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Logaritmo
1. (Espcex (Aman) 2014) Na figura abaixo, está representado o gráfico da função y = Iog x.
Nesta representação, estão destacados três retângulos cuja soma das áreas é igual a: a) Iog2 + Iog3 + Iog5
b) log30 c) 1+ Iog30 d) 1 + 2log15 e) 1 + 2Iog30
2. (Uerj 2013) Um lago usado para abastecer uma cidade foi contaminado após um acidente industrial, atingindo o nível de toxidez T0, correspondente a dez vezes o nível inicial. Leia as informações a seguir.
- A vazão natural do lago permite que 50% de seu volume sejam renovados a cada dez dias. - O nível de toxidez T(x), após x dias do acidente, pode ser calculado por meio da seguinte
equação:
T(x) = T0(0,5) 0,1x
Considere D o menor número de dias de suspensão do abastecimento de água, necessário para que a toxidez retorne ao nível inicial.
Sendo log 2 = 0,3, o valor de D é igual a: a) 30
b) 32 c) 34 d) 36
www.nsaulasparticulares.com.br Página 2 de 16 3. (Ufsm 2013) Segundo a Organização Mundial do Turismo (OMT), o Ecoturismo cresce a uma taxa de 5% ao ano. No Brasil, em 2011, o Ecoturismo foi responsável pela movimentação de 6,775 bilhões de dólares.
Supondo que o percentual de crescimento incida sobre a movimentação do ano anterior, pode-se expressar o valor movimentado V (em bilhões de dólares), em função do tempo t(em anos), por
t 1V6,775 1,05
com t1 correspondendo a 2011, t2, a 2012 e assim por diante. Em que ano o valor movimentado será igual a 13,55 bilhões de dólares? Dados: log 20,3 e log 1,050,02.
a) 2015. b) 2016. c) 2020. d) 2025. e) 2026.
4. (Ufpr 2013) Para determinar a rapidez com que se esquece de uma informação, foi efetuado um teste em que listas de palavras eram lidas a um grupo de pessoas e, num momento
posterior, verificava-se quantas dessas palavras eram lembradas. Uma análise mostrou que, de maneira aproximada, o percentual S de palavras lembradas, em função do tempo t, em minutos, após o teste ter sido aplicado, era dado pela expressão
S 18 log(t 1) 86.
a) Após 9 minutos, que percentual da informação inicial era lembrado? b) Depois de quanto tempo o percentual S alcançou 50%?
5. (Ufrgs 2013) Dez bactérias são cultivadas para uma experiência, e o número de bactérias dobra a cada 12 horas.
Tomando como aproximação para log2 o valor 0,3, decorrida exatamente uma semana, o número de bactérias está entre
a) 104,5 e 10 .5 b) 105 e 105,5. c) 105,5 e 10 .6 d) 106 e 106,5. e) 106,5 e 10 .7
www.nsaulasparticulares.com.br Página 3 de 16 6. (Fuvest 2013) O número N de átomos de um isótopo radioativo existente em uma amostra diminui com o tempo t, de acordo com a expressão N t N e0 λt, sendo N0 o número de átomos deste isótopo em t0 e λ a constante de decaimento. Abaixo, está apresentado o gráfico do log10N em função de t, obtido em um estudo experimental do radiofármaco Tecnécio 99 metaestável (99mTc), muito utilizado em diagnósticos do coração.
A partir do gráfico, determine a) o valor de log10N0;
b) o número N0 de átomos radioativos de 99m
Tc ; c) a meia-vida (T1/2) do
99m Tc.
Note e adote: A meia-vida (T1/2) de um isótopo radioativo é o intervalo de tempo em que o número de átomos desse isótopo existente em uma amostra cai para a metade; log1020,3;
10
log 50,7.
7. (Uepg 2013) Quanto aos valores reais de x para os quais é verdadeira a igualdade
9 3
log 2x5 log 3x 1, assinale o que for correto. 01) Existe uma única solução, que é um número primo. 02) Existem duas soluções cuja soma é positiva. 04) Existem duas soluções cujo produto é negativo. 08) Existe uma única solução fracionária.
