03
U
UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA
Faculdade de Ciências e TecnologiaGraduação em Engenharia Cartográfica
HELOÍSA ALVES DA SILVA
ADEQUAÇÃO DE SOFTWARES COMERCIAIS
ÀS EXIGÊNCIAS DA LEI 10.267/2001
Presidente Prudente Fevereiro de 2007
HELOÍSA ALVES DA SILVA
ADEQUAÇÃO DE SOFTWARES COMERCIAIS
ÀS EXIGÊNCIAS DA LEI 10.267/2001
Relatório de Iniciação Científica (nº 3), referente às atividades realizadas no período de 01/08/2006 a 31/12/2006, sob a orientação da Prof. Dr. João Francisco Galera Monico, docente do Departamento de Engenharia Cartográfica, da FCT/Unesp Campus de Presidente Prudente. Processo FAPESP nº 05/01575-0.
Presidente Prudente Fevereiro de 2007
RESUMO
No Brasil, várias têm sido as aplicações do GPS, principalmente com o advento da Lei 10.267/2001, a qual, dentre outras disposições, trata do georreferenciamento de imóveis rurais. No entanto, os resultados disponibilizados pela maioria dos softwares comerciais de processamento e ajustamento de dados GPS não permite aos usuários avaliar de forma confiável os seus resultados. Por exemplo, as injunções são utilizadas de forma absoluta, o que sempre proporcionam resultados com precisões extremamente otimistas. A adoção de algumas análises adicionais, juntamente com a implementação de alguns aplicativos, podem reduzir esses problemas. Sendo assim, foi proposto neste projeto de iniciação científica, na área de Geodésia, investigar e implementar algoritmos complementares aos softwares comerciais de processamento e ajustamento de dados GPS, de modo a atender de forma confiável os requisitos da Lei 10.267/2001 sobre o georreferenciamento de imóveis rurais. Desta forma, foi implementado em linguagem de programação C++ Builder um software de ajustamento de redes GPS denominado AJURGPS, o qual trabalha com arquivos de vetores de linhas de base de redes GPS processadas em softwares como GPSurvey, TGO, SKI-PRO, GPSeq (disponíveis na FCT/UNESP). Além do ajustamento da rede, foram implementados algoritmos para realizar o controle de qualidade do mesmo através do teste global Qui-quadrado e também a detecção de erros grosseiros através dos métodos Data Snooping e teste
Tau. Foram programadas também as redundâncias parciais, com as quais o usuário pode
verificar a controlabilidade da rede. Uma das grandes vantagens do AJURGPS é que o usuário pode considerar as variâncias e covariâncias dos pontos de controle da rede, as quais podem ser introduzidas juntamente com as coordenadas geodésicas cartesianas ou curvilíneas. Além disso, é possível escolher o sistema de referência envolvido (SIRGAS 2000 ou SAD 69). Outra vantagem é quanto à sua implementação, a qual se utilizou dos conceitos de matrizes esparsas e de listas lineares. O usuário tem ainda a oportunidade de visualizar a configuração da rede a partir do desenho no próprio software, além de outras opções.
PALAVRAS CHAVES: Redes GPS, ajustamento de redes geodésicas, georreferenciamento
LISTA DE FIGURAS
FIGURA 1–LISTA LIGADA LINEAR____________________________________________________________ 32
FIGURA 2–LISTA LIGADA PARA O CASO DE MATRIZES ESPARSAS____________________________________ 34
FIGURA 3–TRECHO DO ARQUIVO “BLSUM.TXT” _______________________________________________ 37
FIGURA 4–TRECHO DO ARQUIVO EXPORTADO PELO TGO _________________________________________ 38
FIGURA 5–ARQUIVO DE LINHA DE BASE PROCESSADA NO SKI-PRO _________________________________ 39
FIGURA 6–ARQUIVO DE LINHA DE BASE PROCESSADA NO GPSEQ ___________________________________ 39
FIGURA 7–CRIAÇÃO DE UM NOVO PROJETO NO AJURGPS_________________________________________ 40
FIGURA 8–IMPORTAÇÃO DE ARQUIVOS DE PROCESSAMENTO DE LINHAS DE BASE _______________________ 41
FIGURA 9–FORMAS DE ENTRADA DAS INJUNÇÕES _______________________________________________ 41
FIGURA 10–TABELA DE INJUNÇÕES COM AS COORDENADAS CONHECIDAS E RESPECTIVAS VARIÂNCIAS E
COVARIÂNCIAS_______________________________________________________________________ 42
FIGURA 11–VISUALIZAÇÃO DOS RESULTADOS DO AJUSTAMENTO ___________________________________ 43
FIGURA 12–VISUALIZAÇÃO DO DESENHO DA REDE ______________________________________________ 43
FIGURA 13–CONFIGURAÇÃO DO TESTE QUI-QUADRADO __________________________________________ 44
FIGURA 14–DETECÇÃO DE ERROS____________________________________________________________ 44
FIGURA 15–REDE GPS AJUSTADA NO AJURGPS________________________________________________ 45
FIGURA 16–CONFIGURAÇÃO DA REDE GPS PERTENCENTE A RBMC _________________________________ 47
LISTA DE TABELAS
TABELA 1–DIMENSÕES DAS MATRIZES NO AJUSTAMENTO_________________________________________ 31
TABELA 2–OBSERVAÇÕES DO LEVANTAMENTO_________________________________________________ 45
TABELA 3–COORDENADAS DOS VÉRTICES INJUNCIONADOS________________________________________ 46
TABELA 4–VARIÂNCIAS E COVARIÂNCIAS DOS VÉRTICES INJUNCIONADOS ____________________________ 46
TABELA 5–QUALIDADE DOS AJUSTAMENTOS REALIZADOS_________________________________________ 46
TABELA 6–PRECISÃO POSICIONAL DAS COORDENADAS AJUSTADAS PELO AJURGPS ____________________ 46
TABELA 7–COORDENADAS OFICIAIS DA ESTAÇÃO PPTE EM SIRGAS2000FONTE:IBGE ________________ 48
TABELA 8–OBSERVAÇÕES DO LEVANTAMENTO_________________________________________________ 48
TABELA 9–INJUNÇÕES CONSIDERADAS NO AJUSTAMENTO DA REDE (SIRGAS2000)FONTE:IBGE _________ 48 TABELA 10–RESULTADOS DO AJUSTAMENTO DA REDE GPS(SIRGAS2000) __________________________ 48
TABELA 11–DISCREPÂNCIAS COM RELAÇÃO AS COORDENADAS OFICIAIS DA ESTAÇÃO PPTE EM SIRGAS2000
1 INTRODUÇÃO ...2
2 OBJETIVOS ...3
3 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ...4
3.1 Lei 10.267/2001 e sistemas de referência...4
3.2 Observáveis GPS ...5
3.3 Processamento e ajustamento de dados GPS...6
3.4 Métodos de Posicionamento Geodésico com GPS ...9
3.5 Ajustamento de redes GPS...11
3.6 Controle de qualidade...14
3.6.1 Teste estatístico (Qui-quadrado)... 14
3.6.2 Teste estatístico para a detecção de erros grosseiros nas observações... 16
3.6.2.1 Método de Baarda : Data Snooping... 16
3.6.2.2 Método de Pope: Teste Tau ... 18
3.6.3 Medidas de confiabilidade... 20
3.6.3.1 Confiabilidade interna ... 21
3.6.3.2 Confiabilidade externa... 23
3.7 Transformação de coordenadas e sistemas com propagações de covariâncias ...23
3.7.1 Coordenadas curvilíneas para cartesianas e vice-versa... 23
3.7.2 Coordenadas cartesianas para UTM ... 25
3.7.2.1 Coordenadas curvilíneas para TM ... 25
3.7.2.2 Coordenadas TM para UTM... 28
3.7.3 Sistema SAD 69 para SIRGAS 2000... 29
3.8 Otimização dos algoritmos no ajustamento de redes GPS ...30
3.8.1 Matrizes esparsas no ajustamento de redes GPS ... 30
3.8.2 Listas lineares ... 31
3.9 Softwares de processamento de dados GPS ...34
4 RESULTADOS ...36
4.1 Leitura de arquivos de processamento das linhas de base ...36
4.2 Utilização do software AJURGPS ...39
4.3 Análise das precisões no ajustamento de rede GPS ...44
4.4 Comparação dos resultados do AJURGPS com o TGO...47
5 CONCLUSÃO...51
6 REFERÊNCIAS ...53
ANEXO A – Relatório criado pelo AJURGPS ...56
1 INTRODUÇÃO
Com o advento da Lei 10.267/2001, que trata do georreferenciamento de imóveis rurais, dentre outras disposições, abrem-se novas oportunidades para o uso do GPS no Brasil. Essa lei foi estabelecida em 28 de agosto de 2001 e consiste num marco da organização territorial brasileira das áreas rurais. A precisão posicional das coordenadas dos vértices da propriedade foi estabelecida pelo INCRA (Instituto Nacional de Colonização e Reforma Agrária) através da portaria nº 954, de 13 de novembro de 2002, na qual estabelece que cada vértice deva ter precisão posicional melhor que 0,50 metros (PORTARIA nº 954, 2002).
