n (C) ⊂ U , para todo n > N

Considere

K =

[

n>N

f

n

(C) ∪ Λ

.

Apli ando oteoremaE parao onjunto ompa todenido a ima, temosa existên ia

doponto

p

om

W

u

loc

(p) ⊂ Λ

.



Teorema F. Seja

f : M → M

um difeomorsmo

C

1+α

e seja

Λ ⊂ M

um onjunto hiperbóli o transitivo.

(a) Se

Λ

tem volume positivo, então

Λ = M;

(b) Se

Λ

atrai um onjunto de volume positivo, então

Λ

atrai uma vizinhança dele mesmo.

Demonstração. Como assumimos ini ialmente que

Λ

é um onjunto fe hado, para mostrar que

Λ

oin ide om a variedade

M

onexa, basta provar que

Λ

é também um onjuntoaberto.

Suponha que Leb

(Λ) > 0

. Segue do orolárioB, que

Λ

ontém algum dis o instável lo al. Apli ando o lema 6.2,

Λ

ontém todas as variedades instáveis de todos os seus pontos. Apli ando o mesmo lema a

f

−1

, teremos que

Λ

ontém também as variedades estáveis dos seus pontos.

O onjunto

Λ

éhiperbóli o, invarianteetem estrutura de produto lo al. A ontinui- dadedas variedades estável einstávelpara pontos do onjunto,impli aqueexiste

ε

0

> 0

, talque,paratodo

0 < ε ≤ ε

0

,existe

δ = δ(ε) > 0

,onde

W

u

ε

(p) ∩ W

εs

(q)

éum úni oponto, para todo

p, q ∈ Λ

om

dist(p, q) ≤ δ

.

Considere o seguinte homeomorsmo 1

h : (W

u

ε

(p) ∩ Λ) × (W

εs

(p) ∩ Λ) −→ Λ

(x, y) 7−→ W

u

ε

(x) ∩ W

εs

(y)

Como

(W

u

ε

(p) ∩ Λ) × (W

εs

(p) ∩ Λ)

é aberto,  a provado pelo homeomorsmo que

Λ

é aberto.

Para provar a parte (b) do teorema, veja que se

Λ

atrai um onjunto de volume positivo, apli andoo lema 6.4,existe um pontoem

Λ

talque sua variedade instável lo al está ontida em

Λ

. Pelolema 6.2,

W

s

ε

(x) ⊂ Λ

, para todo

x ∈ Λ

. Assim:

[

x∈Λ

W

_δs

(x)

é uma vizinhançade

Λ

ujos pontos são atraídospara

Λ

poriteradosda apli ação

f

.



6.2 Conjunto Hiperbóli o

Antes de ini iara demonstração do teoremaG,pre isamos de algumasdenições:

6.5 Definição. Uma apli ação

f : M → M

é topologi amente mixing (ou misturadora), se para todo par de abertos não vazios

U

e

V

, existe um inteiro

n

0

> 0

(que depende de

U

e

V

) tal que

f

n

_{(U) ∩ V 6= ∅}

, para todo

n ≥ n

0

. 1

Da denição a ima, se aapli ação

f

é topologi amentemixing, então os iterados do onjunto

U

(

f

n

_(U)

) interse tam

V

, para valores su ientemente grandesde

n

.

6.6 Definição. Um pontode

M

é não errante, se para toda vizinhança

V

deste ponto existe algum

n

0

> 0

tal que

f

n0

_{(V ) ∩ V 6= ∅.}

O onjunto dos pontosnão errantes será denotado por

Ω(f )

2

.

