N c) 4000 N d) 3000 N e) 2000 N

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜

ao

3. No conjunto da figura abaixo, o bloco A tem massa 0, 50 kg. O bloco B, de massa 4, 5 kg, est´a sobre o plano sem atrito.

A

F

B C

Admitindo g = 10 m/s2 _{e o fio inextens´ıvel de massa}

des-prez´ıvel como a massa da polia, determine: a) a acelera¸c˜ao do conjunto;

b) a tra¸c˜ao no fio.

4. No conjunto da figura abaixo, temos mA = 1, 0 kg, mB =

2, 0 kg e mC = 2, 0 kg. O bloco B se ap´oia num plano sem

atrito. S˜ao desprez´ıveis as massas da polia e do fio, que ´e inextens´ıvel.

B

A C

Admitindo g = 10 m/s2_{, determine:}

a) a acelera¸c˜ao do conjunto;

b) a tra¸c˜ao TAB entre os blocos A e B;

c) a tra¸c˜ao TBC entre os blocos B e C.

5. Na figura, a for¸ca F tem intensidade 90 N . Despreze os atritos e as in´ercias do fio e da roldana. Quais os valores da acelera¸c˜ao do conjunto e da for¸ca que traciona o fio?

4 kg

6 kg F

6. (UEL-PR) Os trˆes corpos, A, B e C, representados na figura tˆem massas iguais, m = 3, 0 kg

A

B

C

O plano horizontal, onde se ap´oiam A e B, n˜ao fornecem atrito, a roldana tem massa desprez´ıvel e a acelera¸c˜ao local da gravi-dade pode ser considerada g = 10 m/s2_{. A tra¸c˜ao no fio que}

une os blocos A e B tem m´odulo: a) 10 N

b) 15 N c) 20 N d) 25 N e) 30 N

7. (U. F. Lavras-MG) Um bloco de peso igual a 50 N encontra-se sobre uma balan¸ca no piso de um elevador. Se o elevador sobe com acelera¸c˜ao igual, em m´odulo, `a metade da acelera¸c˜ao da gravidade local, pode-se afirmar que a leitura da balan¸ca: a) ser´a de 25 N

b) permanece inalterada c) ser´a de 75 N

d) ser´a de 100 N e) ser´a de 200 N

Mecˆ

anica

Aula 6

Energia

A energia se apresenta de diversas formas na natureza. Por exemplo os alimentos que nos proporcionam energia qu´ımica, a combust˜ao da gasolina libera energia t´ermica, energia el´etrica ´e utilizados em diversos aparelhos, transformando-se em energia sonora, energia luminosa, etc. Para medir a quantidade de energia transferida de um corpo para outro vamos introduzir o conceito de trabalho.

Trabalho

O significado da palavra trabalho, na F´ısica, ´e diferente do seu significado habitual, empregado na linguagem comum. O tra-balho, na F´ısica ´e sempre relacionado a uma for¸ca que desloca uma part´ıcula ou um corpo. Dizemos que uma for¸ca F realiza trabalho quando atua sobre um determinado corpo que est´a em movimento. A partir dessa descri¸c˜ao podemos dizer que s´o h´a trabalho sendo realizado se houver deslocamento, caso contr´ario o trabalho realizado ser´a nulo. Assim, se uma pes-soa sustenta um objeto, sem desloc´a-lo, ela n˜ao est´a realizando nenhum trabalho sobre o corpo.

Quando uma for¸ca F atua sobre um corpo no mesmo sentido de seu movimento (ou deslocamento) ela est´a favorecendo o movimento desse corpo, considera-se positivo o trabalho reali-zado pela for¸ca.

Uma For¸ca Constante

Quando a for¸ca F atua no sentido contr´ario ao movimento do corpo, contra o movimento (deslocamento), o trabalho reali-zado pela for¸ca ´e considerado negativo.

d

F F

Desta maneira podemos escrever que trabalho W realizado por uma for¸ca horizontal constante, durante um deslocamento horizontal d ´e:

W =_{±F d} (1.1) onde F ´e o m´odulo da for¸ca constante e d ´e o deslocamento (em m´odulo). O sinal + ´e usado quando a for¸ca e o desloca-mento possuem o mesmo sentido, e o sinal_{−, quando possuem} sentidos contr´arios.

