SIMULAÇÃO COMPUTACIONAL DA NÃO LINEARIDADE DE FOLGA NAS JUNTAS DE
MANIPULADORES ROBÓTICOS
Eduardo Padoin 1, Odair Menuzzi 2, Antonio Carlos Valdiero 3, Luis Antonio Rasia 4
1 UNIJUÍ, Caixa Postal 121, Av. Rudi Franke 540, CEP 98280-000, Panambi/RS, Brasil, eduardopadoin@bol.com.br 2 UNIJUÍ, Caixa Postal 121, Av. Rudi Franke 540, CEP 98280-000, Panambi/RS, Brasil, odair.menuzzi@ibest.com.br 3 UNIJUÍ/DETEC, Caixa Postal 121, Av. Rudi Franke 540, CEP 98280-000, Panambi/RS, Brasil, valdiero@unijui.edu.br
4 UNIJUÍ/DEFEM, Caixa Postal 121, Av. Rudi Franke 540, CEP 98280-000, Panambi/RS, Brasil, rasia@unijui.edu.br
Resumo: Este trabalho trata da modelagem matemática e da simulação computacional dos efeitos da não linearidade de folga (backlash) em transmissões mecânicas utilizadas no acionamento de juntas rotativas de robôs manipuladores. A partir da modelagem, avalia-se computacionalmente o comportamento da folga em um trem de engrenagens da junta de um robô.
Palavras-Chave: Não linearidade de folga, acionamento de robôs, modelagem matemática de não linearidades
1. INTRODUÇÃO
Este trabalho apresenta a modelagem matemática e a simulação computacional da não linearidade de folga (backlash) presente em transmissões mecânicas do tipo trem de engrenagens, comuns no acionamento das juntas rotativas e prismáticas de manipuladores robóticos [1, 2, 3, 4].
A utilização de robôs se justifica pela necessidade de substituição do homem em tarefas insalubres e perigosas, pelo aumento da produtividade e da qualidade. Essas tarefas industriais realizadas requerem precisão e repetitividade nos movimentos desejados. Entretanto, há vários fatores que dificultam a obtenção de boas precisões com repetições, a folga nos trens de engrenagens é uma delas. Normalmente, o conceito de folga está associado com os trens de engrenagem e acoplamentos mecânicos similares. Este fenômeno vem dificultando o desempenho de sistemas de controle há vários anos, uma vez que folgas causam efeitos indesejáveis sobre a dinâmica de realimentação e sobre a performance do sistema de controle.
Valdiero [5] aponta a importância do estudo das não linearidades dos sistemas mecânicos, os quais causam limitações no desempenho do controle preciso, destacando-se a zona morta, o atrito, histeredestacando-se e a folga (backlash). Dentro deste contexto, vários trabalhos [6, 7, 8, 9] têm tratado da modelagem, identificação e compensação da não linearidade de folga. Nordin e Gutman [6] comentam que a folga é uma das mais importantes não linearidades que limitam o desempenho do controle de posição e velocidade em aplicações industriais e de robótica. A revisão bibliográfica realizada por estes autores indica ainda que
existe muita pesquisa a ser feita para síntese e análise da compensação de folga no controle de sistemas mecânicos.
Vörös [8] apresenta uma nova forma analítica de descrição do modelo matemático da não linearidade de folga que utiliza funções de chaveamento e mostra resultados de simulação computacional da identificação dos parâmetros. Hägglund [9] descreve um novo método para detecção e estimativa da não linearidade de folga em válvulas de controle que sofreram desgaste. Ele utiliza como modelo a função descritiva da folga e comenta que a facilidade de compensação desta não linearidade depende de sua inversa. Selmic e Lewis [10] apresentam um esquema de compensação para folgas com inversão da dinâmica utilizando a técnica do backstepping com redes neurais. Um modelo geral da folga é usado e permite assimetria. Cazarez-Castro et al. [11] apresenta uma combinação de lógica fuzzy e algoritmos genéticos na busca de resolver o problema de regulação da saída de servomecanismos com não linearidade de folga. Os dados para simulação foram obtidos a partir de uma bancada experimental de testes que envolve um motor DC ligado a uma carga mecânica por meio de uma transmissão por trem de engrenagens com folga. Giri et al. [12] apresenta proposições para a identificação de sistemas lineares com a presença da não linearidade de folga a partir da parametrização apropriada do sistema, a estimativa dos parâmetros pela técnica dos mínimos quadrados e a especificação de padrões de sinais de entrada. Shahnazi et al. [13] propõe um controlador adaptativo combinado com lógica fuzzy para melhorar a robustez do controle feedback de sistemas com a presença de não linearidades tais como sistemas mecânicos com folga no acionamento.
