Ministério da Educação
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
Campus CuritibaProfessor Gilmar Bornatto
1. P ara fazer uma caixa s e m ta mpa com um único pe daço de pa pe lão, utilizou-s e um retângulo de 16 cm de largura por 30 cm de comprime nto. De ca da um dos quatro cantos des s e retângulo foram retira dos qua drados de área idê ntica e, depois , foram dobradas para cima as abas res ultantes .
Determine a medida do la do do ma ior quadra do a s er cortado do pedaço de pape lão, para que a ca ixa forma da tenha:
a) área lateral de 204 cm£; b) volume de 600 cm¤.
2. A expres s ão V(x) = x(16 - 2 x)(24 - 2 x) repres enta o volume e m cm¤ de uma caixa na forma de um paralelepípedo retâ ngulo re to, e m que x é a a ltura e os lados da bas e s ã o 16 - 2x e 24 - 2x.
a) Se nenhuma das ares ta s da caixa pode s er menor que 1 cm, determine os va lores pos s íveis da variáve l x. b) Quando x = 5 cm, o volume da caixa é 420 cm¤. Investigue se existem outros valores de x para os quais o volume é 420 cm¤. Em caso afirmativo, dê esses valores.
3. Dada a equação polinomial x¤ - 5x£ + 8x - m = 0, onde m é um parâ metro real: a) Mos tre que tal equação tem a o menos uma ra iz rea l.
b) Obtenha m de modo que 3 s eja raiz, e encontre as outras raízes .
4. O produto de duas das raízes do polinômio p(x) = 2x¤ - mx£ + 4x + 3 é igual a -1. Determinar a) o valor de m.
b) as raízes de p.
5. Determine o valor de k para que os polinômios
f = x¤ - x£ - 5x - 3 e g = x¤ + 2x£ + kx admitam em comum uma raiz inteira de multiplicidade 2.
6. Qua l a ma ior ra iz inteira da e quaçã o x¥ - 20x¤ + 90x£ + 20x - 91 = 0?
7. Cons idere a equação a lgébrica - x¥ + kx¤ - kx£ + kx - 4 = 0, na variáve l x, com k Æ C.
a) Determine k = a + bi, com a e b re ais , para que o número complexo 2i s e ja uma das raízes da e quaçã o. b) Determine todas as raízes da e quaçã o quando k = 5.
8. Ache todas as raízes (re ais e complexas ) da equação x§-7x¤-8=0.
9. As três raízes da equação x¤ - 3x£ + 12x - q = 0, onde q é um parâ metro real, formam uma progres s ão aritmética.
10. Cons iderando-se a função polinomial p:IRëIR definida por p(x)=x¤+x+21 podemos afirmar que: ( ) A equação p(x)=0 nã o tem s olução inte ira.
( ) O gráfico da funçã o p(x) intercepta o eixo ox em um ponto de abcis s a inteira . ( ) A equação p(x) =0 pos s ui uma s olução rea l.
( ) O gráfico da funçã o p(x) intercepta o eixo ox num ponto de abcis s a negativa. ( ) A equação p(x) -21 =0 pos s ui exata mente três s oluções rea is .
11. Se x¤ - 2x£ + 5x - 4 = 0 tem uma ra iz x = 1, então as outras duas raízes da equação são: a) complexas nã o rea is .
b) racionais . c) pos itivas . d) negativas .
e) reais de s inais opos tos .
12. Sobre as raízes da equação 2x¤ - x£ - 2x + 1 = 0, é verdade que a) nenhuma delas é rea l.
b) exata mente duas de las s ão ne gativas . c) s omente uma de las é irracional. d) as três s ão números inte iros . e) perte ncem ao interva lo [-1, 1].
13. As três raízes de 9x¤-31x-10=0 s ão p, q e 2. O va lor de p£+q£ é: a) 5/9
b) 10/9 c) 20/9 d) 26/9 e) 31/9
14. Sabe-se que o produto de duas raízes da equação algébrica 2x¤-x£+kx+4=0 é igual a 1. Então o valor de k é:
a) - 8. b) - 4. c) 0. d) 4. e) 8.
15. O produto dos valores reais de x que tornam verdadeira a igualdade 2x¤ + x£ - 8x - 4 = 0 é a) - 4
16. S eja S o conjunto de todas as raízes da e quaçã o 2x§-4x¦+4x-2=0. S obre os elementos de S pode mos afirmar que
a) todos s ã o números re ais . b) 4 s ão números rea is pos itivos . c) 4 não s ã o números re ais .
d) 3 s ão números rea is pos itivos e 2 não s ã o rea is . e) 3 s ão números rea is ne gativos .