Importante

Observe que o trabalho ´e uma grandeza escalar, apesar de ser definida a partir de dois vetores (F e d).

Unidades

1 kJ = 103J

Quando a for¸ca for aplicada ao corpo formando um ˆangulo φ com a horizontal, temos a seguinte f´ormula mais geral:

W = F d cos φ (1.2) onde F ´e o m´odulo da for¸ca constante, d ´e o deslocamento (em m´odulo) e φ o ˆangulo entre os vetores F e d, ou seja, entre a dire¸c˜ao da for¸ca e o deslocamento.

F F

φ φ

d

Podemos tamb´em calcular o trabalho W realizado pela for¸ca F atrav´es da ´area sob a curva do gr´afico F_{× x:}

F

O

x

_X

Area = Trabalho

W _{≡ ´}Area sob a curva

Observe que neste caso deveremos descobrir o sinal do trabalho atrav´es da an´alise do gr´afico, e do sentido relativo entre a for¸ca e o deslocamento (ou do ˆangulo φ).

Uma For¸ca Vari´

avel

0 gr´afico abaixo representa a a¸c˜ao de uma for¸ca vari´avel que age sobre um corpo, provocando um deslocamento linear, desde o ponto x′ _{at´e o ponto x}′′_.

x

x

F(x )

F(x )

O

_X

Neste caso, o trabalho pode ser determinado pela ´area sob a curva, desenhando-se o gr´afico em papel quadriculado, ou de forma aproximada pela ´area de um trap´ezio:

W = F d = F

′′_{+ F}′

2 

(x′′− x′₎

Observe que essa f´ormula considera a for¸ca m´edia (aproxi-mada) multiplicada pelo deslocamento.

Tipos de For¸cas

Existem diversos tipos de for¸cas que podem atuar em um corpo: for¸ca el´astica, for¸ca peso, for¸ca el´etrica, for¸ca de con-tato, etc...

Potˆ

encia

P

Consideramos duas pessoas que realizam o mesmo trabalho. Se uma delas levar um tempo menor que a outra para a realiza¸c˜ao desse trabalho, tem de fazer um esfor¸co maior e, por tanto, dizemos que desenvolveu uma potˆencia maior.

Figura 1.1: James Watt (1736-1819)

Um carro ´e mais potente que o outro quando ele “arranca”mais r´apido e atinge uma dada velocidade num intervalo de tempo menor do que o outro carro..

Um aparelho de som ´e mais potente que o outro quando ele ele transforma mais energia el´etrica em sonora num menor intervalo de tempo. Uma m´aquina ´e caracterizada n˜ao s´o pelo trabalho que ela efetua, mas pelo trabalho que pode efetuar em determinado tempo.

Ent˜ao podemos concluir que potˆencia ´e o trabalho realizado durante um determinado tempo, ou seja:

P = W/t

Em alguns casos, pode-se escrever W = F d e, substituindo na equa¸c˜ao acima temos

P = W_t = F dt

t = F v . j´a que v = d/t.

Unidade de Potˆencia

1 J/s = 1 watt = 1 W

Energia cin´

etica

Para variar a velocidade de um corpo em movimento ´e preciso o concurso de for¸cas externas, as quais realizam certo trabalho. Esse trabalho ´e uma forma de energia que o corpo absorve (ou perde) pelo fato de estar em movimento em rela¸c˜ao a um dado sistema de referˆencia.

