PLANEJAMENTO E PROGRAMAÇÃO DA PRODUÇÃO DE CERVEJA CONSIDERANDO TANQUES-PULMÃO PARA ARMAZENAR CERVEJA FILTRADA

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PLANEJAMENTO E PROGRAMAC

¸ ˜

AO DA PRODUC

¸ ˜

AO DE CERVEJA

CONSIDERANDO TANQUES-PULM ˜

AO PARA ARMAZENAR CERVEJA

FILTRADA

Tamara A. Baldo

Universidade Federal de São Carlos - Departamento de Engenharia de Produção Via Washington Luiz, km.235, 13565-905, São Carlos-SP, Brasil

tamara@dep.ufscar.br Maristela O. Santos

Universidade de São Paulo - Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação Av. Trabalhador São-carlense, 400, 13560-970, São Carlos-SP, Brasil

mari@icmc.usp.br Reinaldo Morabito

Universidade Federal de São Carlos - Departamento de Engenharia de Produção Via Washington Luiz, km.235, 13565-905, São Carlos-SP, Brasil

morabito@dep.ufscar.br

RESUMO

Esta pesquisa propõe um modelo matemático de otimização para representar o problema multiestágio de planejamento e programação da produção de cerveja considerando a possibilidade de estocagem de l´ıquido pronto e filtrado dentro de tanques-pulmão (buffer tanks). O processo de fabricação de cerveja possui duas etapas principais, o Estágio I (preparação do l´ıquido) que ocorre basicamente dentro de tanques de fermentação/maturação e resulta em l´ıquido pronto para ser filtrado e enviado ao Estágio II (envase). Enquanto aguarda o envase, o l´ıquido pode permanecer nos tanques de fermentação/maturação. Ou ainda, após a filtragem, o l´ıquido pode ser alocado a tanque(s)-pulmão durante a espera pelo envase. Os planos de produção obtidos pela resolução do modelo proposto são analisados, destacando as vantagens e desvantagens de se utilizar tanques-pulmão.

PALAVRAS CHAVE. Modelo Matemático, Tanques-Pulmão, Ind ústria Cervejeira, Planeja-mento e Programação da Produção.

PM - Programação Matemática, IND - PO na Ind ústria

ABSTRACT

This research proposes a mathematical optimization model to represent the multistage lot-sizing and scheduling problem for beer production, considering the possibility of ready and fil-tered liquid in inventory inside buffer tanks. The brewing process has two main stages, the Stage I (liquid preparation) occurs mostly inside fermentation/maturation tanks resulting in ready liquid to be filtered and sent to Stage II (filling process). The liquid may remain in fermentation/maturation tanks while awaiting the filling process. Or, after filtration, the liquid can be allocated to the buffer tanks until the bottling process starts. Production plans obtained by the resolution of the mathema-tical model are analyzed, highlighting the advantages and disadvantages of using buffer tanks. KEYWORDS. Mathematical Model, Buffer Tanks, Brewery Industries, Production Planning and Programming.

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1. Introduc¸˜ao

O processo de fabricação de cerveja é composto por dois estágios principais, sendo o estágio I responsável pela preparação do l´ıquido (i.e. produz chopp, após a pasteurização se trans-forma em cerveja) e ocorre dentro de tanques de fermentação/maturação, em sua maior parte do tempo. A duração desta etapa é estimada em vários dias. Cada tanque fica dedicado ao l´ıquido que lhe foi designado desde o in´ıcio até o término do per´ıodo de fermentação e maturação, respectiva-mente, podendo ser reabastecido apenas quando estiver vazio. Ao término da maturação, o l´ıquido pronto pode ser filtrado e enviado às linhas de envase, iniciando o estágio II. Se, por alguma razão, o envase não puder iniciar imediatamente após o término da maturação, o l´ıquido precisa aguardar a disponibilidade da envasadora, podendo permanecer por alguns dias dentro dos próprios tanques de fermentação/maturação. Ou ainda, ser filtrado e armazenado dentro de tanques-pulmão (em inglês, buffer tanks) enquanto espera o envase, mas a validade deste é de poucos dias, bem menor que a opção anterior. O estágio II inicia somente se houver l´ıquido pronto e filtrado dispon´ıvel para ser envasado, ou seja, o chopp será alocado a garrafas de vidro, latas de alum´ınio, barris, etc. Em outras palavras, após a pasteurização de um determinado l´ıquido, a cerveja é a mesma em qualquer uma das embalagens, não alterando seu paladar e aroma. O processo de envase ocorre sobre uma esteira rolante, conduzindo as embalagens em todo seu curso para as etapas: enchimento, fechamento, pasteurização, rotulagem e, por fim, empacotamento. Para mais detalhes, veja Baldo et al. (2013) e Baldo et al. (2014).

