PROJETO DE EXPERIMENTOS

PROJETO DE EXPERIMENTOS

DEFINIÇÕES

Experimento : Um conjunto planejado de operações com o objetivo de

descobrir novos fatos ou confirmar ou negar resultados de investigações anteriores.

Fator : (Variável independente) Um “fator” é uma das variáveis controladas ou

não, que exercem influência sobre a resposta que está sendo estudada no experimento. Um fator pode ser quantitativo, isto é, a temperatura em graus, o tempo em segundos. Um fator pode, também, por exemplo, ser qualitativo, ter diferentes máquinas, diferentes operadores, interruptor ligado ou desligado, catalisador A ou B.

Nível : Os “Níveis” de um fator são os valores do fator examinado no

experimento. Para os fatores quantitativos, cada valor escolhido constituiu um nível, isto é, se o experimento deve ser conduzido em quatro temperaturas diferentes, então o fator “temperatura” possuiu quatro “níveis”. No caso dos fatores qualitativos, “o interruptor ligado ou desligado” representa dois níveis para o fator interruptor; caso estejam sendo utilizadas seis máquinas por três operadores, então o fator “máquina” tem seis níveis, enquanto o fator “operador” tem três níveis.

Tratamento : Um “Tratamento” é um nível atribuído a um fator único durante

um experimento, pôr exemplo, a temperatura a 800 graus. Uma “combinação de tratamento” é o conjunto de níveis para todos os fatores num dado experimento. Por exemplo, um experimento utilizando temperatura de 800 graus, máquina 3, operador A, e interruptor desligado constituir-se-ia numa combinação de tratamento.

Unidades Experimentais : As “Unidades Experimentais” consistem em

objetos, materiais ou unidades aos quais se aplicam os tratamentos. Podem ser entidades biológicas, materiais naturais, produtos manufaturados etc.

Ambiente Experimental : O “Ambiente Experimental” compreende as

condições ambientais que podem vir a influenciar os resultados do experimento de modo conhecido ou desconhecido.

Bloco : Um fator num experimento que exerce influência como fonte de

variabilidade é chamado “bloco”. A palavra deriva de seu antigo uso na agricultura, na qual os blocos de terra eram as fontes de variabilidade. Um Bloco é uma porção do material experimental ou do meio experimental que apresenta uma probabilidade maior de homogeneidade em si mesma do que entre porções diferentes. Por exemplo, amostras de um único lote de material tem mais probabilidade de ser uniformes do que amostras de lotes diferentes. Um grupo de amostras de um único lote é considerado um bloco. As observações feitas num mesmo dia têm mais probabilidade de homogeneidade (variação menor) do que observações feitas pôr dias a fio. “Dias” torna-se ,então , um fator de blocagem.

Delineamento de Experimento : O plano formal para a condução do

experimento é chamado “delineamento de experimento” ou “modelo experimental”. Ele inclui a escolha de respostas, fatores, níveis, blocos e tratamentos, além da utilização de determinadas ferramentas chamadas agrupamento planejado, aleatorização e replicação.

Aleatorização : A seqüência de experimentos e/ou a atribuição de amostras a

diferentes combinações de tratamento de maneira puramente casual é denominada “Aleatorização”. Tal atribuição aumenta a probabilidade de que o feito de variáveis incontroláveis seja eliminado.

Também aprimora a validade das estimativas da variância dos erros experimentais e torna possível a aplicação de testes estatístico de significância, além de construção de intervalos de confiança. Sempre que possível, a aleatorização deve fazer parte do experimento.

Replicação : A “Replicação” é a repetição de uma observação ou medição de

forma a aumentar a precisão ou fornecer os meios para medir a precisão. Uma replicação única consiste de uma única observação ou realização do experimento. Proporciona uma oportunidade para que se eliminem os efeitos de fatores incontroláveis ou de fatores

desconhecidos pelo experimentador e assim, com a aleatorização, atua como ferramenta diminuidora de tendências. A replicação também ajuda a detectar erros graves nas medições. Nas replicações de grupos de experimentos, diferentes aleatorização devem ser aplicadas a cada grupo.

