1 PREFERENCJE I WYBORY INDYWIDUALNE
W artykule będą przedstawione dwa podejścia do podejmowania decyzji indywidual -nych: w kategoriach relacji preferencji oraz w kategoriach funkcji wyboru. Dokładniej mówiąc, będziemy zakładali, że podstawą dokonywanych wyborów przez osobę podejmującą decyzję jest jej racjonalna preferencja. Wyjaśnimy, jak będzie rozumiane pojęcie „racjonalnej preferencji”. O dokonywanych wyborach będziemy zakładali, że są one w pewien sposób konsekwentne. Wyjaśnimy na czym polega ta konsekwencja i w jaki sposób wiąże się ona z racjonalnością preferencji. Podejście do podejmowania decyzji indywidualnych w kategoriach relacji preferencji wydaje się naturalne, jest bardziej podstawowe i tradycyjne. Podejście w kategoriach funkcji wyboru ma jednak szereg zalet. Umożliwia większą swobodę modelowania decyzji indywidualnych. Jego założenia dotyczą tego, co może być bezpośrednio obserwowalne, tzn. wyborów dokonywanych przez ludzi, a nie preferencji, które nie są jawne. Nie wymaga sięgania do introspekcji, a opiera się na obserwacji zachowań.
Wprowadzone zostaną podstawowe pojęcia i twierdzenia niezbędne dla analizy podejmowania decyzji indywidualnych. Preferencje, wybory i decyzje indywidualne stanowią podstawę dla podejmowania decyzji społecznych. Takie same pojęcia i twierdzenia, wprawdzie odpowiednio zmodyfikowane i rozszerzone, będą wykorzystywane przy omawianiu różnych rodzajów decyzji społecznych.
1. Racjonalne preferencje
Naturalne jest oczekiwanie, że osoba podejmująca decyzję (w skrócie: decydent) rozważy i oceni wszystkie dostępne do wyboru rozwiązania, warianty czy też opcje i wybierze spośród nich te, które ocenia najwyżej. Ten zbiór możliwości wyboru nazywa się w literaturze zbiorem alternatyw, niezgodnie ze znaczeniem w słowniku, gdzie alternatywa oznacza wybór między dwiema wyłączającymi się możliwościami. Termin ten wprowadził Kenneth J. Arrow w swojej słynnej monografii Social Choice and Individual Values, a w języku polskim został on przyjęty w tłumaczeniu znakomitej książki R. Duncana Luce i Howarda Raiffa Gry i decyzje (1964).
2 mieszkanie), terapie, jakie zastosować pacjentowi (decyzje lekarza), kandydaci w wyborach parlamentarnych lub samorządowych (decyzje wyborcy), oferenci w przetargu (decyzje członka komisji przetargowej), sposób realizacji projektu (decyzje eksperta), orzeczenie winy lub uniewinnienie (decyzje członka ławy przysięgłych) itp.
Zbiór alternatyw może być zbiorem skończonym lub nieskończonym. Na ogół będzie on oznaczany literą A. Jeżeli będzie to zbiór skończony (a takie sytuacje będą najczęściej rozważane), to liczba jego elementów będzie oznaczana przez m. Będzie on zapisywany następująco:
A = {a1, a2,…, aj,…, am} lub A = {x,y,w,…}.
Ocena alternatyw przez decydenta będzie przedstawiana za pomocą relacji preferencji. Relacja ta, którą będziemy oznaczać przez ≿, będzie relacją dwuczłonową (binarną) umożliwiającą porównanie par alternatyw x, y należących do A.
x≿y co oznacza „alternatywa x jest przynajmniejtak dobra, jak alternatywa y”.
Na podstawie tej relacji preferencji, nazywanej często relacją słabej preferencji, można określić dwie inne relacje preferencji:
- relację mocnej preferencji≻
x≻y zawsze i tylko wtedy, gdy x≿y i nieprawda, że y≿x, co oznacza „alternatywa x jest lepsza od alternatywy y”, - relację indyferencji
xy zawsze i tylko wtedy, gdy x≿y i y≿x,
co oznacza „alternatywa x jest tak samo dobra, jak alternatywa y”.