As principais decisões pertinentes ao estágio I são: estabelecer quais tanques serão utili-zados durante o processo de fermentação/maturação de cada l´ıquido, determinar qual a quantidade e qual l´ıquido a ser alocado a cada tanque de modo a atender a demanda requerida pelo estágio II e, além disso, respeitar as limitações dos recursos dispon´ıveis, minimizando os custos envolvidos. Nesta etapa, tem-se um problema de dimensionamento de lotes. Na literatura há diversos trabalhos que modelam matematicamente apenas as decisões de dimensionamento dos lotes, dos quais pode-se citar: Wagner e Whitin (1958), Eppen e Martin (1987), Maes et al. (1991) e Tonaki e Toledo (2010).

Relativo ao estágio II, adicionalmente ao problema de decidir quando, qual a quantidade e qual (ou quais) recurso(s) será utilizado para a produção de cada item durante o horizonte de plane-jamento (problema de dimensionamento de lotes), tem-se também o sequenciamento da produção acoplado ao problema. Ou seja, para cada envasadora, a capacidade dispon´ıvel para a produção dependerá tanto do tamanho do lote quanto da sequência do processamento dos lotes de produção. Na literatura, trabalhos que integram o problema de dimensionamento de lotes e o sequenciamento da produção em um mesmo modelo matemático podem ser encontrados em Drexl e Kimms (1997), Fleischmann e Meyr (1997), Toso et al. (2009), Menezes et al. (2011), Ferreira et al. (2012), San-tos e Almada-Lobo (2012), Almada-Lobo et al. (2015) e Copil et al. (2016), sendo este último um overview.

Ainda sobre o estágio II, além de estabelecer qual a ordem da produção (sequenciamento) dos itens em cada envasadora, tem-se também que determinar qual tanque fornecerá l´ıquido pronto a cada linha de enchimento durante os per´ıodos do horizonte de planejamento. Estabelecer quais linhas serão abastecidas por cada tanque é de extrema importância, principalmente se a conexão dos tubos que ligam o tanque e a envasadora é realizada manualmente.

Resumidamente, no estágio I tem-se um problema independente da sequência de produção, enquanto que no estágio II a ordem de produção é importante. Lembrando ainda que, entre o estágio I e o II, tem-se a possibilidade de armazenamento do l´ıquido pronto e filtrado dentro de tanques-pulmões.

Na literatura, as decisões envolvidas no problema de planejamento (dimensionamento de lotes) e programação (sequenciamento) da produção de cerveja ainda são relativamente pouco es-tudadas. Uma das pesquisas relacionadas ao presente trabalho aparece em Guimarães et al. (2012), que explora o problema da produção anual em uma empresa de bebidas (refrigerante e cerveja)

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de Portugal, onde consideram um ambiente multi-planta, a sazonalidade da demanda, entre ou-tras especificidades desta empresa e, ainda, permitindo transferência de produção entre as plantas. Porém, o referido trabalho não considera as decisões envolvendo o estágio I. Guimarães et al. (2012) propõem um algoritmo VNS (Variable Neighborhood Search) para a resolução do problema.

Outras pesquisas que abordam o problema de planejamento e programação da produção de cerveja são Baldo et al. (2013), Baldo et al. (2014) e Baldo et al. (2015) e estas consideram expli-citamente ambos os estágios. Nos estudos abordados em Baldo et al. (2013), os autores propõe um modelo matemático para tratar de maneira acoplada as decisões presentes nos estágios I e II, este trabalho considera um tanque de fermentação/maturação e múltiplas linhas de enchimento, ou seja, uma simplificação do problema encontrado nas cervejarias. Já em Baldo et al. (2014), os autores propõem um modelo de programação matemática que visa otimizar as principais decisões perten-centes ao estágio I e II de maneira acoplada, considerando múltiplos tanques e linhas de envase. O modelo proposto não trata a possibilidade de utilização de tanques-pulmão. Neste trabalho tem-se duas MIP-heur´ısticas que utilizam estratégias relax-and-fix e fix-and-optimize. As soluções encon-tradas fornecem planos de produção viáveis que visam minimizar os custos de estoque e atraso na entrega da demanda de itens finais (cervejas comumente comercializadas), como também, preten-dem minimizar o número de trocas nas linhas de envase, dado que as preparações destas linhas são dependentes da sequência de produção dos itens e, ainda, consideram a preparação referente a troca dos tanques que abastecem com l´ıquido pronto as linhas de envase. Ou seja, antes de iniciar o envase, as linhas precisam estar preparadas (ajustadas) para a produção de determinado item, ca-libradas para que as embalagens sejam preenchidas corretamente de l´ıquido pronto e, além disso, cada linha de envase precisa ser suprida por (no máximo) um tanque a cada instante do horizonte de planejamento em que ocorre produção. A cada troca de item ou de tanque nas linhas de envase, deve haver uma preparação desta linha.

