SIMULAÇÃO NUMÉRICA DA AÇÃO DE VENTO TURBULENTO CONSIDERANDO CORRELAÇÃO ESPACIAL

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SIMULAÇÃO NUMÉRICA DA AÇÃO DE VENTO TURBULENTO CONSIDERANDO

CORRELAÇÃO ESPACIAL

Marco A. S. Pinheiro 1

1_{Engenharia Acústica - DECC – CT - UFSM, Santa Maria, Brasil, marco.pinheiro@smail.ufsm.br}

Resumo: Sinais no tempo de comportamento aleatório são

comuns na natureza, como por exemplo, ação de vento, a qual pode apresentar correlações diferentes ao longo de uma estrutura. Neste artigo é mostrada uma maneira simplificada de se obter diferentes sinais no tempo a partir do espectro em freqüência de vento atuante.

Palavras chaves: vento turbulento, correlação espacial,

simulação numérica.

1. INTRODUÇÃO

A ação dinâmica em estruturas, com comportamento aleatório ou próximo disso ao longo do tempo pode ser encontrada sob diferentes formas, como abalos sísmicos ou vento. Neste último caso, dependendo da posição relativa de atuação na estrutura a ação ocorre de maneira distinta, principalmente se a estrutura tiver grande comprimento longitudinal.

Os coeficiente de correlação entre as velocidades de vento são cada vez menores, à medida que se tem maiores distâncias entre dois pontos da estrutura, particularmente as de disposição vertical tipos torres.

Diante de projetos e execução de estruturas cada vez mais esbeltas, a ação do vento torna-se preponderante no dimensionamento dessas estruturas. Além disso, tal ação pode interferir significativamente no fim para o qual a estrutura é concebida, como por exemplo, uma torre de telecomunicação.

Uma maneira de se conhecer a força de vento que atua na estrutura é medindo experimentalmente a sua velocidade e aplicar a correspondente relação do cálculo da força. No entanto, na maioria das vezes não é possível fazer uma medição em diferentes pontos da estrutura.

Simulações numéricas de ação do vento considerando correlação espacial também têm sido desenvolvidas e aplicadas ([1], [2], [3]) para obtenção de respostas dinâmicas de estruturas.

Este artigo propõe um modo simplificado de se obter funções no tempo correspondentes à ação de vento, com diferentes correlações ao longo da estrutura, a partir de uma ou poucas medições experimentais, características de uma determinada região. Como objetivo decorrente do principal, procura-se sistematizar, numericamente, simulações de ação de vento, típicos de uma região, desde que o espectro de vento seja característico para aquela região. A justificativa da proposta está na redução de pontos de medição

experimental, quando de uma estrutura existente e também em considerações de ação do vento mais próxima da situação real, quando do projeto e dimensionamento de uma torre, por exemplo.

A idéia principal do método é dividir o espectro da velocidade medida do vento em função da freqüência, obtido por meio da aplicação da Transformada de Fourier, em vários trechos, aplicando-se números aleatórios as partes reais ou imaginárias da transformada rápida de Fourier (FFT) daqueles trechos.

2. METODOLOGIA

Para a descrição do método empregado, são necessários breves comentários a respeito da transformada rápida de Fourier.

2.1. Obtenção de uma função em freqüência a partir de um sinal no tempo – procedimento numérico

Antes de mostrar o procedimento de obtenção do sinal no tempo a partir de uma função em freqüência, apresenta-se, resumidamente, o procedimento inverso, usando a transformada discreta de Fourier.

Seja, então, uma função ou sinal no tempo t de uma grandeza qualquer, no intervalo t = [0, tf], onde tf é o tempo

final do sinal.

Na aplicação da FFT, deve-se definir o número N de pontos, pelo qual o intervalo de tempo t será dividido, em N = 2m_{, onde m é um número inteiro não-negativo.}

O intervalo de tempo ∆t que deve ser usado no algoritmo da FFT é dado por ∆t = 1/tf.

A freqüência mais baixa não-nula é dada por:

f t

f1= 1 (1)

Na aplicação da FFT, a freqüência mais alta obtida é dada por:

f m

f _t

f = 2 −1 ₍₂₎

A freqüência de Nyquist é dada por:

2 2 1 2 f f m Ny _t f f = − = ₍₃₎

(2)

Simulação Numérica da Ação de Vento Turbulento Considerando Correlação Espacial Marco A. S. Pinheiro A função ou sinal no tempo que se deseja aplicar a FFT

deve conter termos em senos e/ou co-senos, cujas freqüências sejam menores ou iguais a fNy. Existindo

freqüências maiores que fNy, no sinal, estas não serão

identificadas pelo método da FFT.

