Conjuntos Parcialmente Hiperbólicos com Volume Positivo.

(1)

Instituto de Matemátia

Curso de Pós-graduação em Matemátia

Dissertação de Mestrado

Conjuntos Parialmente Hiperbólios om

Volume Positivo

Yuri Ki

Salvador/Bahia

(2)

Volume Positivo

Yuri Ki

Dissertação apresentada ao

olegiado do urso de

Pós-Graduação em Matemátia da

Universidade FederaldaBahia,

omo requisito parial para

obtenção do Título de Mestre

emMatemátia.

Bana examinadora:

Prof. Dr. ViltonJeovanVianaPinheiro (Orientador)

Prof. Dr. Augusto Armando de Castro Júnior

(3)

Conjuntos Parialmente Hiperbólios om Volume Positivo /

YuriKi. Salvador-Ba, 2007.

Orientador: Dr. ViltonJeovan VianaPinheiro(UFBA).

Dissertação de Mestrado apresentada ao urso de Pós-graduação em

Mate-mátia daUFBA, 57 páginas.

Palavras-Chave: Conjuntos Hiperbólios, Conjuntos Parialmente

(4)

(5)

As pessoas mais importantes da minha vida: meu pai, Jung; minha mãe, Ana, por

terem se dediado toda a vidapelas suas lhas, pela eduação que tive e por

ompreen-derem a minha ausênia de tantos jantares de família; e minha irmã, Hanna, pela força

de todos osdias enoites. Amovoês de todo meu oração!

Aosamigos: Arhibald,sem o seu inentivonão estariaaqui;as amigasband: Carol,

Gabi, Yumi, Pula, ElisaChang, ElizaSaito, Nelly,Flávia, Prisilla, Mariane,Ana Tomi,

Catarina, Vivian, Marina, que me ajudaram nas melhores e piores horas; Léa Géjer,

minha amigado oração; Paula Diniz; Teo; Daniel, que veio omigopara Salvador e não

medeixou dormirno arro!;Renato, pelapaiênia e peloarinhoque teve omigoepor

me inentivar a fazer todas a as louuras que surgiam... apesar de nossas desenontros,

quero te agradeer portudo que passamos e vivemos!

Aos novos amigos de Salvador: Edson L. Nasimento, que me emprestou aquela

mesa do futuro; Oriva, pela grande paiênia e sensatez; galera da omputação, Beto,

Sura,Ivan, Bia,Lage, Lívia,Arilson, Helder,Dani,Almeidão,Grazieno, Jailson,Charles,

Alex, Krishnamurti, Ianei, Luas, Kelly, Lorena, Opengl, Pablo, Viente, Ranha, pela

bagunça e animação; Vitor RS; Tertuliano, pela hospedagem no Rio; Adriano Cattai,

Tharita, pela ajuda de todas as horas; Larissa(prima); a velha geração do mestrado:

Gilléio, Rosane, Abílio, Rolando, Ariane, Jason, Marilue, Josaphat, Ella, Silvia; a

nova geração: Riardo, Luiana, Tiago, Ednaldo; Carla Lopes e Gabriela, por todas as

expliações dos teoremas e também pelos momentos extra-urriulares; Pedro; D. Ana;

Paulo Nasimento e Keu, que me ensinaram (e também a todos os outros mestrandos)

a esrever esta dissertação no latex. E a todos que, de alguma forma, ontribuíram na

minha passagem nomestrado nestes 2 anos.

Aosafarinhadosda turmade 2005: Bárbara,Elias, Eliseu, Jarbas, Kleyber, Mariana

e Riardo. Com erteza, sem voês meus sábados não seriam os mesmos!! Não foram

(6)

formas durante todos os dias desses 2 anos! Minha enorme gratidão a ada uma, pelo

apoio nas diuldades do pensionato e fora dele e também pelos domingos de família

que passamos. Um muito Obrigado pelas risadas e gargalhadas que o quarteirão todo

esutada. A voês, meu arinho eterno!

Ao Amadeu! A pessoa mais ompanheira que eu já onhei, meu arinho e meu

respeito! É difíil imaginar minha vida sem voê... meus dias seriam o aaso e não

sorte! Quero te agradeer por todos os minutos que estivemos juntos! Obrigada por se

tornar essa pessoa tão espeial na minhavida!

Gostaria também de agradeer a todos os olegase funionáriosdoInstituto de

Ma-temátiadaUFBa, emespeial, Dona Zezé, TâniaSpínola, Jomárioe Alan.

Aos professores do Instituto de Matemátia da UFBa: Enaldo Silva Vergasta,

Ed-son Alberto Coayla Teran, José Nelson B. Barbosa, Joseph Yartey, Maro Antnio N.

Fernandes, Samuel Gomes daSilva.

Aos professores José Ferreira Alves, da Universidade do Porto e Paulo Runo, da

Universidade de Campinas.

Aos professores do Instituto de Matemátia e Estatístia da Usp: Maria Cristina

Barru,peladediaçãodas aulasde Cáluloepelaenormeonança;EduardoColli, pela

oportunidade daMatematea; NílsonMahado.

Aos professores: Augusto Armando de Castro Júnior, da Universidade Federal da

Bahia,e VítorDomingos Martinsde Araújo,daUniversidade Federal doRiode Janeiro,

que se disponibilizaram para ompor a bana examinadora, veriaram esta dissertação

om tantouidado epelas sugestões eorreções damesma.

Um agradeimento mais do espeial aoProf o

VíltonJeovanViana Pinheiro,da

Uni-versidade Federal daBahia, pelaorientação,pelaajuda, pelaforça, portodas asquartas

e pelotema esolhido para esta dissertação. Muito Obrigada!