Em Baldo et al. (2015), os autores resolvem cada estágio do problema de maneira desa-gregada utilizando uma MIP-heur´ıstica que foi desenvolvida com base no modelo de Baldo et al. (2014) e propõe primeiro resolver o estágio I e, depois, o estágio II (respeitando as decisões já estabelecidas no estágio anterior). Cada solução obtida é um plano de produção viável.

Neste presente trabalho, além de considerar as decisões envolvidas nos estágios I e II, assim como nos trabalhos mencionados, acopla-se a possibilidade de armazenamento de l´ıquido pronto e filtrado em tanques-pulmão enquanto aguarda o envase. Sendo assim, este artigo propõe um modelo matemático para representar o problema de planejamento e programação da produção presente na indústria cervejeira, otimizando as principais decisões relativas aos estágios I e II (si-multaneamente), incluindo a possibilidade de utilização de tanques-pulmão para alocação de l´ıquido pronto e filtrado. Esta pesquisa tem o intuito de analisar as vantagens e desvantagens de se utilizar tanques-pulmão. Para a resolução do modelo proposto utilizou-se um solver de otimização.

As demais seções deste artigo estão organizadas da seguinte forma: na Seção 2 (Mo-delo matemático) descreve-se o mo(Mo-delo matemático apresentado neste trabalho utilizando tanques-pulmão e traz um exemplo numérico para facilitar o entendimento do problema, ressaltando em quais aspectos se diferencia do modelo já apresentado na literatura. Na Seção 3 (Resultados com-putacionais) apresenta-se os resultados computacionais preliminares analisando os aspectos positi-vos e negatipositi-vos da abordagem proposta. E, as conclusões e perspectivas são mostradas na Seção 5 (Conclusões e perspectivas).

2. Modelo matem´atico

O modelo matemático apresentado nesta seção tem o intuito de representar o problema de planejamento e programação da produção de cerveja incorporando a possibilidade de utilização dos tanques-pulmão para armazenamento de l´ıquido pronto e filtrado, enquanto este aguarda o processo de envase. A modelagem matemática proposta utiliza como base o modelo de Baldo et al. (2014). Esta nova abordagem difere-se da literatura, principalmente, ao incorporar a possibilidade de utilização dos tanques-pulmão.

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Para o entendimento do modelo matemático proposto, considere as definições de conjun-tos, parâmetros e variáveis realizadas a seguir:

Conjuntos:

N : conjunto de itens (i e j ∈ N ); L: conjunto de l´ıquidos (l ∈ L);

M : conjunto de linhas de envase (m ∈ M );

O: conjunto dos tanques de fermentação/maturação (o ∈ O);

T1: conjunto dos per´ıodos correspondente a primeira parte do horizonte de planejamento;

T2: conjunto dos per´ıodos da segunda parte do horizonte de planejamento (T1∩ T2 = ∅);

T : conjunto dos per´ıodos (t ∈ T = T1∪ T2);

λt: conjunto dos sub-per´ıodos pertencentes ao per´ıodo t (p ∈ λt, t ∈ T );

γl: conjunto de itens que utilizam l em sua composic¸˜ao;

µmconjunto de itens que podem ser produzidos em m;

ˆ

O: conjunto dos tanques-pulmão (ô ∈ Ô); O0: conjunto de todos os tanques (O0= O ∪ Ô). Parâmetros:

∆l: quantidade de per´ıodos que o l´ıquido l utiliza durante seu processamento (tempo de fermentação/maturação

e limpeza dos tanques);

dit: demanda do item i no per´ıodo t;

h+_i : custo de estoque de uma unidade do item i ao final do per´ıodo; h−_i : custo de atraso do i ao final do per´ıodo t;

ami: tempo de produc¸˜ao de uma unidade do item i na linha de envase m;

Cmt: tempo dispon´ıvel da envasadora m no per´ıodo t;

rli: quantidade de l´ıquido l necess´aria para produzir uma unidade do item i;

bmji: tempo de preparação da envasadora m ao trocar a configuração do item j para i;

Ω: número máximo de preparações em uma envasadora durante um per´ıodo; α: número suficientemente pequeno;

B: n´umero suficientemente grande;

Kol0 = 0: n˜ao h´a estoque de l´ıquido pronto no tanque o no in´ıcio do horizonte de planejamento;