Uma particularidade da FFT é que, como o número de pontos deve ser igual a 2m_{, perde-se o tempo final definido}

anteriormente, se o tempo inicial for considerado; ou perde-se o tempo inicial, perde-se o tempo final for considerado.

Finalizando os dados de entrada, são montados dois vetores, contendo a parte real e a parte imaginária do sinal no tempo. Geralmente, a parte imaginária é nula.

Os resultados obtidos da FFT podem ser apresentados em curvas em função da freqüência, segundo a parte real (curva simétrica em relação à freqüência central de Nyquist) e imaginária (curva anti-simétrica em relação ao eixo das abscissas).

Considera-se aqui que os resultados da FFT sejam representados por dois vetores, equivalentes a parte real e a parte imaginária da solução, respectivamente chamados de VRF (Vetor da parte Real da Freqüência) e VIF (Vetor da parte Imaginária da Freqüência). Dependendo do modo como a FFT é resolvida, esses vetores podem conter diferentes valores, embora representem uma mesma solução. No algoritmo da FFT usado neste trabalho, os valores de cada elemento dos vetores são multiplicados pela metade do número total de pontos (N = 2m_{) de discretização do sinal no}

tempo, com exceção do primeiro elemento, correspondente ao valor médio do sinal no tempo (a0), o qual é apenas

multiplicado por N. Dessa forma, a componente média da resposta no tempo é dada pela equação 4.

2 1 2 1 0 2 2 ⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = _m _m a VRF VIF f0 = (1–1) ∆f = 0 (4)

A amplitude Aj de resposta associada à freqüência

fj-1 = (j–1) ∆t, com j variando de 2 a 2m/2 é dada por:

2 2 j j j a b A = + (5)

Na eq. (5), aj e bj são os coeficientes da série de Fourier

associados, respectivamente, a amplitude da parte real [cos(ωj-1 t)] e a amplitude da parte imaginária [sen(ωj-1 t)].

São dados por:

m j j a 2 2VRF = bj _mj 2 2VIF = (6)

Uma vez obtidas as partes reais e imaginárias, com a aplicação da FFT, encontra-se o sinal no tempo novamente usando-se a transformada Inversa de Fourier ou iFFT.

O sinal no tempo é dado a partir do conjunto de pontos formado pelos resultados da iFFT.

Monta-se esse sinal usando dois vetores contendo os pontos para cada incremento de tempo: VRTj (Valores da

parte Real no Tempo) e VITj (Valores da parte Imaginária

no Tempo), com j variando de 1 a 2m_.

Gera-se a curva no tempo a partir do conjunto de pontos [(j-1)∆t, VRTj], com j obedecendo a variação mencionada.

Neste caso a parte imaginária é nula, pois o sinal original não contém valores da parte imaginária.

O sinal no tempo também pode ser obtido a partir dos valores das partes real e imaginária, calculados pela FFT. Escreve-se: ( )

_∑

( )

∑

= = − ∆ π − − ∆ π + = /2 2 2 / 2 0 2₂ cos2 ( 1) 2₂ 2 ( 1) ) ( N j m j N j m j _f _j _t y _sen _f _j _t x a t F (7)

onde xj são valores da parte real e yj, valores da parte

imaginária. Quando j = 1, tem-se:

m

x

a

2

1

0= (8)

2.2. Obtenção de um sinal no tempo a partir de uma função no domínio da freqüência – procedimento numérico

O procedimento aqui adotado é semelhante aquele onde se escreve uma função no tempo a partir dos valores de amplitudes de uma função em freqüência, multiplicados por uma função trigonométrica (o co-seno, por exemplo), com argumento contendo uma variação em freqüência para valores aleatórios do ângulo de fase. A diferença é que, no método apresentado a seguir, a condição de aleatoriedade é aplicada diretamente sobre os valores da parte real e da parte imaginária, de maneira que é possível voltar à função em freqüência exatamente igual aquela de partida. Segue, então, uma descrição do método.