Chamamos essa energia de movimento de energia de cin´etica. Para uma part´ıcula de massa m e velocidade v a energia cin´etica ´e:

Ec= 1

2mv

2

Teorema Trabalho-Energia

Suponhamos que FR seja a resultante das for¸cas que atuam

sobre uma part´ıcula de massa m. O trabalho dessa resultante ´e igual `a diferen¸ca entre o valor final e o valor inicial da energia cin´etica da part´ıcula: W = ∆Ec= 1 2mv 2 f − 1 2mv 2 i

Esse enunciado, conhecido como teorema do trabalho-energia indica que o trabalho da resultante das for¸cas que atua sobre uma part´ıcula modifica sua energia cin´etica.

Pense um Pouco!

• Que trabalho realizamos sobre um corpo que ´e levantado a uma determinada altura? Esse trabalho seria positivo ou negativo?

• Se vocˆe pudesse segurar um elefante a uma determinada altura, vocˆe estaria realizando trabalho? Por quˆe? • Um menino puxa um carrinho sem rodas, por um

bar-bante.

1. H´a algum trabalho sendo realizado sobre o carrinho? Por quˆe? O trabalho ´e positivo ou negativo.

2. O menino desenvolve alguma potˆencia? Por quˆe? 3. O carrinho tem energia cin´etica? Por quˆe?

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜

ao

1. (ESAL-MG) Um homem est´a em repouso com um caixote tamb´em em repouso `as costas.

a) Como o caixote tem um peso, o homem est´a realizando trabalho.

b) O homem est´a realizando trabalho sobre o caixote pelo fato de o estar segurando

c) O homem est´a realizando trabalho pelo fato de estar fazendo for¸ca.

d) O homem n˜ao realiza trabalho pelo fato de n˜ao estar se deslocando.

e) O homem n˜ao realiza trabalho pelo fato de o caixote estar sujeito `a acelera¸c˜ao da gravidade.

2. (UFSE) Um corpo est´a sendo arrastado por uma superf´ıcie horizontal com atrito, em movimento uniforme. Considere as afirma¸c˜oes a seguir: I. O trabalho da for¸ca de atrito ´e nulo. II. O trabalho da for¸ca peso ´e nulo. III. A for¸ca resultante que arrasta o corpo ´e nula. Dentre as afirma¸c˜oes:

a) ´E correta a I, somente. b) ´E correta a II, somente. c) ´E correta a III, somente. d) S˜ao incorretas I, II, III. e) S˜ao corretas II e III.

3. (UMC-SP) Sobre trabalho, potˆencia e energia, pode-se afir-mar que:

a) potˆencia e energia s˜ao sinˆonimos.

b) trabalho e potˆencia se expressam com a mesma unidade. c) para trabalho e energia usa-se a mesma unidade.

d) potˆencia ´e a capacidade de realizar trabalho. e) trabalho ´e a rela¸c˜ao energia-tempo.

4. O produto da for¸ca pelo deslocamento do corpo em que ela atua est´a associado com:

a) trabalho b) potˆencia c) distˆancia d) acelera¸c˜ao e) velocidade

Exerc´ıcios Complementares

5. (UFSC) O gr´afico a seguir representa a resultante das for¸cas, em newtons, que atuam num corpo de massa igual a 10, 0 kg, em fun¸c˜ao do deslocamento total em metros. Su-pondo que a sua velocidade inicial ´e de 141

2 m/s, determine,

em m/s, a velocidade do corpo depois de percorrer 40, 0 m.

F(N)

5

20

0

0

10

20

30

15

10

x(m)

40

6. Um proj´etil de massa 10, 0 g penetra com velocidade horizontal de 100 m/s e sai de uma t´abua de espessura de 10, 0 mm, com velocidade de 90, 0 m/s. Calcule a for¸ca com que a t´abua exerce sobre o proj´etil.

F

v = 100 m/s

v = 90 m/s

x = 1,0 cm

m = 10 g

7. Um m´ovel de massa 2, 90 kg ´e submetido `a uma for¸ca cons-tante e adquire, a partir do repouso, a velocidade de 20, 0 m/s em 8, 00 s. Calcule:

a) o trabalho W realizado pela for¸ca; b) a potˆencia_{P desenvolvida pela for¸ca;}

Energia Potencial

Um corpo possui energia quando ´e capaz de realizar trabalho. Suponha, ent˜ao, um corpo situado a uma certa altura acima do solo. Se este corpo for abandonado, chegando ao solo, ´e f´acil perceber que ser´a capaz de realizar um certo trabalho: amassar um objeto, perfurar o solo, etc. Pode-se pois concluir que aquele corpo possu´ıa energia na posi¸c˜ao elevada.