Para a realização do georreferenciamento de imóveis rurais, podem ser utilizadas várias metodologias. No caso de posicionamento com receptores GPS, diversos são os métodos factíveis de serem utilizados, onde se pode classificá-los como Posicionamento Estático e Cinemático, ou ainda como DGPS (Differential GPS). No método estático, há dois modos de posicionamento: o relativo e o posicionamento por ponto preciso (PPP), sendo este último também denominado posicionamento absoluto. No posicionamento relativo cinemático convencional, onde apenas duas estações são envolvidas, a precisão é da ordem de poucos centímetros, dependendo da distância em relação à estação base. Dispondo de um sistema de comunicação, pode-se realizar posicionamento em tempo real RTK (Real Time Kinematic) (MONICO, 2000). Porém, devido a de-correlação espacial dos erros, principalmente devido à ionosfera, a distância entre a estação de referência e o usuário, no posicionamento RTK convencional, é geralmente limitada a 20 km ou menos. Dessa forma, tem sido investigado o conceito de RTK em rede, o qual utiliza uma rede de estações de referência. Nesse tipo de posicionamento, os dados das estações de referência da rede são utilizados para gerar as chamadas “correções da rede”, ou até mesmo, dados de uma estação localizada nas proximidades do usuário, denominada Virtual Reference Station (VRS) (ALVES et al., 2005).
No geral, realiza-se o levantamento no modo pós-processado, no qual se utilizam
softwares comerciais ou científicos de processamento de dados GPS. Primeiramente, são
processadas todas as linhas de bases individualmente e, posteriormente, pode-se realizar o ajustamento de uma rede GPS, quando o software fornece tal opção. A maioria dos softwares comerciais não permite que se introduza as incertezas das coordenadas dos pontos de controle (injunção absoluta), seja no processamento das linhas de base ou no ajustamento de redes GPS. Logo, os resultados fornecidos por estes softwares são extremamente otimistas, visto que as incertezas das coordenadas dos pontos de controle não são propagadas para as coordenadas a serem determinadas.
A adoção de algumas análises adicionais, juntamente com a implementação de um aplicativo para ajustamento de redes GPS, poderá reduzir esses problemas. Dessa forma, este trabalho de iniciação científica buscou investigar e implementar algoritmos complementares aos softwares comerciais de processamento e ajustamento de dados GPS, de modo a atender de forma confiável os requisitos da Lei 10.267/2001 sobre o georreferenciamento de imóveis rurais. Sendo assim, foi implementado em linguagem de programação C++ Builder um software de ajustamento de redes GPS denominado AJURGPS.
Esse aplicativo realiza a leitura de arquivos de vetores de linhas de base de redes GPS processadas pelos softwares GPSurvey, TGO, SKI-PRO e GPSeq (disponível na FCT/Unesp). Além do ajustamento da rede, ele permite que o usuário realize o controle de qualidade através do teste global Qui-quadrado e também a detecção de erros grosseiros através dos métodos Data Snooping e teste Tau. Uma das vantagens do AJURGPS é que este considera as informações estocásticas no ajustamento. Outra vantagem é quanto à sua implementação, a qual se utilizou dos conceitos de matrizes esparsas e de listas lineares.
Na última etapa do projeto, que se refere a renovação da bolsa, além da leitura de arquivos advindos de outros softwares como o SKI-PRO e o GPSeq, foi implementado o controle de qualidade do ajustamento utilizando o teste Tau e o cálculo de redundâncias parciais. Para melhores análises dos resultados, programaram-se transformações entre coordenadas (cartesianas, curvilíneas e UTM) e entre Data com propagações de covariâncias. Alguns refinamentos e ajustes do software também participaram dessa etapa, além da elaboração do desenho da rede. Após as implementações realizaram-se algumas análises de ajustamento, as quais incluíram a comparação de resultados obtidos no AJURGPS com resultados advindos do software TGO, análise das precisões e controle de qualidade.
2 OBJETIVOS
Este projeto visa desenvolver um aplicativo complementar aos softwares comerciais, o qual é possível ajustar uma rede GPS, além da realização do controle de qualidade do ajustamento. Para tal procedimento é utilizado o teste Qui-quadrado para testar a qualidade global do ajustamento e o Data Snooping e Tau para a detecção de erros grosseiros.
3 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
3.1 Lei 10.267/2001 e sistemas de referência
A lei 10.267/2001 que trata do georreferenciamento de imóveis rurais, dentre outras disposições, foi estabelecida em 28 de agosto de 2001 e consiste num marco da organização territorial brasileira das áreas rurais. A apresentação dos vértices da propriedade na planta e no memorial descritivo devem estar no sistema de projeção UTM (Universal
Transverse Mercator), cuja precisão posicional estabelecida pelo INCRA (Instituto Nacional
de Colonização e Reforma Agrária) deve ser melhor que 0,50 metros a um nível de confiança de 1 sigma (68,3%) (INCRA, 2003; PORTARIA nº 954, 2002). Um fator importante que deve ser levado em consideração é o termo precisão posicional, o qual está relacionado à resultante das coordenadas. Sendo assim, é necessário analisar a precisão de cada componente, bem como da resultante.
Uma das medidas estabelecidas pela Lei é que as medições dos imóveis rurais devem ser feitas com suporte geodésico e estarem referenciadas ao Sistema Geodésico Brasileiro (SGB), de modo a obter identificação livre de superposições e que atenda a precisão posicional estabelecida pela legislação vigente (BRANDÃO; CARNEIRO, 2002). O SGB, atualmente, dispõe de quatro sistemas geodésicos de referência (CA – Córrego Alegre, SAD 69 – South American Datum, WGS 84 e SIRGAS - Sistema de Referência para as Américas) e várias realizações destes (MONICO, 2005).
O sistema de referência associado ao GPS, quando se utilizam efemérides transmitidas, é o WGS 84. Sua origem é o centro de massa da Terra (sistema geocêntrico), com eixos cartesianos X, Y, e Z idênticos ao CTRS (Conventional Terrestrial Reference
System) para a época 1984,0. O SIRGAS, originalmente denominado de Sistema de
Referência Geocêntrico da América do Sul, concebido em 1993 e com duas campanhas GPS já realizadas, culminou com duas densificações do ITRF (International Terrestrial Reference
Frame). Hoje, sua denominação é Sistema de Referência para as Américas. O SIRGAS 2000
tem como sistema geodésico de referência o ITRS (International Terrestrial Reference
System) e o elipsóide de referência é o GRS 80. A partir de 25 de fevereiro de 2005, com a
resolução 01/2005, passou-se a utilizar, para o SGB e para Sistema Cartográfico Nacional (SCN), o SIRGAS 2000, tendo por época de referência 2000,4. Para o SGB o SIRGAS 2000 pode ser utilizado em concomitância com o SAD 69 e, para o SCN, em concomitância também com o CA (MONICO, 2005).
3.2 Observáveis GPS
As observáveis básicas do GPS que permitem determinar posição, velocidade e tempo podem ser identificadas como (SEEBER, 2003, p. 252):
• Pseudodistância a partir da medida do código;
• Fase da onda portadora ou diferença de fase da onda portadora.
A medida da pseudodistância é obtida a partir da correlação entre o código gerado pelo satélite no instante de transmissão (tt) e sua réplica gerada no receptor no instante de recepção (tr). A equação da pseudodistância entre o satélite s e o receptor r pode ser escrita
como (MONICO, 2000):
(
)
s r PD s s r s r s r s r s r sr cdt dt Ion Trop dm Orb
PD =ρ + − + + + + +ν , (1)
onde: s r
ρ - distância geométrica entre o satélite, no instante de transmissão do sinal, e o receptor, no instante de recepção do sinal;
c - velocidade da luz no vácuo; r
dt - erro do relógio do receptor em relação ao tempo NAVSTAR-GPS;
s
dt - erro do relógio do satélite em relação ao tempo NAVSTAR-GPS; s
r
Ion - erro causado pela ionosfera; s
r
Trop - erro causado pela troposfera; s
Orb - erro da posição do satélite; s
r
dm - erro causado pelo multicaminho; s
i PD
ν - erro da pseudodistância devido aos efeitos não modelados e aleatórios.