O propósito deste trabalho é apresentar uma proposta computacional de modelagem e simulação de folga (backslash) em transmissões mecânicas do tipo trem de engrenagem para futura aplicação no controle de robôs industriais.
Este trabalho foi organizado da seguinte forma: na seção 2 são apresentadas as transmissões mecânicas de manipuladores robóticos, na seção 3 descreve-se a não linearidade da folga, na seção 4 é realizada a modelagem matemática do acionamento de uma junta robótica, na seção
.
5 são apresentados os resultados de simulação e na seção 6 tem-se as conclusões do trabalho.
2. TRANSMISSÕES MECÂNICAS DE
MANIPULADORES ROBÓTICOS
Atualmente há duas formas de acionamento das juntas de robôs industriais. Uma é o acionamento direto
(direct-drive), onde o motor é montado diretamente no eixo da junta
e que de acordo com Turner et al. [14] não é o ideal para motores elétricos, pois a ausência de uma relação de redução do movimento leva à necessidade de motores elétricos especiais com menor rotação e maior torque, além de
sujeitá-lo aos efeitos dinâmicos do acoplamento. A outra forma de acionamento, que é a mais tradicional e simples, é a utilização de transmissões por engrenagens entre os motores e as juntas, as quais possuem como vantagens a menor carga no motor, maiores rotações no motor e a facilidade de seu posicionamento deste no braço do robô. A desvantagem deste tipo de acionamento é a presença de atrito e a folga nas transmissões de engrenagem.
Os manipuladores robóticos podem apresentar diferentes anatomias de uma cadeia cinemática, conforme descrito por Paatz [4] e mostrado na Fig. 1.
Figura 1. Tipos clássicos de estruturas de robôs industriais: a) robô articulado, b) robô SCARA, c) robô cartesiano.
Em ambas as estruturas de manipuladores robóticos, têm-se as juntas rotativas que precisam ser acionadas por motores. Ao projetar a construção de um robô, vários componentes de transmissões mecânicas podem ser utilizados. O objetivo de um trem de transmissão é levar a potência mecânica da fonte de potência até a carga. Ao optar o componente de transmissão a ser utilizado deve-se levar em conta a potência transmitida, os tipos de movimentos realizados e o posicionamento da fonte de potência em relação á junta rotativa ou prismática em questão. Além é claro, de fatores como rigidez do material, eficiência e custo benefício.
De acordo com Ross et al. [15], na seleção ótima de uma transmissão por engrenagens para aplicações em mecatrônica, a escolha do tipo depende de muitos fatores, onde os mais importantes são velocidade de entrada, folga, eficiência e custo. Em geral a transmissão de custo menor tem a maior folga, então ou se aumenta o custo ou se compensa a não linearidade de folga no esquema de controle. O importante é se chegar a uma solução de compromisso (trade-off), equilibrando os custos de fabricação e os custos de implementação de controle com compensação das não linearidades.
As engrenagens são os componentes de transmissão mais utilizados. Engrenagens são rodas com dentes
padronizados que servem para transmitir movimento e força entre dois eixos. Muitas vezes as engrenagens são usadas para variar o número de rotações e o sentido da rotação de um eixo para o outro. Ao se optar por esse tipo de componente de transmissão é necessário estabelecer a razão de transmissão, qual o tipo de engrenagem a ser utilizado, o suporte dos eixos das engrenagens, além a lubrificação e do controle da distância dos centros das engrenagens.
