Aula04_Econometria_EE.pptx

Estatística Econômica

Prof. Alexandre

Inferência no Modelo de

Regressão Simples

Hipóteses do Modelo de Regressão Linear Simples

H1.

H2.

H3.

H4.

H5.

H6.



não é variável aleatória e assume pelo menos dois valores distintos

 ₍

opcional

₎

1 2

t t t

y     x  e

( ) 0_t

E e  E y( )_t    _{1 2}x_t

2

var( )e_t    var( )y_t

cov( , ) cov( , ) 0e e_{i j}  y y_{i j} 

t

x

2 ~ (0, ) t

e N  2

1 2

~ [( ), ]

t t

Previously

Este Capítulo introduz ferramentas adicionais da inferência estatística: estimação de intervalos, previsão, intervalos de previsão e testes de hipóteses.

2 2

1 1 ₂

2

2 2 2

~ , ( ) ~ , ( ) t t t x b N

T x x

5.1

Estimação de Intervalos

5.1.1 A Teoria

Obtemos, de

b

₂ , uma variável aleatória normal padronizada, subtraindo sua média e dividindo o resultado pelo seu desvio padrão:

(5.1.1)

A variável aleatória padronizada

Z

é normalmente distribuída com média 0 e variância 1.

2 2 2

~ (0,1) var( )

b

Z N

5.5.1a A Distribuição Qui-Quadrada

• Variáveis aleatórias com distribuição qui-quadrada

surgem quando elevamos ao quadrado variáveis aleatória normais,

N

(0,1).

Se

Z

₁,

Z

₂ , ...,

Z

_m denotam

m

variáveis aleatórias independentes

N

(0,1), então

(5.1.2)

• A notação é lida como: a variável aleatória

V

tem uma

distribuição qui-quadrada com m graus de

liberdade

.

2 2 2 2

1 2 m ~ ( )m

V  Z  Z _ Z 

2 ( ) ~ _m

(5.1.3)

•

V

não deve ser negativa,

v

 0

• A distribuição tem uma longa calda, ou é assimétrica à

direita.

• À medida que os graus de liberdade

m

aumentam, a

distribuição se torna mais simétrica e com o forma de um “sino”.

• À medida que

m

aumenta, a distribuição qui-quadrada

converge para (e essencialmente se torna) uma distribuição normal.

2 ( )

2 ( ) [ ]

var[ ] var 2

m

m

E V E m

V m

 

 _ _ 

 

5.5.1b A distribuição de probabilidade de

• O termo de erro aleatório

e

_t tem uma distribuição

normal,

• Padronize a variável aleatória dividindo-a pelo seu desvio

padrão, de tal forma que

•

• Se todos os erros aleatórios são independentes, então

(5.1.4)

•

V

não tem uma distribuição porque os resíduos de

mínimos quadrados

não

são variáveis aleatórias independentes.

2 ˆ 

2 ~ (0, ) t

e N 

/ ~ (0,1) t

e  N

2 2 (1) ( / ) ~e_t  

2 2 2 2

2 1 2 ( ) ~ t T T t

e e e e

  _   _  _{ }   _  _  _  _  _ 

       





• Todos resíduos

T

, , dependem dos

estimadores de mínimos quadrados

b

₁ e

b

₂. Isso pode ser mostrado pelo fato de apenas

T



2 dos resíduos de mínimos quadrados serem independentes no modelo de regressão linear simples.

• Nós

não

estabelecemos que a variável aleatória

qui-quadrada

V

é estatisticamente independente dos estimadores de mínimos quadrados, mas agora afirmamos que é.

1 2

ˆ_{t t t}

e  y  b b x

2

2 ( 2) 2

ˆ ( 2)

~ _T T

V     _

5.1.1c A Distribuição

t

• Uma variável aleatória “

t

” (minúscula) é formada pela

divisão de uma variável aleatória normal padronizada,

Z

~

N

(0,1), pela raiz quadrada de uma variável aleatória independente qui-quadrada, , que é dividida por seus graus de liberdade,

m

.

Se

Z~N

(0,1) e , e se

Z

e

V

são independentes, então

(5.1.7)

• O formato da distribuição

t

é completamente

determinada pelos graus de liberdade,

m

, e a distribuição é representada por

t

_(m).