Aby możliwe było dokonywanie wyboru z każdego dwuelementowego podzbioru alternatyw, relacja słabej preferencji ≿musi być relacją spójną.
Warunek spójności.
Dla każdej pary alternatyw x,y∊A: x≿y lub y≿x.
3 jakościowo i trudno jest umieścić je na jednej „wspólnej skali”. Warto podkreślić, że sytuacja niemożliwości porównania alternatyw różni się istotnie od sytuacji indyferencji. W pierwszym wypadku żaden z warunków x≿y oraz y≿x nie jest spełniony, natomiast w drugim spełnione są oba.
Jako drugą niezbędną własność relacji ≿, która w sposób oczywisty jest spełniona, należy wymienić zwrotność.
Warunek zwrotności.
Dla każdej alternatywy x∊A: x≿x.
Własność ta oznacza, że każda alternatywa x należąca do zbioru alternatyw A musi być dla decydenta przynajmniej tak dobra, jak ona sama. Spełnienie tego warunku zapewnia możliwość dokonania wyboru z jednoelementowego podzbioru alternatyw.
Bardzo ważną własnością relacji ≿ jest przechodniość.
Warunek przechodniości.
Dla każdej trójki alternatyw x,y,z∊A: jeżeli x≿y i y≿z, to x≿z.
4 (np. porównywanie mieszkań różniących się metrażem, lokalizacją, ceną itp.). Przechodniość relacji preferencji jest własnością o podstawowym znaczeniu i łącznie ze spójnością, a także zwrotnością tej relacji, stanowi niezbędny warunek uznania relacji preferencji za racjonalną.
Racjonalna relacja preferencji.
Relację preferencji ≿ nazywa się racjonalną relacją preferencji zawsze i tylko wtedy, gdy jest to relacja spójna, zwrotna i przechodnia.
Relacja preferencji, która jest racjonalna, a więc spełnia te trzy warunki, umożliwia konsekwentne uporządkowanie zbioru alternatyw od najbardziej pożądanej alternatywy do najmniej pożądanej, dopuszczając możliwość, że pewne alternatywy będą uznawane za jednakowo pożądane. Oczywiście, takie rozumienie racjonalności, wymagające jedynie konsekwencji w ocenie alternatyw, jest często uznawane za niewystarczające. Abstrahuje ono bowiem od tego, jakie są to alternatywy i jakie motywacje skłaniają decydenta do uznawania jednych z nich za bardziej pożądane od drugich.
Racjonalna relacja preferencji może być reprezentowana za pomocą uporządkowania preferencyjnego alternatyw, a więc ciągu alternatyw wypisanych w porządku od najbardziej pożądanej do najmniej pożądanej, przy czym alternatywy jednakowo oceniane będą połączone łącznikiem. Na przykład
t, uv, wxy, z
Istnieje szereg innych sposobów reprezentacji, które mogą być wykorzystane dla reprezentowania relacji preferencji, nie tylko racjonalnych. Są to: zbiory uporządkowanych par alternatyw między którymi zachodzi relacja, grafy i macierze. Będą one wykorzystywane w następnych rozdziałach.
Posiadanie racjonalnej relacji preferencji na skończonym zbiorze alternatyw A umożliwia decydentowi dokonywanie wyboru z każdego zestawu alternatyw Z (podzbioru tego zbioru), z którego w danej sytuacji ma wybrać najlepszą alternatywę (lub najlepsze alternatywy). Zbiór wszystkich niepustych podzbiorów zabioru alternatyw A będziemy oznaczali przez 𝓐.
5
Podzbiór optymalnych (wybranych) alternatyw ze względu na relację preferencji ≿ w zestawie alternatyw Z będziemy oznaczali przez W(Z, ≿).