(7)

No ontexto de apliações

C

1+

α

, obtemos resultados naestrutura topológia de

on-juntosparialmentehiperbólios,omontraçãonadireçãoentro-estávelequesatisfazem

aondiçãonão uniformementeexpansora, emumavariedadeompata riemanniana. Em

partiular, temos omo onseqüênia, a não existênia de ferraduras parialmente

(8)

Inthis work,westudythe topologialstruture ofpartiallyhyperbolisets,with

uni-formontration inthe stable diretionand that satises the ondition of non-uniformly

expanding along the entre-unstable diretion, in a ompat riemannian manifold in the

ontextof appliations

C

1+

α

. Inpartiular, wehaveas onsequene,the non existeneof

horseshoepartiallyhyperboliwithpositivevolume fordieomorphismswhose

(9)

Resumo vii

Abstrat viii

Lista de Figuras x

Introdução 1

1 Apresentação dos Resultados 3

1.1 Conjunto ParialmenteHiperbólio . . . 3

1.2 Conjunto Hiperbólio . . . 7

2 Controle Hölder 10

3 Tempo Hiperbólio e Distorção Limitada 14

4 Demonstração dos Teoremas 21

4.1 Demonstração doTeorema Prinipal . . . 21

4.2 Demonstração doTeorema A . . . 33

4.3 Demonstração doTeorema C. . . 35

5 Existênia de pontos periódios hiperbólios 37

6 Conjuntos Hiperbólios om Volume Positivo 44

6.1 Conjunto Hiperbólio Transitivo . . . 44

6.2 Conjunto Hiperbólio . . . 47

(10)

B.2 ApliaçãoExponenial . . . 53

(11)

3.1 . . . 16

3.2 . . . 16

3.3 . . . 17

3.4 . . . 18

4.1 . . . 26

4.2 . . . 27

4.3 . . . 28

4.4 . . . 32

4.5 . . . 34

4.6 . . . 34

4.7 . . . 35

5.1 . . . 39

6.1 . . . 45

(12)

iteratus= repetir

Na déadade

60

,Smaledesreveu oomportamentodinâmionavizinhançade uma órbita de um ponto homolínio (ferradura de Smale), dando origem a dinâmia

hiper-bólia. Um onjunto ompato invariante é hiperbólio se existe uma deomposição do

brado tangente em dois subbrados invariantes, onde um deles ontrai e o outro

ex-pande sob a ação da derivada da apliação. Apesar de a hiperboliidade nos forneer

araterístiaspreisas, elaexigepropriedadesmuito rígidas,exluindomuitasdinâmias

tambémimportantes. Istomotivou, naúltimadéada,oestudodadinâmiadeonjuntos

parialmente hiperbólios. Conjuntos ompatos invariantes om uma deomposição do

bradotangenteemdois subbrados invariantes, ondeum delestem um omportamento

ontrativoemuma direçãoe ooutro sendo dominadopor elesão hamadosparialmente

hiperbólios. Neste trabalho, apresentamos uma desrição doomportamentode

onjun-tosparialmentehiperbólios om volumepositivo,baseado noartigo [1℄.

Noapítulo1,apresentamososprinipaisresultadosdotrabalho. Empartiular,uma

onseqüêniadoorolárioBéanão existêniade ferradurasparialmentehiperbóliasde

volume positivo para difeomorsmos

C

1+

α

, generalizandoo resultado do Bowen [5℄para

difeomorsmos

C

1

.

No apítulo 2, denimos o ampo de ones e suas araterístias relaionadas om

a deomposição dominada. Mostramos também que os brados tangentes são Hölder

ontínuos.

No apítulo3,veremosque otempohiperbólio nos permiteobter, para quase todos

ospontos, momentos onde aapliaçãotemum omportamentouniformementeexpansor.

(13)

Seja

f

:

M

→

M

umdifeomorsmo

C

1+

α

eseja

K

⊂

M

umonjunto om-pato positivamente invariante om uma deomposição ontínua do brado

tangenterestritoa

K

,

T MK

=

E

cs

_⊕

_E

cu

,dominadaem

Λ =

T

n

≥0

f

n

(K)

. Su-ponha que existe um diso

∆

tangenteao ampo de one entroinstávelom Leb

∆

(∆

∩

K)

>

0

, tal que satisfaz a ondição

NUE

, para todo

x

∈

∆

∩

K

. Então

Λ

ontém algum diso instável loal.

E apartir dele, deduzimos os teoremas A, B, Ce D, enuniados noapítulo1.

No apítulo5, mostramosa existêniade pontos periódioshiperbólios noonjunto

Λ

parialmente hiperbólio. Provamos também que em

Λ

, os onjuntos

ω

-limite estão ontidos no feho da variedade instável desses pontos periódios, ou seja, a variedade

instável desses pontos periódios são atratores.

No último apítulo, provaremos que não existe subonjunto próprio de um onjunto

hiperbólio transitivo de volume positivo, ou seja, que o onjunto é Anosov, diferente

do resultado lássio do Bowen, aqui não há a neessidade de supor que temos uma

peça básia. Mostraremos também que se este onjunto atrai um onjunto de volume

positivo, então ele neessariamente atrai uma vizinhança dele mesmo , omo esparado,

(teorema F). Resultados similares para onjuntos hiperbólios om interior não vazio

podemser enontradosem[6℄. Ahipótese doonjuntoser transitivopode sersubstituída

pelo fato do onjunto hiperbólio estar ontido no onjunto não errante, veja [3℄. E por

m, provamos uma versão do Teorema da Deomposição Espetral para difeomorsmos

C

1+

α

(14)

Apresentação dos Resultados

Seja

M

umavariedadeonexaompatariemanniana. SejaLebumaformadevolume sobre

M

induzida pela métria riemanniana. Considere a apliação

f

:

M

→

M

, um difeomorsmode lasse

C

1

om derivada

α

-Hölder. Dizemos queaapliaçãoéde lasse

C

1+

α

, onde

α

∈

(0,

1)

.

Como

f

éum difeomorsmo, segue a seguintedenição:

1.1 Definição. Um onjunto

K

⊂

M

é invariante se

f

m

_{(K) =}

_K

para todo

m

∈

Z

e é positivamente invariante se

f

m

_(K)

_⊆

_K

para todo

m

∈

N

.

1.1 Conjunto Parialmente Hiperbólio

Seja

K

um onjuntoompato positivamenteinvariante. Considere

Λ =

\

n

≥0

f

n

(K).