A medida da fase de batimento da onda portadora é obtida a partir da diferença entre a fase gerada pelo satélite, no instante de transmissão do sinal, e sua réplica gerada pelo receptor, no instante de recepção do sinal. Apenas uma medida fracionária é obtida, restando
um número inteiro de ciclos desconhecido, denominado ambigüidade (N). A equação da fase de batimento da onda portadora pode ser escrita como (SEEBER, 2003):
( )
(
)
(
( )
( )
)
s v s r 0 r 0 s t s r s r s r s r s r s r sr t f Ion Tropc dm Orb +f dt −dt + φ t −φ t +N +νφ ρ − + + + = φ , (2) onde:
f - freqüência nominal da fase;
( )
0s t t
φ - fase inicial no satélite, correspondente à época de referência t0;
( )
0r t
φ - fase inicial no receptor, correspondente à época de referência t0;
s r
N - ambigüidade da fase no instante inicial de rastreio e
s v
φ
ν - erro da fase da portadora devido aos efeitos não modelados e aleatórios.
Os demais termos da equação 2 são os mesmos da equação 1.
3.3 Processamento e ajustamento de dados GPS
O ajustamento pelo Método dos Mínimos Quadrados (MMQ) pode ser efetuado usando o modelo paramétrico (método das equações de observações), o dos correlatos (método das equações de condição) ou o combinado.
Em geral, no processamento de dados GPS, o método usado é o paramétrico, quer seja em lote (em que todas as observações são ajustadas simultaneamente) quer seja recursivamente (onde as observações podem ser inseridas à medida que se tornam disponíveis - através de Filtragem Kalman) (MONICO, 2000).
Neste projeto é utilizado o método paramétrico para o processamento das observáveis, bem como para o ajustamento de redes GPS. Neste método, o modelo linear ou linearizado, inconsistente, torna-se consistente pela introdução de um vetor dos resíduos (V) (MONICO, 2000):
b L AX V = − , (3) onde: b
L - vetor (m x 1) das observações;
X - vetor (m x 1) dos parâmetros incógnitos;
A - matriz (m x n) de escalares conhecidos, ou matriz Jacobiana; V - vetor (m x 1) dos resíduos;
m - número de equações;
n - número de incógnitas (parâmetros).
O modelo matemático das observáveis na forma linearizada, considerando que a esperança matemática dos resíduos E{V} é nula, pode ser escrito como:
{ }
L AX E b = , (4){ }
L = , D ΣLb (5) onde:{ }
L D - operador de dispersão; b LΣ - matriz variância-covariância (MVC) das observações.
Minimizando a forma quadrática fundamental (MMQ), obtêm-se equações normais utilizadas no método paramétrico:
0
a X
X
X= + , (6)
onde, X é o vetor dos parâmetros aproximados e 0 X é o vetor dos parâmetros ajustados dado a por:
PL PA).A (A
Xa = T T b , (7)
1 2 0 b L P=σ Σ− . (8)
As MVCs são expressas a seguir:
1 2 0 Xa ˆ N − σ = Σ , (9) T X La =AΣ aA Σ , (10) a b L L V =Σ +Σ Σ , (11) onde: a
X - vetor dos parâmetros ajustados;
a
X
Σ - MVC dos valores ajustados;
a
L
Σ - MVC das observações ajustadas; V
Σ - MVC dos resíduos.
A injunção no ajustamento é uma restrição imposta a alguns parâmetros e pode ser absoluta (quando os parâmetros são mantidos fixos), relativa (quando os parâmetros são tratados como observações adicionais ou pseudo-observações) ou funcional (quando os parâmetros obedecem a uma determinada condição) (CAMARGO, 2000).
A introdução de injunções, para o caso deste trabalho, é feita na forma de pseudo-observações, acrescentando à matriz A, as linhas correspondentes aos coeficientes e, na matriz peso as injunções absolutas ou relativas são definidas como sub-matrizes (MARINI, 2002).
No processo de ajustamento das observações, quando as injunções são absolutas, as incertezas dos parâmetros não são transferidas para os parâmetros incógnitos aos quais eles estão ligados. Em conseqüência, a solução obtida, apesar de ser mais atraente, por apresentar valores numéricos de dispersão menores, não representa a realidade, pois contrariam a lei de propagação das covariâncias. Já as injunções relativas transferem suas incertezas aos parâmetros incógnitos e por isso apresentam valores de dispersão maiores, porém, mais realísticos (MARINI, 2002 p. 69).
3.4 Métodos de Posicionamento Geodésico com GPS
Posicionamento diz respeito à determinação da posição de objetos com relação a um referencial específico. Pode ser classificado em posicionamento absoluto, quando as coordenadas estão associadas diretamente ao geocentro e, posicionamento relativo, quando as coordenadas são determinadas com relação a um referencial materializado por um ou mais vértices com coordenadas conhecidas.
No contexto de posicionamento relativo, utilizam-se, em geral, as duplas diferenças como observáveis fundamentais, no qual se têm os métodos de posicionamento estático, estático rápido, semicinemático e cinemático. Estes métodos de posicionamento podem ser realizados utilizando uma das seguintes observáveis originais: pseudodistância; fase da onda portadora e, fase da onda portadora e pseudodistância (MONICO, 2000). Neste trabalho, é realizado o ajustamento de dados advindos do posicionamento relativo estático e estático rápido.
No posicionamento relativo estático, dois ou mais receptores rastreiam, simultaneamente, os satélites visíveis por um período de tempo que pode variar de dezenas de minutos (20 minutos no mínimo), até algumas horas. Quando o período de ocupação das estações é relativamente longo, somente as duplas diferenças da fase da onda portadora podem ser normalmente incluídas como observáveis. Como a precisão da fase da onda portadora é muito superior a da pseudodistância, a participação desta última não melhora os resultados de forma significativa. Mesmo assim, as pseudodistâncias devem estar disponíveis no pré-processamento para estimar o erro do relógio do receptor, ou calcular o instante aproximado de transmissão do sinal pelo satélite.
Considerando que um levantamento foi realizado durante k épocas, o modelo matemático linearizado para o posicionamento estático, o qual é uma forma expandida da expressão 4, pode ser escrito como (MACHADO, 2001):
∆ ∆ = φ φ φ n b 0 B I B ... ... 0 B I B 0 B I B } l l ... l l l l { E k k 2 2 1 1 DD DD DD DD DD DD PDk k 2 PD 2 1 PD 1 , (12) onde:
i = 1,2,...,k - índice das épocas observadas;
1
DD
l φ e lDDPD- são os vetores das DD (Duplas Diferenças) calculadas em função dos parâmetros aproximados, subtraídos das DD observadas da fase de batimento da onda portadora e da pseudodistância, respectivamente;
B - matriz de coeficientes, associada aos parâmetros referentes às componentes da base;
b
∆ - vetor de correção aos parâmetros aproximados das componentes da base; I - matriz de coeficientes, associada aos parâmetros referentes às ambigüidades;
n
∆ - vetor de correção aos parâmetros aproximados das ambigüidades.
O procedimento para resolver a equação 12 pode ser dividido em três passos. No primeiro, realiza-se o ajustamento convencional, proporcionando as soluções reais ∆ e n ∆b. No segundo passo, ∆ é ajustado como ambigüidades inteiras por algum método pré-n definido. Em MACHADO (2001) e MONICO (2005) são descritos diversos métodos para solução das ambigüidades como números inteiros. No caso da lei 10.267/2001, é exigido pela norma técnica do INCRA que a solução da ambigüidade seja obtida como um valor inteiro, sem no entanto especificar sobre o controle de qualidade da mesma. Após ter encontrado o vetor de ambigüidades inteiras n(∆ , este é então utilizado no passo final para o ajustamento de
b
∆ , procedimento conhecido como solução fixa (Fixed Solution).
Vale ressaltar que levantamentos que necessitam de intervalos de tempo inferiores a 20 minutos e que o receptor móvel é desligado entre as seções de coleta, são denominados de estático rápido, cujo modelo matemático funcional, para cada seção é idêntico ao dado pela equação 12 (MACHADO, 2001). Para se obter os resultados do processamento dos dados GPS, deve-se aplicar o ajustamento de observações, como descrito na seção 3.3.