EXPERIMENTOS FATORIAIS ( convencionais)

Introdução

No passado, na realização de experimentos que envolviam mais de um fator, e cada fator com mais de um nível, adotava-se o seguinte procedimento :

Escolhia-se um fator, o qual era experimentado variando o seu nível, enquanto os outros fatores tinham seus níveis fixados, terminada a experimentação com o primeiro fator escolhido, assumia-se para o mesmo o melhor valor desejado (máximo, mínimo, etc) e repetia-se o procedimento com os outros fatores, um de cada vez.

Este processo não leva em consideração as eventuais interações existentes entre os fatores.

Para tentar suprir esta lacuna foram usados os Experimentos Fatoriais, os quais passamos a detalhar.

Experimento Fatoriais com K Fatores (Cada Fator com Dois Níveis).

Os delineamentos fatoriais 2k possuem ampla aplicação industrial. Tais delineamentos permitem a avaliação em separado dos efeitos individuais e dos efeitos de interação dos fatores num experimento no qual todos fatores variam simultaneamente num padrão de tentativas cuidadosamente organizado.

Um experimento fatorial com fatores, cada um com dois níveis, é conhecido como o experimento fatorial 2k. O experimento consiste de 2k tentativas, uma tentativa em

cada combinação dos dois níveis dos fatores. Para identificar as tentativas individuais é utilizada, dentre outras, a seguinte notação :

- Os fatores são representados por letras - Os níveis pelos sinais de mais (+) e de (-)

- O sinal de mais (+) representa o nível inferior, a condição ou a ausência de fator.

Obs.: Os japoneses costumam utilizar o número 1 ao invés de (-) e o número 2 ao invés de (+).

Assim, se há 3 fatores a serem experimentados, teremos um fatorial de 23 com 8 experimentos, os fatores representados pelas letras A,B e C, e o planejamento do experimento será representado conforme a tabela nº 1

Tabela 1

ENSAIO FATORES Resposta (z)

A B C 1 - - -2 + - -3 - + -4 + + -5 - - + 6 + - + 7 - + + 8 + + +

Estimativa dos Efeitos Principais e Interações

Os experimentos fatoriais 2k permitem a estimativa de todos os K efeitos principais (efeitos de primeira ordem) de todas as interações de dois fatores, de todas as interações de três fatores, etc. Cada efeito estimado é uma estatística da forma Ζ(+) - Ζ(-) , ou

seja, é expresso pela diferença entre as duas médias, cada uma contendo 2k-1 observações. Em um experimento 24 o analista seria, assim, capaz de estimar, além da média geral, quatro efeitos principais, seis interações de dois fatores, quatro interações de três fatores, e uma interação de quatro fatores, totalizando um total de 16 estatística. Notavelmente, todas estas estatísticas são “distintas” (ortogonais) umas das outras, isto é, as magnitudes e sinais de cada estatística não são de maneira alguma influenciadas pelas magnitudes e sinais das demais.

Exemplo de Fatorial 23:

Variável Resposta: Rendimento de um Processo

Fatores Níveis (-) (+) A - Temperatura (ºC) 160 180 B - Concentração (%) 20 40 C - Catalisador A B Ensaio\Fator A B C Resposta:Rendimento (%)

1 - - - 60 2 + - - 72 3 - + - 54 4 + + - 68 5 - - + 52 6 + - + 83 7 - + + 45 8 + + + 80 Média :

(

)

M = 60+72+54+68+52+83+45+80 = 8 64 25. Efeitos Principais ( ) ( )

(

) (

)

A=Z + −Z − = 72+68+83 80+ − + + + = 4 60 54 52 45 4 23 ( ) ( )

(

) (

)

B= Z + −Z − = 54+68+45 80+ − + + + = − 4 60 72 52 83 4 5 ( ) ( )

(

) (

)

C= Z + −Z − = 60+72+54+68 − + + + = 4 52 83 45 80 4 15.

(

) (

)

AB= 60+58+52+80 − + + + = 4 72 54 83 45 4 15.