I_i0+= 0: n˜ao h´a estoque inicial do item i;

I_i0−= 0: n˜ao h´a atraso do item i no in´ıcio do horizonte de planejamento; ˆ

Eol0ˆ = 0: não há l´ıquido l estragado dentro do tanque-pulmão ô no in´ıcio do horizonte de

planeja-mento; ˆ

Kol0ˆ = 0: não há l´ıquido l em estoque no tanque-pulmão ô no in´ıcio do horizonte de planejamento;

ˆ

Qoôl0 = 0: não há l´ıquido l vindo do tanque de fermentação/maturação o e sendo enviado para ô no

in´ıcio do horizonte de planejamento;

Capo_min: capacidade m´ınima do tanque de fermentação/maturação o; Capo_max: capacidade máxima do tanque de fermentação/maturação o;

ˆ

Capo_minˆ : capacidade m´ınima do tanque-pulm˜ao ˆo; ˆ

Capo_maxˆ : capacidade máxima do tanque-pulmão ô;

validade: quantidade m´axima de per´ıodos que l´ıquido pode ficar dentro do tanque-pulm˜ao; ˆ

: penalidade por deixar o l´ıquido estragar. Vari´aveis:

Est´agio I

Kolt: quantidade (i.e., estoque) de l´ıquido l pronto e dispon´ıvel no tanque de fermentação/maturação

o no per´ıodo t;

Qolt: quantidade total de l´ıquido l que fica pronto no tanque de fermentação/maturação o no per´ıodo

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YI

olt: 1, se o l´ıquido l fica pronto no per´ıodo t no tanque de fermentação/maturação o; 0 caso

contr´ario. Est´agio II

I_it+: quantidade do item i em estoque no final do per´ıodo t; I_it−: quantidade do item i em atraso no final do per´ıodo t;

Zmjip: 1 se existe troca, na linha de envase m, do item j para o i no sub-per´ıodo p; 0 caso contr´ario.

Observe que se i = j, tem-se a troca de tanques que abastecem as linhas de enchimento.

Y_omipII : 1 se o tanque o (sendo o ∈ O0) abastece de l´ıquido a linha de envase m e esta encontra-se preparada para produzir o item i no subper´ıodo p; 0 caso contr´ario.

Tanques-pulm˜ao ˆ

Eoltˆ : quantidade de l´ıquido l que estragou no tanque-pulm˜ao ˆo no per´ıodo t;

ˆ

Koltˆ : quantidade de l´ıquido l em estoque no tanque-pulm˜ao ˆo no per´ıodo t;

ˆ

Qoôlt: quantidade de l´ıquido l que saiu do tanque de fermentação/maturação o e foi filtrado e

envi-ado ao tanque-pulm˜ao ˆo no per´ıodo t; ˆ

Y_oÎ_olt: 1 se o l´ıquido l saiu do tanque de fermentação/maturação o para tanque-pulmão ô no per´ıodo t, 0 caso contrário;

ˆ

Goltˆ : 1 se o tanque-pulmão ô possui l´ıquido l em estoque ao per´ıodo t, 0 caso contrário;

Acoplamento (tanques-pulm˜ao, est´agios I e II)

Xomip: montante de item i produzido na envasadora m no per´ıodo p, abastecido pelo l´ıquido do

tanque o (sendo o ∈ O0). Minimizar X i∈N X t∈T h+_i I_it++X i∈N X t∈T h−_i I_it−+ X m∈M X j,i∈µm X p∈λt, t∈T1 αZmjip +X ˆ O∈ Ô X l∈L X t∈T ˆ Êôlt (1) Sujeito a:

(Acoplamento: Tanques-pulmão, estágios I e II) Kolt= Kol,t−1− X m∈M X i∈γl∩µm X p∈λt rliXomip− X ˆ o∈ Ô ˆ

Qoˆolt+ Qolt o ∈ O; l ∈ L; t ∈ T (2)

(Est´agio I) L X l0₌₁ ∆l+1 X t0₌₁ Kol0_,t−t0 ≤ B(1 − Y_oltI ) o ∈ O; l ∈ L; t ∈ T (3) X l∈L ∆l X t0₌₀ Y_ol,t−tI 0 ≤ 1 o ∈ O; t ∈ T (4)

(6)