Seja uma função em freqüência (ou um espectro representativo de uma grandeza), conforme ilustra a Figura 1. freqüência Sy f1 fj+1 ... f2 f3 f4 f5 fj freqüência Sy f1 fj+1 ... f2 f3 f4 f5 fj

Figura 1 – Espectro ou função em freqüência de uma grandeza qualquer

Sabe-se que um espectro Sy é escrito como uma

composição de seus valores reais ℜ(Sy) e imaginários )

(S_y

ℑ , na descrição matemática. Ou seja, pode-se escrever a seguinte equação: 2 2 2 ₍ ₎ ₍ ₎ y y y S S S =ℜ +ℑ ₍₉₎ Fazendo SR =ℜ(Sy), S ℑI= (Sy) e considerando SR

como uma parcela de Sy, ou seja, SR = α Sy, obtém-se:

2 2 2 I R S S Sy = +

( )

2 I S S Sy2= α y 2+ 2 ₍₁ 2₎ 2 y S S_I = −α (10)

(3)

2 2 y S S_I =β ) 1 ( ₋_α2 = β

O fator de multiplicação α é um número aleatório escolhido no intervalo fechado de zero a 1.

Dessa forma, consegue-se vincular os valores das partes reais e imaginárias aos valores das amplitudes do espectro. Isso garante que a aplicação da iFFT sobre sinal no tempo obtido forneça a mesma curva em freqüência, desde que sejam usados o mesmo intervalo de tempo e o mesmo número de pontos na resolução da iFFT.

O procedimento começa com a divisão da curva em freqüência em 2m_{pontos. Ressalta-se que o número de}

pontos é uma potência de base 2, em função do algoritmo da FFT. Este número de pontos está relacionado com as freqüências inicial (geralmente f1 = 0) e final fj+1 conforme

a expressão abaixo: 1 2 1 1+ ∆ − = + f f fj m ₍₁₁₎

Da equação 11 obtém-se o intervalo de freqüência ∆f:

1 2 1 1 − − = ∆f fj+_m f (12)

Com o valor de ∆f, encontra-se o tempo final de intervalo da resposta que será obtida do tempo inicial ti até o

tempo final tf, com ti = 0.

f

t

_f

∆

= 1

(13)

Os valores do incremento de tempo ∆t e da última freqüência ff que será considerada na resposta são dados

pelas expressões seguintes:

1 2 + = ∆t t_mf f m f _t f =2 +1−1 ₍₁₄₎

Observa-se aqui que os valores de ∆t e ff são calculados

com o dobro do número de pontos. Isso se explica da seguinte forma: na resolução da FFT aplicada sobre um sinal no tempo, dois vetores são obtidos, contendo cada um deles o dobro do número de pontos pelo qual o sinal no tempo é dividido. Para que a freqüência fj+1 seja incluída na resposta,

fj+1 deve ser a freqüência de Nyquist, que representa a

metade do número de pontos, portanto deve-se ter 2m+1_.

A partir da curva mostrada na Figura 1, é gerado um vetor de amplitudes de velocidades do vento, cujos elementos são obtidos por:

f S

syj= 2 yj∆ com j de 2 até N (15)

São dos valores de syj que saem as parcelas aleatórias

resolução da iFFT.

Observa-se que os pontos iniciam com índice j = 2. O primeiro ponto é reservado ao valor da amplitude a0 do

sinal. Para as flutuações, considera-se a0 = 0.

São gerados valores aleatórios de zero a 1 para a variável α, aplicados sobre cada valor syj, os quais irão corresponder,

também aleatoriamente aos valores das partes real e imaginária do espectro, sempre obedecendo as relação definidas anteriormente e reescritas na forma seguinte:

2 2 2 yj s s_R =α 2 2 yj s s_I =β (16)

Para evitar o surgimento de uma parte imaginária nos valores do sinal no tempo, prescreve-se o valor da variável α, correspondente a freqüência f1 = 0, na unidade (α1 = 1) e,

conseqüentemente, β1 = 0.

Os produtos (αj · syj) e (βj · syj) são respectivamente a

parte real e a parte imaginária do vetor que é usado na aplicação da iFFT. No entanto, esses valores, da maneira que são gerados, ficam todos positivos. Para melhorar os resultados da iFFT, aplica-se, também aleatoriamente, nessas parcelas (real e imaginária) o sinal positivo e negativo.

Neste ponto, são montados os vetores para aplicação direta da iFFT. Estes vetores contêm o dobro de pontos do vetor formado. A seqüência a seguir retrata a montagem desses vetores.