16) Existe uma única solução, que é menor do que log 625. 5
8. (Udesc 2013) Se log (x3 y)5 e log (x5 y)3, então log (3x2 8y) é igual a: a) 9
b) 4log 52 c) 8
d) 2 log 10 2 e) 10
9. (G1 - cftmg 2013) Sendo log 2 = m e log 3 = n, aplicando as propriedades de logaritmo, escreve-se log 3,6 em função de m e n como
a) 2mn. b) 2 2 m n . 10 c)
m n
. 10 d) 2 m n
1.www.nsaulasparticulares.com.br Página 4 de 16 10. (Ufg 2013) A capacidade de produção de uma metalúrgica tem aumentado 10% a cada mês em relação ao mês anterior. Assim, a produção no mês m, em toneladas, tem sido de
m 1
1800 1,1 . Se a indústria mantiver este crescimento exponencial, quantos meses, aproximadamente, serão necessários para atingir a meta de produzir, mensalmente, 12,1 vezes a produção do mês um?
Dado: log1,1 0,04. 11. (Espcex (Aman) 2013) Se 2 a a 6 log m 2, 1 log m
com a0, a1 e m0, então o valor de
m a m é a) 4 b) 1 4 c) 1 d) 2 e) 1 2
12. (Ime 2013) Considere a equação log3x3
log x3
2 1.x A soma dos quadrados das soluções reais dessa equação está contida no intervalo
a) [0, 5) b) [5, 10) c) [10,15) d) [15, 20) e) [20, )
13. (Insper 2013) Para combater um incêndio numa floresta, um avião a sobrevoa acima da fumaça e solta blocos de gelo de uma tonelada. Ao cair, cada bloco se distancia da altitude em que foi solto pelo avião de acordo com a lei d10t ,2 em que t é o tempo em segundos. A massa M do bloco (em quilogramas) varia, em função dessa distância de queda d (em metros), conforme a expressão
M1000 250log d.
Se o bloco deve chegar ao chão totalmente derretido, a altitude mínima em que o avião deve soltá-lo e o tempo de queda nesse caso devem ser
a) 10.000 metros e 32 segundos. b) 10.000 metros e 10 segundos. c) 1.000 metros e 32 segundos. d) 2.000 metros e 10 segundos. e) 1.000 metros e 10 segundos.
14. (Insper 2013) O número de soluções reais da equação log (xx 3) log (x x 2)2 é a) 0. b) 1. c) 2. d) 3. e) 4.
www.nsaulasparticulares.com.br Página 5 de 16 15. (Ufpr 2012) Uma quantia inicial de R$ 1.000,00 foi investida em uma aplicação financeira que rende juros de 6%, compostos anualmente. Qual é, aproximadamente, o tempo necessário para que essa quantia dobre? (Use log (1,06)2 0,084.)
16. (G1 - cftmg 2012) Se log a3 x, então log a vale 9 2 a) x.
2 b) x. c) 2x. d) 3x.
17. (Espcex (Aman) 2012) Considerando log20,30 e log30,48, o número real x, solução da equação 5x 1 150, pertence ao intervalo:
a)
, 0
b)
4, 5
c)
1, 3 d)
0, 2
e)
5,
18. (G1 - ifal 2012) A solução da equação logarítmica log (x4 6) log (2x 16) 2 1 é o número real “m”. Desse modo, podemos afirmar que
a) m = 7 ou m = 10.
b) o logaritmo de m na base dez é igual a um. c) m = 10, pois m > 6.
d) m = 7, pois m > 6. e) m2 = 20.
19. (G1 - ifsc 2012) O valor CORRETO da expressão
3 2 0,001 1 E log 8 10000 2 é: a) 10000. b) 11,0000001. c) 1110–7. d) 11. e) –1.
20. (Espm 2012) Se log152a e log102b, o valor de log103 é: a) a a 1 b b) b b 1 a c) a b 1 a d) b a 1 b e) a a b b
www.nsaulasparticulares.com.br Página 6 de 16 21. (G1 - ifba 2012) O valor da expressão Mlog 0,25 log2 327colog 84 é:
a) 1 b) -3/2 c) 2 d) -5/2 e) 3
22. (Fgvrj 2012) Adotando os valores log20,30 e log30,48, em que prazo um capital triplica quando aplicado a juros compostos à taxa de juro de 20% ao ano?
a) 5 anos e meio b) 6 anos c) 6 anos e meio d) 7 anos e) 7 anos e meio
23. (G1 - ifce 2012) Considerando-se K = 100log 3 + 1000log 2, onde os logaritmos são decimais, é correto afirmar-se que K é
a) múltiplo de 10. b) negativo. c) maior que 100. d) ímpar. e) irracional.