(

) (

)

AC= 60+54+83+80 − + + + = 4 72 68 52 45 4 10

(

) (

)

BC= 60+72+45+80 − + + + = 4 83 54 68 52 4 0

Efeitos de Interação de Terceira Ordem (3 fatores)

(

) (

)

ABC= 72+54+52+80 − + + + =

4

60 68 45 83

4 0 5.

No exemplo, a coluna resposta é, na realidade, a média obtida do experimento com uma replicação, conforme mostrado na Tabela Nº 2

Fator Ensaio A B C Resposta (z1) (z2) Diferenç a d d2/2 1 - - - 59 61 2 2 2 + - - 74 70 4 8 3 - + - 50 58 8 32 4 + + - 69 67 2 2 5 - - + 50 54 4 8 6 + - + 81 85 4 8 7 - + + 46 44 2 2 8 + + + 79 81 2 2 S2=64

Podemos usar a diferença entre as replicações para calcular o erro de medida sendo a variância S2 igual ao somatório dos quocientes, das diferenças ao quadrado por 2, isto é S2 = ∑(d2 / 2) e a Sp2 média das variâncias das Duplicatas (replicação) é igual a

variância S2 dividida pelo número de experimentos n, isto é, Sp2 = S2 / 2 . O erro de medida

será a raiz quadrada da média das variâncias das duplicatas, isto é, Sp = √ Sp2.

Para o nosso exemplo temos :

S2 d 2 2 64 =

∑

= S S n p 2 2 64 8 8 = = =

S2 S_p 2 8 2 8 = = = . Em geral : S V S V S V S n n n p g g g 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 = + + + + + ... ... Onde :

Sp2 = Média pendente das variâncias

g = Número de conjuntos de condições experimentos

Vi = Graus de Liberdade = (ni - 1)

ni = Número de Replicatas

Cálculo do erro propagado no valor do efeito :

S S n Z z 2 2 = n = número de medidas ( ) S_Z V Z 2 = ( ) S_Z2 =V_Z ( )

(

[ ] ( )

)

( )

( )

( )

( ) V_efeito =V Z −Z =V Z +V Z = + S_p S_p   = = = + − + − 1 8 1 8 1 4 8 4 2 2 2

Temos então os seguintes resultados :

Efeito Estimativa ±Erro Padrão

A--- 23.0±1.4 B--- -5.0±1.4 C--- 1.5±1.4 AB--- 1.5±1.4 AC--- 10.0±1.4 BC--- 0.0±1.4 ABC--- 0.5±1.4

Representação Gráfica de um Fatorial 23

INTERPRETAÇÃO

O efeito de aumentar o fator B é uma diminuição na resposta de 5 unidades. Este efeito é constante para os níveis de outras variáveis testadas, isto é, o fator B independe dos fatores A e C.

Os efeitos de A e C não podem ser interpretados separadamente por razões do grande valor do efeito de interações entre eles.

Representação gráfica da interação AC :

FATORES RESPOSTAS MÉDIA DAS RESPOSTAS

- - 60 54 57

+ - 72 68 70

- - 52 45 48,5

+ + 83 80 81,5

EXPERIMENTOS FATORIAIS FRACIONADOS (CADA FATOR COM DOIS NÍVEIS)

Quando existem muitos fatores, um experimento fatorial completo, com todas as combinações possíveis dos níveis dos fatores, envolve um grande número de teste mesmo quando somente dois níveis de cada fator estão sendo pesquisados. Nesses casos, faz-se útil um plano que exija menos testes do que o experimento fatorial completo. A fração é um subgrupo, cuidadosamente prescrito, de todas as combinações possíveis. A análise dos fatoriais fracionários é relativamente direta, e a utilização de um fatorial fracionário não impede a possibilidade de uma complementação posterior de todo o experimento fatorial.