Dentre os tipos de engrenagens utilizadas está a engrenagem com dentes retos que é o tipo mais comum de engrenagem e o de mais baixo custo, onde é mais usado para a transmissão de rotação dentro de eixos paralelos ou para movimento linear usando cremalheira. É mais empregado em movimentos de baixa rotação do que em altas rotações devido ao ruído que produz. Já as engrenagens que possuem dentes helicoidais são paralelas entre si, mas oblíquos em relação ao eixo, devido a isso trabalham mais suavemente que as com dentes retos, produzindo assim menos ruído. Em manipuladores frequentemente é necessário um trem de engrenagem que possua grandes reduções, para esse caso as de dentes helicoidais possuem vantagem e maior empregabilidade, pois para uma razão de transmissão e um tamanho, apresentam maior razão de controle.
As engrenagens em forma de tronco de cone, recebem o nome de cônicas. Podem ser compostas de dentes retos e
engrenagem cônica e usada para mudar a rotação e a direção da força, em baixas velocidades. Já a do tipo cremalheira é uma barra provida de dentes e destinada a engrenar uma roda dentada, podendo assim tranformar movimento de rotação em movimento retilíneo e vice-versa. A engrenagem harmônica é caracterizada pela alta relação de transmissão e eixos paralelos em série sendo, e por estas razões, é muito compacto. Usando-se montagem seletiva, pode-se conseguir um mecanismo com jogo angular praticamente zero. O atrito estático neste mecanismo é muito alto. Por essa razão, a tolerância de fabricação pode resultar na variação cíclica do torque. Outro tipo de engrenagem que permite alta redução de velocidade é a engrenagem planetária.
Na Figura 2 pode verificar a ilustração de alguns tipos de engrenagens.
Figura 2. Vários tipos de engrenagens a) Dentes Retos, b) Dentes internos, c) engrenagens cônicas, d) cremalheira e roda dentada, e)
Engrenagem com dentes Helicoidais.
Para o estudo em questão foi levado em conta na simulação uma engrenagem do tipo (a) de dentes retos. 3. DESCRIÇÃO DA NÃO LINEARIDADE DE FOLGA
Em manipuladores robóticos não linearidades como a zona morta, folga e histereses são consideradas comuns e típicas, pois elas estão onipresentes em componentes de sistemas mecânicos, hidráulicos entre outros. Dentre essas, a folga objeto desse estudo, tem o seu conceito normalmente associado com os trens de engrenagem e acoplamentos mecânicos, sua característica principal é o delay, ou seja, atraso entre a ação de potência promovida na engrenagem motora e o receber dessa ação na engrenagem movida.
Esse atraso ou folga é um fenômeno que vem dificultando o desempenho de sistemas de controle há vários anos. Essa dificuldade se dá, devido ao fato de que as tarefas realizadas por manipuladores robóticos nas mais diferentes tarefas da indústria requerem precisão e repetitividade nos movimentos desejados. Entretanto, a folga dificulta a obtenção de boas precisões com repetições. Essa situação causa efeitos indesejáveis sobre a dinâmica de realimentação e sobre a performance do sistema de controle.
Figura 3. Esquema representativo da folga.
Onde, um Perfil L é dirigido até um Perfil U com um espaço constante
−
. A entrada é a posição angular da engrenagem motora Fig. (3 a) representada pelo Perfil L Fig. (3 b) e a saída é a posição angular daengrenagem movida Fig. (3 a) representada pelo de Perfil U na Fig. (3 b).
Com base da na Fig. 3 temos = 0 e =
, agorasupomos que inicie um movimento para a direita. Quando atingir teremos = =
o contatoentão é estabelecido, após esse momento a saída segue a entrada por uma curva de característica crescente. Se em algum momento algum ponto da entrada parar e iniciar
um movimento no sentido contrário, ou seja, para a esquerda, a saída permanecerá imóvel e guardando sua
posição até que a entrada entre em contato com o ponto contrário, o movimento durante esse período é representado por uma transição horizontal para a esquerda. Com base na Fig. 3 pode-se perceber que a duração desse segmento é − , uma vez que < 0. Como descrito anteriormente o
fim desse segmento é o contato com o lado esquerdo do Perfil U.
Após, inicia o movimento para a esquerda
juntamente com a entrada , formando assim uma curva de
característica decrescente, certamente se a entrada parar e começar novamente um movimento para a direita o processo todo irá se repetir, sempre observando os novos contatos com os lados de Perfil U.