W(Z, ≿) = {xZ: yZ, x≿y}
Alternatywami optymalnymi (wybranymi) będą więc takie alternatywy należące do zestawu Z, które są przynajmniej tak dobre, jak wszystkie pozostałe alternatywy w tym zestawie. Jeżeli ≿ jest racjonalną relacją preferencji na skończonym zbiorze alternatyw A, to dla żadnego zestawu alternatyw podzbiór alternatyw optymalnych nigdy nie będzie zbiorem pustym. Jednak dla relacji preferencji, któranie spełnia któregoś z trzech warunków może być on zbiorem pustym. Gdy warunki spójności lub zwrotności nie są spełnione, to zawsze można wskazać taki zestaw alternatyw dla którego podzbiór optymalnych alternatyw jest pusty. Była o tym mowa wyżej. Inaczej jest w przypadku nie spełnienia warunku przechodniości. Można wskazać takie warunki, słabsze od warunku przechodniości, które wraz ze spójnością i zwrotnością gwarantują, że dlakażdego zestawu alternatyw podzbiór alternatyw optymalnych nie będzie zbiorem pustym. Warunkami tymi są: quasi-przechodniość i acykliczność.
Warunek quasi-przechodniości.
Dla każdej trójki alternatyw x,y,z∊A: jeżeli x≻y i y≻z, to x≻z.
Warunek quasi-przechodniości wymaga jedynie aby przechodnia była relacja mocnej preferencji. Był on wyżej określony symbolem PP. Nie wymaga natomiast aby relacja indyferencji była przechodnia. Jest on spełniony na przykład w sytuacji, w której dla stwierdzenia mocnej preferencji między alternatywami jest konieczne przekroczenie pewnego progu wielkości różnic między nimi.
Warunek acykliczności.
Dla każdego ciągu alternatyw x1,x2,…,xj∊A: jeżeli [x1≻x2 i x2≻x3 i … i xj-1≻xj], to x1≿xj .
Warunek quasi-przechodniości wymagał przechodniości relacji mocnej preferencji dla każdej trójki alternatyw. Warunek acykliczności wymaga, aby dla każdego ciągu alternatyw takich, że między kolejnymi alternatywami zachodzi relacja mocnej preferencji, pierwsza alternatywa w tym ciągu była przynajmniej tak dobra, jak ostatnia alternatywa w tym ciągu. Spełnienie tego warunku gwarantuje, że relacja mocnej preferencji nie będzie powodowała powstania cyklu.
6 Twierdzenie 1.
Niech relacja preferencji ≿ na skończonym zbiorze alternatyw A spełnia warunki spójności i zwrotności. Wówczas dla każdego zestawu alternatyw Z należącego do 𝓐 podzbiór optymalnych alternatyw w Z nie jest pusty, jeżeli relacja preferencji jest:
(a) przechodnia, (b) quasi-przechodnia, (c) acykliczna.
Warunki (a) i (b) są warunkami wystarczającymi, natomiast warunek (c) jest zarazem warunkiem wystarczającym, jak i koniecznym. Dowód części (a) jest oczywisty. Dowód części (b) podał m.in. Sen (1969, twierdzenie II), zaś dowód części (c) podali m.in. Suzumura (1983: 14, twierdzenie A(3)) oraz Austen-Smith i Banks (2000: 5, twierdzenie 1.1).
Twierdzenie 1 określa, jakie własności relacji preferencji decydenta zapewniają możliwość dokonywania wyboru optymalnych alternatyw z każdego zestawu alternatyw. W następnej części rozważymy, jakie wymagania muszą być spełnione, aby dokonywane wybory były konsekwentne i racjonalne.
2. Racjonalne wybory
W odróżnieniu od poprzedniej części będziemy zakładali, że znane są wybory alternatyw z poszczególnych zestawów alternatyw i zastanowimy się, czy są one racjonalne w tym sensie, że istnieje taka relacja preferencji ze względu na którą wybrane alternatywy są optymalnymi alternatywami w tych zestawach. Sposób wyboru alternatyw z poszczególnych zestawów będzie opisany za pomocą funkcji wyboru.
Funkcja wyboru.
Funkcja wyboru W: 𝓐→𝓐 jest odwzorowaniem zestawów alternatyw należących do 𝓐 w
takie niepuste podzbiory wybranych alternatyw, że dla każdego Z𝓐, W(Z) Z i W(Z).