6.7 Teorema. Seja

f : M → M

um difeomorsmo

C

r

om

r ≥ 1

. Suponha que

P er(f )

é hiperbóli o, onde

P er(f )

é o onjunto dos pontos periódi os. Então existe uma de om- posição de

P er(f )

em onjuntosfe hados disjuntos:

P er(f ) = Ω

1

∪ . . . ∪ Ω

s

, tal que:

(a) ada

Ω

k

é

f

-invariante; (b)

f |

Ω

k

é topologi amente transitivo;

Além disso, para ada

1 ≤ k ≤ s

, existe uma de omposição de

Ω

k

em onjuntos fe hados disjuntos:

Ω

k

= Ω

k,1

∪ · · · ∪ Ω

k,n

k

, tal que: ( )

f (Ω

k,j

) = Ω

k,j+1

e

f (Ω

k,n

k

) = Ω

k,1

, para ada

1 ≤ j < n

k

; (d)

f

nk

: Ω

k,j

→ Ω

k,j

é topologi amente mixing, para todo

1 ≤ j ≤ n

k

.

Demonstração. Veja em [12℄.

O onjunto

S

x∈M

ω(x) ∪

S

x∈M

α(x)

dauniãodos

ω

-limitese

α

-limitesserá denotado por

L(f )

.

6.8 Proposição.

L(f ) ⊂ Ω(f )

Demonstração. Seja

y ∈ L(f )

, então

y ∈ ω(x)

, para algum

x ∈ M

, ou

y ∈ α(x)

, para algum

x ∈ M

. Suponha, sem perda de generalidade, que

y ∈ ω(x)

e que

U

é uma vizinhançade

y

. Logo existem inteiros

m > n > 0

taisque

f

m

_(x)

e

f

n

_(x)

estão em

U

.

f

n

[f

m−n

(U) ∩ U] = f

m

(U) ∩ f

n

(U) 6= ∅.

2

Vejamos um exemplo deste onjunto: onsidere a rotação do ír ulo

S

1

por um número irra io-

nal. Nenhum ponto do ír ulo é um ponto periódi o, mas aórbita de qualquer ponto

x

se aproxima arbitrariamentede

x

,logotodopontode

S

1

énãoerrantee

Ω = S

Assim,

f

m−n

_{(U) ∩ U 6= ∅}

, pois

f

é um difeomorsmo. Pela denição de onjunto não errante,

y ∈ Ω(f )

.



6.9 Definição. Sejam

f : M → M

um difeomorsmo de lasse

C

1

e

Λ

um onjunto hiperbóli o de

f

. Se existe umavizinhança aberta

V

de

Λ

tal que

Λ =

T

n∈Z

f

n

(V )

, então

Λ

é hamadolo almente maximal

Passemos paraa demonstração do teoremaG.

Teorema G. Seja

f : M → M

um difeomorsmo

C

1+α

e seja

Λ ⊂ M

um onjunto hiperbóli o om volume positivo. Entãoexistem onjuntoshiperbóli os

Ω

1

, Ω

2

, . . . , Ω

q

⊂ Λ

tais que:

(a) existe

1 ≤ j ≤ q

om

ω(x) ⊂ Ω

j

, para Leb quase todo ponto

x ∈ Λ

; (b)

Ω

j

atrai uma vizinhança dele mesmo em

M

, para ada

1 ≤ j ≤ q

; ( )

f |Ω

j

é transitivo, para ada

1 ≤ j ≤ q

;

(d)

P er(f )

é denso em

Ω

j

, para ada

1 ≤ j ≤ q

.

Além disso, para ada

1 ≤ k ≤ q

, existe uma de omposição de

Ω

k

em onjuntos hiperbóli os disjuntos:

Ω

k

= Ω

k,1

∪ · · · ∪ Ω

k,n

k

, tais que:

(e)

f (Ω

k,i

) = Ω

k,i+1

e

f (Ω

k,n

k

) = Ω

k,1

para ada

1 ≤ i < n

k

; (f)

f

nk

_{: Ω}

k,i

→ Ω

k,i

é topologi amente mixing para todo

1 ≤ i ≤ n

k

.

Demonstração. Como Leb

(Λ) > 0

, pela proposição 5.2, existe um ponto

p

periódi o hiperbóli o de

Λ

, talque

W

u

_{(p) ⊂ Λ}

. Considere

Σ = W

u

_(p)

. Armação.