Dizemos que

Λ

éum onjunto parialmente hiperbóliode

f

se:

(i) existe uma deomposição ontínua do brado tangente da variedade

M

restrito a

K

,

T M

K

=

E

cs

_⊕

_E

cu

, tal que a deomposição é

Df

invariante sobre

Λ

, isto é,

Df

(E

cs

x

) =

E

f

cs

(

x

)

e

Df(E

cu

x

) =

E

f

cu

(

x

)

;

(15)

de

M

, temos:

k

Df

|

E

_x

cs

k · k

Df

−1

|

E

_f

cu

₍

_x

₎

k ≤

λ,

para todo

x

∈

Λ

(dizemosque existe uma deomposiçãodominada em

Λ

); (iii) a bra

E

cs

é uniformemente ontrativa ou

E

cu

é uniformemente expansora, isto é,

∃

0 < λ <

1

tal que

k

Df

|

E

cs

x

k ≤

λ,

∀

x

∈

Λ

ou

k

Df

−1

_|

_E

cu

f

(

x

)

k ≤

λ,

∀

x

∈

Λ

, respetivamente.

Dizemos que

E

cs

x

éabraentro-estávele

E

cu

x

abraentro-instávelnoponto

x

∈

Λ

. Na ondição dadeomposição dominada, vejaque:

k

Df

|

E

cs

k · k

Df

−1

|

E

cu

k

=

k

Df

|

E

cs

k · k

(Df

|

E

cu

)

−1

k

=

k

Df

|

E

cs

_k

k

(Df

|

E

cu

₎

−1

_k

−1

=

λ

s

λ

u

=

λ <

1,

onde a primeiraigualdade vem de

Df

|

E

cu

_◦

_Df

−1

_|

_E

cu

₌

_id

_⇒

_Df

−1

_|

_E

cu

_{= (Df}

_|

_E

cu

₎

−1

•

se

λ

s

_<

₁

e

λ

u

_>

₁

, laro que

λ

s

λ

u

=

λ <

1

;

•

se

λ

s

_>

₁

,então

λ

u

_>>

₁

. Dizemosquenadireçãoinstáveltemosexpansãouniforme;

•

se

λ

u

_<

₁

,então

λ

s

_<<

₁

. Dizemosquenadireçãoestáveltemosontraçãouniforme.

Vamos trabalhar om

0 < λ <

1

, talque:

• E

cs

é uniformemente ontrativo:

k

Df

|

E

cs

x

k ≤

λ,

∀

x

∈

Λ

;

• E

cu

é dominada por

E

cs

:

k

Df

|

E

cs

x

k · k

Df

−1

|

E

f

cu

(

x

)

k ≤

λ,

∀

x

∈

Λ

.

1.2 Definição. Dizemosqueaapliação

f

é não uniformemente expansora(

NUE

) ao longo da direção entro-instável em

K

, se existe uma onstante

c >

0

tal que para Lebesgue quase todo

x

∈

K

:

lim inf

n

→+∞

1 n

n

X

j

=1

log

k

Df

−1

_|

_E

cu

f

j

₍

_x

₎

k

<

−

c.

A ondição

NUE

nos dizque aderivada tememmédiaumomportamenteexpansor nadireção entro-instável. Se para todo ponto de um onjunto ompato invariante vale

a ondição aima, então

E

cu

é uniformemente expansor na direção entro-instável. Veja

(16)

1.3 Definição. Um disomergulhado

γ

⊆

M

é uma variedade instávelse no passado os iterados de dois pontos se aproximam exponenialmente rápido, ou seja,

dist(f

−

n

_{(x), f}

−

n

_(y))

_≤

_C

_·

_e

−

γn

, quando

n

→ ∞

, para

∀

x, y

∈

γ

e para algum

C, γ >

0

. Do mesmo modo,

γ

é uma variedade estável se no futuro os iterados de dois pontos se aproximam exponenialmente rápido, ou seja,

dist(f

n

_{(x), f}

n

_(y))

_≤

_C

_·

_e

−

γn

, quando

n

→ ∞

, para

∀

x, y

∈

γ

e para algum

C, γ >

0

.

UmoroláriodoTeoremadaVariedadeInstável/Estável 1

nosdáoseguinteresultado.

Dados

p

um ponto de um onjunto hiperbólio e

f

um difeomorsmo

C

r

, existem as

variedadesinstáveleestávelloal

W

u

loc

(p)

e

W

s

loc

(p)

eestasvariedadessão disostangentes em

p

a

E

u

e

E

s

, respetivamente.

Um onjunto é de Cantor se é ompato, totalmente desonexo (as omponentes

onexas são pontos) eperfeito (todoponto épontode aumulação).

1.4Definição. Dizemosqueumonjuntoompatoinvariante

Λ

éumaferraduraseas variedades estáveise instáveisdos pontosde

Λ

intersetam

Λ

emumonjunto de Cantor.

Nossoprimeiroresultadoarmaque,paraapliações

C

1+

α

,adeomposiçãodominada

no onjunto

Λ

e a ondição

NUE

são suientes para obtermos um diso instável loal em

Λ

.

Teorema A. Seja

f

:

M

→

M

um difeomorsmo

C

1+

α

e seja

K

⊂

M

um onjunto ompato positivamente invariante om uma deomposição ontínua do brado tangente

restrito a

K

,

T MK

=

E

cs

_⊕

_E

cu

, dominada em

Λ =

T

n

≥0

f

n

(K)

. Se a ondição

NUE

é satisfeita para um onjunto de pontos de

K

om medida de Lebesgue positiva, então

Λ

O próximo resultado é uma onsequênia direta do teorema aima. Se a bra

E

cu

é

uniformemente expansora, laro que a ondição

NUE

é satisfeita para o onjunto om-pato invariante. Do mesmo modo, se a bra

E

cs

é uniformemente ontrativa, basta

apliar oteoremapara

f

−1

.

Corolário B. Seja

f

:

M

→

M

um difeomorsmo

C

1+

α

e seja

K

⊂

M

1

(17)

restrito a

K

,

T MK

=

E

cs

_⊕

_E

cu

, tal que Leb

(K)

>

0

e

Λ =

T

n

≥0

f

n

(K)

é um onjunto parialmente hiperbólio.

(i) Se

E

cu

é uniformemente expansor, então

Λ

ontém um diso instável loal;

(ii) Se

E

cs

é uniformemente ontrativo, então

Λ

ontém um diso estável loal.

PeloorolárioB, seo onjuntoparialmentehiperbólio

Λ

ontém um diso instável loal, talonjunto nãopossui ferradurasom volumepositivopara difeomorsmos

C

1+

α

,

pois um onjuntototalmentedisonexo não pode onter um diso (que é onexo).