7 Racjonalizacja funkcji wyboru R.
Funkcja wyboru ma racjonalizację, jeżeli istnieje taka relacja preferencji ≿, że dla każdego zestawu alternatyw Z𝓐, wybrane alternatywy są optymalnymi alternatywami w tym zestawie ze względu na relację preferencji ≿.
Dla każdego Z𝓐, W(Z) = W(Z, ≿).
Przykład 1. Rozważmy następującą funkcję wyboru:
W({x}) = {x}, W({y}) = {y}, W({z}) = {z},
W({x,y}) = {x}, W({x,z}) = {x,z}, W({y,z}) = {y}, W({x,y,z}) = {x}.
Istnieje taka relacja preferencji, która może być racjonalizacją tej funkcji wyboru:
x≿x, y≿y, z≿z, x≿y, y≿z, x≿z, z≿x.
Jednym z możliwych sposobów stwierdzenia, czy określona funkcja wyboru W ma racjonalizację, jest badanie własności relacji binarnej ujawnionej przez funkcję wyboru. Każdej funkcji wyboru W odpowiada bowiem pewna relacja binarna ≿W na zbiorze alternatyw A, która może byćokreślonaw sposób następujący.
Relacja ujawniona przez funkcję wyboru≿W.
Dla każdej pary alternatyw x,yA, x≿Wy zawsze i tylko wtedy, gdy xW({x,y}).
Inaczej mówiąc, funkcja wyboru ujawnia, że alternatywa x jest przynajmniej tak dobra, jak alternatywa y, jeżeli alternatywa x została wybrana z dwuelementowego zestawu alternatyw {x,y}. Podane określenie relacji binarnej ujawnionej przez funkcję wyboru jest jednym z trzech rozważanych przez Sena (1971). Mają one podobne, ale nie identyczne własności.
Jeżeli dla każdego zestawu alternatyw Z należącego do 𝓐, W(Z) = W(Z, ≿W),
to funkcja wyboru W posiada racjonalizację.
8 Racjonalna racjonalizacja funkcji wyboru RR.
Funkcja wyboru ma racjonalną racjonalizację, jeżeli istnieje taka racjonalna relacja preferencji ≿(patrz wyżej), że dla każdego zestawu alternatyw Z𝓐, wybrane alternatywy są optymalnymi alternatywami w tym zestawie ze względu na tę relację preferencji.
Posiadanie przez funkcje wyboru racjonalnej racjonalizacji RR jest warunkiem mocniejszym niż posiadanie racjonalizacji R, która nie musi być relacją przechodnią. Warto zadać pytanie, jakie warunki musi spełniać funkcja wyboru, aby posiadać racjonalizację lub racjonalną racjonalizację. Podamy tylko cztery najważniejsze warunki.
Warunek Arrowa AR.
Funkcja wyboru spełnia warunek Arrowa zawsze i tylko wtedy, gdy dla wszystkich S,Z𝓐: SZ, albo SW(Z)=albo też SW(Z)=W(S).
Warunek AR wymaga, aby po ograniczeniu zestawu dostępnych alternatyw z Z do S, który nadal zawiera alternatywy wybrane z zestawu Z, żadne inne alternatywy nie zostały z niego wybrane, a wszystkie poprzednio wybrane alternatywy należące do S powinny być nadal wybrane. Warunek ten został sformułowany przez Arrowa już w 1948 r., ale jego własności zostały zbadane przez niego dopiero później (1959). Udowodnił m.in. że jeżeli warunek AR jest spełniony, to funkcja wyboru ma racjonalną racjonalizację RR (Arrow 1959: 125, twierdzenie 3). Warunek AR można zdekomponować na dwa warunki: warunek sformułowany przez Chernoffa (1954), lecz obecnie nazywany warunkiem Sena (1969, 1970), oraz warunek wprowadzony przez Bordesa (1976).
Warunek Chernoffa .
Funkcja wyboru spełnia warunek zawsze i tylko wtedy, gdy dla wszystkich S,Z𝓐: jeżeli SZ, to SW(Z)⊆W(S).