A energia que um corpo possui, em virtude de estar situado a uma certa altura acima da superf´ıcie da Terra, ´e denominada energia potencial gravitacional. H´a outras situa¸c˜oes, seme-lhantes a essa, nas quais um corpo tamb´em possui energia em virtude da posi¸c˜ao que ele ocupa. Por exemplo, um corpo si-tuado na extremidade de uma mola comprimida (ou esticada) possui energia em virtude de sua posi¸c˜ao. Se um corpo com-primir uma mola e soltarmos esse corpo, ele ser´a empurrado pela mola e poder´a realizar trabalho. Neste caso, a energia que o corpo possui na ponta da mola comprimida ou esticada ´e denominada energia potencial el´astica.

Energia Potencial Gravitacional

Para uma massa m a uma altura h acima do solo, nosso refe-rencial usual de energia zero, podemos definir a energia po-tencial gravitacional Ep como

Ep= mgh

onde g ´e a acelera¸c˜ao da gravidade. No SI, g vale aproxima-damente 9, 8 m/s2_.

For¸ca El´

astica

Chamamos de corpos el´asticos aqueles que, ao serem defor-mados, tendem a retornar `a forma inicial.

Figura 1.1: Robert Hooke (1635-1703)

Uma mola helicoidal, feita geralmente de a¸co, como carac-ter´ıstica pr´opria uma constante el´astica k, que define a pro-porcionalidade entre a intensidade for¸ca F aplicada e a respec-tiva deforma¸c˜ao x causada na mola. A lei de Hooke relaciona essas quantidades na forma

F =−kx

Observe que x mede a deforma¸c˜ao linear da mola a partir do seu tamanho de equil´ıbrio (sem for¸ca).

Atrav´es a equa¸c˜ao acima, pode-se ver que a unidade SI da constante el´astica deve ser N/m. Na pr´atica, a constante k

mede a “dureza´´ da mola: quanto maior o valor de k, mais dif´ıcil ser´a a sua deforma¸c˜ao, ou seja, mais for¸ca ser´a necess´aria para deform´a-la uma certa quantidade x.

Energia Potencial El´

astica

Quando aplicamos uma for¸ca e deformamos uma mola estamos transferindo a ela uma energia, essa energia fica armazenada na mola. Definimos que a energia armazenada em uma mola comprimida ou distendida ´e chamada de energia potencial el´astica, atrav´es de

Ep =

1 2kx

2

Pense um Pouco!

• A energia potencial gravitacional depende da acelera¸c˜ao da gravidade, ent˜ao em que situa¸c˜oes essa energia ´e posi-tiva, nula ou negativa?

• A for¸ca el´astica depende da massa da mola? Por quˆe? • Se uma mola ´e comprimida por um objeto de massa

grande, quando solto a mola n˜ao consegue se mover, o que acontece com a energia potencial el´astica?

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜

ao

1. Um garoto atira uma pedra para cima com um estilingue. a) Qual a forma de energia armazenada no estilingue? b) Que forma de energia possui a pedra quando atinge sua al-tura m´axima?

c) Existe energia no estilingue depois do lan¸camento? Co-mente.

2. Um para-quedista desce com velocidade constante, depois de um certo tempo de queda.

a) O que acontece com sua energia potencial Ep?

b) Sua energia cin´etica est´a variando? Comente.