Confundindo (Sinônimos, Tendências). Num experimento fatorial completo,

temos 2k tentativas experimentais. Na análise de um fatorial completo, temos a média geral, K efeitos, principais (2k - k - 1) efeitos de interações. Os 2k experimentos podem ser utilizados para fornecer estimativas independentes de todos os 2k efeitos. Num fatorial fracionário (digamos a fração 1/2p), haverá apenas 2k-p experimentos e, portanto, somente 2k-p estimativas independentes são possíveis. No delineamento de planos fracionários (isto é, na seleção do subgrupo ideal do total das 2k combinações), a meta é manter cada uma das 2k-p estimativas o mais livre de tendências ou o mais independente possível, ou seja, manter as estimativas dos efeitos principais e, se possível, as interações de segunda ordem sem tendências ou quase.

A fim de explicarmos melhor, consideremos o seguinte experimento fracionário 23-1.

A B C OBSERVADO

- - + Z1 = 8

+ - - Z2 = 11

- + - Z3 = 9

_ + + Z4 = 14

Os efeitos principais são dados pelas estatística Z+ −Z− onde uma vez mais os

subíndices menos e mais de cada letra no delineamento identificam as observações que entram em cada média. Assim, o efeito principal de A é estimado como sendo (11 + 14) / 2 - (8 + 9) / 2 = 4,0. Os efeitos principais de B e C são, respectivamente, (9 + 14) / 2 - (8 + 11) / 2 = 2 e (8 + 14) / 2 - (11 + 9) = 1,0. Agora consideremos a estimativa de uma interação de dois fatores AB. O analista descobrirá que os sinais necessários para estimar a interação AB são idênticos aqueles já empregados para estimar o efeito principal de C. O efeito principal de C e a interação de dois fatores AB se confundem. Em outras palavras, a estatística Z+ −Z− =10. possui uma estrutura de “sinônimos”, isto é, a estatística tanto

pode se identificada como C ou como AB. Na verdade, o valor esperado da estatística é igual a C + AB, a soma dos dois efeitos, e na ausência de informações claras sobre o efeito principal de C, não somos capazes de dizer se o efeito AB é positivo, negativo, grande ou pequeno. O leitor pode observar que a estimativa de A confunde-se com BC, assim como B com AC.

Quando alguns, ou todos, efeitos principais se confundem com interações de dois fatores, diz-se que o delineamento fatorial fracionário é de “Resolução III”. Quando um ou mais efeitos principais confundem-se com interações de (no mínimo) três fatores, diz-se que o fracionário é um delineamento de “Resolução IV”. Fracionários com efeitos principais confundidos com interações de (no mínimo) quatro fatores são de “Resolução V” etc.

Delineamento de um Experimento Fatorial Fracionário.

Consideremos N igual ao número de realizações experimentais e K o número de fatores a serem investigados. Quando N = 2k, temos umde lineamento fatorial completo, Quando N = 2k-p, temos uma réplica (1/2)p de fatorial 2k; por exemplo, 27-3 é uma réplica de um oitavo de um fatorial 27, contendo 16 realizações.

Para elaborar um projeto de réplica de um meio em N realizações, primeiro anotamos o delineamento fatorial completo com (k-1) fatores. A seguir anota-se a coluna de sinais associados com a interação de ordem maior. Estes sinais são agora utilizados na definição dos níveis do k-ésimo fator. Por exemplo, para construir o delineamento 24-1 inicia-se um fatorial 23 com fatores A, B e C conforme ilustrado na Tabela Nº 3. Ao lado das colunas para A, B e C, anota-se a coluna de sinais associados com a interação ABC. Estes sinais são utilizados na identificação dos dois níveis do fator D. (A outra fração de um meio é obtida invertendo os sinais da coluna ABC).

Tabela nº 3 GERADOR DELINEAMENTO PRINCIPAL DELINEAMENTO ALTERNATIVO A B C ABC = D A B C D A B C D - - - - - - + + - - + + - - + + - - -- + - + - + - + - + -

-+ + - - + + - - + + - +

_ - + + - - + + - - +

-+ - + - + - + - + - + +

- + - + - + + - - + + +

+ + + + + + + + + + +

METODOLOGIA DA SUPERFÍCIE DE RESPOSTA

Objetivo : Determinar as relações entre uma ou mais respostas medidas e um número de variáveis ou controles experimentais como tempo, temperatura, conceituações, etc.