17. Sobre o polinômio p(x) = x¦ - 5x¤ + 4x£ - 3x - 2 podemos afirmar que a) x = 2 não é ra iz de p
b) p s ó a dmite raízes reais , s endo uma de las inte ira, duas racionais e duas irracionais c) p admite uma única ra iz real, s e ndo ela uma ra iz inteira
d) p s ó a dmite raízes reais , s endo duas delas inte iras
e) p admite s omente 3 ra ízes reais , s endo uma de las inteira e duas irracionais
18. Se 3 + 2 i é ra iz da equação x£ + ax + b = 0 com a e b números reais , então a + b va le: a) 7
b) - 4 c) - 6 d) 19 e) 2
19. Considere a equação 3x¤ - 2x£ + 12x - 8 = 0, que a dmite uma raiz igua l a 2i, e m que i é a unidade imaginária. Então, podemos afirmar que a equação dada admite:
a) uma raiz raciona l no inte rvalo [1/2, 3/4]. b) duas raízes re ais no inte rvalo [1/2, 3/4]. c) uma raiz re al irraciona l no intervalo [1/2, 3/4]. d) duas raízes re ais irracionais no interva lo [1/2, 3/4]. e) uma raiz rea l irracional no intervalo [3/4, 1].
20. A soma das raízes da equação ax¤ + bx£ + cx= 0, onde a, b , c Æ IR e a·0, tendo 4i como raiz é a) 0
b) 1 c) 2 d) 8i e) -8i
21. O polinômio p(x) = kx¤ + x£ + kx + 1 não possui raízes reais. Então, o valor de "k" é a) -2
22. Sabe-s e que -1 é raiz do polinômio f=x¤+x£-2x-2. As de mais raízes des s e polinômio s ão números . a) irracionais .
b) não reais .
c) racionais não inteiros . d) inteiros pos itivos .
e) inteiros e opos tos entre s i.
23. Os zeros do polinômio a s eguir formam uma P.A. p(x) = x¤ - 12x£ + 44x - 48
O conjunto s olução da equação p(x) = 0 pode s er des crito por: a) {0, 4, 8}
b) {2, 4, 6} c) {-1, 4, 9} d) {-2,- 4,- 6}
24. As medidas , em ce ntímetros , dos lados de um triângulo retâ ngulo s ã o da das pelos números que s ã o raíze s da equação 4x¤-24x£+47x-30=0. Então, a área des s e triâ ngulo, em cm£, é:
a) 1,5. b) 0,5. c) 7,5. d) 6. e) 3.
25. Cons idere o polinômio P(x) = x§ - 1 e julgue os ite ns abaixo: ( ) O número - 1 é ra iz de P(x).
( ) As raízes complexas do polinômio Q(x) = x¥ + x£ + 1 s ã o ta mbé m raízes de P(x). ( ) A s oma de todas as raízes (reais e complexas ) de P(x) é igua l a zero.
( ) P(x) > 0 para todo número rea l x, com |x| < 1.
26. Os números -1 e 1 s ã o duas raízes do polinômio P(x) = cx¤ + ax£ + bx + 2c.
A terce ira raiz de P(x) é a) - 3
27. Sejam
p(x) = ax£ + (a - 15)x + 1 e q(x) = 2x£ - 3x + (1/b)
polinômios com coeficiente s reais .
Sabe-s e que es s es polinômios pos s uem as mes mas raízes .
Então, é correto afirmar que o valor de a + b é a) 3.
b) 6. c) 9. d) 12.
28. Cons iderando as ra ízes do polinômio p(x) = x¥ + 16, pode -s e afirmar que p(x) a) não tem raízes no conjunto dos números complexos .
b) tem uma raiz de multiplicida de 4. c) tem quatro raízes complexas dis tintas . d) tem duas raízes duplas .
e) tem por grá fico uma curva que troca de concavida de.
29. Sendo z e z‚ as raízes não reais da equação algébrica x¤ + 5x£ + 2x + 10 = 0, o produto zz‚ resulta em um número
a) natural.
b) inteiro negativo. c) racional nã o inte iro. d) irracional.
e) complexo não re al.
30. Se m, p, mp são as três raízes reais não nulas da equação x¤ + mx£ + mpx + p = 0, a soma das raízes dessa equaçã o s erá
GABARITO
1. a) 3 cmb) 5 cm
2. a) 1 ´ x ´ 7,5 b) [15 - Ë(141)]/2
3. a) Como m é um número real, trata -s e de uma equa ção polinomia l de coeficie ntes todos reais . Se ndo as s im, pode-se afirmar, pelo teorema das raízes imaginárias, que o número de raízes imaginárias é PAR.
Como a e quaçã o a dmite, a o todo, três raízes , porque ela é de gra u 3, conclui-s e que o número de ra ízes reais é ÍMPAR. Porta nto a e quaçã o admite pe lo me nos uma raiz rea l.
b) m = 6
As outras raízes s ã o 1 + i e 1 - i. 4. a) m = 7
b) 3/2; 1 - Ë2 e 1 + Ë2 5. k = 1
6. 13
7. a) (20/13) + (30/13)i b) {1, 4, -i, i}
8. V = {2, -1 iË3, -1, 1/2 iË3/2} 9. a) q = 10
