A FORMA E O CAMPO
DE GRAVIDADE DA
TERRA
A FORMA DA TERRA
Os filósofos e sábios antigos só
conseguiam especular sobre a
natureza e forma da Terra em que
viviam.
Viagens limitadas
A FORMA DA TERRA
As observações mostravam que a superfície era convexa:
Os raios solares continuam a iluminar o céu e as
montanhas, mesmo após o desaparecimento do Sol
Os navios pareciam afundar devagar no horizonte Durante um eclipse parcial da Lua, a sombra da
A FORMA DA TERRA
Mitologia Grega - a Terra era uma região em
forma de disco.
No século 6 A.C.
o filósofo grego Anaximander visualizava o
A FORMA DA TERRA
Pitágoras (582-507 A.C.) e seus seguidores
foram os primeiros a especularem que a Terra era uma esfera.
Esta idéia foi também proposta pelo influente
A FORMA DA TERRA
Eratóstenes (275-195 A.C.)
Primeira estimativa do tamanho da Terra
Uma estadia Grega representava o percurso (~185 m) de corrida em forma de U, onde corridas e outros eventos de atletismo
ocorriam.
A estimativa de Eratóstenes -46.250 km
A FORMA DA TERRA
Estimativas de um grau de meridiano
Século 8 durante a dinastia Tang na China.
Astrônomos árabes no século 9, na Mesopotâmia.
Pouco progresso foi feito na Europa até o início do
A FORMA DA TERRA
Invenção do telescópio neste século possibilitou pesquisas
geodéticas mais precisas:
Em 1671
Jean Picard (1620-1682), astrônomo Francês
levantamento geodético - um grau de arco do meridiano.
Raio da Terra como sendo de 6.372 km,
A FORMA DA TERRA
Em 1672
Jean Richer, outro astrônomo Francês
Enviado por Louis XIV para realizar algumas
observações astronômicas na Ilha
Equatorial de Cayene.
Ele observou que um relógio de pêndulo ajustado
A FORMA DA TERRA
Esta observação gerou muito interesse e
especulação, mas foi somente explicada cerca de 15 anos mais tarde, por Newton, através das leis de gravitação universal e de movimento.
Newton sugeriu que a forma de uma Terra em
rotação deveria ser a de um elipsóide oblato: ela deveria ser achatada nos pólos, formando um
A FORMA DA TERRA
Newton assumiu uma densidade constante ao longo da
Terra e chegou a conclusão que o achatamento seria de 1:230 (f=(a-c)/a, a é o eixo maior do elipsóide).
Argumento de Newton para a Terra em rotação.
Terra - esfera hidrostática
Este valor é maior do que o que se conhece hoje, que é de 1/298
A FORMA DA TERRA
O aumento no período do pêndulo de Richer pode ser agora explicado: Cayenne fica próximo do equador, onde:
1- o raio é maior e a atração gravitacional é menor.
2- A força centrífuga oposta é maior (próximo do equador).
Estes dois efeitos juntos resultam em um valor menor da gravidade em Cayenne do que em Paris.
O período de um pêndulo (T) é dado por: T = 2 (L / g)1/2
A FORMA DA TERRA
Duas expedições (entre 1735 e 1743) organizadas pela Académie Royale des Sciences, uma para Lapônia, próximo do Círculo Ártico e outra para o Peru, próximo ao equador, com o intuito de se medir o comprimento de um grau de arco de
meridiano, confirmaram a predição de Newton de que a forma da Terra é a mesma de um
GRAVITAÇÃO
Um corpo de massa m em movimento (velocidade v) possui uma inércia. Para mudarmos este movimento é necessário aplicar uma força F a este corpo.
A segunda lei de movimento de Newton estabelece que a razão de mudança no tempo do momento (quantidade de movimento - p) de uma massa m é igual à força resultante que atua sobre ela e acontece na direção da força.
p = m v Fres = dp/dt
GRAVITAÇÃO
Se aplicarmos uma força F a uma massa m, ela
adquire uma aceleração a, dada por:
F = ma
A unidade de força no sistema SI é o Newton (N).