Pode ser usado para obter uma estimativa precisa do máximo ou mínimo Baseado na metodologia de planejamento fatorial

Exemplo : Determinar os valores de tempo (x) e temperatura (y) que produz um rendimento químico máximo numa investigação no laboratório.

Experiência prévia indicou que um tempo de 75 min e temperatura de 130º resultou em um bom rendimento, também o erro padrão do rendimento foi estimado em 1,5. Nas experiências iniciais o investigador variou de 80 para 90 minutos e temperatura de 127,5 até a32,5ºC. Para simplicidade fatorial 22 com três ensaios num ponto central foram usados.

A informação dos ensaios no ponto central foi usada para : 1 - Estimar o erro da medida

2 - Estimar a curvatura da superfície

Um planejamento fatorial 22 com ponto central é apropriado para determinar o modelo linear (modelo de primeira ordem)

Z = Rendimento X = tempo Y = Temperatura

O fatorial 22 com triplicata no ponto central permite : 1 - Determinar o modelo linear de uma maneira eficaz

2 - Verificar se o modelo planar é adequado para representar os dados 3 - Estimar o erro experimental

Primeiro os níveis das variáveis são transformados em unidades mais convenientes U U U U = _∆− 2 X = tempo−75 5 Y = temperatura−130 2 5.

Ensaio nº Tempo Temperat. Variáveis Escalonadas

Redimento

X Y Z

2 80 127.5 +1 -1 60.3 3 70 132.5 -1 +1 64.6 4 80 132.5 +1 +1 68.0 5 75 130.0 0 0 60.3 6 75 130.0 0 0 64.3 7 75 130.0 0 0 62.3

(Caminho de Ascendência Máxima)

8 80 134.8 +1 1.91 73.3

9 100 153.9 +5 9.57 58.2

10 90 144.4 +3 5.75 86.8

Um modelo de primeira ordem é satisfatório se a superfície tem pouca curvatura na região investigada, isto é, os gradientes são os termos do modelo mais importante.

Isto normalmente é a verdade se estamos investigando uma região afastada do máximo.

Mesmo que estando investigando uma região onde existe curvatura apreciável sempre podemos verificar a precisão do modelo linear. Se for necessário usar um modelo mais sofisticado, novos ensaios podem ser adicionados àqueles do fatorial 22 para sua determinação.

Estimativa dos coeficientes b0, b1, b2

(

)

b Z n 0 1 7 54 3 60 3 64 6 68 60 3 64 3 62 3 62 01 =

∑

= . + . + . + + . + . + . = .

[

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

]

b XZ X 1 2 1 4 1 54 3 1 60 3 1 64 6 1 68 0 2 35 =

∑

= − + + − + =

∑

. . . . .

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

(

)

b YZ Y 2 2 1 4 1 54 3 1 60 3 1 64 6 1 68 4 80 =

∑

= − + − + + =

∑

. . . . Erro Z = 62.01+2.35x+4.5y (±0.57)(±0.75)(±0.75)

Verificação da Validade do Modelo Planar.

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

[

]

b₁₂ 1 4 1 54 3 1 60 3 1 64 6 1 68 0 = . + − . + − . + . b12 = -0.65 (+\- 0.75)

Interação entre tempo e temperatura é desprezível Verificação da Curvatura

ZF = Média das 4 respostas do fatorial

ZC= Média das respostas do ponto central

ZF = ZC = b11 + b12 onde b11 e b22 são coeficientes de x2 e y2 de um modelo

quadrático.

(

) (

)

b11 b22 1 4 54 3 60 3 64 6 68 0 1 3 60 3 62 3 64 3 + = . + . + . + . − . + . + .

(

)

b₁₁ +b₂₂ = −0 50 115. ± . paraS =15. Em resumo : b e b b 12 11 22 0 65 0 75 0 50 115 = − ± + = − ± . . . .

O modelo planar é satisfatório nesta região da superfície

Nova estimativa de erro no rendimento usando as respostas do ponto central :

(

)

( ) ( ) ( ) (

)

S X X n n S 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 60 3 62 3 64 3 186 9 3 2 4 0 = − − = + + − =

∑

∑

. . . . .