4. MODELAGEM MATEMÁTICA DO
ACIONAMENTO DE UMA JUNTA ROBÓTICA Esta seção apresenta a modelagem matemática de uma junta robótica incluindo-se a não linearidade da folga em transmissões mecânicas compostas de engrenagens e utilizadas no acionamento de juntas rotativas de robôs manipuladores do tipo SCARA mostrado na Fig. 4.
Dotados de um ponto de apoio e seguidos de duas juntas rotativas (1) (2), uma prismática e (3) , em alguns modelos, uma junta rotativa de orientação (4), os robôs SCARA são adaptados para aproximação vertical, o que os
.
torna ágeis na movimentação de objetos, e, por terem boa velocidade e precisão, são largamente utilizados em montagens precisas que envolvem grande número de itens, como circuitos eletrônicos.
Figura 4 – Manipulador robótico SCARA [4].
Além disso, são utilizados em muitas tarefas insalubres da indústria nas mais diferentes aplicações em setores tais como indústria de transformação, construção, equipamentos agrícolas, equipamentos de transporte e manuseio de materiais, metalurgia, siderurgia, entre outros. Essas tarefas industriais realizadas requerem precisão e repetitividade nos movimentos desejados.
Entretanto, há vários fatores que dificultam a obtenção de boas precisões com repetições, a folga nos trens de engrenagens é uma delas. Normalmente, o conceito de folga está associado com os trens de engrenagem e acoplamentos mecânicos similares. Este fenômeno vem dificultando o desempenho de sistemas de controle há vários anos, uma vez que folgas causam efeitos indesejáveis sobre a dinâmica de realimentação e sobre a performance do sistema de controle.
A Figura 5 mostra um desenho esquemático do acionamento de uma junta rotativa, por engrenagens. O sistema adotado é composto por um motor de passo elétrico que movimenta a engrenagem motora esta por sua vez movimenta a engrenagem do tipo movida. O deslocamento angular é medido por um encoder.
Figura 5 – Sistema esquemático do acionamento de uma junta rotativa, por engrenagens.
O sistema demonstrado na Fig. 5 é regido por duas Eqs. (1) e (2) diferenciais ordinárias de segunda ordem:
+ = − (1)
+ = − (2)
Onde segmento (I) do sistema é descrito pela Eq. (1) onde [kg.m2] é o momento de inércia do motor.
[N.m.s] é a fricção viscosa do motor, [N.m] é o torque
do motor. [N. m]Torque da engrenagem motora,
ângulo de entrada.
Já o segmento (II) do sistema é descrito pela Eq. (2) onde [kg.m2] é o momento de inércia. [N.m.s] é a
fricção viscosa, [N.m] é perturbação do torque de carga.
[N.m] Torque da engrenagem movida, ângulo de
saída.
Como visto, com as Eqs. (1) e (2) é possível descrever o movimento de uma junta rotativa com acionamento através de engrenagens. Contudo, para o estudo do fenômeno da folga que age sobre esse sistema como um todo, será necessário a adição do sistema de equações representado por (3) o qual rege a folga. Assim, se fará possível a análise do comportamento do acionamento de forma completa, possibilitando a aplicação de controle para os resultados requisitados.
Para isso, o modelo de folga a ser estudado é o proposto por Tao & Kokotovic [16], com entrada () e ()
sendo a saída, é caracterizado por duas linhas diretamente paralelas para cima a direita e para baixo a esquerda, o modelo matemático para o tempo discreto é dado por Eq. (3). () = (() − ) () ≤ (() − ) () ≥ ( − 1) < () < (3) Sendo: =() + , =() + ,
, São parâmetros constantes. Os valores de
são valores dos eixos das projeções das intersecções
de duas paralelas linhas da rampa com o segmento horizontal contendo ( − 1).
A folga e os parâmetros podem ser mais bem visualizados na Fig. 6.
Para a simulação computacional da folga, foi desenvolvido um algoritmo que combina as equações que regem o acionamento de um sistema de engrenagens to tipo trens de engrenagens Eq. (1) e Eq (2) com a não linearidade
blocos dos algoritmos são mostrados nas Fig. 7 e 8 e foram implementados no aplicativo Simulink/Matlab.