3.5 Ajustamento de redes GPS
As redes geodésicas podem ser pensadas como sendo a realização do referencial geodésico de uma determinada região, cujos pontos materializados guardam entre si alguma relação de precisão e apresentam alta confiabilidade. No processamento das observações são fornecidas as coordenadas de cada vértice, ou diferença de coordenadas, se nenhum vértice for injuncionado, e respectivas precisões. Internamente, no programa de processamento, as observações que são redundantes sofrem um ajustamento (MARINI, 2002 p.52). O resultado desse processamento pode ser referenciado ao WGS 84, se forem utilizadas efemérides transmitidas ou, a um dos vários ITRFs, no caso de efemérides precisas, ou a qualquer outro referencial, se for fixado um vértice durante o processamento. O estabelecimento de redes no SIRGAS 2000 (IBGE, 2005) representa uma nova fase de posicionamento no Brasil.
O conjunto de todas as observações coletadas simultaneamente durante uma cobertura de satélites no curso de um projeto GPS é chamado de sessão. Uma rede geodésica é o conjunto de estações que foram ocupadas em diferentes sessões, que têm entre si pelo menos uma estação comum. Num ajustamento de rede faz-se a combinação de soluções de várias sessões numa solução rigorosa de toda a rede (MARINI, 2002 p.52).
O conceito de linhas de base é amplamente usado nos primeiros softwares para o processamento de dados GPS. As observações de dois receptores operando simultaneamente são processadas num ajustamento, geralmente com a formação de dupla diferença, e os resultados são as componentes ∆X, ∆Y e ∆Z de um vetor de linha de base associado com a respectiva MVC.
As linhas de base podem ser usadas como dados de entrada para um programa de ajustamento de rede e combinadas em redes maiores. O procedimento é rigoroso se somente dois receptores GPS observam simultaneamente e se todas as informações estocásticas da MVC completa são exploradas. Porém, se os pares de estações são selecionados de um número maior de receptores operando simultaneamente, a combinação de linhas de base possíveis não são todas independentes (quando uma linha de base não é resultado de outras duas linhas de base) uma da outra (SEEBER, 2003 p. 284).
Um critério geral é dado em termos do número de receptores operando simultaneamente, r:
(
r 1)
/2r − nº de linhas de base possíveis, (13)
(
r−1)
nº de linhas de base independentes. (14)Se o software processa todas as linhas de base, deve-se identificar as independentes usando um critério de seleção adequado, como por exemplo o comprimento da linha de base ou o número de observações. Contudo, o procedimento não é rigoroso para soluções de redes porque a informação estocástica entre as linhas de base observadas simultaneamente é negligenciada. A maioria dos softwares oferecidos juntamente com os receptores utiliza o conceito de linha de base. Este software é adequado para projetos pequenos, para verificação de dados no campo e para levantamentos RTK (SEEBER, 2003).
Em um ajustamento multi-estação todos os dados que foram observados simultaneamente com três ou mais receptores devem ser processados em conjunto. Nesse caso determina-se o conjunto de coordenadas da rede com a respectiva MVC. Conseqüentemente, esse é um ajustamento de observações rigoroso, utilizando todas as relações estocásticas mútuas. Para propósitos geodésicos é preferível o ajustamento multi-estação, pois este tem vantagens conceituais sobre a aproximação em que se processa cada linha de base individualmente, visto que o potencial da acurácia do GPS é completamente explorado (SEEBER, 2003 p. 284).
Se as observações provêm de uma única sessão, diz-se que é uma solução de sessão. Várias soluções de sessões podem ser combinadas num ajustamento multi-sessão, ou mais precisamente numa solução multi-estação-multi-sessão. Este é o procedimento usual se grandes redes forem divididas em partes, devido ao fato do número de receptores GPS disponíveis ser menor que o número de estações a serem ocupadas. A condição básica é que cada sessão seja conectada ao menos a uma outra sessão da rede através de uma ou mais estações idênticas, onde as observações sejam transportadas em ambas as sessões. Um número maior de estações idênticas aumenta a estabilidade e a confiabilidade da rede (SEEBER, 2003).
A solução multi-sessão é completamente rigorosa e equivalente ao ajustamento de todos os dados juntos, se as MVCs das soluções da sessão individual são propriamente utilizadas. O procedimento gradualmente, iniciando com soluções de sessão, tem a vantagem de requerer uma menor capacidade do computador. Em adição, a comparação dos resultados da sessão individual produz uma excelente compreensão da acurácia da rede, se as observações redundantes suficientes nas estações idênticas tiverem sido incluídas. Pacotes de
softwares para processamento de dados GPS de redes maiores são usualmente baseados no conceito multi-estação-multi-sessão (SEEBER, 2003 p. 285).
Quando três ou mais receptores são usados em um projeto multi-sessão, o modelo de um plano de observação torna-se um problema de otimização entre eficiência, acurácia e confiabilidade. Sendo assim, algumas considerações devem ser feitas. O número de linhas de base possíveis em uma sessão e o número de linhas de base independentes é dado pelas expressões 13 e 14. O número de sessões requeridas é dado por (SEEBER, 2003):
− − = m r m n s , (15) onde:
s – número de sessões, sendo este arredondado para o maior inteiro próximo; r – número de receptores operando simultaneamente;
n – número de estações;
m – número de estações com mais de uma observação entre duas sessões diferentes.
Como duas ou mais estações são reocupadas em cada sessão, algumas linhas de base são determinadas duas vezes. Assim, na rede toda, o número de linhas de base independentes é s
(
r−1)
e o número de linhas de base determinadas duas vezes é(
s−1)(
m−1)
.De posse das observações ∆X, ∆Y e ∆Z, obtidas a partir do processamento das linhas de base, é realizado o ajustamento de redes GPS utilizando o método paramétrico. O modelo matemático para um levantamento de redes GPS é similar ao do nivelamento geométrico e, é dado por:
i j ij i j ij i j ij Z Z Z Y Y Y X X X − = ∆ − = ∆ − = ∆ , (16)
3.6 Controle de qualidade
Como em muitas outras ciências, dados empíricos são usados na geodésia para fazer inferência sobre a realidade física. Na verdade o que se faz é associar a realidade física por meio de modelos matemáticos. Estes modelos consistem de duas partes: o modelo funcional e o estocástico. A partir do modelo funcional, tenta-se descrever a relação existente entre somente observáveis ou entre observáveis e parâmetros desconhecidos do modelo. O modelo estocástico é usado para capturar uma incerteza esperada ou variabilidade dos dados empíricos. Um levantamento GPS é dito ser de qualidade para o propósito a que se destina, quando é realizado com precisão suficiente e confiável. A precisão das coordenadas é expressa pela sua MVC, que é obtida pela propagação dos erros aleatórios, enquanto a confiabilidade descreve a capacidade de detectar a presença de erros na modelagem e no próprio levantamento (TEUNISSEN,1998 p. 271).
A nova Lei de Registros Públicos Nº 10.267/2001 estabelece que a identificação, a localização, os limites e as confrontações dos imóveis rurais serão obtidos a partir de memorial descritivo contendo as coordenadas dos vértices definidores dos limites do mesmo, georreferenciadas ao Sistema Geodésico Brasileiro (SGB) e com precisão melhor que 0,50 m (1 sigma). O que fica implícito é que a acurácia também deve ser de ±0,50 m, ao grau de confiança de 1σ (68,3%), conforme definido na Norma Técnica do INCRA (INCRA, 2003). Dessa forma, é necessário investigar procedimentos adequados para a análise e controle de qualidade do ajustamento de dados GPS.
Para o controle de qualidade do ajustamento do levantamento em questão, alguns dos testes estatísticos para detecção de erros e identificação de observações com erros grosseiros são descritos a seguir.
3.6.1 Teste estatístico (Qui-quadrado)
No ajustamento é comum adotar um valor qualquer para o fator de variância a priori (σ ), o que não acarreta nenhum efeito no resultado do ajustamento (GEMAEL, 1994). 02 Após o ajustamento pode-se estimar o valor para fator de variância em função dos resíduos, chamado de fator de variância a posteriori (σ ). Com os valores de ˆ20 σ e 20 σ , pode-se fazer ˆ20
uma análise da qualidade do ajustamento, através do teste estatístico conhecido como Qui-quadrado (χ ), denominado também como TGM (Teste Global do Modelo). 2
Este teste tem como objetivo detectar erros seja nas observações ou nos modelos, verificando a compatibilidade das observações com o modelo matemático. O teste leva à formação de duas hipóteses, a hipótese básica (H ) e a alternativa (0 H ) (CAMARGO, 2000 a p. 184):
{ }
2 0 2 0 0:E ˆ H σ =σ contra (17) Ha:E{ }
σˆ20 >σ20. Para a validação de uma das hipóteses, compara-se o valor calculado por:gl ˆ T 2 0 2 0 2 c σ σ = χ = , (18)
que tem distribuição Qui-quadrado com gl (graus de liberdade), com os valores teóricos da distribuição Qui-quadrado (χgl2,1−α/2).