24. (Fgvrj 2012) A descoberta de um campo de petróleo provocou um aumento nos preços dos terrenos de certa região. No entanto, depois de algum tempo, a comprovação de que o campo não podia ser explorado comercialmente, provocou a queda nos preços dos terrenos.
Uma pessoa possui um terreno nessa região, cujo valor de mercado, em reais, pode ser expresso pela função f(x)2000 e 2x 0,5x 2, em que x representa o número de anos transcorridos desde 2005.
Assim: f(0) é o preço do terreno em 2005, f(1) o preço em 2006, e assim por diante.
a) Qual foi o maior valor de mercado do terreno, em reais? b) Em que ano o preço do terreno foi igual ao preço de 2005? c) Em que ano o preço do terreno foi um décimo do preço de 2005? Use as aproximações para resolver as questões acima:
2
...e 7,4; ln 20,7; ln 51,6; 34,4 6 25. (Ufrgs 2012) O número log2 7 está entre a) 0 e 1. b) 1 e 2. c) 2 e 3. d) 3 e 4. e) 4 e 5.
www.nsaulasparticulares.com.br Página 7 de 16 26. (Ime 2012) Se log 210 x e log 310 y, então log 18 vale: 5
a) x 2y 1 x b) x y 1 x c) 2x y 1 x d) x 2y 1 x e) 3x 2y 1 x
27. (Ifsp 2011) Resolvendo o sistema de equações
2 2 x 6xy 9y 0 log x 2 log y 0 obtém-se um parordenado (x; y), cuja diferença x – y é a) 3. b) 2. c) 2. 3 d) 2. 3 e) - 2.
28. (Espm 2011) Sendo log 2 = a e log 3 = b, o valor do log 160 é igual a: 9 a) 4a b 2 b) 4a 1 2b c) 2a 3b 2 d) 4b 2 a e) a 1 3b
29. (G1 - cftmg 2011) O conjunto soluçăo da equaçăo 2
2 2 2
log (x 7x 10) log (x 5)log 10é a)
5,12
b)
12 c)
5 d) 30. (Ufrgs 2011) Aproximando log 2 por 0,301, verificamos que o número 16 está entre 10
a) 109e 1010. b) 1010e 1011. c) 1011e 1012. d) 1012e 1013. e) 1013e 1014.
www.nsaulasparticulares.com.br Página 8 de 16 Gabarito: Resposta da questão 1: [D]
2 2 3 2 3 1 2 3 2A A A 1 log 2 2 log 3 3 log5 log2 log3 log5 log 2 3 5 log 2 5 3 5
log10 log15 1 2 log15.
Resposta da questão 2: [C] 1 0 1 0,1x 0 0 1 0,1x T(x) 10 T 10 T T 0,5 log10 log(0,5) 1 0,1x (log1 log2) 1 0,1x (0 0,3) 1 0,03x x 33,3333... Logo, D = 34. Resposta da questão 3: [E]
t 1 t 1 t 1 13,55 6,775 1,05 2 1,05 log 2 log 1,05 0,3 t 1 log1,05 0,3 (t 1) 0,02 15 t 1 t 16 t1, representa 2011. t16, representa o ano de 2026. Resposta da questão 4: a) S = –18.log(t+1) + 86 S = –18.log(9+1) + 86 S = –18.1 + 86 S = 68 Resposta: 68%. b) 50 = –18.log(t+1) + 86www.nsaulasparticulares.com.br Página 9 de 16 –36 = –18.log(t+1)
log (t+1) = 2
t + 1 = 100
t = 99 minutos = 1hora e 39 minutos Resposta da questão 5:
[B]
O número N de bactérias após t períodos de 12 horas é igual a 10 2 . t Logo, em uma semana, teremos
14 14
5,2 N 10 2 logN log10 2
logN log10 14 log2 logN 1 14 0,3 N 10 . Portanto, 105 N 105,5. Resposta da questão 6: a) No gráfico, log10No = 6. b) log10No = 6 No=10 6 = 1 000 000. c) N(t) No 2 o o N logN(t) log 2 logN(t) logN log2 logN(t) 6 0,3 logN(t) 5,7 Observando o gráfico, logN(t) = 5,7 t = 6 horas. Resposta da questão 7: 01 + 16 = 17.