Σ

ontém

W

u

_(x)

,para todo

x ∈ Σ

.

De fato, seja

x ∈ Σ

. Como

Σ

é fe hado, existe uma seqüên ia de pontos da variedade instável

W

u

_(p)

que onverge para

x

, isto é,

(x

n

)

n

−→ x

. Note que a variedade instável dos pontos da seqüên ia está em

Σ

. Como essas variedades variam ontinuamente, as

variedades instáveis dos pontos da seqüên ia a umulam-se na variedade instavel de

x

. Como

Σ

é fe hado,

W

u

_{(x) ⊂ Σ}

. Dena o onjunto

V =

[

x∈Σ

W

_δs

(x).

V

é uma vizinhança aberta de

Σ

, talque

ω(a) ⊂ Σ

, para

a ∈ V

. Assim

Σ

é um onjunto hiperbóli o ompa to lo almentemaximal.

PelaproposiçãoB.7,o onjuntodospontos periódi osédensono onjuntodos pontos

não errantes, ou seja,

P er(f ) = Ω(f |

Σ

)

. Apli ando o teorema6.7, provamos a existên ia dos onjuntoshiperbóli os disjuntos om as ondições ( ), (d), (e) e (f).

Seja

a ∈ V

, omotodopontode

V

perten e avariedade estávelde algumpontode

Σ

, então

ω(a) ⊂ Σ

. Assim

ω(a) ∈ L(f |

Σ

)

, onde

L(f |

Σ

)

éo onjuntodos

ω

-limitese

α

-limites dospontosde

Σ

. Pelaproposição6.8,

L(f |

Σ

) ⊂ Ω(f |

Σ

)

,logo

ω(a) ⊂ Ω

1

∪. . .∪Ω

s

, ∀a ∈ V

. Como os onjuntos

Ω

1

, . . . , Ω

s

são invariantes,

ω(a) ⊂ Ω

i

, para algum

1 ≤ i ≤ s

e para

a ∈ V

, on luindo a parte(a) doteorema.

Reordenando os onjuntos, sene essário, seja

Ω

1

, . . . , Ω

q

, om

q ≤ s

. Tomando

V

i

o onjuntode medidapositiva, talque

a ∈ V

i

, e

ω(a) ⊂ Ω

i

, om

1 ≤ i ≤ q

,teremos que

Ω

i

atraium onjuntode medidapositiva. Como

f |

Ω

i

étransitivo,apli andoasegunda parte

doteorema F,

Ω

i

atrairáuma vizinhançadele mesmo, nalizando oteorema.

Apêndi e

Seja

M

uma variedade onexa ompa ta riemanniana. Considere a apli ação

f : M → M

um difeomorsmo.

B.1 Denições e Teoremas

Paradenirmos pontos xoseperiódi os, onsidereositeradosde

f

apli açõesdadas indutivamentepor

f

0

_{= id}

,

f

1

_{= f}

,

f

n+1

_{= f}

n

_{◦ f}

.

B.1 Definição. Um ponto

p ∈ M

é um ponto xo de

f

, se

f

m

_{(p) = p}

, para todo

m ∈Z

.

B.2 Definição. Um ponto

q ∈ M

é um ponto periódi o de

f

, de período

m

, se

f

m

_{(q) = q}

, para algum

m ∈Z

.

Pontosxoseperiódi ospodemser lassi adosdea ordo omo omportamentodas

órbitas dos pontos dasua vizinhança.

A órbitadeum ponto

x

édadapelo onjunto

O(x) = {f

n

_{(x); n ∈N}}

. Assimaórbita

de um pontoperiódi ode período

m

ontém exatamente

m

pontos.

B.3 Teorema (Teorema do Ponto Fixo de Brouwer). Toda apli ação ontínua,

B.4 Teorema (Teorema de As oli e Arzelá). Sejam um onjunto ompa to

K ⊂ M

e

f

n

: K → M

uma seqüên ia equi ontínua de funções pontualmente limitadas. Então

(f

n

)

admite uma subseqüên ia uniformemente onvergente (a uma função ontínua

f : K → M

).