9 {α0, αj · syj (j de 2 a N), 0, αj · syj (j de N-1 a 1)}

Esta seqüência é simétrica em relação à freqüência de Nyquist com total de pontos igual a 2N.

9 {β0, βj · syj (j de 2 a N), 0, -βj · syj (j de N-1 a 1)}

A segunda seqüência é simétrica em relação ao eixo das abscissas com número de pontos igual a 2N.

A aplicação da iFFT com estes dados resultará em um vetor com os valores no domínio do tempo, num total de 2N pontos. Por isso o intervalo de tempo é inicialmente dividido por 2.

O sinal no tempo é dado a partir da montagem da seqüência de pontos apenas da parte real, pois a parte imaginária teve sua nulidade forçada. O conjunto de pontos da solução no tempo é dado pela seqüência abaixo:

9 {(j-1) · ∆t, VRTj, com j de 1 a 2N}

Resumem-se, assim, comentários do método empregado. A seguir descreve-se como é obtida a correlação entre sinais para distintos pontos da estrutura.

2.3. Correlação espacial entre os sinais gerados

Para gerar sinais de flutuação de velocidade, com certa correlação entre eles ao longo da altura, utilizou-se o procedimento descrito a seguir.

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Simulação Numérica da Ação de Vento Turbulento Considerando Correlação Espacial Marco A. S. Pinheiro O primeiro passo é gerar um sinal a partir de um

espectro ou uma função em freqüência conhecida, conforme descrito anteriormente (Figura 1). Os demais sinais serão obtidos a partir deste.

O número k de sinais gerados dependerá da discretização do modelo da torre. Por exemplo, para um modelo com dez nós seriam gerados, dez sinais; para um modelo com vinte nós, vinte sinais, ou seja, o número de sinais que são gerados é igual ao número de nós do elemento unifilar discretizado, o que corresponde a um sinal para cada altura discretizada do modelo.

A curva em freqüência utilizada para gerar o primeiro sinal é dividida em k partes (Figura 2).

freqüência Sy f₁ fk+1 ... f₂ f₃ f₄ f₅ fk freqüência Sy f₁ fk+1 ... f₂ f₃ f₄ f₅ fk

Figura 2 – divisão da curva em freqüência (espectro) de acordo com o número de sinais a gerar

Considere as áreas delimitadas entre as freqüências f1 e f2

mostrada na Figura 3. f Sy f₁ f₂ f Sy f₁ f₂

Figura 3 – Delimitação da área de aplicação dos números aleatórios

Alterando-se os valores das componentes reais e imaginárias do espectro, apenas para a região delimitada pela área A1, e aplicando o método de obtenção das

flutuações previamente descrito, obtém-se um novo sinal diferente do primeiro sinal gerado. O coeficiente de correlação linear entre os dois sinais será tão perto de 1, quanto mais próximo f2 estiver de f1, o que gera sinais bem

semelhantes.

Para criar um terceiro sinal que esteja melhor correlacionado com o sinal 2, quando comparado com o sinal 1, gera-se uma nova região de alteração das componentes real e imaginária do espectro, conforme indica a Figura 4. f Sy f₂ f₃ f Sy f₂ f₃

Figura 4 – Nova região de aplicação dos números aleatórios

Esse procedimento (de gerar nova região de alteração) deve ser efetuado até que o número de sinais necessários seja atingido. O ideal é que o último sinal seja gerado de modo que a freqüência fk+1 corresponda à última freqüência

na curva do espectro.

Diferentes curvas de correlação podem ser obtidas, dependendo da distribuição das áreas Ak escolhidas.

Se as áreas Ak forem tomadas de modo que sejam iguais,

ou seja,

A1 = A2 = A3 = ••• = Ak e f(k+1) – fk ≠ f(k+2) – f(k+1)

então, a curva de correlação terá um aspecto semelhante à mostrada a seguir: 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 0 5 10 15 20 s/D 25

R (coeficiente de correlação linear)

D s

Figura 5 – Curva de correlação dos sinais obtida quando

A1 = A2 = ••• = Ak

Se as áreas forem tomadas diferentes, ou seja, com as freqüências igualmente espaçadas, de modo que:

A1 ≠ A2 ≠ A3 ≠ ••• ≠ Ak e f(k+1) – fk = f(k+2) – f(k+1)

então a curva de correlação terá um aspecto semelhante à mostrada na Figura 6 a seguir:

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 0 5 10 15 20 s/D 25

D s

Figura 6 - Curva de correlação dos sinais obtida quando

A1 ≠ A2 ≠ ••• ≠ Ak

Esta última curva tem uma forma muito parecida com aquela de curvas apresentadas na literatura ([4], [5] e [6]), sendo, por isso, adotado aqui o critério de freqüências

A2

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velocidade, com as respectivas correlações. 2.4 Intensidade de turbulência

Todos os sinais gerados pelo método mostrado anteriormente têm o mesmo desvio-padrão σ e representam as flutuações em torno da velocidade média em cada altura.