• A distribuição

t

tem um “pico menos agudo” e é mais

dispersa do que a

N

(0,1).

2 ( ) ~ _m

V 

2 ( ) ~ _m

V 

( ) ~ _m Z

t t

• A distribuição

t

é simétrica, com média

E

[

t

_(m)]=0 e

variância var[

t

_(m)]=

m/

(

m



2

).

• À medida que os graus de liberdade

m

, a

t

_(m)

5.1.1d Um Resultado Chave (5.1.8) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

5.1.2 Obtenção de Estimativas de Intervalo

Se as hipótese RS1-RS6 do modelo de regressão linear simples são mantidas, então

(5.1.9)

Para

k

=2

(5.1.10)

onde

( 2)

~ , 1,2

ep( ) k k

T k

b

t t k

b      2 2 ( 2) 2 ~ ep( ) T b t t b     2

2 ₂ 2 2

ˆ

ˆ ˆ

var( ) e ep( ) var( ) ( _t )

b b b

x x 

 



Podemos encontrar valores críticos

t

_c de uma distribuição

t

_(m) , de tal modo que

onde  _{é um valor de probabilidade, em geral considerado} para ser =0,01 ou =0,05.

• Conseqüentemente, nós podemos afirmar

(5.1.11)

(5.1.7)

( ) ( )

2

c c

P t t  P t   t 

( _{c c}) 1

P t  t t   

2 2 2

[ ] 1

ep( )

c c

b

P t t

b  

     

2 2 2 2 2

[

_c

ep( )

_c

ep( )] 1

5.1.3 O Contexto da Amostragem Repetida

Tabela 5.1 Estimativas de Mínimos Quadrados extraídas de 10

amostras aleatórias

n b₁ ep(b₁) b₂ ep(b₂)

1 51,1314 27,4260 0,1442 0,0378 2193,4597 2 61,2045 24,9177 0,1286 0,0344 1810,5972 3 40,7882 17,6670 0,1417 0,0244 910,1835 4 80,1396 23,8146 0,0886 0,0329 1653,8324 5 31,0110 22,8126 0,1669 0,0315 1517,5837 6 54,3099 26,9317 0,1086 0,0372 2115,1085 7 69,6749 19,2903 0,1003 0,0266 1085,1312 8 71,1541 26,1807 0,1009 0,0361 1998,7880 9 18,8290 22,4234 0,1758 0,0309 1466,2541 10 36,1433 23,5531 0,1626 0,0325 1617,7087

• As estimativas dos intervalos de confiança de 95% para

os parâmetros ₁ e ₂ são dados na Tabela 5.2.

Tabela 5.2 Estimativas dos Intervalos extraídas de 10

amostras aleatórias. n

1 -4,3897 106,6524 0,0676 0,2207 2 10,7612 111,6479 0,0590 0,1982 3 5,0233 76,5531 0,0923 0,1910 4 31,9294 128,3498 0,0221 0,1551 5 -15,1706 77,1926 0,1032 0,2306 6 -0,2105 108,8303 0,0334 0,1838 7 30,6237 108,7261 0,0464 0,1542 8 18,1541 124,1542 0,0278 0,1741 9 -26,5649 64,2229 0,1131 0,2384 10 -11,5374 83,8240 0,0968 0,2284

1 cep( ) 1

5.1.4 Uma Ilustração

• Para os dados das despesas com alimentação

(5.1.14)

• O valor crítico

t

_c = 2,024, o qual é apropriado para  =

0,05 e 38 graus de liberdade.

• Ele pode ser calculado com um pacote estatístico.