3. Um indiv´ıduo encontra-se sobre uma balan¸ca de mola, pi-sando sobre ela com seus dois p´es. Se ele levantar um dos p´es e mantiver o outro apoiado, no interior de um elevador com-pletamente fechado, quando observa que o peso indicado na balan¸ca ´e zero. Ent˜ao, conclui que:

a) est´a descendo com velocidade constante b) o elevador est´a em queda livre

c) a for¸ca de atra¸c˜ao gravitacional exercida sobre ele ´e anulada pela rea¸c˜ao normal do elevador

d) a balan¸ca est´a quebrada, visto que isto ´e imposs´ıvel 4. Duas pedras, sendo uma de 20 kg e outra de 30 kg, est˜ao a 500 m de altura em rela¸c˜ao ao solo. Vocˆe diria que:

a) ambas as pedras tˆem igual energia potencial;

b) a pedra de menor massa tem maior energia potencial c) nada podemos afirmar com rela¸c˜ao `a energia potencial das pedras

d) a pedra de massa menor tem maior capacidade de realizar trabalho

e) a pedra de maior massa tem maior energia potencial 5. (UFRN) Uma mola helicoidal, de massa desprez´ıvel, est´a suspensa verticalmente e presa a um suporte horizontal.

Quando se pendura um corpo de 40 kg na extremidade livre dessa mola, ela apresenta deforma¸c˜ao de 2, 0 cm para o sis-tema em equil´ıbrio. Se acrescentarmos a essa massa outra de 10 kg, no ponto de equil´ıbrio, a deforma¸c˜ao total ser´a de: a) 3, 0 m b) 2, 5 cm c) 2, 0 m d) 1, 5 cm e) 1, 0 m

Exerc´ıcios Complementares

6. Uma mola cuja constate el´astica ´e 1000 N/m encontra-se comprimida em 10 cm.

a) Determine a energia potencial el´astica armazenada na mola. b) Se apenas energia da mola for utilizada integralmente para impulsionar um bloco de 100 g, qual ´e a velocidade m´axima adquirida pelo bloco?

7. Qual o trabalho necess´ario para se comprimir uma mola, cuja constante el´astica ´e 500 N/m, em 10, 0 cm?

8. Um menino situado no alto de um edif´ıcio, segura um corpo de massa 1, 5 kg a uma altura igual a 10 m acima do solo. a) Qual a energia potencial gravitacional do corpo naquela posi¸c˜ao?

b) Qual a energia potencial gravitacional do mesmo corpo, quando situado a 6, 0 m do ch˜ao?

Mecˆ

anica

Aula 8

Trabalho e Energia Potencial

Figura 1.1: James Prescott Joule (1818-1889). A energia potencial gravitacional est´a relacionada `a posi¸c˜ao de um corpo no campo gravitacional. Em geral, quando movemos o corpo, alteramos sua energia potencial.

Para elevar um corpo em equil´ıbrio do solo at´e uma altura h, devemos aplicar uma for¸ca que realizar´a um trabalho (positivo) de mesmo m´odulo que o trabalho realizado pela for¸ca peso do corpo (negativo).

m

P

ext.

F = −P

Figura 1.2: Um corpo sendo suspenso em equil´ıbrio.

O trabalho realizado pela for¸ca externa Fext., ´e armazenado

no sistema corpo-Terra na forma de energia potencial gravita-cional Ep, e vale:

Ep = mgh

se definirmos o valor zero (Ep = 0) no ch˜ao, onde h = 0.

J´a para o sistema massa-mola, temos uma for¸ca externa sendo aplicada no sistema fazendo com que a mola sofra uma de-forma¸c˜ao, sendo essa for¸ca

F =−kx

o trabalho W externo necess´ario para esticar a mola uma quan-tidade x ser´a

W = 1 2kx

2

e chamamos essa energia, agora armazenada na mola, de ener-gia potencial el´astica.

F=−kx

O

F=0

O

O

x<0

x>0

F=−k(−x)=kx

Figura 1.3: Uma mola esticada, em equil´ıbrio.

For¸cas Conservativas e Dissipativas

Quando sobre um corpo em movimento atua apenas seu peso, ou for¸ca el´astica exercida por uma mola, a energia mecˆanica