(Tanques-pulmão) ˆ Kôlt= ˆKôl,t−1− X m∈M X i∈γl∩µm X p∈λt

rliX|O|+ˆo,mip− ˆEoltˆ +

X o∈O ˆ Qoôlt ô ∈ Ô; l ∈ L; t ∈ T(6) X l0_∈L ˆ Kôl0_,t−1 ≤ B(1 − X o∈O ˆ Y_oÎ_olt) ô ∈ Ô; l ∈ L; t ∈ T(7) validade X t0₌₀ ˆ Gol,t+tˆ 0 ≤ validade X o∈O validade−1 X t0_=0, t−t0_>0 ˆ Y_oÎ_ol,t−t0 ô ∈ Ô; l ∈ L; t ∈ T(8) ˆ Koltˆ ≤ B ˆGI_ˆ_olt o ∈ ˆˆ O; l ∈ L; t ∈ T (9) X l∈L ˆ Gôl,t≤ 1 o ∈ ˆˆ O; t ∈ T (10) X o∈O X l∈L ˆ Yoôlt≤ 1 o ∈ ˆˆ O; t ∈ T (11) ˆ

Capô_minYˆ_oÎ_olt≤ ˆQoôlt≤ ˆCapômaxYôÎolt o ∈ O; ô ∈ Ô; l ∈ L; t ∈ T (12)

(Est´agio II) X o∈O0 X m∈M, i∈µm X p∈λt Xomip+ Ii,t−1+ + I − it = dit+ Ii,t−1− + Iit+ t ∈ T ; i ∈ N (13) X o∈O0 X i∈µm X p∈λt amiXomip+ X j∈µm X i∈µm X p∈λt bmjiZmjip≤ Cmt t ∈ T1; m ∈ M (14) X o∈O0 X i∈µm X p∈λt amiXomip≤ Cmt t ∈ T2; m ∈ M (15) Xomip≤ C_a_mimtYomipII o ∈ O 0_{; m ∈ M ; i ∈ µ} m; p ∈ λt; t ∈ T (16) X o∈O0 X i∈µm Y_omipII = 1 m ∈ M ; p ∈ λt; t ∈ T1 (17) X o∈O0 X i∈µm Y_omipII ≤ Ω m ∈ M ; p ∈ λt; t ∈ T2 (18) X o∈O0 Y_omj,p−1II = X i∈µm Zmjip m ∈ M ; j ∈ µm; p ∈ λt; t ∈ T1 (19) X o∈O0 Y_omipII = X j∈µm Zmjip m ∈ M ; i ∈ µm; p ∈ λt; t ∈ T1 (20)

Xomip ≥ 0; YomipII ∈ {0, 1}; 0 ≤ Zmjip≤ 1 o ∈ O0; i, j ∈ N ; m ∈ M ; p ∈ λt; t ∈ T

Kolt≥ 0; Qolt≥ 0; YoltI ∈ {0, 1}; o ∈ O; l ∈ L; t ∈ T

I_it+≥ 0; I_it−≥ 0 i ∈ N ; t ∈ T

ˆ

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A função objetivo (1) visa minimizar a soma dos custos de estoque de produto final, os custos de atraso na entrega da demanda, um termo proporcional (α) vinculado ao número de trocas de itens nas linhas de envase (evitando trocas desnecessárias nas linhas de envase) e, ainda, visa minimizar os custos envolvidos caso estrague l´ıquido dentro dos tanques-pulmão.

As restrições de acoplamento (2) entre os tanques-pulmão e os estágios I e II representam as equações de equil´ıbrio da quantidade de l´ıquido pronto dispon´ıvel nos tanques de fermentação/ma-turação, permitindo que a produção ocorra se houver l´ıquido pronto e dispon´ıvel para o envase den-tro destes tanques. Ou, envia o l´ıquido aos tanques-pulmão, onde este fica armazenado enquanto aguarda o envase.

O conjunto de restrições (3)-(5) representam o estágio I, sendo semelhantes ao problema original apresentado em Baldo et al. (2014). As restrições (3) garantem que, para ter l´ıquido pronto em t (Y_oltI = 1), o processo de fermentação/maturação ocorre durante os ∆lper´ıodos imediatamente

anteriores a t e, durante este per´ıodo, o l´ıquido não está dispon´ıvel. O tanque deve estar vazio antes de começar o processo de fermentação/maturação no per´ıodo t − (∆l+ 1). As restrições (4)

asseguram que, durante todo o per´ıodo do processo de fermentação/maturação o tanque não tem l´ıquido dispon´ıvel, ou seja, Y_oltI é igual a zero. Finalizando o estágio I, as restrições (5) garantem que a quantidade de l´ıquido pronto respeitem os limites inferiores e superiores para cada tanque.