B.5 Teorema (

λ

- Lema). Seja

f

um difeormorsmo

C

r

de uma vizinhança

V

de

R

m

tendo

p

omo ponto xo hiperbóli o. Considere o isomorsmo hiperbóli o

Df (p)

e a de omposição invariante

R

m

_{= E}

s

_{⊕ E}

u

. Sejam

B

s

_{⊂ E}

s

uma bola ontida na variedade

estável lo al

W

s

loc

(p)

,

B

u

_{⊂ E}

u

uma bola ontida em

W

u

loc

(p)

e

V = B

s

_{× B}

u

. Considere um ponto

q ∈ W

s

loc

(p) − {p}

e um dis o

D

u

de dimensão

u =

dim

E

s

, transversal a

W

s

loc

(p)

em

q

. Seja

D

u

n

a omponente onexa que ontém

f

n

_(q)

de

f

n

_(D

u

_{) ∩ V}

. Dado

ε > 0

, existe

n

0

∈N

, tal que se

n > n

0

, então

D

u

n

está

ε C

1

-próximo de

B

u

.

p

Wu

V =Bs_×Bu

Ws

fn_(q)

Du

n

q

Du

FiguraB.1: Demonstração. Veja em [9℄.

B.6Teorema. Se

M

éumespaçométri o onexo, então

M

e

∅

sãoosúni ossub onjuntos de

M

ao mesmo tempo abertos e fe hados.

B.7 Proposição. Sejam uma apli ação

f : U → M

, onde

U

é aberto em

M

e

Λ

um onjunto hiperbóli o lo almente maximal de

f

. Então os pontos periódi os são densos em

B.8 Proposição. Um onjunto hiperbóli o ompa to lo almente maximal tem estrutura

de produto lo al.

As demonstraçõesdas proposiçõesB.7 e B.8 estão em[13℄.

B.2 Apli ação Exponen ial

B.9 Definição. Seja

M

uma variedade riemanniana. Uma urva parametrizada

γ : I → M

é uma geodési a em

t

0

∈ I

, se

D

dt

(

dγ

dt

) = 0

no ponto

t

0

; se

γ

é geodési a em

t

, para todo

t ∈ I

, dizemos que

γ

é uma geodési a.

B.10 Proposição. Seja

M

umavariedade riemanniana. Dado

p ∈ M

, existemumavizi- nhança aberta

V

de

p

em

M

, números

δ > 0

e

ε > 0

e uma apli ação

C

∞

,

γ : (−δ, δ) × D → M

, onde

D = {(q, w) ∈ T M; q ∈ V

e

w ∈ T

q

M

om

|w| < ε}

, tais que a urva

t → γ(t, q, w)

om

t ∈ (−δ, δ)

, é a úni a geodési a de

M

que noinstante

t = 0

passa por

q

om velo idade

w

, para ada

q ∈ V

e para ada

w ∈ T

q

M

om

|w| < ε

.

Demonstração. Veja em [10℄.

B.11 Definição. Seja

M

uma variedade riemanniana. Sejam

p ∈ M

e

D ⊂ T M

um aberto dado pela proposição B.10. Então a apli ação

exp : D → M

dada por

exp

q

(w) = exp(q, w) = γ(1, q, w) = γ



|w|, q,

w

|w|



,

para

(q, w) ∈ D

, é hamadade apli ação exponen ial em

D

.

Geometri amente,

exp

q

(w)

éopontode

M

obtidoper orrendoum omprimentoigual a

|w|

,a partir de

q

,sobre a geodési aque passa por

q

om velo idade iguala

w

|w|

.

B.3 Medida e Integração

B.12 Definição. Sejam

S

um semi-anel de um espaço topológi o

X

e

µ : S → [0, +∞]

uma medida nitamente aditiva. A medida

µ

é regular, se

∀ S ∈ S

vale:

(a)

µ(S) = inf{µ(A); A

é um aberto queperten e a

S

e ontém

S};

(b)

µ(S) = sup{µ(C); C

é um ompa to que perten e a

S

e ontém

S}.