Osmesmosresultados sãoválidosparaonjuntosquesatisfazemapropriedade

NUE

e intersetam um diso instável loal ou um diso estável loal em um subonjunto de

medida positiva (teorema C), e também para onjuntos parialmente hiperbólios que

intersetam um diso instável loal ou um diso estável loal em um subonjunto de

medidapositiva (orolárioD).

Teorema C. Seja

f

:

M

→

M

um difeomorsmo

C

1+

α

e seja

K

⊂

M

restrito a

K

,

T M

K

=

E

cs

_⊕

_E

cu

, dominada em

Λ =

T

n

≥0

f

n

(K)

. Suponha que existe um diso instável loal

γ

que satisfaz a ondição

NUE

para todo

x

em um subonjunto de

γ

∩

K

de medida positivaom relaçãoa medida relativa de Lebesgue. Então

Λ

Corolário D. Seja

f

:

M

→

M

um difeomorsmo

C

1+

α

e seja

K

⊂

M

restrito a

K

,

T MK

=

E

cs

_⊕

_E

cu

, dominadaem

Λ =

T

n

≥0

f

n

(K)

.

(i) Se

E

cu

éuniformemente expansor e existeumdisoinstável loal

γ

tal queLeb

γ(γ

∩

K)

>

0

, então

Λ

ontém um diso instável loal;

(ii) Se

E

cs

é uniformementeontrativoe existeumdiso estávelloal

γ

tal queLeb

γ(γ

∩

K)

>

0

, então

Λ

ontém um diso estável loal.

Veja queo orolárioanterioré um resultado direto doteoremaC, quando

E

cu

é

uni-formementeexpansor e,quando

E

cs

éuniformementeontrativo,basta apliaroteorema

para

f

−1

(18)

As demonstrações destes teoremas são obtidos omo orolário do teorema prinipal

4.1.

O próximo teorema é também uma onsequênia do teoremaprinipal. Provamos a

existênia de pontos periódios hiperbóliose mostramos que

ω

-limite de Leb q.t.p. está ontido no feho de alguma variedade instável desses pontos, no ontexto de onjuntos

parialmente hiperbólios. Nesta linha, a bra

E

cs

é uniformemente ontrativa e na

direção entro-instável temos a ondição

NUE

em um onjunto de medida de Lebesgue positiva.

Teorema E. Seja

f

:

M

→

M

um difeomorsmo

C

1+

α

e seja

K

⊂

M

um onjunto ompatopositivamente invariante, tal que Leb

(K)

>

0

, om uma deomposiçãoontínua dobradotangenterestritoa

K

,

T MK

=

E

cs

_⊕

_E

cu

, onde

Λ =

T

n

≥0

f

n

(K

)

éumonjunto parialmente hiperbólio. Suponha que

E

cs

seja uniformemente ontrativo e a ondição

NUE

seja válida para Lebesgue quase todos os pontos

x

∈

K

. Então existem pontos

periódios hiperbólios

p

1

, p

2

, . . . , pk

∈

Λ

, tais que:

(a)

W

u

_(p

i

)

⊂

Λ

, para ada

1 ≤

i

≤

k

;

(b) para Lebesgue quase todos os pontos

x

∈

K

, existe

1 ≤

i

≤

k

om

ω(x)

⊂

W

u

_(p

i

)

.

Mais ainda,se

E

cu

tem dimensão um, então:

()

W

u

_(pi)

atrai uma vizinhança aberta dele mesmo, para ada

1 ≤

i

≤

k

.

1.2 Conjunto Hiperbólio

Seja

Λ

um onjunto fehado e invariante por

f

, dizemos que

Λ

é um onjunto hiperbóliode

f

se:

(i) existe uma deomposição ontínuado bradotangente de

M

restritoa

Λ

,

T M

Λ

=

E

s

⊕

E

u

,

tal que as bras

E

s

e

E

u

são

Df

invariantes, istoé,

Df(E

s

x

) =

E

f

s

(

x

)

e

Df

(E

u

x

) =

E

u

(19)

(ii) existem onstantes

c

e

λ

,om

c >

0

e

0 < λ <

1

, taisque:

k

Df

n

|

E

s

k

< cλ

n

e

k

Df

−

n

_|

_E

u

_k

_{< cλ}

n

_,

para

n

≥

0

.

As ondições da denição aima não dependem da métria da variedade

M

, desde de que as normas

k · k

1

e

k · k

2

sejam equivalentes em

T M

, ou seja, existam onstantes positivas

c

1

e

c

2

, taisque:

c

1k · k2

≤ k · k1

≤

c

2k · k2

.

1.5 Proposição. Suponha que

Λ

⊂

M

seja um onjunto hiperbólio. Então existem uma métria

C

∞

da variedade

M

e uma onstante

λ

, om

0 < λ <

1

, tal que temos ontração e expansão no primeiro iterado, isto é:

k

Df

|

E

s

k

< λ

e

k

Df

−1

_|

_E

u

_k

_{< λ.}

Demonstração. Veja em [12℄, proposição

4.2

.

No próximo teorema, provamos que onjuntos hiperbólios transitivos om volume

positivo são toda variedade. Neste aso, dizemos que odifeomorsmo éAnosov.

Teorema F. Sejam

f

:

M

→

M

um difeomorsmo

C

1+

α

e

Λ

⊂

M

um onjunto hiperb ó-lio transitivo.

(a) Se

Λ

tem volume positivo, então

Λ =

M

;

(b) Se

Λ

atrai um onjunto de volume positivo, então

Λ

atrai uma vizinhança dele mesmo.

Comoúltimoresultado,provamosumaversãodoteoremadaDeomposiçãoEspetral

no ontexto de apliações

C

1+

α

. Mostramos a existênia de onjuntos hiperbólios

on-tidos em

Λ

, que ontém o

ω

-limite de Leb quase todos os pontos do onjunto de volume positivo

Λ

.

Teorema G (Deomposição Espetral). Seja

f

:

M

→

M

um difeomorsmo

C

1+

α

e

(20)

(a) existe

1 ≤

j

≤

q

om

ω(x)

⊂

Ωj

, para Leb quase todo ponto

x

∈

Λ

;

(b)

Ωj

atrai uma vizinhança dele mesmo em

M

, para ada

1 ≤

j

≤

q

;

()

f

|

Ωj

é transitivo, para ada

1 ≤

j

≤

q

;

(d)

P er(f

)

é denso em

Ωj

, para ada

1 ≤

j

≤

q

.