S1=2.0 Próximo a estimativa inicial de 1.5

Diagrama de Linhas de Contorno para a Superfície de Resposta Z = 62.01 + 2.35x + 4.50y

(±0.76)(±1.00)(±1.00)

A Equação para a linha de contorno com valor de rendimento igual a Z é dado por:

62.01 - Z+2.35x + 4.50y=0

Esta equação pode ser resolvida para obter os valores de tempo e temperatura que resultaria num valor de Z previsto pelo modelo, juntando todos estes pares de valores de x e y resulta na linha de contorno com rendimento previsto Z.

Determinação da Validade do Modelo Linear usando o teste T. Intervalos de confiança de 95% para b0

( )

( )( )

t S n b t 1 2 0 0 95 2 0 76 62 01 4 30 0 76 62 01 3 27 − = ± = ± = ± α ν, . , . . . . . .

O valor de b0 é significativo no nível de confiança de 95%.

Intervalo de confiança de 95% para b1, b2 e b12

b1 ± t0.95.2 [ erro padrão (b1)] = 2.35 ± 4.30 (1.00) = 2.35 ± 4.30

b1 não é estatisticamente significante no nível de confiança de 95%.

(No nível de confiança de 80% o valor de b1 é estatisticamente significante).

b2 ± t0.95,2 [ erro padrão (b2)] = 4.50 ± 4.30 (1,00) = 2.35 ± 4.30

b2 é estatisticamente significante no nível de confiança de 95%.

b12 ± t0.95,2 [ erro padrão (b12) ] = -0.65 ± 4.30 (1.00) = -0.65 ± 4.30

b12 é estatisticamente significante no nível de confiança de 95%.

(

)

(

) ( ) ( )

V = b₁₁+b₂₂ =V ZF −ZC =V ZF +V ZC = S +S + S = 2 2 2 4 3 7 12 1 31.

Intervalo de confiança de 95% para o valor da soma b11 + b22.

(b11 + b22) ± t0.95.2 [erro padrão (b11 + b22)] = -0.50 ± (4.30) (1.31) = -0.50±5.63

O valor de (b11 + b22) não é estatisticamente significante no nível de 95%.

TESTE F

Determinar se uma variância significativa dos dados experimentais é explicada pelo modelo.

Z =b0 +b x1 +b y2 + +Z E

Soma dos quadrados dos desvios experimentais da média Z.

(

Z−Z

)

∑

2

Graus de Liberdade = n-1 n = número de medidas

Variância Total nos dados =

(

)

(

)

Z Z n Stot − − =

∑

1 2 2

Soma dos quadrados dos desvios da média que são previstos pelo modelo.

Z∧−Z

  

∑

2 Graus de liberdade = p-1

Soma dos quadrados das diferenças entre os valores experimentais e aqueles previstos pelo modelo.

Z −Z

  

∧

∑

2 Graus de liberdade = n-1-(p-1) = n-p

O teste F envolve uma comparação entre os três valores das somas dos quadrados, todas corrigidas por seus números de graus de liberdade.

(

)

(

)

MSS Z Z n S tot = tot − − =

∑

1 2 2

(

)

(

)

MSS Z Z p reg = − −

∑

1 2

(

)

(

)

MSS Z Z n p desv = − −

∑

2 Tabela - Teste F

Fonte de Variação Soma dos Quadrados GL MSS F Regressão 103.09 2 51.54 20.4 Desvios 10.12 4 2.53 Total 113.12 6 F0.95.2.4 = 6.94

Fcalculado> Ftabelado → Regressão Significante

O caminho de ascendência máxima (Steepest Ascent Path) é perpendicular as linhas de contorno. Podemos representar este caminho graficamente tracejando uma reta com ponto inicial no ponto central do fatorial 22 e com inclinação 4.50/2.35 = 1.91

Três ensaios foram feitos nesta reta

Ensaio nº 8 - Resposta melhor do que aqueles do fatorial Ensaio nº 9 - Evidentemente extrapolamos demais

Ensaio nº 10 - Rendimento Máximo

Foi feito um segundo fatorial com ponto central perto do ponto para ensaio nº 10. Parâmetros para um modelo linear foram calculados.