Sendo os desvios-padrão iguais para todos os sinais, as

curvas de intensidade de turbulência normalizada In = σ/Uz(htopo) e local I = σ/Uz(h) são semelhantes as

apresentadas na Figura 7.

H

In intensidade local de turbulência In intensidade normalizada de turbulência

Figura 7 – Curvas de intensidade de turbulência local e normalizada em função da altura, obtidas para sinais com o mesmo desvio-padrão

Vickery e Clark [7] apresentam resultados experimentais para os quais a curva de intensidade de turbulência normalizada não é constante ao longo da altura da torre.

O procedimento descrito a seguir utiliza-se dos resultados experimentais de um protótipo de torre sob ação de vento turbulento apresentados em [7].

O primeiro passo para alterar a curva de intensidade de turbulência e mantê-la conforme aquela encontrada em [7] é extrair valores da intensidade turbulência medida em cada altura do modelo. Para os valores específicos do modelo do trabalho citado, fez-se uma interpolação linear entre os principais pontos marcados no gráfico de resultados medidos experimentalmente (Figura 8). A interpolação é necessária para se obter valores das intensidades de turbulência nas alturas intermediárias àquelas encontradas na curva original.

Uma vez extraídas da curva experimental as intensidades de turbulência para cada altura, efetuam-se os passos seguintes para ajustar os sinais de flutuação gerados matematicamente. 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 0 0,02 0,04 0,06 0,08intensidade de turbulência0,1 0,12 0,14 retas de interpolação

Figura 8 – Curva de intensidade de turbulência normalizada e retas de interpolação (adaptada de Vickery, 1972)

• Calcular o desvio padrão de um dos sinais gerados por simulação (todos são iguais):

σsinal1 = σ1

• Obter a relação entre a velocidade média no topo (U36) e o desvio-padrão σ1, do sinal de flutuação, ou seja, o

inverso da intensidade de turbulência normalizada da flutuação obtida matematicamente.

1 1 36 ₌ − σ In U (17) • Multiplicar o valor obtido com a equação 17 pela intensidade de turbulência experimental de cada altura. Encontra-se aqui uma constante de multiplicação cm(h) em

função da altura h do modelo da torre. Essa constante é uma relação entre o desvio-padrão do sinal experimental e o desvio-padrão da flutuação gerada.

1 exp 1 36 36 exp 1 exp ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( σ σ = σ σ = ∴ = − U h U h h c I h I h cm n n m (18)

• Multiplicar as constantes cm(h) pelos respectivos

sinais de flutuação gerados.

[novo sinal no tempo para altura h] = cm(h) x [sinalo(h)].

Onde sinalo(h) é o sinal de flutuação obtido numericamente.

O novo sinal assim obtido terá valores de intensidade de turbulência iguais aos experimentais e a correlação entre os sinais não é alterada com esse processo. É possível gerar os sinais com as intensidades de turbulência iguais as do modelo da torre [7], diretamente de outros espectros de vento ([8], [9] e [10]).

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3. EXEMPLO

O exemplo numérico apresentado a seguir tem seus dados principais encontrados em Vickery e Clark [7] e trata-se de um modelo de torre de trata-seção variável em túnel de vento, submetida a ação de vento com diferentes valores de intensidade de turbulência ao longo da altura da torre.

3.1 Perfil de velocidade de vento - ajustes

A equação do perfil de velocidade do vento foi obtida a partir dos dados encontrados em [7].