Além disso, para ada

1 ≤

k

≤

q

, existe uma deomposição de

Ωk

em onjuntos hiperb ó-lios disjuntos:

Ωk

= Ωk,

1

∪ · · · ∪

Ωk,nk

, tais que:

(e)

f

(Ωk,i) = Ωk,i

+1

e

f

(Ωk,nk

) = Ωk,

1

, para ada

1 ≤

i < nk

;

(f)

f

nk

_{: Ωk,i}

_→

_Ωk,i

(21)

Controle Hölder

Nesteapítulo,apresentamosalgunsresultadosrelaionadosomoontroleHölderna

direção tangente de subvariedades, usando prinipalmentea existênia dadeomposição

dominada. Mostraremos que os brados tangentes dos iterados das subvariedades

C

1+

α

são Hölder ontínuas (asdeniçõesserão dadas ao longo do apítulo), om onstante de

Hölder uniforme. A seguir, junto da ondição

NUE

aolongo da direção entroinstável, teremos a propriedade de distorção limitada para os iterados da apliação

f

em disos, ujo espaço tangente de ada ponto está ontido no respetivo ampo de ones entro

instável.

Seja

M

uma variedade onexa ompata riemanniana. Considere

f

:

M

→

M

um difeomorsmo de lasse

C

1+

α

.

2.1 Definição. Uma apliação é

α

-Hölder, para

0 < α <

1

, se existe uma onstante

C >

0

, tal que

|

f

(x)

−

f

(y)

| ≤

C

|

x

−

y

|

α

, para todo

x

e

y

de

M

.

Seja

K

um onjuntoompato positivamenteinvarianteomuma deomposição on-tínuadobradotangentedavariedade

M

restritoa

K

,

T MK

=

E

cs

_⊕

_E

cu

,

Df

invariante em

Λ =

\

n

≥0

f

n

(K).

Fixaremos extensões ontínuas das bras

E

cs

e

E

cu

numa vizinhança ompata

U

de

Λ

, que também serão denotadas por

E

cs

e

E

cu

(22)

Dado

0 < a <

1

,denao ampo de ones entro instável

(C

cu

a

(x))x

∈

U

de largura

a

por:

C

a

cu

(x) =

{

v

1

+

v

2

∈

E

x

cs

⊕

E

x

cu

talque

k

v

1

k ≤

a

k

v

2

k}

,

e de modoanálogo,dena oampo de ones entro estável

(C

cs

a

(x))x

∈

U

de largura

a

por:

C

_a

cs

(x) =

{

v

1

+

v

2

∈

E

x

cs

⊕

E

x

cu

talque

k

v

2k ≤

a

k

v

1k}

.

Fixaremos

a >

0

eavizinhança

U

suientementepequenademodoque,aumentando gradativamente

λ <

1

, a ondição de dominação ontinue válida para quaisquer par de vetores dos dois amposde ones:

k

Df

(x)v

cs

k · k

Df

−1

(f

(x))v

cu

k

< λ

k

v

cs

k · k

v

cu

k

,

para todo

v

cs

_∈

_C

cs

a

(x)

,

v

cu

_∈

_C

cu

a

(f

(x))

etodo

x

∈

U

∩

f

−1

_(U

_).

Veja que oampode ones entro instável épositivamenteinvariante:

Df

(x)

· C

_a

cu

(x)

⊂

C

_λa

cu

(f

(x))

⊂

C

_a

cu

(f(x)),

(2.1)

para

x

e

f

(x)

em

U

. A primeira inlusão vem da propriedade de dominação e da inva-riânia da bra

E

cu

em

Λ

, que se estende para todo

x

∈

U

∩

f

−1

_(U

₎

por ontinuidade,

apenas aumentando gradativamente

λ <

1

,se neessário, para a segunda inlusão. Dizemos que uma subvariedade mergulhada

N

⊂

U

de lasse

C

1

é tangente ao

ampo de ones entro instável, se o subespaço tangente a

N

em ada ponto

x

∈

N

está ontido noorrespondente one

C

cu

a

(x)

. Se

N

é tangente ao ampo de ones entro instávele

f(N

)

estáontidoem

U

,então,pelapropriedadede dominação,

f

(N)

étambém tangente aoampode onesentro instável.

A idéia básia doapítulo segue daseguinte observação:

Observação. Sejam

E

1

e

E

2

espaços eulidianos e

L

um isomorsmo linear, onde

E

1

e

E

2

são invariantes por

L

. Assuma a seguinte ondição de dominação:

k

L

|

E

2

k · k

L

−1

|

E

1

k

<

1.

Entãoexistem

C >

0

e

0 < α

≤

1

, tal quese

Γ

⊂

E

1

⊕

E

2

é umgráoda apliação

C

1+

α

φ

:

E

1

→

E

2

om onstante de Hölder igual a

C

, então o mesmo é verdade para

L(Γ)

.

(23)

Queremos mostrar que

ψ

∈

C

1+

α

. De fato,

(x, φ(x))

7−→

L

(L

1

(x)

| {z }

y

, L

2

◦

φ(x)) = (y, L

2

◦

φ(L

−1

1

(y))) = (y, L

2

◦

φ

◦

L

−1

1

(y)).

Tomando

ψ

=

L

2

◦

φ

◦

L

−1

1

, teremos

Dψ

=

L

2

◦

Dφ

◦

L

−1

1

. Assim:

k

Dψ(y

1

)

−

Dψ(y

2

)

k

=

k

L

2

◦

Dφ

◦

L

−1

1

(y

1

)

−

L

2

◦

Dφ

◦

L

−1

1

(y

2

)

k

=

k

L

2

◦

[Dφ(L

−1

1

(y

1

))

−

Dφ(L

−1

1

(y

2

))]

◦

L

−1

1

k

=

k

L

2

k · k

Dφ(L

−1

1

(y

1

))

−

Dφ(L

−1

1

(y

2

))

k · k

L

−1

1

k

≤ k

L

2

k ·

C

· [

k

L

−1

1

k · k

y

1

−

y

2

k

]

α

k

L

−1

1

k

≤ k

L

2k · k

L

−1

₁

k

1+

α

C

k

y

1

−

y

2k

α

.

