A desintegração da persistência da memória

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Autor: Anibal Tavares de Azevedo

MATEMÁTICA II

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REVISÃO

A desintegração da

persistência da memória

Salvador Dali

Sócrates

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FUNÇÃO

Em várias situações é interessante saber como estão relacionadas diferentes quantidades. Por exemplo:

(1) O preço de uma ação na bolsa de valores no tempo;

(2) A demanda de energia elétrica (ou de um outro produto qualquer) no tempo;

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FUNÇÃO

Definição de Função:

Uma função f é uma lei que associa cada elemento x em

um conjunto D exatamente a um elemento f(x) em um conjunto E.

Nos exemplos anteriores, ao se fornecer um valor x, correspondente ao tempo, automaticamente fica determinado o valor f(x) (preço, demanda).

x

(entrada)

f

(saída)

Função f(x): x

2

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5

FUNÇÃO

x

f

a

f(a)

D

f

E

Diagrama de flechas

Imagem

Variável independente

Variável

dependente

Em geral, considera-se funções tais que D

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6

FUNÇÃO

Visualizando uma função

0 f(1)

f(2)

f(x)

(x,f(x))

1

2 x

x

domínio

imagem

y=f(x)

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LOTE ECONÔMICO DE PRODUÇÃO

Modelos e Teoria de Estoque

Para se atender a demanda, muitas vezes, as

companhias devem empregar produtos disponíveis no

estoque. A Teoria de Estoque tenta determinar regras

de gerenciamento de modo que ao mesmo tempo o custo

de estoque seja minimizado e atenda a demanda. Para

tanto, modelos de estoque devem responde a duas perguntas:

(1)Quando uma ordem de produção deve ser realizada?

(2)Quão grande ela deve ser?

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LOTE ECONÔMICO DE PRODUÇÃO

Lote Econômico de Produção – Modelo Básico: Hipótese dos modelos:

(1)Demanda Constante: determística e ocorre a uma

taxa constante. D é o número de unidades

demandadas por ano tal que em um intervalo de t

anos será demandado um total de D*t unidades.

(2)Custo do Pedido: qualquer que seja o tamanho do

pedido (q unidades), o custo de setup é K.

(3)Tempo de processamento (lead time): É zero tal que um pedido só é pedido se o nível de estoque L for igual a zero (L = 0) para evitar custos de estoque desnecessários (L > 0).

(4)Sem falta: toda a demanda é atendida.

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LOTE ECONÔMICO DE PRODUÇÃO

Lote Econômico de Produção – Modelo Básico:

Graficamente:

t

I(t)

q

q/D

_2q/D

_3q/D

(i)Em t = 0 chega pedido tamanho q

(i)Em q/D anos o estoque é zero

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10

LOTE ECONÔMICO DE PRODUÇÃO

Definição de ciclo:

Qualquer intervalo que comece com a chegada de um pedido e termine no instante anterior a chegada de outro pedido é chamado de ciclo.

t

I(t)

q

q/D

_2q/D

_3q/D

Ciclo Os ciclos têm tamanho:(q/D)

Um ano contém:

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LOTE ECONÔMICO DE PRODUÇÃO

Suponha que TC(q) é a função do custo anual ao se pedir q unidades por tempo quando L = 0. Para se determinar o valor de q que minimiza o custo anual (q*), detalha-se TC(q):

TC(q) = custo anual de realização de pedidos +

custo anual de compra +

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LOTE ECONÔMICO DE PRODUÇÃO

Logo combinando os custos de realização de pedidos, compra e estoque:

custo anual de estoque

TC(q) = KD + +

q pD

hq

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13

LOTE ECONÔMICO DE PRODUÇÃO

TC(q) = KD + +

q pD

hq

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14

LOTE ECONÔMICO DE PRODUÇÃO

Graficamente:

Custo anual

q 0

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15

LOTE ECONÔMICO DE PRODUÇÃO

Graficamente:

Custo anual

q 0

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16

LOTE ECONÔMICO DE PRODUÇÃO

Graficamente:

Custo anual

q 0

Custo estoque: (h/2)q

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17

LOTE ECONÔMICO DE PRODUÇÃO

TC(q) = KD + +

q pD

hq

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LOTE ECONÔMICO DE PRODUÇÃO

Graficamente:

Custo anual

q 0

Custo total anual: TC(q)

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LOTE ECONÔMICO DE PRODUÇÃO

Graficamente:

Custo anual

q

0 q*

Custo total anual: TC(q)

Custo pedido: KD/q

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20

LOTE ECONÔMICO DE PRODUÇÃO

TC(q) = + +

Para achar q que minimiza TC(q), usa-se TC’(q) = 0:

KD

q pD

hq

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LOTE ECONÔMICO DE PRODUÇÃO

TC(q) = + +

Para achar q que minimiza TC(q), usa-se TC’(q) = 0:

TC’(q) = - + = 0

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22

PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO

Problema 1: Um fazendeiro tem 1200 m de cerca e

quer delimitar um campo retangular que está na

margem de um rio reto. Ele não precisa cercar ao

longo do rio. Encontrar as dimensões do campo que

delimita a maior área possível.

Rio

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PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO

Algumas possíveis configurações da cerca e a

respectiva área são dadas a seguir:

1000

100

100 Área: 100.000m

2

200

500 Área: 100.000m

2

500

400

400 Área: 160.000m

2

400

casos a soma do materialObserve que em todos os usado na cerca é igual a

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24

x

y

z = 10cm

PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO

Problema 2: Uma empresa pretende lançar um

creme com uma nova embalagem retangular no

mercado. Esta embalagem deve conter 1

litro de produto e, por questões de

Marketing, deve ter altura de 10 cm.

Encontrar as dimensões da embalagem

tal que o material gasto para a

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x

y

z = 20cm

PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO

Problema 3: A empresa do problema 2 descobriu

que a embalagem com altura de 20 cm, devido ao

processo de produção, é melhor que a

embalagem com 10 cm. Esta embalagem

também deve conter 1 litro de produto.

Encontrar as dimensões da embalagem

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PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO

Problema 4: Uma empresa concorrente decidiu

entrar com uma embalagem cilíndrica com altura

qualquer. Esta embalagem também deve

conter 1 litro de produto. Encontrar as

dimensões da embalagem tal que o

material gasto para a embalagem (área) é mínimo.

Esse produto gasta menos que material que a

embalagem de altura de 10 ou 20 cm concorrente?

h = ?cm

r

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FORMULAÇÃO MATEMÁTICA

EXERCÍCIO 1:Em uma fábrica deve ser decidido a

quantidade de produção x₁ e x₂ de dois produtos P1 e P2. O

lucro com o produto P1 é de R$ 5,00 por unidade e do produto P2 é de R$ 2,00 por unidade. Existe uma máquina para processar apenas o produto P1 cuja capacidade máxima é de 3 unidades de tempo e para o produto P2, 4 unidades. Nestas duas máquinas gasta-se 1 unidade de tempo para processar 1 produto. Existe uma máquina capaz de processar tanto o produto P1 como o produto P2 cuja capacidade máxima de tempo é de 9 unidades de tempo. Assumindo que nesta máquina o tempo para processar o produto P2 é o dobro do gasto para processar o produto P1 e P1 gasta-se 1 unidade de tempo, pede-se:

(A) Formular o problema de otimização.

(B) Encontrar a solução gráfica deste problema.

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FORMULAÇÃO MATEMÁTICA

x

₁

x

₂

Máquina 1

3 unidades

de tempo

Máquina 2

4 unidades

de tempo

x

₁

x

₂

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