Ensaio nº 11 até 16

Novo escalonamento para este fatorial

( )

(

)

X tempo min Y temperatura graus = − = − 90 10 145 5

Ensaio Tempo Temperatura Segundo Fatorial Variáveis Escalonadas Rendimento 11 80 140 -1 -1 79.8 12 100 140 +1 -1 84.5 13 80 150 -1 +1 91.2 14 100 150 +1 +1 77.4 15 90 145 0 0 89.7 16 90 145 0 0 86.8 Planejamento Estrela 17 76 145 − 2 0 83.3 18 104 145 2 0 81.2 19 90 138 0 − 2 81.2 20 90 152 0 2 79.5 21 90 145 0 0 87.0 22 90 145 0 0 86.0

Teste de validade do modelo linear

Z = 84.73 - 2.03x + 1.32y Fcal = 0.38

(±0.61) (±0.75) (±0.75) F0.95.2.9 = 4.26

b12 = 4.88 ± 0.75 b11 = b22 = -5.28 ± 1.15

Como ambos os valores para b12 , b11 e b22 são grandes em relação a seus erros,

um modelo linear não é adequado para descrever esta região da superfície. (Talvez esteja na região de um máximo).

Estimativa de Erro (Dois Ensaios - Ponto Central)

( ) ( ) (

)

( ) ( )

S S S V S V S V V p 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 89 7 86 8 176 5 2 4 21 2 05 2 4 00 1 4 21 3 4 07 = = − = = = + + = + = . . . . . . . .

Sp= Nova estimativa do erro da medida = 2.02

Determinação do Modelo Quadrático

Z = b0 + b1x + b2y + b11x2 + b22y2 + b12xy

Para determinar os valores dos seis coeficientes numa maneira eficaz ensaios 17 - 22 foram feitos. Ensaios 17-22 formam o “Planejamento de Estrela” (Star Design).

Os ensaios 11-22 juntos formam um “Central Composite Design”.

Para facilitar o cálculo um programa computacional de regressão linear múltipla pode ser usado (STATGRAF ou STATISTICA):

Variável Dependente Z

Resultado :

Z = 87.36 - 1.39x + 0.37y - 2.15x2 - 3.12y2 - 4.88xy

Linhas de Contorno :

87.36 - Z - 1.39x + 0.37y - 2.15x2 - 3.12y2 - 4.88xy = 0

A figura acima a superfície no espaço e mostra a projeção da mesma no plano xy.

A superfície é um “Oblique Rising Ridge”.

O rendimento aumenta quando aumentamos a temperatura e simultaneamente reduzimos o tempo da reação.

Verificação da Validade do Modelo Quadrático.

(

) (

)

b₁₁₁ b₂₂₂ 1 Z₁₈ Z₁₇ Z₁₂ Z₁₄ Z₁₁ Z₁₃ 8 1 4 − = − − + − −

Para nosso conjunto de dados :

b111 + b122 = 1.28 ± 1.06 b222 - b122 = 1.93 ± 1.06

Modelo Quadrático é ligeiramente inadequado. Estimativa de erro

( ) ( ) ( )

S S V S V S V S V V V S p p 3 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 3 3 2 1 2 3 87 0 86 0 173 0 2 1 0 5 2 4 0 1 4 2 1 0 5 4 318 1 78 = + − = = + + + + = + + = = . . . . . . . . .

Qualidade da superfície ajustada com os dados :

( )

( )

( )

( )

V Z n V Z PS n V Z i n = = = = = =

∑

1 6 15 12 1125 11 1 2 2 λ . . .

P = Número de parametros no modelo n = Número de ensaios

Intervalo de valores para Zi = 13.0

Teste F

Fonte de Variação Soma dos Quadrados Graus de Liberdade Média Quadrática F Regressão 188.17 5 37.36 9.37 Desvios 24.11 6 4.02 -Total 212.28 11 - -F0.95; 5; 6 = 4.39 Regressão Significativa