Basta tomar

0 < α <

1

de modoque

k

L

2

k · k

L

−1

1

k

1+

α

≤

1

.

Apliandoumargumentosimilarnanossasituaçãoparaespaçosnãoneessariamente

eulidianos, teremos a noção de variedade Hölder no brado tangente em oordenadas

loais.

Esolhemos

δ

0

>

0

suientemente pequeno, de modo que a inversa da apliação exponenial

1

exp

x

sejadenidana

δ

0

-vizinhançadetodoponto

x

∈

U

. Deagoraemdiante, vamos identiar estavizinhançade

x

om aorrespondentevizinhança

Ux

de origemem

TxN

, pela arta loal denida pela

expx

−1

. Reduzindo

δ

0

, se neessário, podemos supor que

E

cs

x

está ontido no

C

cs

a

(y)

de todo

y

∈

Ux

. Em partiular, a interseção do

C

cu

a

(y)

om

E

cs

x

sereduz aovetor nulo. Assim, oespaço tangentea

N

em

y

éparaleloao gráo daapliaçãolinear,

Ax

:

Tx

N

−→

E

cs

x

y

7−→

Ax(y).

Dadas onstantes

C >

0

e

0 < ζ

≤

1

dizemos que o brado tangente de

N

é (

C, ζ

) -Hölder, se:

k

Ax(y)

k ≤

C dx(y)

ζ

,

para todo

y

∈

N

∩

Ux

,

x

∈

U

e

dx(y)

denota a distânia de

x

a

y

ao longo de

N

∩

Ux

, denido omo o omprimento damenor urva que liga

x

a

y

em

N

∩

Ux

.

Note queesolhemos avizinhança

U

eo onede largura

a

suientementepequenos, demodoqueapropriedadededominaçãoontinueválidaparaosvetoresdosones

C

cs

a

(z)

1

(24)

e

C

cu

a

(z)

, paraqualquer ponto

z

∈

U

. Assim, existem

λ

1

∈

(λ,

1)

e

ζ

∈

(0,

1]

, taisque:

k

Df

(z)v

cs

k · k

Df

−1

(f(z))v

cu

k

1+

ζ

≤

λ

1

<

1,

(2.2)

paratodos osvetoresunitários

v

cs

_∈

_C

cs

a

(z)

e

v

cu

_∈

_C

cu

a

(z)

, epara qualquer

z

∈

U

∩

f

(U

)

. Então, reduzindo

δ

0

>

0

eaumentando gradativamente

λ

1

<

1

, aondição (2.2) ontinua válida se substituirmos

z

por qualquer

y

∈

Ux

om

x

∈

U

.

Fixemos

λ

1

<

1

e

0 < ζ

≤

1

. Dadauma subvariedade

N

⊂

U

de lasse

C

1

,denimos

K

(N) = inf

{

C >

0;

o bradotangentede

N

é

(C, ζ)

−

Hölder

}

.

De aordo om as ondiçõesapresentadas, temos as seguintes proposições:

2.2 Proposição. Existem

λ

0

<

1

e

C

0

>

0

, tais que

K

(f(N

))

≤

λ

0

K

(N

) +

C

0

, se

N

⊂

U

∩

f

−1

_(U

₎

é uma subvariedade

C

1

tangente ao ampo de ones entro instável.

2.3Corolário. Dada umasubvariedade

N

⊂

U

delasse

C

1

tangenteao ampo deones

entro instável, existe

C

1

>

0

tal que:

(a) existe

n

0

≥

1

, tal que

K

(f

n

_(N

₎₎

_≤

_C

1

, para todo

n

≥

n

0

, e

f

k

_(N

₎

_⊂

_U

quando

0 ≤

k

≤

n

;

(b) se

K

(N

)

≤

C

1

, então o mesmo é válido para todos os iterados

f

n

_(N

₎

, tal que

f

k

_(N

₎

_⊂

_U

para todo

0 ≤

k

≤

n

;

() em partiular, se

N

e

n

são omo em

(b)

aima, então as funções

J

k

:

f

k

(N

)

∋

x

7−→

log

|

det(Df

|

T

x

f

k

_(N

₎₎

_|

são (

L, ζ

) - Hölder ontínuas para

0 ≤

k

≤

n

e om

L >

0

dependendo apenas de

C

1

e

f

.

(25)

Tempo Hiperbólio e Distorção

Limitada

A noção de tempo hiperbólio nos permite obter, para quase todos os pontos,

mo-mentos onde a nossa apliação

f

se paree om uma apliaçãoque tem omportamento uniformeem algumasvizinhanças destespontos. Assim, nessas vizinhanças teremosboas

propriedadesde expansãoe distorção.

Seja

K

um onjunto ompato positivamente invariante tal que existe uma deom-posição ontínuado bradotangente restrito a

K

,

T MK

=

E

cs

_⊕

_E

cu

,

Df

invarianteem

Λ =

T

_n

_≥0

f

n

_(K)

. Fixaremosextensões ontínuas das bras

E

cs

e

E

cu

numa vizinhança

ompata

U

de

Λ

. Substituindo

K

poralgum iterado,se neessário, onsidere

K

⊂

U

.

3.1 Definição. Dado

0 < σ <

1

, dizemos que

n

é um

σ

-tempo hiperbólio para

x

∈

K

, se:

n

Y

j

=

n

−

k

+1

k

Df

−1

|

E

_f

cu

j

₍

_x

₎

k ≤

σ

k

,

para todo

1 ≤

k

≤

n

.

Vejaque se

n

éum

σ

-tempohiperbólio para

x

, então

Df

−

k

_|

_E

cu

f

n

₍

_x

₎

éuma ontração, para todo

1 ≤

k

≤

n

.

Se tomarmos

a >

0

suientemente pequeno da denição de ampode ones e eso-lhermos

δ

1

>

0

, também pequeno, de modoque a

δ

1

-vizinhança de

K

esteja ontida em

(26)

k

Df

−1

(f

(y))

· v

k ≤

σ

−1

/

2

k

Df

−1

|

E

_f

cu

₍

_x

₎

k · k

v

k

,

(3.1)

para

x

∈

K

,

dist(x, y

)

≤

δ

1

e

v

∈

C

cu

a

(f(y))

.