As restrições (6)-(12) representam as decisões relacionadas aos tanques-pulmão e aco-plam a possibilidade do l´ıquido pronto ser estocado dentro destes tanques, liberando os tanques de fermentação/maturação. As restrições (6) garantem que poderá ocorrer produção se houver l´ıquido pronto dentro dos tanques-pulmão, além disso, caso haja l´ıquido jogado fora, as variáveis Êoltˆ

cap-tam o valor a ser descartado. Lembrando que a produção cap-também pode ocorrer se houver l´ıquido pronto e dispon´ıvel nos tanques de fermentação/maturação, veja restrições (2). As restrições (7) ga-rantem que se o tanque-pulmão recebeu l´ıquido no per´ıodo t, este estava vazio ao final do per´ıodo anterior (t − 1). A garantia de que o l´ıquido não passará do prazo de validade dentro dos tanques-pulmão é realizado pelas restrições (8). As restrições (9) captam se o tanque-tanques-pulmão, ao final do per´ıodo, estoca l´ıquido pronto. As restrições (10) asseguram que cada tanque-pulmão poderá arma-zenar no máximo um l´ıquido por per´ıodo. As restrições (11) garantem que ao enviar l´ıquido pronto ao tanque-pulmão, este receba apenas um único tipo de l´ıquido, vindo de apenas um tanque, dado que os l´ıquidos de diferentes tanques de fermentação/maturação não podem se misturar, mesmo que estes sejam do mesmo tipo. E, por fim, as restrições (12) garantem que a capacidade máxima e m´ınima dos tanques-pulmão sejam respeitadas.

As restrições que designam o estágio II (13) - (20) foram adaptadas do modelo Baldo et al. (2014), para permitir a utilização de tanques-pulmão no abastecimento de l´ıquido pronto às linhas de envase. As restrições (13) asseguram o equil´ıbrio entre estoque, atraso, produção e demanda. As restrições (14) e (15) garantem que a capacidade das linhas de enchimento sejam respeitadas durante T1 e T2, respectivamente. Durante T1, o tempo de preparação contribui para o consumo

da capacidade, o que não ocorre em T2. As restrições (16), garantem que a produção de i ocorre

apenas se a linha de envase estiver preparada para produzi-lo. De acordo com as restrições (17), cada linha de envase deve estar preparada para um único item a cada sub-per´ıodo p ∈ λt, t ∈ T1.

As restrições (18) limitam o número de preparações de cada linha de enchimento em Ω a cada sub-per´ıodo p ∈ λt, t ∈ T2. Lembre-se que na segunda parte do horizonte (T2) as decisões de

sequenciação não são consideradas, mas vários lotes (até Ω) podem ser produzidos na mesma linha de enchimento por sub-per´ıodo. Finalmente, as restrições (19) e (20) captam a transição de itens nas linhas de enchimento em T1. Além disso, as restrições (21) definem o dom´ınio das variáveis.

2.1. Exemplo num´erico

Para ilustrar o impacto da (não) utilização dos tanques-pulmão durante a elaboração do plano de produção de cerveja, considere os dados definidos para o exemplar numérico fict´ıcio de pequeno porte, o qual será referenciado por Toy Model, contido na Tabela 1. Os quadros (i) a

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(x) contém informações como capacidade das envasadoras, tempo de preparação das envasadoras, tempo de processamento de cada item, etc.

Os modelos foram implementados utilizando a linguagem de programação C++, conjun-tamente com a biblioteca Concert do software de otimização CPLEX (versão 12.6). Os testes com-putacionais foram realizados em uma máquina com processador Intel(R) i7 2600 (quatro núcleos, 2 threads cada) de 3.4 GHz e 16GB de memória RAM.

Tabela 1: Dados do exemplo num´erico Toy Model

Os resultados do Toy model considerando o tempo de execução limitado em 3600 se-gundos encontram-se reportados na Tabela 2. Considere para a interpretação da Tabela 2-(i), na coluna ‘Tanques-pulmão’, que a linha ‘Sem’ relata os resultados do modelo de Baldo et al. (2014) e a linha ‘Com’ traz os resultados obtidos pelo modelo proposto. A linha ‘Aumento’ refere-se a comparação percentual em relação ao modelo da literatura e ao modelo proposto, calculado por (22), onde V alorCom refere-se ao valor do modelo que considera tanques-pulmão e V alorSemdo modelo sem tanque-pulmão. A coluna ‘#Restrições’ apresenta o número total de restrições de cada modelo matemático ao resolver o Toy model, veja o aumento em 75,1% do número de restrições do modelo com tanques-pulmão em relação ao modelo que não os considera. A coluna ‘#Variáveis’ e ‘#IntVar’ abordam o número total de variáveis e o número de variáveis inteiras para cada modelo, note que houve um aumento de 67,3% e 78,8%, respectivamente, do modelo com em relação ao sem tanques-pulmão. ‘Fo LP’ e ‘Time LP’ trazem o valor da função objetivo para o problema relaxado e o tempo que o CPLEX demorou para encontrá-la, observe que ambos os modelos tem valores iguais nestas colunas. ‘FO MIP’, ‘LB’ e ‘GAP’ são os resultados obtidos durante a resolução do modelo inteiro-misto para a função objetivo, limitante inferior e GAP, sendo este último calculado segundo (23). O CPLEX utiliza o método branch-and-cut na resolução de modelos de programação inteira mista. Este procedimento gera uma árvore de pesquisa que possui nós, onde a coluna ‘#Nós’ traz a quantidade de nós explorados durante a execução do método; note que houve uma diminuição de mais de 99% do modelo que considera os tanques-pulmão em relação ao que não os considera. Os valores ‘#Atraso’, ‘#Trocas’ e ‘#Estoque’ referem-se aos valores correspondente ao atraso na entrega da demanda, aos números de preparações das linhas de envase e a quantidade de itens es-tocados de um per´ıodo ao outro, durante o horizonte de planejamento. E, por fim, a coluna