• Para construir uma estimativa de intervalo para ₂ , nós

utilizamos a estimativa de mínimos quadrados

b

₂ = 0,1283 , que tem um erro padrão

Um intervalo de confiança estimado de 95% para _2:

2 2 2 2 2

[ 2,024ep( ) 2,024ep( )] 0,95

P b  b    b  b 

2 ˆ 2

ep( )b  var( )b  0,0009326 0,0305

2 cep( ) 0,1283 2,024(0,0305)=[0,0666,0,1900]2

5.2

Teste de Hipótese

Componentes dos Testes de Hipóteses

1. Uma hipótese

nula

,

H

₀ 2. Uma hipótese

alternativa

,

H

₁ 3. Um teste

estatístico

5.2.1 A Hipótese Nula

A hipótese “nula”, que é denotada por

H

₀ (

H-zero

), especifica um valor para um parâmetro. A hipótese nula pode ser escrita como , onde

c

é uma constante e é um importante valor no contexto de um modelo específico de regressão.

5.2.2 A Hipótese Alternativa

Para a hipótese nula

H

₀: _{2 =}

c

_{, três possibilidades de} hipóteses alternativas são:

H

₁: ₂ 

c

_.

H

₁: ₂ >

c

H

₁: _{2 <}

_c

_.

0 : 2

5.2.3 O Teste Estatístico

(5.2.1)

Se

a hipótese nula

H

₀: _{2 =}

c

_é

verdadeira

_{, então}

(5.2.2)

Se a hipótese nula

não for verdadeira

, então a estatística

t

na equação 5.2.2

não

tem uma distribuição

t

com

T



2

graus de liberdade. 2 2

( 2) 2

~ ep( ) T

b

t t

b 

  

2

( 2) 2

~ ep( ) T

b c

t t

b 

5.2.4 A Região de Rejeição

• O nível de significância do teste  é usualmente

escolhido como 0,01,0,05 ou 0,10.

• A região de rejeição é determinada ao encontrar os

valores críticos

t

_c tais como

Regra de rejeição para um teste bicaudal: Se o valor da estatística do teste cair na região de rejeição, em qualquer uma das caudas da distribuição

t

, então nós rejeitamos a hipótese nula e não rejeitamos a alternativa.

( _c) ( _c) / 2

• Os valores amostrais da estatística do teste na região

central de não-rejeição são

compatíveis com a hipótese

nula

e não constituem evidência

contra

sua veracidade.

• Encontrar um valor amostral da estatística do teste na

região de não-rejeição não faz da hipótese nula verdadeira num sentido absoluto!

5.2.5 O Exemplo da Despesa com Alimentação

Teste a hipótese nula que contra a alternativa que , no modelo da despesa com alimentação.

Formato para o Teste de Hipóteses

1. Determine as hipóteses nula e alternativa.

2. Especifique a estatística do teste e sua distribuição se a hipótese nula for verdadeira.

3. Selecione  e determine a região de rejeição. 4. Calcule o valor amostral da estatística do teste. 5. Faça sua conclusão.

2 0,10  

Aplicação no exemplo da Despesa com Alimentação,

1. A hipótese nula é

H

₀: _{2 =0,10. A hipótese alternativa é}

H

₁: ₂  0,10.

2. A estatística do teste ,

se a hipótese

nula é verdadeira.

3. Selecionando _{=0,05. O valor crítico}

t

_{c é 2,024 para a} distribuição

t

com (

T



2) = 38 graus de liberdade.

4. Utilizando os dados da Tabela 3.1, a estimativa de mínimos quadrados de ₂ é

b

₂ = 0,1283, com erro

padrão ep(

b

₂)=0,0305. O valor da estatística do teste é

5. Conclusão: como

t

=0,93 <

t

_c=2,024, nós

não rejeitamos

a hipótese nula.

2

( 2) 2

0,10 ~ ep( ) T

b

t t

b 

 

0,1283 0,10

0,93 0,0305

5.2.6 Erros do Tipo I e Tipo II

Nós tomamos a decisão correta se:

• A hipótese nula é

falsa

e nós decidimos

rejeitá-la

. • A hipótese nula é

verdadeira

e nós decidimos

não

rejeitá-la.

Nossa decisão é incorreta se:

• A hipótese nula é

verdadeira

e nós decidimos

rejeitá-la

(um erro do Tipo I)

• A hipótese nula é

falsa

e nós decidimos

não

rejeitá-la

Fatos sobre a probabilidade de cometer um erro do Tipo II:

 

• A probabilidade de cometer um erro do Tipo II varia

inversamente ao nível de significância do teste, _.