9 3 2 3 2 3 3 3 2 1log 2x 5 log 3x 1 log (2x 5) log 3x 1
2
log (2x 5) log (3x) 2 log (6x 15x) 2
6x 15x 9 0
Resolvendo a equação, temos x = 3 ou x = -1/2 (não convém). [01] (Verdadeira). x = 3.
www.nsaulasparticulares.com.br Página 10 de 16 [04] (Falsa). Existe apenas uma solução.
[08] (Falsa). A solução x = 3 é inteira.
[16] (Verdadeira). 3 < log5 625, ou seja, 3 < 4. Resposta da questão 8:
[E]
Lembrando que log ab c a b ,c com a0 e 1 b 0, temos
5 3 3 5 log (x y) 5 x y 3 log (x y) 3 x y 5 x 184 . y 59 Portanto, 2 2 2 10 2
log (3x 8y) log [3 184 8 ( 59)] log 1024 log 2 10. Resposta da questão 9: [D] 2 2 2 2 36
log3,6 log log36 log10 log(2 3 ) 1 log2 log3 1 2log 2 3log3 1 10 2 (m n) 1 Resposta da questão 10:
Seja a função p : , definida por p(m)1800 1,1 m 1, com p(m) sendo a capacidade de produção, em toneladas, no mês m.
O valor de m para o qual p(m)12,1 p(1) é tal que
m 1 m 1 m 1 2 12,1 1800 1800 1,1 1,1 12,1 log1,1 log12,1 (m 1) log1,1 log(1,1) 10 (m 1) log1,1 2 log1,1 log10 (m 1) 0,04 0,08 1 m 27 1 m 28. Resposta da questão 11:
www.nsaulasparticulares.com.br Página 11 de 16 [E] Sabendo que r q q 1 log p log p, r
para quaisquer reais positivos p, q e r, com q1, vem
2 a a a a a a a 2 6 log m 1 2 2 1 log m 6 log m 1 log m 2 2 log m 6 log m log m 2 m a . Portanto, 2 2 m a a 1 . a a 2 a m a a Resposta da questão 12: [C] Sabendo que b c c log a log a , log b
com a, b e c reais positivos e b, c1, vem
3 2 2 3x 3 3 3 3 log 3 x
log (log x) 1 (log x) 1. x log 3x
Daí, como log (m n)p log m log np p e logp m log m log n,p p n sendo m, n e p reais positivos e p1, temos 2 3 3 3 log x 1 (log x) 1. log x 1
Fazendo ylog x,3 segue que
y 1 1 (y 1)(y 1) 0 (y 1) y 1 0 y 1 y 1 y(y 1)(y 2) 0 y 0 ou y 1 ou y 2.
Desse modo, as raízes reais da equação dada são x1, x3 e x 1 9 e, portanto, o resultado pedido é 2 2 2 1 1 1 3 10 [10, 15[. 9 81 Resposta da questão 13:
www.nsaulasparticulares.com.br Página 12 de 16 [A]
Quando o bloco estiver totalmente derretido sua massa será M0.
Determinando, agora a altura, para M0.
4
1.000 – 250 log d 0 250 log d 1.000 log d 4 d 10 d 100.00 m
Determinando o tempo de queda.
2 2 10 t 10.000 t 1.000 t 32 s Resposta da questão 14: [B]
Sabendo que log a log bc c log abc para a, b e c reais positivos e c1, vem
x x x
2 2
log (x 3) log (x 2) 2 log (x 3)(x 2) 2 x x 6 x x 6.