9 przykładem. Jeżeli mistrz świata w pewnej dyscyplinie jest Pakistańczykiem, to musi być on również mistrzem Pakistanu (1969: 384). Można wykazać, że jeżeli funkcja wyboru spełnia warunek , to ma ona racjonalizację, ale niekoniecznie racjonalną R (por. np. Austen-Smith i Banks 2000:10, lemat 1.2 i przykład 1.3; por. również podany wyżej przykład 1)
Warunek Bordesa .
Funkcja wyboru spełnia warunek zawsze i tylko wtedy, gdy dla wszystkich S,Z𝓐: jeżeli SZ i W(S)W(Z)≠, to W(S)⊆W(Z).
Warunek wymaga, aby jeżeli dwie alternatywy zostały wybrane z S, to nie jest możliwe, aby tylko jedna z nich została wybrana z Z. Kontynuując podany wyżej przykład Sena, warunek wymaga, aby jeżeli jakiś Pakistańczyk jest mistrzem świata w pewnej dyscyplinie, to wszyscy mistrzowie Pakistanu muszą być mistrzami świata w tej dyscyplinie. Warunek jest mniej intuicyjny niż warunek . Można wykazać, że jeżeli funkcja wyboru spełnia warunek , to ma ona racjonalizację, ale niekoniecznie racjonalną R (por. Sen 1969: 385, twierdzenie IV i wniosek 1).
Chociaż ani spełnienie warunku , ani też warunku , nie zapewnia samodzielnie, że funkcja wyboru będzie miała racjonalną racjonalizację, to równoczesne spełnienie obu tych warunków gwarantuje istnienie racjonalnej racjonalizacji RR. Udowodnił to Sen (1971: 314, twierdzenie 8, por również Austen-Smith i Banks (2000: 16, twierdzenie 1.4).
Ostatnim warunkiem, który przytoczymy jest słaby warunek ujawnionej preferencji (WARP). Jest to jeden z kilku warunków ujawnionej preferencji i ma on szczególne znaczenie w mikroekonomii. Wprowadził go P.A. Samuelson w 1947 r. w kontekście analizy zachowań konsumentów.
Słaby warunek ujawnionej preferencji WARP.
Funkcja wyboru spełnia warunek WARP zawsze i tylko wtedy, gdy dla wszystkich S,Z𝓐: jeżeli xW(S), yS-W(S) i yW(Z), to xZ.
10 Warunek WARP był przedmiotem bardzo wielu analiz (np. Arrow1959, Sen 1971, Suzumura 1976a,b), w których wykazano, że jeżeli funkcja wyboru spełnia ten warunek, to posiada ona racjonalną racjonalizację RR.
Związki między przywoływanymi wyżej twierdzeniami można przedstawić w postaci łącznego twierdzenia (por. Austen-Smith i Banks (2000: 17-18, twierdzenie 1.5, a wcześniej Suzumura 1983: 30, twierdzenie 2.3). Warto dodać, że dowody przedstawionych wyżej twierdzeń nie wymagają rozważania wszystkich podzbiorów zbioru alternatyw A. Wystarczy ograniczenie analizy do zbiorów zawierających wszystkie dwu- i trzyelementowe zestawy alternatyw (Sen 1971: 312).
Twierdzenie 2.
Następujące warunki są równoważne:
(a) funkcja wyboru posiada racjonalną racjonalizację RR, (b) funkcja wyboru spełnia warunki i ,
(c) funkcja wyboru spełnia warunek AR, (d) funkcja wyboru spełnia warunek WARP.
Twierdzenia te, uzupełnione o inne przypomniane wyżej twierdzenia, ilustruje wykres 1.
WARP
RR
AR
R
i
11 3. Problemy
1. Właściciel małego zakładu ogłosił zamiar zatrudnienia dodatkowo jednego pracownika. Zgłosiło się pięciu kandydatów, tj. A = {a1, a2, a3, a4, a5}. Po przeprowadzeniu rozmów właściciel ustalił swoją słabą relację preferencji aj≿ ak na zbiorze kandydatów. Jest ona opisana w poniższej tabeli 1, przy czym aj to kandydat zapisany w wierszu, zaś ak to kandydat zapisany w kolumnie.