Em um primeiro ajuste, determinou-se a equação que governa o perfil de velocidade do vento em função da altura do modelo (Figura 9). h = 1,1127e3,5178x 0 7,87 15,74 23,61 31,48 39,35 47,22 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 H (in) razão de velocidades

Figura 9 – Ajuste do perfil de velocidade do vento para funções logarítmicas

As curvas sem os indicadores (°) representam as curvas ajustadas e obedecem à relação a seguir:

h = a ebx₍₁₉₎

com

a = 0,0283 e b = 3,5178 para h metros (SI) ou a = 1,1127 e b = 3,5578 para h em polegadas

A relação (19) acima traz a razão de velocidade (x=Uz/U36) como variável independente, e h,

correspondente à altura, como variável dependente. Não é usual escrever a equação do perfil de velocidade nessa forma. Obtém-se, então, uma função inversa para se usar a equação de perfil de velocidade.

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = a h b x 1ln (20)

Nesta última equação, os valores de a e b são os mesmos.

Aqui Uz é a velocidade medida numa altura z qualquer

da torre e U é a velocidade média no topo do modelo da 36

torre, que tem altura igual a 36 in.

3.2 Curva de intensidade de turbulência normalizada - ajustes

A montagem das curvas de intensidade de turbulência e do perfil de velocidade foi feita a partir dos dados encontrados em [7] e estas são mostradas na Figura 10.

Para a simulação numérica fez-se uma interpolação linear entre os principais pontos da curva, obtendo-se retas para avaliar a intensidade de turbulência em função da altura considerada. Foram feitas dez interpolações, conseqüentemente, dez funções lineares, sendo que duas delas foram obtidas para completar a curva de intensidade de turbulência no trecho que vai de h = 0 até h = 3 in.

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 H (in) razão de velocidades intensidade de turbulência

Figura 10 – Curvas de intensidade de turbulência (em vermelho) e do perfil de velocidade (em azul) montadas a partir dos dados de [7]

Ainda a partir dos dados extraídos de [7], montou-se a curva de intensidade local de turbulência (Figura 11).

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 H (in)

Intensidade de turbulência (local)

Figura 11 – Curva de intensidade local de turbulência obtida a partir de dados encontrados em Vickery (1972)

3.3 Sinais de velocidade do vento gerados por processo matemático-computacional

No exemplo aqui apresentado, os sinais de flutuação foram gerados a partir do espectro de Kaimal, com a expressão do perfil de velocidade do vento na forma

(7)

O espectro de Kaimal é dado por: 3 / 5 1 2 1 ) 50 1 ( 200 ) ( Y f u Y f S e f + = com z e U h f Y =₁ (21)

Segundo Lawson [10], a velocidade de fricção uf varia

em torno de 1,5m/s a 3m/s.

O perfil de velocidade utilizado é dado por: ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = a h b U Uz 36 ln (22)

Para gerar um sinal é necessário estabelecer uma velocidade Uz no topo (U36 na altura h = 36 in).

A Tabela 1 resume os principais parâmetros e seus valores, usados para gerar conjunto de sinais gerados.

Tabela 1 – Dados de ajustes do perfil de velocidade e do espectro de Kaimal

uf htopo U36 = Utopo a b

1,5m/s 0,9144m 9,53m/s 0,02826 (m) 3,5178 Com estes valores, obtém-se o espectro de vento mostrado na Figura 12. Ao lado da figura, vêem-se os valores utilizados na FFT para geração dos sinais.

Figura 12 – Espectro de vento

A curva de sy é mostrada na Figura 13, juntamente com

as áreas de modificação das componentes real e imaginária. A curva sy representa a variação da velocidade do vento

em função da freqüência ou as componentes de intensidade de velocidade de vento para cada freqüência que compõem o sinal no tempo.

A função sy é dada pela equação

f S

sy= 2 y∆ (23)

Figura 13 – curva sy (raiz do espectro), com a distribuição das

áreas de modificação das componentes real e imaginária para montagem dos 40 sinais de flutuação

Os sinais de velocidade do vento ao longo da altura do modelo foram gerados de acordo com o número de nós discretizados.

O modelo da torre foi discretizado com 41 nós. Em função disso, foram gerados numericamente – usando o método de geração aleatória da parte real e imaginária a partir de um espectro de vento – 40 sinais para distribuir em cada nó do modelo.

Na geração dos sinais foi considerada ainda a correlação espacial entre cada um deles, de modo que quanto mais afastado um nó do outro menor o coeficiente de correlação linear entre os sinais. A Figura 14 ilustra como o sinal de flutuação preparado para o topo da torre está correlacionado com os demais sinais de flutuação ao longo da torre (R = 1, significa uma correlação com s/D = 0, ou seja, com o próprio sinal). Nesta figura, s é igual à distância entre um ponto e o topo da torre; D é o diâmetro médio do modelo (Dinferior + Dsuperior)/2. Esta curva é semelhante às curvas de

correlação encontradas na literatura.