Dado um diso

∆

⊂

M

, a distânia ao longo de

∆

de

x

a

y

∈

∆

será denotada por

dist

∆

(x, y)

. E a distânia de

x

∈

∆

à fronteira de

∆

será

dist

∆

(x, ∂∆) =

infy

∈

∂

∆

dist

∆

(x, y)

.

3.2 Lema. Seja

∆

⊂

U

um diso

C

1

de raio

δ

, om

0 < δ < δ

1

, tangente ao ampo de ones entro instável. Se existe

n

0

≥

1

tal que

dist

∆

(x, ∂∆)

≥

δ/2

para

x

∈

∆

∩

K

, e

n

≥

n

0

é um

σ

-tempo hiperbólio para

x

em

∆

, então:

(a) existe uma vizinhança

Vn

de

x

em

∆

tal que

f

n

leva

Vn

difeomoramente em um diso de raio

δ

1

e entro

f

n

_(x)

, tangente ao ampo de ones entro instável;

(b) para todo

1 ≤

k

≤

n

e

y

,

z

∈

Vn

,

distf

n−k

₍

_Vn

₎

(f

n

−

k

(y), f

n

−

k

(x))

≤

σ

k/

2

· distf

n

₍

_Vn

₎

(f

n

(y), f

n

(x));

() para todo

1 ≤

k

≤

n

e

y

∈

V

n

,

n

Y

j

=

n

−

k

+1

k

Df

−1

|

E

_f

cu

j

₍

_y

₎

k ≤

σ

k/

2

.

Demonstração. Mostraremos que

f

n

_(∆)

ontém um diso de raio

δ

1

e entro

f

n

_(x)

,

para

n >

2

log

(δ/(2δ

1

))

log

(σ)

(27)

∆

δ

b

x

V

n

f

n

₍

_x

₎

δ

1 f

n

_(∆)

f

n

Figura 3.1:

Dena

∆

1

a omponente onexa de

f

(∆)

∩

U

que ontém

f(x)

. Do mesmo modo, dena

∆

2

⊂

f

2

_(∆)

a omponenteonexa de

f(∆

1

)

∩

U

que ontém

f

2

_(x)

. Eassim, para

k

≥

1

, dena

∆k

+1

⊂

f

k

+1

_(∆)

a omponenteonexa de

f

(∆k)

∩

U

queontém

f

k

+1

_(x)

.

b

x

∆

f

(

x

)

b

∆1

f

2 ₍

_x

₎

b

∆2

b

f

n

₍

_x

₎

b

∆

n

Figura 3.2:

Queremos mostrarque

∆

n

ontémalgumdiso deraio

δ

1

eentro

f

n

_(x)

para

n

omo em (3.2). Como

∆j

⊂

U

e

C

cu

a

(x)

é invariantepor

Df

(x)

, para

x

∈

U

Tw∆j

⊂

C

_λ

cu

j

_a

(w),

(28)

Seja

η

0

uma urva de omprimento mínimo em

∆n

que liga

f

n

_(x)

a

f

n

_(y)

, onde

f

n

_(y)

_∈

_∆n

e

dist

∆

n

(f

n

_{(x), f}

n

_(y))

_{< δ}

1

.

Seja

ηk

=

f

−

k

_(η

0

)

, para

0 ≤

k

≤

n

. Claro que

ηk

⊂

∆n

−

k

.

b

f

n

₍

_x

₎

δ

1 f

n

₍

_y

₎

∆

n

η

0

Figura 3.3:

Provaremos por indução que

comp(ηk)

≤

σ

k/

2

_·

_δ

1

, para

0 ≤

k

≤

n.

Por suposição, valepara

k

= 0.

Seja

0 < k

≤

n

esuponha (hipótesedeindução) que

comp(ηj

)

≤

σ

j/

2

_·

_δ

1

,

para

0 ≤

j

≤

k

−

1.

Considere

η

0 ′

_(w)

ovetor tangente aurva

η

0

no ponto

w

. Note que:

ηk

⊂

∆n

−

k

Tw∆j

⊂

C

cu

λ

j

_a

(w),

∀

w

∈

∆j

)

⇒

Df

−

j

(w)

· η

0 ′

(w)

∈

C

λ

cu

n−j

_a

(f

−

j

(w))

⊂

C

_a

cu

(f

−

j

(w)).

1 Armação.

k

Df

−

k

_(w)

_·

_η

0 ′

(w)

k ≤

σ

k/

2

k

η

0 ′

(w)

k

.

De fato, se

dist(f

n

_{(x), w)}

_≤

_δ

1

e

η

0 ′

_(w)

_∈

_C

cu

a

(w)

para

w

∈

ηk

, por (3.1)temos

k

Df

−1

_(w)

_·

_η

0 ′

(w)

k ≤

σ

−1

/

2

k

Df

−1

|

E

f

cu

n

₍

_x

₎

kk

η

0 ′

(w)

k

e também

k

Df

−1

(f

−

k

+

i

(w))

· η

0 ′

(w)

k ≤

σ

−1

/

2

k

Df

−1

|

E

f

cu

−k

+

i

_◦

_f

n

₍

_x

₎

kk

η

₀

′

(w)

k

,

para

1 ≤

i

≤

k

−

1

, porhipótese de indução. Então pelaregra da adeia,

k

Df

−

k

_(w)

_η

0 ′

(w)

k

=

k

Df

−1

(f

−

k

+1

(w))

k · k

Df

−1

(f

−

k

+2

(w))

k

. . .

k

Df

−1

(w)

k · k

η

0 ′

(w)

k

≤

σ

−1

/

2

_k

_Df

−1

_|

_E

cu

f

−k

+1

_◦

_f

n

₍

_x

₎

k

. . . σ

−1

/

2

k

Df

−1

|

E

_f

cu

n

₍

_x

₎

k · k

η

₀

′

(w)

k

= (σ

−1

/

2

. . . σ

−1

/

2

|

{z

}

kvezes

)

· k

Df

−1

_|

_E

cu

f

n−k

+1

₍

_x

₎

k

. . .

k

Df

−1

|

E

_f

cu

n

₍

_x

₎

k · k

η

0 ′

(w)

k

=

σ

−

k/

2 n

Y

j

=

n

−

k

+1

k

Df

−1

|

E

_f

cu

j

₍

_x

₎

k

!

|

{z

}

def. tempohiperbólio

k

η

0 ′

(w)

k

≤

σ

−

k/

2

_·

_σ

k

_k

_η

0 ′

(w)

k

=

σ

k/

2

_k

_η

0 ′

(w)

k

.