A hipótese básica não é rejeitada, ao nível de significância α, no teste estatístico unidimensional, se: 2 2 / 1 , gl T<χ −α . (19)
Caso contrário significa que há problemas no ajustamento, ou seja, a estatística calculada (T) não tem distribuição Qui-quadrado. Assim, uma análise deve ser feita para verificar as possíveis razões ou circunstâncias que levaram a falha no teste. Pode-se ter problemas no modelo matemático ou no estocástico e, a presença de erros grosseiros, dentre outros.
3.6.2 Teste estatístico para a detecção de erros grosseiros nas observações
O processo de estimação proporciona resíduos que possuem uma mistura de todos os tipos de erros, sendo impossível separá-los no mundo real de acordo com sua classificação. Algumas propriedades estatísticas dos resíduos são requeridas para resolver o problema. Um
outlier é definido como um resíduo que contradiz tal propriedade estatística. Isto possibilita definir uma estratégia de teste usando conceitos estatísticos, dependendo, portanto do nível de risco e distribuição assumidos, bem como do procedimento do teste. Independente da diferença entre a definição de erro grosseiro e outlier, assume-se que os outliers detectados são causados por erros grosseiros (CAMARGO, 2000).
As estratégias de detecção de outlier têm suas raízes alicerçadas nos trabalhos do Professor Baarda da Universidade Técnica de Delft, cuja técnica é denominada Data
Snooping (CAMARGO, 2000 p. 185). Pope, seguindo linhas similares a de Baarda apresentou outro método, o qual é denominado de Método de Pope e é descrito em MONICO (2003) e CAMARGO (2000).
3.6.2.1 Método de Baarda : Data Snooping
A identificação da observação com erro usando o método de Baarda, é efetuada através do cálculo das correções normalizadas (w), dadas por (CAMARGO, 2000 p. 186):
PC P C PV C w v T T Σ = , (20)
sendo que o vetor C representa a redundância parcial, P a matriz dos pesos e Σ a MVC dos v resíduos. O vetor C é um vetor n-dimensional, contendo elementos unitários para as observações a serem testadas, e zero para as outras posições. O numerador da equação 16 representa o chamado resíduo transformado e o denominador o erro estimado. O resultado é a estatística W, a qual é conhecida como correção normalizada, cujo valor é empregado no teste estatístico.
Analisando-se um resíduo por vez, o vetor C tem a seguinte forma:
CT = [0....0 1 0...0], (21)
1....0 i 0...n
sendo que i representa a observação a ser testada. Na presença de estrutura diagonal para a MVC das observações, a expressão 4 é reduzida à chamada equação de Data Snooping:
i v i i v w σ = , com 1≤i≤n, (22) onde:
wi representa a correção normalizada;
vi representa o resíduo da i-ésima observação;
i
v
σ o desvio-padrão do respectivo resíduo.
Neste caso, a MVC dos resíduos é calculada com o fator de variância a priori (σ20), sendo dada pela equação:
a b L L V =Σ +Σ Σ ⇒ ΣV =σ20P−1+AΣXaAT ⇒ T 1 2 0 1 2 0 V =σ P− +Aσ N− A Σ ⇒ ΣV =σ02
(
P−1+AN−1AT)
. (23) A estatística wi tem como distribuição a raiz quadrada da distribuição F com 1grau de liberdade no numerador e ∞ no denominador, ou seja, Fα
( )
1,∞ . A raiz quadrada da distribuição F tem distribuição normal padrão, isto é, Fα( )
1,∞ = Nα/2( )
0,1 , podendo-se escrever que Fα( )
1,∞ = χ2α,1.As hipóteses formuladas neste teste descrevem que na hipótese básica, a observação i não contém erro (∇li), contra uma hipótese alternativa que supõe o oposto
H0: ∇li = 0
contra (24)
Ha: ∇li ≠ 0.
A hipótese não é rejeitada a um determinado nível de significância α (0 α=nα0, desigualdade de Bonferroni), se:
2 / i 2 / 0 0 w N Nα < < α − (25) ou 2 1 , i 2 1 , 0 0 w α α < < χ χ − . (26)
O Método de Baarda (Data Snooping) baseia-se no fato de que somente uma observação é afetada por um erro grosseiro. Se mais de uma observação contêm erros grosseiros, a teoria falha. O seguinte procedimento é aconselhável para os casos em que mais de uma observação é rejeitada. Deve-se, primeiramente, analisar a observação com maior valor wi. Despreza-se ou corrige-se tal observação e repete-se o ajustamento, aplicando o
método novamente. O processo se repete até que não haja mais observações suspeitas de conter outliers. No entanto, o analista deverá verificar se há qualquer problema com a eliminação da observação. Se isto ocorrer, é provável que o dado tenha que ser coletado novamente (MONICO, 2003).
3.6.2.2 Método de Pope: Teste Tau
A diferença fundamental entre o método de Pope e de Baarda reside no fato de considerar que se conhece ou não o fator de variância a priori (σ20). No método de Baarda assume-se que este fator é conhecido, possibilitando aplicar o TGM. No método de Pope, σ20
é desconhecido e conseqüentemente não se aplica o TGM. O método de Pope é baseado no resíduo padronizado dado por (MONICO; SILVA, 2003):
i
v i i Sv
t = , (27)
onde, Svi é o valor estimado do desvio-padrão do resíduo vi. Este valor é obtido a partir da
extração da raiz quadrada do enésimo elemento da diagonal de Σ . v
Tanto o resíduo como o seu desvio-padrão são usualmente estimados a partir dos mesmos dados, sendo, portanto estatisticamente dependentes. Desta forma, a razão dada pela expressão (27) não segue a distribuição t de Student. Esta expressão é governada pela distribuição Tau (τ) com (n-u) graus de liberdade (gl). Tem-se, portanto (MONICO; SILVA, 2003): gl v i i i S v t = ≈τ . (28)
A tabela da distribuição Tau não é facilmente encontrada nos livros de estatística, tal como é a da distribuição t de Student. É, portanto conveniente apresentar a expressão que converte a variável τ em t e vice-versa:
2 1 gl 1 gl gl t 1 gl t gl − − + − = τ , (29)
(
)
gl para , gl 1 t 2 2 gl 2 gl 1 gl 1 gl τ < τ − τ − = τ − − . (30)Ao definir a hipótese nula H0 do método de Pope, assume-se também que todas as
observações têm distribuição normal. Desta forma, os resíduos estimados no método paramétrico tem média nula, isto é:
{ }
{
}
{
v 0}
E : H n , , 2 , 1 i 0 v E : H i a i 0 ≠ ∈ ∀ = K . (31)A probabilidade do erro tipo I do teste, isto é o nível de significância α, o qual consiste dos n testes individuais, é usualmente escolhido como sendo 5%. O nível de significância α0para o teste unidimensional é dado aproximadamente por:
(
)
1/n 0 =1− 1−αα . (32)
A hipótese nula H0 é rejeitada para um resíduo vi se:
( )
gl ou t( )
gl t 2 i 2 i <τα0 >τα0 . (33)A observação correspondente ao resíduo testado é por definição um outlier e desta forma um candidato à investigação adicional. Assim como no método de Baarda (Data
Snooping), o de Pope (Método Tau) baseia-se no fato de que somente uma observação é afetada por um erro grosseiro. Se mais de uma observação contém erros grosseiros, a teoria falha.
O seguinte procedimento é aconselhável para os casos em que mais de uma observação é rejeitada. Deve-se primeiramente analisar a observação com maior valor wi ou
ti. Despreza-se tal observação e repete-se o ajustamento, aplicando o método novamente. O processo se repete até que não haja mais observações suspeitas de conter outliers. No entanto, o analista deverá verificar se há qualquer problema com a eliminação da observação. Se isto ocorrer, é provável que o dado tenha que ser coletado novamente (MONICO; SILVA, 2003).
3.6.3 Medidas de confiabilidade
Embora os testes para detecção de erros, Data Snooping ou Tau, sejam benéficos às análises pós-ajustamento, eles não quantificam a magnitude dos erros contidos nas observações. Tais erros ocasionam a alteração dos resultados, como por exemplo, a alteração das coordenadas dos pontos da rede geodésica. Sendo assim, é necessária a utilização das medidas que indiquem o quanto as observações são confiáveis. Essas medidas são chamadas medidas de confiabilidade e subdividem-se em (TEIXEIRA; FERREIRA, 2003):
• Confiabilidade interna: quantifica a menor porção do erro existente na observação que pode ser localizado com uma dada probabilidade, ou seja,
indica o erro mínimo que se encontra em uma observação que é sensível ao teste;
• Confiabilidade externa: quantifica a influência externa dos erros não detectáveis nas coordenadas dos pontos.