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‘#Atra-soFinal’ traz a quantidade de itens que não tiveram a sua demanda entregue ao final do horizonte de planejamento. Com relação aos valores denotados nestas últimas colunas, vejam que o modelo proposto neste trabalho empatou ou teve um desempenho superior em relação ao outro. Destaca-se, principalmente, o fato de não atrasar a entrega da demanda de nenhum item, enquanto o modelo que não considera os tanques-pulmão atrasa a entrega de 4 itens durante o horizonte de planejamento (veja ‘#Atraso’).

Tabela 2: Toy model: análise dos modelos sem e com tanques-pulmão (tempo de execução limitado em 3600 segundos).

(i) Informações sobre a execução dos modelos

Tanques-pulmão #Restrições #Variáveis #IntVars FO LP TimeLP FO MIP LB

Sem 1480 1675 624 145,5 0,1 229,81 205,4727

Com 2592 2803 1116 145,5 0,1 205,05 145,5123

Aumento 75,1% 67,3% 78,8% 0,0% 0,0% -10,8% -29,2%

GAP #N´os #Atraso #Trocas #Estoque #AtrasoFinal

10,6% 7999899 4 1 8957,1 0

29,0% 68224 0 1 8920,6 0

174,2% -99,1% - 0,0% -0,4% 0,0%

(ii) Convergˆencia

Tempo Sem tanques-pulm˜ao | Com tanques-pulm˜ao

(segundos) LB FO MIP GAP | LB FO MIP GAP

1 145,5 102958,8 99,9% | 145,5 103758,8 99,9% 600 187,6 229,8 18,4% | 145,5 42556,2 99,7% 1200 194,7 229,8 15,3% | 145,5 1059,7 86,3% 1800 198,8 229,8 13,5% | 145,5 216,5 32,8% 2400 201,6 229,8 12,3% | 145,5 216,5 32,8% 3000 204,1 229,8 11,2% | 145,5 207,6 29,9% 3600 205,5 229,8 10,6% | 145,5 205,1 29,0%

Aumento = V alorCom_{V alor}−V alorSem Sem (22)

GAP = FO MIP−LB_{FO MIP} (23)

A Tabela 2-(ii) analisa a convergência entre o limitante inferior (LB) e a função objetivo (FO MIP) de ambos os modelos. Note que o modelo que não considera tanques-pulmão melhorou tanto o valor de LB quanto o de FO MIP, terminado ao final dos 3600 segundos com um GAP de 10,6%. Já o modelo com tanques-pulmão melhorou apenas FO MIP, chegando a um GAP de 29,0%.

A Tabela 3 traz os resultados do Toy model considerando um tempo limite de 24 horas. O modelo da literatura encontrou a solução ótima aos 11556 segundos, veja Tabela 3-(i). Enquanto o outro utilizou todo o tempo permitido e obteve um GAP de 24,2%. Entretanto, observe na Tabela 3-(ii), nos per´ıodos t = 3 e t = 4 o atraso na entrega da demanda do item i = 2 presente na solução

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Tabela 3: Toy model: resumo dos resultados obtidos após 86400 segundos de execução.