Figura 7 - Diagrama de bloco da junta robótica.
.
Os parâmetros do sistema utilizados nas simulações computacionais no Diagrama de bloco da junta robótica e no Diagrama de bloco da não linearidade de folga estão apresentados na Tab (1).
Tabela 1- Parâmetros do modelo do sistema com folga.
Parâmetro Valor
Coeficiente de Atrito Viscoso () 1 [N.m.s]
Constante () -0.035
Coeficiente de Atrito Viscoso () 1 [N.m.s]
Constante () 0.035
Momento de Inércia do Eixo Movida ()
32.265e-6 [kg.m2]
Momento de Inércia do Eixo Motor ()
93.31e-6 [kg.m2]
Carga do Eixo Movida () 0.5 [N.m]
Torque no Motor () 1 [N.m]
Condição Inicial Velocidade (
)
0
( =
t
mθ
) 0 [rad/s] Relação de transmissão dasengrenagens 1
Posição angular inicial do eixo movido (
θ
1(
t
=
0
)
)-0.035 [rad] Posição angular inicial do eixo motor (
)
0
( =
t
mθ
) 0 [rad] Coeficiente de Inclinação () 1O resultado da simulação computacional mostrado na Fig. 9 refere-se apenas à não linearidade de folga e foi obtido com a implementação do diagrama de bolco da Fig. 8 onde foram utilizados os parâmetros de folga m=1, =
-0.035 radianos e = 0.035 radianos, correspondendo à
uma folga angular total em torno de 2 graus.
Figura 9 – Resultado de simulação do modelo de folga (Backlash ).
Utilizando-se o diagrama de bloco da Fig. 7, onde a entrada é o torque do motor e simulando uma entrada
mostra o efeito da folga no movimento angular da junta. Note na Fig. 10 que há um atraso do ângulo de saída em relação ao ângulo do eixo motor. Este atraso pode refletir em erros de posicionamento do braço robótico.
Figura 10 - Resultado de simulação da junta robótica com torque motor constante.
Na Fig. 11 tem-se o resultado de simulação com a variação linear e alternada do torque motor na junta robótica. Nota-se que nas inversões de movimento o atraso entre os movimentos angulares do eixo motor e do eixo da junta são maiores e isto é consequência da folga no encaixe dos dentes da engrenagens.
Figura 11 - Resultado de simulação da junta robótica com torque motor alternado e com variação linear.
Pode-se constatar que em todas as simulações onde a não linearidade da folga foi adicionada houve um atrasado entre as curvas de entrada do sistema e a curva de saída, situação característica dessa não linearidade, com isso a perda de precisão e conseqüentemente diminuiu o fator de repetitividade que é necessária nas aplicações onde o acionamento é efetuado através de trens de engrenagens. 6. CONCLUSÕES
Este trabalho apresentou a modelagem matemática e a
0 5 10 15 20 25 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Tempo (s) T et a (r ad ) Simulação (só backlash) Tetam Teta1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 Tempo (s) T et a (r a d) Simulação (Tm=constante) Tetam Teta1 0 5 10 15 20 25 30 35 -60 -40 -20 0 20 40 60 Tempo (s) T et a (gr au s ) Simulação (Tm variando) Tetam Teta1
custo. Esse fenômeno de folga é um problema na busca de controle preciso para movimentos que necessitam de precisão com repetitividade. Os efeitos da folga foram ilustrados nos resultados de simulação.
Foi realizada uma revisão bibliográfica em literatura internacional recente e concluiu-se que ainda há muito campo para pesquisa em relação à idendificação e compensação desta não linearidade em sistemas mecânicos.
Como perspectivas futuras, pretende-se comparar os resultados de simulação computacional com resultados experimentais em uma bancada de testes que está em fase de construção.
AGRADECIMENTOS
Os autores são agradecidos à UNIJUÍ pela estrutura laboratorial disponível e às diversas agências que tem apoiado finaceiramente a pesquisa, tais como a FAPERGS, FINEP/MCT, SEBRAE, CNPq e CAPES.
REREFÊNCIAS
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