Tabela 1. Relacja preferencji ≿ ak
aj a1 a2 a3 a4 a5
a1 ≿ ≿ ≿
a2 ≿ ≿ ≿ ≿ ≿
a3 ≿ ≿
a4 ≿ ≿
a5 ≿ ≿ ≿ ≿ ≿
a) Wypełnij tabelę 2 używając jedynie symboli relacji preferencji: ≻ i . Tabela 2. Relacje preferencji: ≻ i
b) Uporządkuj kandydatów według preferencji właściciela zakładu. c) Którego kandydata powinien przyjąć do pracy właściciel zakładu?
2. Wykaż, że jeżeli relacja preferencji ≿jest spójna, ale niekoniecznie przechodnia, oraz spełnione są warunki:
x≻y i y≻z, to x≻z i x∼y i y∼z, to x∼z, to spełnione są warunki:
x≻y i y∼z, to x≻z i x∼y i y≻z, to x≻z.
3. Zbiór alternatyw jest trzyelementowy A = {x,y,z}. Wiadomo, że W({x})={x}, W({y})={y}, W({z})={z},
W({x,y})={x,y}, W({x,z})={x,z}, W({y,z})={y,z}, W({x,y,z})={x,y}. a) Jakie własności ma relacja preferencji ujawniona przez tę funkcję wyboru?
b) Czy ta funkcja wyboru ma racjonalizację?Uzasadnij odpowiedź. ak
aj a1 a2 a3 a4 a5 a1
12 4. Zbiór alternatyw jest trzyelementowy A = {x,y,z}. Wiadomo, że
W({x})={x}, W({y})={y}, W({z})={z},
W({x,y})={x}, W({y,z})={y}, W({x,z})={z} W({x,y,z})={x,y,z}. Czy ta funkcja wyboru spełnia słaby warunek ujawnionej preferencji? Uzasadnij
odpowiedź.
5. Zbiór alternatyw jest trzyelementowy A = {x,y,z}. Wiadomo, że W({x})={x}, W({y})={y}, W({z})={z}, W({x,y})={x}, W({x,y,z})={x}.
Czy ta funkcja wyboru może mieć więcej niż jedną racjonalizację? Uzasadnij odpowiedź.
6. Wykaż, że jeżeli funkcja wyboru jest określona dla wszystkich dwuelementowych podzbiorów alternatyw, to może mieć co najwyżej jedną racjonalizację.
Literatura
Arrow, Kenneth J. 1959. Rational Choice Functions and Orderings. “Economica”, Vol. 26, No. 102: 121-127.
Arrow, Kenneth J. 1963. Social Choice and Individual Values. New York: John Wiley and Sons. Wydanie drugie, rozszerzone (wydanie pierwsze 1951).
Austen-Smith, David, Banks, Jeffrey S. 2000. Positive Political Theory I. Collective Preference. Ann Arbor: University of Michigan Press.
Bordes, Georges. 1976. Consistency, Rationality and Collective Choice. “Review of Economic Studies”, Vol. 43, No. 3: 451-457
Chernoff, Herman. 1954. Rational Selection of Decision Functions. “Econometrica”, Vol. 22, No. 4: 422-443.
Luce, R. Duncan; Raiffa, Howard. 1964. Gry i decyzje. Przełożył Jerzy Kucharczyk. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe. Pierwsze wydanie: Games and Decisions: Introduction and critical survey. New York: Wiley, 1957.
Sen, Amartya K. 1969. Quasi-Transitivity, Rational Choice and Collective Decisions. “Review of Economic Studies”, Vol. 36, No. 3: 381-393.
Sen, Amartya K. 1970. Collective Choice and Social Welfare, San Francisco: Holden-Day. Sen, Amartya K. 1971. Choice Functions and Revealed Preference. “Review of Economic
Studies”, Vol. 38, No. 3: 307-317.
13 Suzumura, Kotaro. 1976b. Rational Choice and Revealed Preference. “Review of Economic
Studies”, Vol. 43, No. 1: 149-158.