Portanto, x6 é a única solução real da equação. Resposta da questão 15:
Cálculo de Juros Compostos t
M mon tan te C capital M C(1 i) onde i taxa t tempo Portanto: t t t 2 2
20001000(1 0,06) 1,06 2 log 1,06 log 2t(0,084) 1 t 11,9 anos Resposta da questão 16: [B] 2 2 2 3 9 3 3 2 log a log a log a log a x. log 9 2
www.nsaulasparticulares.com.br Página 13 de 16 Resposta da questão 17: [B] Temos que x 1 x 1 2 x 3 x 3 5 150 5 2 3 5 5 2 3 10 log log(2 3) 2
(x 3) (log10 log2) log2 log3
(x 3) (1 0,3) 0,3 0,48 0,78 x 3 0,7 x 3 1,1 x 4,1. Portanto, x[4, 5[. Resposta da questão 18: [B] Condição de existência: x – 6 > 0 e 2x – 16 > 0 x > 8 2 2 2 2 2 2 2 2 log (x 6) log (2x 16) 1 (x2) 2 log (x 6) 2 log (2x 16) 2 (x 6) log 2 (2x 16) (x 6) 1 4x 68x 280 0 x 10 ou x = 7 (não convém) 4 (2x 16) Portanto, m = 10 e log10 = 1. Resposta da questão 19: [B] 3 2 3 3 4 3 4 7 0,001 1 E log 8 10000 2 10 E 3 2 10 E 3 10 8 E 11 10 E 11 0,0000001 E 11,0000001. Resposta da questão 20:
www.nsaulasparticulares.com.br Página 14 de 16 [B]
Escrevendo log152 na base 10, obtemos
10 15 10 10 10 10 10 10 10 10 log 2 log 2 30 log 2 log 2 log (3 10) log 2 log 2 . log 3 log 10 log 2
Portanto, sabendo que log152a e log102b, vem
10 10 10 b b a 1 b log 3 1 b log 3 a b log 3 b 1. a Resposta da questão 21:
Questão anulada no gabarito oficial.
2 3 4
M log 0,25 log 27 log 8 M 2 6 3 2 M 5 2 co (Sem resposta) Resposta da questão 22: [B]
Seja n o prazo necessário, em anos, para que um capital C triplique, quando aplicado à taxa de juro de 20% ao ano. Logo, n n n 2 3C C (1 0,2) 3 (1,2) 2 3 log3 log 10
log3 n (2 log2 log3 log10) 0,48 n 0,08 n 6. Resposta da questão 23: [D]
2
3log3 log2 log3 log2 2 3
K100 1000 10 10 3 2 17(ímpar).
www.nsaulasparticulares.com.br Página 15 de 16 a) O maior valor de mercado do terreno ocorreu em 2007, ou seja,
2 2 2 0,5 2 2 f(2) 2000 e 2000 e R$ 14.800,00.
b) Em 2005, o valor de mercado do terreno era de R$ 2.000,00. Queremos calcular o valor de x para o qual f(x)2000, isto é,
2 2 2 2x 0,5 x 2x 0,5x 2x 0,5x 2 2000 2000 e 1 e n1 n e 0,5x 2x 0 x 4.
Portanto, o preço do terreno em 2009 foi igual ao preço do terreno em 2005.
c) Queremos calcular o valor de x para o qual se tem f(x) 1 f(0), 10 ou seja, 2 2 2 2x 0,5 x 2x 0,5x 1 2x 0,5x 1 2 2 2 1 2000 e 2000 e 10 10 n e n (2 5) ( 0,5x 2x) n e ( n 2 n 5) 0,5x 2x 2,3 0 x 4x 4,6 0 x 5.
Por conseguinte, em 2010 o preço do terreno foi igual a um décimo do preço em 2005. Resposta da questão 25: [C] x 2 log 7 x 2 7 2 x 3. Resposta da questão 26: [A] 2 2 5
log(3 2) log3 log2 2log3 log2 x 2y
log 18=
10
log5 log log10 log2 1 x
2
www.nsaulasparticulares.com.br Página 16 de 16 [B] Condição de existência x = 2 > 0 e y > 0
2 2 x 6xy 9y 0 log x 2 log y 0
2 x 3y 0 x 3y x 2 y x 2 log 0 y Resolvendo, temos x = 3 e y = 1. Logo, 3 – 1 = 2. Resposta da questão 28: [B] Sabendo que c a c log b log b , log a temos que 9 4 2 log160 log 160 log9 log2 log10 log3 4 log2 1 2 log3 4a 1 . 2b Resposta da questão 29: [B] 2 2 2 2 2 2 x - 7x 10 0 (condição de existência) x - 5 0 x - 7x 10 log log 10 x - 5 x - 7x 10 10 x - 5 x - 17x 60 0 x 12 ou x 5( não convém) S = {12} Resposta da questão 30: [D] Façamos x1610 (2 )4 10 2 .40 Assim, 40 12,04log x log2 log x 40 0,301
log x 12,04 x 10 . Portanto, 1012 x 10 .13