-0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 0 5 10 15 20 s/D 25

D s

Figura 14 – Curva de correlação dos sinais de flutuação de velocidade do vento gerados (R40,j)

Alguns dos sinais gerados no tempo são mostrados nas figuras apresentadas a seguir. Juntamente com a Tabela 2, estas figuras ilustram como alguns dos sinais gerados estão correlacionados entre si.

Na Tabela 2, Ri,j corresponde ao coeficiente de

correlação linear entre o sinal no nó i e o sinal na posição referente ao nó j. Se i = j, significa que a correlação é com o mesmo sinal, portanto Ri,j = 1. Quando i ≠ j, a correlação

entre os sinais é diferente de 1 e apresenta-se tanto menor que a unidade, quanto mais afastada a altura i da posição j. m = 8; N = 256 fj+1 = 1,66 Hz ∆f = 0,0065 Hz tf = 153,6 s ∆t = 0,3 s ff = 3,327 Hz f (Hz) f (Hz) S (f)

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Simulação Numérica da Ação de Vento Turbulento Considerando Correlação Espacial Marco A. S. Pinheiro

Tabela 2 – Valores de intensidade de turbulência e coeficiente de correlação linear R para alguns sinais gerados

sinal altura do nó In |Ri,j|

1 0,025H 0,066 R1,1 1,000 2 0,050H 0,072 R1,2 0,864 19 0,475H 0,111 R1,20 0,112 20 0,500H 0,110 R1,40 0,021 39 0,975H 0,054 R19,20 0,991 40 1,000H 0,048 R39,40 0,994

Ri,j: coeficiente de correlação entre o sinal em um nó i e outro sinal em

um nó j, para o modelo discretizado; H: altura do modelo da torre; In:

intensidade de turbulência.

A Figura 15 ilustra a variação da velocidade ou da flutuação da velocidade em torno de uma velocidade média no tempo, para dois sinais gerados bem próximos a base do modelo da torre e em pontos 2 vezes afastados entre si. Observa-se que os dois sinais apresentam boa correlação, correspondente a R1,2 = 0,864. -4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 0 30 60 90 120 150 u (m/s) do sinal 1 em 0,025H u (m/s) do sinal 2 em 0,05H tempo ( ) flutuação de velocidade u (m/s)

Figura 15 – Flutuações de velocidade do vento dos sinais 1 e 2

Comparando as flutuações de velocidade geradas para a meia altura da torre (0,5H) com aquela gerada para a base (em 0,025H), observa-se como a correlação praticamente desaparece entre os sinais (R1,20 = 0,112), conforme se nota

na Figura 16. Outra identificação importante diz respeito à intensidade de turbulência. No sinal 1, o número de picos de velocidade acima de 1m/s é bem menor que o do sinal 20, o qual apresenta velocidades de pico chegando a quase 3m/s. Este comportamento é coerente com as intensidades de turbulência definidas para cada sinal.

-4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 0 30 60 90 120 150 u (m/s) do sinal 1 em 0,025H u (m/s) do sinal 20 em 0,50H tempo ( ) flutuação de velocidade u (m/s)

Figura 16 - Flutuações de velocidade do vento dos sinais 1 e 20

A comparação da flutuação de velocidade entre os sinais da base e do topo é percebida na Figura 17 com baixa correlação espacial, mesmo com a baixa intensidade de turbulência destes dois sinais.

Na Figura 18 têm-se dois sinais gerados na metade da altura do modelo da torre. A maior intensidade de

turbulência é identificada em ambos os casos, com picos de velocidade atingindo 3m/s. O coeficiente de correlação de 0,991 ratifica como os sinais estão visualmente próximos ou quase idênticos. -4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 0 30 60 90 120 150 u (m/s) do sinal 1 em 0,025H u (m/s) do sinal 40 em 1,00H tempo (s) tempo ( ) flutuação de velocidade u (m/s)

-4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 0 30 60 90 120 150 u (m/s) do sinal 19 em 0,475H u (m/s) do sinal 20 em 0,50H tempo (s) tempo (s) flutuação de velocidade u (m/s)

Finalizando as comparações, percebe-se na Figura 19 o comportamento semelhante ao dos sinais mostrados na Figura 18, com exceção da intensidade de turbulência.