Logo

comp(ηk)

≤

σ

k/

2

_·

_comp(η

(29)

Notequeak-ésima pré-imagemdodisoentradoem

f

n

_(x)

eraio

δ

1

está ontida em

U

,para ada

1 ≤

k

≤

n

. Empartiular, para

k

=

n

,

f

−

n

_(D(f

n

_{(x), δ}

1

))

⊂

U

.

Como devemos ter

comp(ηn)

≤

δ/2

, preisamos ter

σ

n/

2

_·

_δ

1

<

δ

₂

. Masistoequivale a

σ

n/

2

_<

δ

2δ

1

log

(σ

n/

2

₎

_<

log

δ

2δ

1

n

2

·

log

(σ)

<

log

δ

2δ

1

n >

2

log

(δ/(2δ

1

))

log

(σ)

.

Ou seja, se

ηn

é a urva em

∆

que liga

x

a

y

, om

y

∈

∂∆

, então

comp(ηn)

> δ/2

e portanto

n < n

0

=

2

log

(δ/(2δ

1

))

log

(σ)

. Provando assim a parte (a)dolema.

Seja agora

D

1

o diso entrado em

f

n

_(x)

e raio

δ

1

, ontido em

f

n

_(∆)

, e seja

V

n

=

f

−

n

(D

1

)

, para n omo em (3.2). Tome

y, z

∈

V

n

e

η

0

a urva que liga

f

n

_(y)

a

f

n

_(z)

.

z

y

_f

n

₍

_x

₎

f

n

₍

_z

₎

f

n

₍

_y

₎

η

0 δ

1 D

1 Vn

f

n

Figura 3.4:

Denindo

ηk

=

f

−

n

+

k

_(η

0

)

, para

1 ≤

k

≤

n

, teremos omo antes que (por indução)

comp(ηk)

≤

σ

k/

2

_·

_comp(η

0

)

,para

1 ≤

k

≤

n

. Daí,

dist

f

n−k

₍

_Vn

₎

(f

n

−

k

(y), f

n

−

k

(z))

≤

σ

k/

2

· distf

n

₍

_Vn

₎

(f

n

(y), f

n

(z)),

para

1 ≤

k

≤

n

.

Paramostraraúltimaparte,seja

y

∈

Vn

evejaque

dist(f

j

_{(x), f}

j

_(y))

_≤

_δ

(30)

1 ≤

j

≤

n

. Pela regra daadeia epor(3.1):

n

Y

j

=

n

−

k

+1

k

Df

−1

_|

_E

cu

f

j

₍

_y

₎

k

=

k

Df

−1

|

E

_f

cu

n−k

+1

₍

_y

₎

k · k

Df

−1

|

E

_f

cu

n−k

+2

₍

_y

₎

k

. . .

k

Df

−1

|

E

_f

cu

n

₍

_y

₎

k

≤

σ

−1

/

2

_k

_Df

−1

_|

_E

cu

f

n−k

+1

₍

_x

₎

k ·

σ

−1

/

2

k

Df

−1

|

E

_f

cu

n−k

+2k

. . . σ

−1

/

2

k

Df

−1

|

E

_f

cu

n

₍

_x

₎

k

= (σ

−1

/

2

. . . σ

−1

/

2

|

{z

}

kvezes

)

·

n

Y

j

=

n

−

k

+1

k

Df

−1

|

E

_f

cu

j

₍

_x

₎

k

|

{z

}

def. tempohiperbólio

≤

σ

−

k/

2

_·

_σ

k

=

σ

k/

2

Chamaremos osonjuntos

V

n

de pré-bolas hiperbólias e suas imagens

f

n

_(V

n

)

de bolas hiperbólias.

Aqui usamos de maneira ruial que

f

∈

C

1+

α

. Este resultado não vale, em geral,

para difeomorsmos quesejam apenas de lasse

C

1

.

3.3 Corolário. Seja

∆

o diso omo no lema 3.2 om

K

(∆)

≤

C

1

e onsidere uma pré-bola hiperbólia

V

n

⊂

∆

om

n

≥

n

0

. Entãoexiste

C

2

>

1

, tal que:

1 C

2

≤

|

det

Df

n

_|

_T

y

∆

|

det

Df

n

_|

_Tz∆

_|

≤

C

2

para todo

y, z

∈

Vn

.

Demonstração. Denote

Ji(y) =

|

det

Df

|

Tf

i

(

y

)

f

i

_(∆)

_|

,para

y

∈

∆

e

0 ≤

i < n

. Noteque

log

|

det

Df

n

_|

_Ty∆

_|

|

det

Df

n

_|

_Tz∆

_|

=

n

−1

X

i

=0

(

log

Ji(y)

−

log

Ji(z)).

O diso

∆

é tangente ao ampo de ones entro instável, logo, pela proposição 2.3, log

|

det

Df

|

Tf

i

(

y

)

f

i

_(∆)

_|

₌

log

Ji(y)

é

(L, ζ

)

-Hölder ontínua, para alguma onstante uniforme

L(C

1

, f

) =

L >

0

e

ζ

∈

(0,

1]

.

Pelo lema 3.2, a soma das

dist

f

j

(∆)

(f

j

_{(y), f}

j

_(z))

ζ

, para

0 ≤

j < n

, é limitada por

(2δ

1

)

ζ

/(1

−

σ

ζ/

2

)

. De fato,

n

X

j

=0

distf

j

_(∆)

(f

j

(y), f

j

(z))

ζ

≤

n

X

j

=0

[σ

j/

2

· dist(f

n

(y), f

n

(z))]

ζ

=

n

X

j

=0

(σ

ζ/

2

)

j

· (2δ

1

)

ζ

(31)

Portanto, bastatomar

C

2

=

exp

L(2δ

1

)

ζ

1 −

σ

ζ/

2

.

(32)

Demonstração dos Teoremas

Neste apítulo, provamos o teorema 4.1, que arma que no ontexto de apliações

C

1+

α

, a existênia de um diso tangente aoampo de ones entro instável om medida

relativadeLebesguepositiva,adeomposiçãodominadaeaondição

NUE

sãosuientes para obtermos um diso instável loal. Eomo onsequênia deste teorema, provamos os