(i) Informações sobre valor da função objetivo (Fo MIP), lower bound (LB), GAP (GapMIP), tempo de execução (TimeMIP), etc. Tanques-pulmão Fo MIP LB GapMIP TimeMIP #Nós #Atraso #Trocas #Estoque #AtrasoFinal

Sem 229,8 229,8 0,0% 11556 33820258 4 1 8957,1 0 Com 192,0 145,5 24,2% 8640 266961 0 1 8464,1 0 Aumento -16,5% -25,2% -99,2% -100% 0,0% -5,5%

-3. Testes computacionais

Os testes computacionais foram conduzidos utilizando a mesma linguagem de programação e a mesma configuração de máquina descrita na Seção 2.1. Vários experimentos computacionais foram realizados utilizando as instâncias de Baldo et al. (2014) e os resultados obtidos para todas as instâncias foram bastante semelhantes. Como o intuito desta pesquisa é destacar as vantagens e desvantagens de se considerar os tanques-pulmão durante a elaboração dos planos de produção, de-talharemos a solução de uma das instâncias. A instância teste utilizada possui 5 linhas de envase, 35 itens e 37 tanques de fermentação/maturação tanques-pulmão). A quantidade de tanques-pulmão considerada para os testes foi calculada com base em análise de dados reais, que corresponde a pouco mais de 20% da quantidade total de tanques de fermentação/maturação. Para a instância cujo resultado está detalhado nesta seção considera-se 8 tanques-pulmão (d37 · 0, 2e).

A Tabela 4 resume os resultados obtidos para a referida instância ao executar os modelos em 86400 segundos. Ambos utilizaram todo o tempo limite dispon´ıvel. O modelo que consi-dera os tanques-pulmão apresentou um aumento de 147%, 64% e 106% em relação ao número de restrições (#Restrições), quantidade total de variáveis (#Variáveis) e quantidade de variáveis intei-ras (#IntVars), respectivamente. Como também apresentou um grande número de demandas não atendidas ao final do horizonte de planejamento. Para FO LP, TimeLP e LB os valores são iguais ou muito próximos.

No geral, ao analisar a estrutura dos modelos com tanques-pulmão para todas as de-mais instâncias testes, estas apresentaram um aumento de de-mais de 130% em relação ao número de restrições, mais de 50% sobre a quantidade total de variáveis e um aumento de mais de 100% das variáveis inteiras.

Tabela 4: Resultados obtidos para um exemplar com |M | = 5 e |N | = 35 após 24 horas de execução dos modelos.

Tanques-pulmão #Restrições #Variáveis #IntVars FO LP TimeLP FO MIP LB

Sem 138166 342392 99974 59156,21 1 131462 59269,47

Com 341502 562024 206262 59156,21 1 15005648 59223,64

Aumento 147% 64% 106% 0% 0% 11314% 0%

GAP #N´os #Atraso #Trocas #Estoque #AtrasoFinal

54,9% 34206 586 57 130284,1 0

99,6% 2583 5044802 23 97175,6 295863,4

81% -92% 860788% -60% -25%

-4. Conclus˜oes e perspectivas

Esta pesquisa propõe um novo modelo matemático de otimização que visa representar o problema de planejamento e programação da produção multiestágio encontrado nas cervejarias,

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considerando a possibilidade de utilização de tanques-pulmão para armazenar l´ıquido pronto e fil-trado enquanto este aguarda o envase. Segundo Baldo et al. (2014), o processo de produção de cerveja pode ser dividido em dois principais estágios: preparação do l´ıquido (estágio I) e envase (estágio II). Assim que o estágio I termina, o l´ıquido está pronto para ser filtrado e enviado às enva-sadoras. Porém, se o envase não puder ter in´ıcio ao término do estágio I, o l´ıquido pode permanecer dentro dos próprios tanques de fermentação/maturação ou, após a filtragem, este pode ser alocado a tanque(s)-pulmão. Testes computacionais foram conduzidos com o intuito de ressaltar as van-tagens e desvanvan-tagens de se utilizar a abordagem que considera a utilização de tanques-pulmão. Conclui-se que a utilização de tanques-pulmão pode trazer planos de produção alternativos que evi-tam atrasos na entrega da demanda. Porém, encontrar uma solução ótima (ou de boa qualidade) para o modelo é uma tarefa bastante árdua, principalmente devido ao grande aumento no número de variáveis e restrições do problema. Dentre os principais trabalhos futuros a serem explorados, tem-se a elaboração de um método MIP-heur´ıstico utilizando o modelo proposto neste presente tra-balho, visando obter soluções de melhor qualidade. Uma outra possibilidade, é explorar alternativas para modelar matematicamente o problema em questão, como, por exemplo, utilizar desigualdades válidas visando reduzir o número de variáveis inteiras e/ou melhorar a relaxação linear. E, ainda, a aplicação da decomposição proposta em Dantzig e Wolfe (1960), conjuntamente com a geração de colunas e um procedimento de factibilização para obter uma solução de boa qualidade.

Agradecimentos

Os autores agradecem à CAPES (Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de N´ıvel Superior), à FAPESP (Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo) e ao CNPq (Con-selho Nacional de Desenvolvimento Cient´ıfico e Tecnológico).

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