3.6.3.1 Confiabilidade interna
No caso da confiabilidade interna, estima-se o valor mínimo erro detectável (∇l0i) na observação (li), conforme a equação (LEICK, 1995):
(
i 1, ,n)
, r l i li i 0 0 = δ σ = K ∇ , (34) onde: 0 δ - parâmetro de não-centralidade; i lσ - desvio-padrão da i-ésima observação; i
r - redundância parcial.
As redundâncias parciais (ri) são benéficas ao controle das observações e variam de 0 a 1, sendo que os valores de redundância próximos de zero, podem indicar erros significativos, uma vez que o resíduo não reflete suficientemente o possível erro embutido na observação (LEICK, 1995). As redundâncias parciais são obtidas a partir de uma matriz descrita pela seguinte expressão (TEIXEIRA; FERREIRA, 2003):
P ˆ 1 R V 2 0 Σ σ = , (35)
onde , os elementos da diagonal da matriz (ri =
(
i=1,2,L,n)
) também são conhecidos como número de redundância.O número de redundância ri pode ser interpretado como a contribuição de uma simples observação li à redundância total do sistema r, e constitui-se em uma medida da controlabilidade local (KAVOURAS, 1982 apud AMORIM, 2004):
(
Q P)
traço r r n vv 1 i∑ i = = = , (36)onde, Q é a matriz co-fator dos resíduos (vv P−1−A−1AT).
O parâmetro de não-centralidade (δ ) na equação 34 é obtido por meio da 0 distribuição normal reduzida, o qual pode ser calculado por (KUANG, 1996 apud TEIXEIRA; FERREIRA, 2003): 1 2 0 =Zα −θ−β0 δ , (37) onde: 2
Zα significa o valor crítico ao nível de significância α; 1
0
− β
θ é a função de probabilidade inversa da distribuição normal reduzida.
Após obter o valor de ∇l0i, estima-se o possível erro embutido nas observações a partir da equação:
(
i 1, ,n)
, r v l i i i = = K ∇ (38)sendo, vi o resíduo da i-ésima observação.
A observação (li) possui um erro significativo se, estaticamente:
i
0
i l
l ≥∇
3.6.3.2 Confiabilidade externa
A confiabilidade externa trata somente da influência dos erros não detectáveis nas coordenadas dos pontos. Assim, o vetor das correções X na presença de um erro grosseiro
i
l
∇ é dado por (TEIXEIRA; FERREIRA, 2003):
(
L l l)
N A PL N A Pl l X XP NA
Xˆ=− T − i∇ i =− −1 T + −1 T i∇ i =− +∇ , (40)
onde, li é a i-ésima coluna de uma matriz identidade n× . n
Assim, o efeito do erro grosseiro ∇li no vetor solução é dado por:
i i T 1A Pl l N X= ∇ ∇ − . (41)
3.7 Transformação de coordenadas e sistemas com propagações de covariâncias
A lei 10.267/2001 exige que a apresentação das coordenadas seja no sistema UTM (Universal Traversa de Mercartor) em SAD 69, juntamente com suas precisões. Dessa forma, como o ajustamento de redes é realizado a partir de coordenadas no sistema cartesiano, é necessário efetuar transformações entre coordenadas e entre Data (SAD 69, SIRGAS 2000/WGS 84-G1150), bem como a propagação de covariâncias.
3.7.1 Coordenadas curvilíneas para cartesianas e vice-versa
A transformação de coordenadas geodésicas curvilíneas para geodésicas cartesianas se da pela seguinte expressão (MONICO, 2005):
[
]
ϕ + − λ ϕ + λ ϕ + = sen h ) e 1 ( N sen cos ) h N ( cos cos ) h N ( Z Y X 2 , (42)onde: N – grande normal ( 2 2 1/2 ) sen e 1 ( a N ϕ − = );
e – excentricidade do elipsóide referencia;
ϕ, λ, h - latitude, longitude e altitude geométrica, respectivamente.
A propagação de covariâncias é dada por:
T h XYZ =DΣϕλ D Σ , (43) onde: D – matriz Jacobiana; XYZ
Σ – MVC das coordenadas curvilíneas; h
ϕλ
Σ – MVC das coordenadas cartesianas.
A matriz D é calculada a partir das derivadas parciais da equação 42 em relação a ϕ, λ, h (AGHIAR; CAMARGO; GALO, 2002):
ϕ ϕ + λ ϕ λ ϕ + λ ϕ + − λ ϕ λ ϕ + − λ ϕ + − = sen 0 cos ) h M ( sen cos cos cos ) h N ( sen sen ) h M ( cos cos sen cos ) h N ( cos sen ) h M ( D , (44)
onde, M é o raio de curvatura da seção meridiana (
3 2 2 2 ) sen e 1 ( ) e 1 ( a M ϕ − − = ).
Para o caso de propagar as covariâncias na transformação de coordenadas cartesianas para curvilíneas, segue que:
1 T XYZ 1 h D D − Σ = Σϕλ − , (45)
3.7.2 Coordenadas cartesianas para UTM
Para transformar coordenadas cartesianas em UTM, deve-se seguir as seguintes etapas:
1º ) Transformar de coordenadas cartesianas para curvilíneas (3.7.1); 2º ) Transformar de curvilíneas para TM;
3º ) Transformar de TM para UTM.
Nas seções a seguir são mostrados os três processos de transformações de coordenadas e respectivas propagações de covariâncias.
3.7.2.1 Coordenadas curvilíneas para TM
As expressões a seguir realizam a transformação de coordenadas curvilíneas para TM (BLACHUT; CHRZANOWSKI; SAASTAMOINEN, 1979):
L L + λ ∆ + λ ∆ + λ ∆ = + λ ∆ + λ ∆ + λ ∆ + ϕ = 5 5 3 3 1 6 6 4 4 2 2 a a a y a a a B x , ( 46) onde: 0 λ − λ = λ
∆ , sendo λ a longitude do meridiano central e 0 λ a longitude do ponto; B – comprimento de arco de meridiano em função da latitude ϕ do ponto;
6 2 1,a , ,a
a L – coeficientes calculados em função de ϕ e dos parâmetros do elipsóide.
O comprimento de arco de meridiano (B )é calculado por:
) sen A sen A sen A 1 ( cos csen A c A B= 0 ϕ− 1 ϕ ϕ + 2 2ϕ+ 4 4ϕ+L+ 8 8ϕ , (47) onde:
c – raio polar de curvatura ( b a c= 2 );
b – semi-eixo menor do elipsóide. 8
1 0,A , ,A
A L - coeficientes que podem ser obtidos por:
8 8 2 6 6 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 0 e 640 231 A e 400 1179 1 e 256 105 A e 150000 221069 1 e 64 125 1 e 72 35 A e 521760 513427 1 e 1112 1087 1 e 144 139 1 e 8 5 A e 1860 2123 1 e 704 837 1 e 60 77 1 e 16 25 1 e 4 3 A e 100 99 1 e 64 63 1 e 36 35 1 e 6 15 1 e 4 3 1 A ′ = − ′ ′ = − ′ ′ − ′ = − ′ ′ − ′ − ′ = − ′ ′ − ′ − ′ − ′ = − ′ ′ − ′ − ′ − ′ − = (48) onde, 2 2 2 2 b ) b a ( e′ = − é a segunda excentricidade.
Os coeficientes a1,a2,L,a6 da equação 46 são dados pelo conjunto de expressões a seguir:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
L)
L + ϕ + ϕ − = + ϕ ′ + ϕ ′ − + ϕ − + = ϕ ′ + ϕ ′ + ϕ + − = ϕ ′ + ϕ + − = ϕ = ′ + ϕ = 4 2 2 6 6 2 4 2 2 1 5 6 4 4 2 2 2 4 4 2 2 1 3 1 2 2 2 1 cos 120 cos 60 1 a 360 1 a cos e 72 cos e 58 24 cos 20 1 a 120 1 a cos e 4 cos e 9 cos 6 1 a 12 1 a cos e cos 2 1 a 6 1 a sen a 2 1 a e cos 1 c a . (49)Para fazer a propagação de covariâncias, utiliza-se a seguinte equação: T xy =DΣϕλD Σ , (50) onde: xy
Σ – MVC das coordenadas curvilíneas; ϕλ
Σ – MVC das coordenadas TM.