-4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 0 30 60 90 120 150 u (m/s) do sinal 39 em 0,975H u (m/s) do sinal 40 em 1,00H tempo (s) tempo ( ) flutuação de velocidade u (m/s)

A transformada inversa de Fourier ou iFFT aplicada sobre estes sinais fornecerá a curva mostrada na Figura 13, desde que a iFFT seja resolvida com N = 256, para um ∆t = 0,30s.

Deste conjunto de sinais foram montadas as curvas de intensidade de turbulência normalizada e local, mostradas respectivamente na Figura 20 e na Figura 21.

O perfil de velocidade é definido de acordo com a máxima velocidade no topo do modelo. O conjunto de sinais de flutuação apresentado aqui é para um determinado valor de Utopo.

(9)

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 In 0,14 Figura 20 – Curva de intensidade de turbulência obtida a partir dos sinais gerados de flutuação

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 In Local 0,6 h (m)

Figura 21 – curva de intensidade de turbulência local obtida a partir dos sinais gerados de flutuação

4. CONCLUSÕES

O modelo de geração de curvas de flutuação da velocidade do vento apresenta correlações compatíveis com avaliações experimentais.

As flutuações geradas serão mais representativas de um caso real, quando geradas a partir de espectros de vento que sejam montados a partir de medições de velocidade do vento para uma determinada região ou modelo.

É possível incluir diferentes valores de intensidade de turbulência em cada sinal gerado. Isso torna a curva de intensidade de turbulência normalizada mais condizente com o caso real.

Quanto maior a largura de banda do espectro de freqüência modificada pela geração de números aleatórios, maior será a diferença entre o sinal de origem e o novo sinal gerado.

Melhores resultados são obtidos conforme o algoritmo de geração de números aleatórios, para se aplicar sobre os valores e sinais das partes imaginárias e reais do espectro de vento.

Um novo valor de Utopo, ou seja, outro perfil de

velocidade implicará em uma nova geração de sinais de flutuação se forem mantidas as intensidades de turbulência ao longo da altura do modelo.

Caso não seja mantida a mesma variação da intensidade de turbulência ao longo da altura, podem-se somar as mesmas flutuações de velocidade obtidas pela simulação

da torre ou modelo. O problema dessa última consideração é que as intensidades de turbulência serão cada vez menores, à medida que Utopo aumenta.

REFERÊNCIAS

[1] D. Ambrosini, J. Riera, R. Danesi. “Respuesta Dinámica de Estructuras Sometidas a Acciones de Viento Obtenidas por Simulación”. XXIX Jornadas Sudamericanas de Ingenieria Estructural. Noviembre del 2000. Punta del Este, Uruguay.

[2] Battista, R. C., Rodrigues, R. S. & Pfeil, M. S. “Dynamic behavior and stability of transmission line towers under wind forces”. Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics 91 (2003) 1051–1067.

[3] Buchholdt, H. A., Moossavinejad, S. & Iannuzzi A. “Non-linear dynamic analysis of guyed masts subjected to wind and guy ruptures”, Proc. Inst. Civ. Eng. September (Part 2) 81 (1986) 353–359.

[4] Blessmann, J., Introdução ao Estudo das Ações Dinâmicas do Vento. Porto Alegre. Editora da Universidade, UFRGS, 1988.

[5] Vickery, B. J., “Fluctuating Lift and Drag on a Long Cylinder of Square Cross-Section in a Smooth and in a Turbulent Stream”, Journal of Fluids Mechanics, (1966), vol. 25, part 3, 481-494.

[6] Lee, B. L., “The Effect of Turbulence on the Surface Pressure Field of a Square Prism”, Journal of Fluids Mechanics, (1975), vol. 69, part 2, 263-282.

[7] Vickery, B. J. & Clark, A. W., “Lift or Across-Wind Response of Tapered Stacks”, Journal of the Structural Division, Proceedings of the American Society of Civil Engineers, 8634, ST 1, Janeiro (1972). 1-20.

[8] Davenport A.G., “The spectrum of horizontal gustiness near the ground in high winds”, J. Roy Meteorol. Soc., 87, pp.194-211. 1961.

[9] Davenport A.G., “The application of statistical concepts to the wind loading of structures”, Proc. Inst. Civ. Engineers., 19, pp.449-461. 1961.

[10] Lawson, T. V., Wind Effects on Buildings: Design Applications, Volume 1. Applied Science Publishers LTD, London, 1980.