Ela é definida como sendo a força que dá a uma
A lei da gravitação universal
Nós conhecemos a célebre observação de
A lei da gravitação universal
Newton deduziu que a força de atração gravitacional (F)
exercida por uma massa M sobre outra massa m,
separadas pela distância r, é proporcional ao produto
destas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas:
F = - G mM/r2 r,
Onde r é o vetor unitário na direção da coordenada r,
direcionada para fora do centro de referência da massa M. O sinal negativo indica que a força F age na direção
oposta, em direção da massa M.
A constante G é denominada de Constante da Gravitação
A lei da gravitação universal
Na época de Newton não havia como determinar a
constante G.
O método a ser seguido, seria determinar a força
exercida entre duas massas no laboratório. A determinação experimental de G, extremamente difícil, foi conseguida somente depois de mais de um século após a formulação de Newton, por Lord Charles Cavendish, em 1798.
Depois de uma série de medidas apuradas da força de
atração entre duas esferas de chumbo, Cavendish determinou o valor de G = 6,754 x 10-11 m3 kg-1 s-2.
ACELERAÇÃO GRAVITACIONAL
Na física, o campo de uma força é mais importante do que a magnitude da força.
O campo é definido como sendo a força exercida em uma unidade de material.
O campo gravitacional na vizinhança de uma massa é a força que ela exerce em uma massa unitária. Como:
F = ma,
ACELERAÇÃO GRAVITACIONAL
Tendo em vista que:
F = -GMm/r2 r,
e
F = ma
Decorre que:
ag = -GM / r2 r.
No sistema SI, aceleração é dado em m/s2. No sistema c.g.s., a aceleração é em cm/s2, o qual é chamado de gal em
Teorema da casca
Uma casca esférica uniforme de matéria atrai
uma partícula que está fora da casca como se toda a massa da esfera estivesse concentrada
Teorema da casca
Teorema da casca
Suponhamos o caso da maçã e da Terra. A Terra atrai
a maçã com uma força de 0,8 N. A maçã deve atrair a Terra com a mesma intensidade de 0,8 N.
Aceleração produzida na maçã pela atração
gravitacional da Terra é de 9,8 m/s2,
Aceleração produzida na Terra pela atração
Exercício 1.
Uma partícula deve ser colocada, de cada vez,
Princípio da superposição
Dado um grupo de partículas, a força gravitacional resultante sobre qualquer uma delas, exercida
pelas demais, é a soma dos efeitos individuais.
F1,res = F1,2 + F1,3 +F1,4 + .... + F1,n
Exercício 2.
A figura abaixo mostra quatro arranjos de três partículas de massas iguais. (a) Classifique em ordem decrescente os arranjos de acordo com a intensidade da força
Exercício 3.
Na figura abaixo, qual a direção da força
gravitacional resultante sobre a partícula de
massa m1 devida às outras partículas, cada uma com massa m, que se encontram dispostas
Gravitação Próxima à superfície da Terra
A força gravitacional da Terra sobre uma partícula de massa m, localizada fora da Terra, a uma distância r do centro da Terra, é dada por:
F = -G M m / r2,
Gravitação Próxima à superfície da Terra
Se uma partícula for solta, ela cairá em direção ao centro da Terra, em conseqüência da força de atração gravitacional, com uma aceleração (chamada aceleração gravitacional) ag. Da segunda lei de Newton:
F = m ag ,
F = -G M m / r2,
e
Exercício 4.
Supondo que a aceleração gravitacional da Terra é
de aproximadamente 9,8 m/s2, o raio da Terra (R) é
de 6371 km, a constante gravitacional vale 6,673x10-11 m3kg-1s-2 e o volume (V) da Terra é dado
por (4/3) R3, calcule a densidade média ( = M/V)
aproximada da Terra. Comparando com os valores de densidade das rochas encontradas na superfície da Terra (2.800 a 3.000 kg/m-3), o que você poderia
Gravitação Próxima à superfície da Terra
Gravitação Próxima à superfície da Terra
Entretanto, o valor de g que mediríamos, difere de ag que calcularíamos pela equação acima.