A matriz D é obtida a partir do cálculo das derivadas parciais da equação 46 em relação a ϕ e λ. As equações 51 a 54 mostram o valor de cada elemento da matriz D (AGHIAR; CAMARGO; GALO, 2002):
(
)
(
)(
)
(
)
(
)(
)
(
ϕ ϕ− ϕ ϕ)
λ ∆ + ϕ + ϕ + − ϕ + ϕ − λ ∆ + ϕ ϕ ′ + ϕ ϕ ′ + ϕ ϕ λ ∆ − ϕ ′ + ϕ ′ + ϕ + − ϕ + ϕ − λ ∆ + λ ∆ ϕ + ϕ − λ ∆ + ′ = ϕ ∂ ∂ sen cos 480 sen cos 120 360 a cos 120 cos 6 1 cos a sen M 720 sen cos e 24 sen cos e 36 sen cos 12 12 a cos e 4 cos e 9 cos 6 1 cos a sen M 24 cos a sen M 2 B x 3 2 6 4 2 1 2 6 5 4 3 2 2 4 6 4 4 2 2 1 2 4 2 1 2 . (51) 5 6 3 4 2 4a 6a a 2 x = ∆λ+ ∆λ + ∆λ λ ∂ ∂ , (52)(
)
(
)
(
)
[
]
(
)
[
ϕ ϕ+ − ′ ϕ ϕ+ ′ ϕ ϕ]
λ ∆ − ϕ ′ + ϕ ′ + + ϕ − λ ∆ ϕ − ϕ ϕ ′ + ϕ ϕ λ ∆ − ϕ ′ + ϕ + − λ ∆ ϕ − λ ∆ ϕ − = λ ∂ ∂ sen cos e 432 sen cos e 232 96 sen cos 40 120 a cos e 72 cos e 58 24 cos 20 1 120 sen M sen cos e 4 sen cos 4 6 a cos e cos 2 1 6 sen M sen M y 2 2 3 2 5 1 6 2 4 2 2 5 3 2 3 1 4 2 2 3 , (53) 4 5 2 3 1 3a 5a a y λ ∆ + λ ∆ + = λ ∂ ∂ . (54)A derivada do comprimento de arco do meridiano ( B′ ), que aparece na equação 51, é obtido a partir das derivadas parciais da equação 47 em relação a ϕ (AGHIAR; CAMARGO; GALO, 2002):
(
)
(
)
(
)
(
ϕ− ϕ)
+ ϕ(
ϕ− ϕ)
ϕ + ϕ − ϕ ϕ + ϕ − ϕ ϕ + ϕ − ϕ + = ϕ ∂ ∂ = ′ 2 2 8 8 1 2 2 6 6 1 2 2 4 4 1 2 2 2 2 1 2 2 1 0 cos 9 sen csen A A cos 7 sen csen A A cos 5 sen csen A A cos 3 sen csen A A cos sen c A c A B B . (55)3.7.2.2 Coordenadas TM para UTM
Para realizar a transformação de coordenadas TM para UTM, basta calcular as seguintes equações (BLACHUT; CHRZANOWSKI; SAASTAMOINEN, 1979):
Hemisfério Sul: y 9996 , 0 000 . 500 E x 9996 , 0 000 . 000 . 10 N + = + = , (56) Hemisfério Norte: y 9996 , 0 000 . 000 . 10 E x 9996 , 0 N + = = . (57)
Como nas equações 56 e 57 os modelos são lineares, a MVC das coordenadas UTM será: T xy NE =GΣ G Σ . (58) onde: NE
Σ – MVC das coordenadas UTM; G – matriz identidade (2 x 2);
xy
3.7.3 Sistema SAD 69 para SIRGAS 2000
A transformação de sistema se da através das coordenadas cartesianas, aplicando a elas os parâmetros de translação entre os sistemas, como segue (IBGE, 2005):
∆ ∆ ∆ + = Z Y X Z Y X Z Y X entrada entrada entrada saída saída saída , (59)
onde, ∆X, ∆Y, ∆Z são os parâmetros de translação.
No caso de transformar de SAD 69 para SIRGAS 2000, os parâmetros de translação são: ∆x = −67,35 m, ∆y = 3,88 m e ∆z = −38,22 m. A propagação de coordenadas neste caso se dá da seguinte forma:
T Z Y X Z Y X Z Y
Xsaída saída saída =GΣ entrada entrada entrada∆ ∆ ∆ G
Σ , (60)
onde, G é dada pelas derivadas parciais da equação 59 em relação Xentrada, Yentrada, Zentrada, ∆X,
∆Y, ∆Z: = 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 G (61)
e ΣXentradaYentradaZentrada∆X∆Y∆Z é a MVC das coordenadas cartesianas no sistema de entrada e dos parâmetros de translação entre os sistemas e dada por:
Σ Σ = Σ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ Z Y X Z Y X Z Y X Z Y
Xentrada entrada entrada entrada entrada0 entrada 0 . (62)
Vale ressaltar que, atualmente no Brasil, não são fornecidos pelo IBGE os valores de Σ∆X∆Y∆Z da transformação de SAD 69 para SIRGAS 2000.
3.8 Otimização dos algoritmos no ajustamento de redes GPS
O conjunto de equações utilizadas no ajustamento foi descrito na seção 3.3. O ajustamento em sua forma convencional utiliza matrizes de grandes dimensões e, geralmente, com muitos valores nulos. Para solucionar este problema pode-se aplicar os conceitos de matrizes esparsas, matrizes na forma vetorizada, além do conceito de listas lineares. Uma breve descrição destes conceitos é apresentada a seguir.
3.8.1 Matrizes esparsas no ajustamento de redes GPS
Uma matriz esparsa é aquela que contém muitos elementos nulos e, neste caso, existem técnicas computacionais para manipular e armazenar somente os valores não nulos dessa matriz. A partir da utilização dessas técnicas é possível economizar espaço na memória do computador e tempo na realização das operações com matrizes. A matriz A do ajustamento, por exemplo, é composta por vários elementos nulos e somente alguns valores 1 e -1 como mostrado a seguir:
− − − = L M M M M M M L L L 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 A . (63)
O grau de esparsidade de uma matriz pode ser calculado por:
% 100 elementos _ de _ total _ número nulos _ elementos _ de _ número GE= ⋅ . (64)
A princípio, com o objetivo de otimizar os cálculos, foram utilizadas algumas subrotinas, em linguagem de programação Fortran que trabalham de forma vetorizada, ou seja, os elementos não nulos das matrizes são armazenados em vetores. Estas subrotinas foram desenvolvidas pelo Prof. Dr. João Francisco Galera Monico e utilizadas em forma de DLLs no software para ajustamento de redes de nivelamento, denominado Ajunível (SILVA; MONICO, 2004). A Tabela 1 mostra a dimensão das matrizes do ajustamento em sua forma
convencional e em sua forma vetorizada, sendo que n é o número de observações e u é o número de parâmetros.
Tabela 1 – Dimensões das matrizes no ajustamento
Matrizes Dimensão na forma convencional Dimensão na forma vetorizada A n x u (n*2) x 1 P n x n n x 1 L =L0 = Lb n x 1 n x1
Σxa = N (simétrica) u x u Triang. sup. em forma de vetor (u*(u+1)/2)
V = U = Xa u x 1 u x 1
Na Tabela 1, pode-se verificar a otimização na dimensão das matrizes envolvidas no ajustamento. Desta maneira, o programa utiliza uma quantidade menor de memória do sistema operacional e os cálculos são efetuados com maior rapidez. Um exemplo deste processo de otimização pode ser demonstrado com a matriz A (equação 42), que na forma vetorizada (Avetor) é composta somente com valores 1 e -1, sendo que a posição desses elementos na matriz A é armazenada em um vetor (Loca_A) e é representada da seguinte maneira:
[
]
[
L]
L 6 3 5 2 4 1 A _ Loca 1 1 1 1 1 1 Avetor = − − − = . (65)Mesmo com o processo de otimização descrito acima, ainda há uma desvantagem neste tipo de armazenagem de dados (vetor) na memória do computador, pois eles são armazenados seqüencialmente (estrutura estática) e, isto implica numa limitação do uso da memória do computador e conseqüentemente na quantidade de observações a serem utilizadas no ajustamento. Visando melhorar este problema foi implementado no AJURGPS o conceito de listas ligadas linearmente aplicadas a matrizes esparsas.
3.8.2 Listas lineares
Há diferentes formas de organizar/agrupar um conjunto de n (n ≥ 0) itens/elementos X1, X2, X3,..., Xn com o propósito de facilitar a sua manipulação. Uma lista
linear é uma delas. Uma característica fundamental associada a esta estrutura é a noção de seqüencialidade (posições relativas, um item após o outro) entre seus elementos, assim:
X1: primeiro elemento da lista;
Xn: último elemento da lista;
∀ Xj (1<j<n) → ∃ Xj-1 (predecessor) ∃ Xj+1 (sucessor).