B.13 Definição. Os pontos

x

de

R

n

tais que existeo seguinte limite:

lim

r→0

Leb

(B

r

(x) ∩ A)

Leb

(B

r

(x))

= 1

para um sub onjunto

A

de

R

n

, dizem-se pontos de densidade (de Lebesgue) de

A

.

Um ponto

x

não pre isa perten er ao onjunto

A

para ser um ponto de densidade. Veja que, se

x

é um ponto de densidade de

A

, então existe uma bola entrada em

x

de raiosu ientemente pequeno, talque quase todos os pontossão pontosde

A

.

B.14 Teorema (Teorema de Fubini). Seja

f ∈ L

1

_{(µ × ν)}

, onde

µ

e

ν

são medidas

σ

-nitas. Então (a)

f (x, ·) ∈ L

1

_(ν)

, para

µ

-q.t.p.

x ∈ X

;

f (·, y) ∈ L

1

_(µ)

, para

ν

-q.t.p.

y ∈ Y

.

(b) Sejam

φ : X →

R

e

ψ : Y →

R

denidas respe tivamente em

µ

-q.t.p.

x ∈ X

e

ν

-q.t.p.

y ∈ Y

por

φ(x) =

R

Y

f (x, ·)dν

e

ψ(y) =

R

X

f (·, y)dν

. Então

φ ∈ L

1

_(µ)

e

ψ ∈ L

1

_(ν)

. ( )

R

X×Y

f d(µ × ν) =

R

X

φdµ =

R

Y

ψdν

. Demonstração. Veja em [11℄.

[1℄ Alves, J.F., Pinheiro, V. Topologi al Stru ture of (Partially) Hyperboli Sets with

Positive Volume, Transa tion of the Ameri an Mathemati alSo iety (2007).

[2℄ Alves, J. F., Bonatti, C., Viana, M. SRB measures for partially hyperboli systems

whose entraldire tion is mostly expanding, Invent. Math (2000), 351-398.

[3℄ Abdenur, F., Bonatti, C., Díaz, L.J. Non-wandering sets with non-empty interior,

Nonlinearity (2000).

[4℄ Bo hi, J., Viana, M. Lyapunov exponents: How frequently are dynami al systems

hyperboli ?, Advan es inDynami al Systems, CambridgeUniversity Press (2004).

[5℄ Bowen, R. A horseshoe with positive measure, Invent. Math (1975), 203-204.

[6℄ Fisher,T.Hyperboli setswithnonemptyinterior,Dis .Cont.Dynam.Syst. (2004).

[7℄ Alves, J.F., Araújo, V., Saussol, B. On the uniform hyperboli ity of some nonu-

niformly hyperboli systems, Pro eedings of the Ameri an Mathemati al So iety, v.

131, n. 4,p. 1303-1309(2003).

[8℄ Robinson, C.  Dynami alSystems: Stability, Symboli Dynami s and Caos (1999),

CRC Press LLC, Florida.

[9℄ Palis, J.e Melo, W.  Introdução aos sistemas dinâmi os (1977), IMPA, CNPq.

[10℄ doCarmo,M.GeometriaRiemanniana(2005),IMPA(ProjetoEu lides),

3

a.

edição,

Rio de Janeiro.

[11℄ de Castro Jr.,A. A. Curso de Teoria da Medida (2004), IMPA (Projeto Eu lides),

Rio de Janeiro.

[12℄ Shub, M.GlobalStability of Dynami alSystems (1987),Springer-Verlag,New York,

[13℄ Katok, A.,Hasselblat,B.Introdu tiontothe Modern Theory of Dynami alSystems

Instituto de Matemáti a/Depto. de Matemáti a

Campus de Ondina,Av. Adhemar de Barross/n, CEP:40170-110

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