Por exemplo, medidas recentes de g no pólo (gp) e no equador (ge) forneceram valores de:
gp = 9,832177 m/s2 e ge = 9,780318 m/s2 , o que nos fornece uma diferença de:
Existem três razões para que isto ocorra:
1 - A Terra não é uniforme;
2 - Ela não é uma esfera perfeita (elipsóide com raio equatorial
~21 km maior que o raio polar). A distância ao centro de massa da Terra é menor nos pólos do que no equador, o que produz um aumento da gravidade em direção aos pólos.
Cálculos mostram que este efeito seria responsável por uma diferença de 6.600 mgal, entre a gravidade no pólo e a
gravidade no equador;
3 - Ela está em rotação. A aceleração centrífuga se opõe à
aceleração da gravidade que é zero nos pólos e tem seu valor máximo no equador. Portanto, este efeito produz um
aumento de g em direção ao pólo. Cálculos mostram que este aumento é de 3.375 mgal.
Gravitação Próxima à superfície da Terra
Gravitação Próxima à superfície da Terra
Para um corpo em rotação, a aceleração centrífuga é igual a:
ac = 2 R,
onde é a velocidade angular da Terra e R é a distância ao eixo de rotação. = 2 / T (T é o período de rotação, 24 horas).
A soma vetorial da aceleração gravitacional e da aceleração centrífuga é denominada aceleração da gravidade, ou
simplesmente gravidade.
Gravitação Próxima à superfície da Terra
Os efeitos dois e três descritos acima se somam,
produzindo uma diferença entre os valores de g no pólo e no equador de:
6.600 mgal + 3.375 mgal = 9.975 mgal
Entretanto, como mostrado acima, medidas de g
nos pólos e no equador indicam uma diferença menor, de 5.186 mgal.
Gravitação Próxima à superfície da Terra
Isto decorre do fato que a Terra, tendo um raio
equatorial maior do que o raio polar contém
também uma massa maior no equador, o que faz aumentar a atração gravitacional nesta região.
Gravitação Próxima à superfície da Terra
Observação 1. Até recentemente, os instrumentos de campo
apresentavam uma precisão de dezenas de miligal. Instrumentos mais modernos são capazes de medir diferenças de gravidade de até um milionésimo de gal (1 gal, o qual tem se tornado uma unidade prática nas investigações gravimétricas). Para se ter uma idéia, o valor da gravidade na superfície da Terra é de cerca de 9.8 m/s2, e a sensibilidade dos aparelhos atuais chega a ser de 1 parte em 109.
Observação 2. Vale a pena salientar que as diferenças de g sobre a superfície da Terra são muito pequenas e são usadas, como
veremos mais adiante, para investigar estruturas de sub-superfície. Entretanto, para uma primeira aproximação, podemos usar um
Gravitação no interior da Terra
Newton também mostrou que:
Uma casca uniforme de matéria não exerce nenhuma força gravitacional sobre uma partícula localizada dentro dela.
Portanto, temos dois fatores que influenciam a aceleração da gravidade no interior da Terra:
(1) a diminuição da distância ao centro da Terra (r), o que tenderia a aumentar o valor de g em direção ao centro e;
Gravitação no interior da Terra
Como a densidade do núcleo é muito mais alta que a do Manto, a gravidade se mantém aproximadamente constante (em torno de 10 m/s2) até a profundidade de 2.900 km (interface Manto-Núcleo),
Exercício 5.
A figura acima mostra um arranjo de cinco partículas, com
massas m1 = 8,0 kg, m2 = m3 = m4 = m5 = 2,0 kg e com a = 2,0 cm e = 30 . Qual a força gravitacional resultante