Se n = 0, então a lista está vazia, sendo que n representa a cardinalidade do conjunto, número de nós.
Na lista linear cada item é chamado nó e contém dois campos, um de informação e um do endereço seguinte (Figura 1). O campo de informação armazena o real elemento (info) da lista e o campo do endereço seguinte contém o endereço do próximo (next) nó na lista. Esse endereço, que é usado para determinado nó, é conhecido como ponteiro. A lista ligada inteira é acessada a partir de um ponteiro externo lista que aponta para (contém o endereço de) o primeiro nó na lista. Por ponteiro externo, entende-se aquele que não está incluído dentro de um nó, em vez disso seu valor pode ser acessado diretamente, por referência a uma variável. O campo do próximo endereço do último nó na lista contém um valor especial, conhecido como null, que não é um endereço válido. Esse ponteiro nulo é usado para indicar o final de uma lista. Na Figura 1 é apresentado o esquema do conceito de lista ligada (TENENBAUM; LANGSAM; AUGENSTEIN, 1995):
Figura 1 – Lista ligada linear
Fonte: Tenenbaum, Langsam, Augenstein, 1995.
Em uma lista linear é possível inserir, remover ou acessar valores a partir do primeiro ou do último nó e dessa maneira, elas recebem nomes especiais (KNUTH, 1997):
• Pilha (stack): é uma lista linear a partir do qual todas as inserções e remoções (e usualmente todos os acessos) são feitas a partir do fim da lista;
• Fila (queue): é uma lista linear, no qual todas as inserções são feitas no fim da lista; todas as remoções (e usualmente todos os acessos) são feitas no outro fim;
• Deque (double-ended queue): é uma lista linear, no qual todas as inserções e remoções (e usualmente todos os acessos) são feitas no fim da listas;
Existem outras estruturas de listas, como por exemplo, a lista circular, no qual o campo next do último nó contém um ponteiro de volta para o primeiro nó, em vez de um ponteiro nulo. A partir de qualquer ponto dessa lista, é possível atingir qualquer outro ponto na lista.
A lista linear por ser um conjunto de nós pode ser representada por um vetor de nós, o que não traz vantagens, haja vista que estes são alocados seqüencialmente na memória do computador. Dessa maneira, a solução para o problema é permitir nós dinâmicos ao invés de nós estáticos, de maneira que quando um nó for necessário, o armazenamento ficará reservado para ele e, quando não for mais necessário, o armazenamento será liberado. Dessa forma, o armazenamento para nós não mais em uso ficará disponível para outro propósito. Além disso, não é estabelecido um limite predefinido sobre o número de nós. Enquanto houver armazenamento suficiente para o programa como um todo, parte desse armazenamento poderá ser reservada para uso como um nó (TENENBAUM; LANGSAM; AUGENSTEIN, 1995).
Ocasionalmente, pode-se manter um nó adicional no início de uma lista. Esse nó não representa um item na lista e é chamado nó de cabeçalho (head nodes) ou cabeçalho de
lista, além disso, ele pode ficar sem nenhuma informação ou conter, por exemplo, o número de nós da lista.
O conceito de listas lineares aplicadas a matrizes esparsas pode ser encontrado em Knuth (1997). Nesse tipo de representação, cada nó contém um índice linha e coluna (row e
col), o valor de interesse, e um apontador para a próxima linha (nextrow) e próxima coluna (nextcol), além disso, existem duas outras listas especiais de nós de cabeçalhos, uma para a linha e outra para a coluna e definida nesse trabalho como colhead e rowhead. Dessa forma, a lista contendo a matriz esparsa M (equação 45), pode ser representada graficamente como apresentada na Figura 2.
= mn 1 m 21 n 1 11 a 0 a 0 0 a a 0 a M L M M M M L K (66)
Figura 2 – Lista ligada para o caso de matrizes esparsas
3.9 Softwares de processamento de dados GPS
Os softwares produzidos pelos fabricantes de receptores são classificados como
softwares comerciais, enquanto que os produzidos por institutos científicos são os softwares científicos. Os softwares do primeiro grupo são planejados para processamento de dados vindos de um receptor específico. A maioria deles também aceita dados de outros receptores, desde que no formato RINEX (Receiver INdependent Exchange format). Eles, geralmente, oferecem uma grande variedade de opções e podem ser operados com relativa facilidade por pessoas com média experiência em engenharia e tecnologia GPS. O desenvolvimento de um
software científico requer muita experiência e um amplo entendimento de sinais GPS e comportamento de erros. E isto requer alguns anos de desenvolvimento e consiste em um grande número de programas individuais, o que resulta em muitas linhas de código. Usualmente, estes pacotes de softwares não são restritos a um só tipo de receptor, mas
aceitam dados de uma grande variedade de receptores geodésicos, além de dados no formato RINEX. Os pacotes servem, na maioria dos casos, para (SEEBER, 2003):
• uso profissional em pequenas redes para processamento rápido;
• uso profissional em levantamentos de alta acurácia, mesmo para grandes distâncias;
• uso científico em pesquisas e educação; • análise de dados e pesquisas científicas.
Além das opções padrão para o processamento rápido, estes pacotes de softwares oferecem alternativas particulares para várias aplicações científicas. Operações iterativas são essenciais. Alguns deles incluem opções para determinação de órbitas ou a estimação de modelos atmosféricos (SEEBER, 2003).
Nem todos os softwares disponíveis realizam o ajustamento da rede envolvendo, diretamente os dados GPS. Em geral, nos softwares comercias, processa-se cada linha de base individualmente e adota-se no ajustamento como observáveis as componentes ∆X, ∆Y e ∆Z das várias linhas de bases (ou azimute, distância e diferença de elevação) associadas às respectivas MVCs (MONICO, 2000). Os softwares científicos para processamento de dados GPS de grandes redes são, usualmente, baseados no conceito de multi-sessão-multi-estação (SEEBER, 2003).
Neste projeto, para o processamento dos dados das redes GPS foram utilizados os
softwares GPSurvey e TGO (Trimble Geomatics Office) da Trimble Navigation, SKI-PRO da Leica e GPSeq em desenvolvimento na FCT/UNESP. O módulo de processamento de linhas de base destes softwares, o módulo “TRIMNET Plus Network Adjustment” no qual se pode realizar o ajustamento da rede GPS fornecem diversas informações, dentre elas as componentes ∆X, ∆Y e ∆Z do vetor da linha de base e respectiva MVC. Geralmente, nos
softwares comerciais, as coordenadas das estações conhecidas são inseridas sem considerar sua precisão (injunções absolutas) e este fato, conforme já mencionado, proporciona resultados com precisões muito otimistas.
4 RESULTADOS
O software AJURGPS possibilita a extração das componentes ∆X, ∆Y e ∆Z com a respectiva MVC e nomes das estações envolvidas no processamento de linhas de base advindos de arquivos dos softwares GPSurvey, TGO, SKI-PRO e GPSeq. O AJURGPS permite o ajustamento da rede GPS com introdução de injunções relativas, sendo possível no ajustamento também considerar as covariâncias entre os valores das injunções. Além disso, realiza o controle de qualidade através do teste Qui-quadrado e a detecção de erros grosseiros através do teste Tau e do Data Snooping, além da implementação das redundâncias parciais, o que possibilita ao usuário verificar a controlabilidade da rede ajustada.
O AJURGPS, a princípio utilizava algumas subrotinas escritas em Fortran (DLLs), as quais trabalham de forma que consideram a MVC das observações como diagonal. Para considerar todas as informações estocásticas disponíveis no ajustamento foram programadas novas funções em C++ baseadas em algoritmos que utilizam os conceitos de listas lineares e matrizes esparsas (seção 3.8). Para tanto foram utilizados alguns algoritmos disponíveis em: http://www.codeproject.com/cpp/sparse_matrices.asp, os quais sofreram modificações visando a adaptação para o ajustamento de redes GPS no AJURGPS. A próxima seção mostra o software AJURGPS e suas principais interfaces de interação com o usuário.
4.1 Leitura de arquivos de processamento das linhas de base
Para obter o arquivo que contêm as informações detalhadas sobre o processamento das linhas de base no GPSurvey, o usuário deve, através do menu
FileÆText_file... do módulo WAVE, selecionar a opção Detailed summaries e salvar o arquivo “BLSUM.TXT”. A Figura 3 mostra um trecho do arquivo “BLSUM.TXT”, onde as informações que estão em negrito serão extraídas pelo software AJURGPS.