• Quanto mais perto estiver o valor verdadeiro do

parâmetro do valor definido para ele na hipótese, maior a probabilidade de cometer um erro do Tipo II.

• Quanto maior o tamanho da amostra

T

, menor a

probabilidade de ocorrência de erro do Tipo II, dado o nível de significância , que é a probabilidade de cometer erro do Tipo I.

• O teste baseado na distribuição

t

que nós

5.2.7 O Valor-

p

do Teste de Hipótese

O valor-

p

do teste é calculado encontrando qual é a

probabilidade da distribuição

t

tomar um valor igual ou maior do que o valor absoluto do

valor amostral da

estatística do teste.

Regra de rejeição para um teste bicaudal: quando o valor-

p

do teste de hipótese é

menor

do que o valor escolhido de _{, então o procedimento do teste leva a}

rejeição

da hipótese nula.

• Se o valor-

p

for maior do que , nós não rejeitamos a

hipótese nula.

• No exemplo da despesa com alimentação, o valor-

p

para o teste de

H

₀: ₂ = 0,10 contra

H

₁: ₂  0,10 é

•

p

=0,3601, no qual é a área nas caldas da distribuição

5.2.8 Testes de Significância

• No modelo da despesa com alimentação uma importante

hipótese nula é

H

₀: ₂ = 0.

• A hipótese alternativa geral é

H

₁: ₂  0.

• Rejeitar a hipótese nula implica que existe uma relação “

estatisticamente significante” entre

y

e

x

.

5.2.8a Um Teste de Significância no Modelo de

Despesa com Alimentação

1. A hipótese nula é

H

₀: _{2 = 0. A hipótese alternativa é}

H

₁: ₂  0.

2. A estatística do teste é ,

se a hipótese

nula for verdadeira.

2

( 2) 2

~ ep( ) T

b

t t

b 

3. Seja _{=0,05. O valor crítico}

t

_{c é 2,024 para uma} distribuição

t

com (

T



2) = 38 graus de liberdade.

4. A estimativa de mínimos quadrados de



₂

é b

₂

=

0,1283, com erro padrão ep(b

₂

)=0,0305. O valor da

estatística do teste é .

5. Conclusão: Já que t

=4,20 >

t

_c=2,024, nós

rejeitamos

a hipótese nula e não rejeitamos a alternativa. Assim, existe uma relação entre a renda semanal e a despesa semanal com alimentação.

O valor-p

para o teste de hipótese é

p

=0,000155, que é a área nas caudas da distribuição

t

₍₃₈₎

,

onde |t

|

4,20. Já que

p





_{, nós rejeitamos a hipótese nula de que}



₂

_{= 0 e não}

rejeitamos a alternativa de que



₂



_{0. Assim, existe uma}

relação “estatisticamente significante” entre y

e

x

. 0,1283 0,0305 4,20

Observação: “Estatisticamente significante”, contudo, não implica necessariamente em “economicamente significante”.

• Por exemplo, suponha que uma cadeia de supermercados

planeja uma certa estratégia

se

.

• Adicionalmente, suponha que uma grande amostra de

dados seja coletada, do qual se obtenha a estimativa

b

₂ = 0,0001, com ep(

b

₂) = 0,00001, produzindo a estatística

t

= 10,0.

• Nós rejeitaríamos a hipótese nula de que e não

rejeitaríamos a alternativa de que . Onde

b

₂ = 0,0001 é estatisticamente diferente de zero.

• Contudo, 0,0001 pode não ser economicamente

diferente de zero e a cadeia de supermercados pode decidir pelo cancelamento da estratégia planejada.

2 0  

2 0   2 0

5.2.9 Uma Relação entre os Testes de Hipóteses e a Estimação de Intervalos

• Existe uma relação

algébrica

entre testes de hipóteses

bicaudais e estimativas de intervalos de confiança que em alguns casos é útil.

• Suponha que nós estamos testando a hipótese nula

contra a alternativa .

• Se nós

falharmos em rejeitar

a hipótese nula ao nível de

significância , então o valor

c

cairá dentro de um intervalo de (1₎_{100% de confiança de} _k.

• Inversamente, se nós rejeitarmos a hipótese nula, então

c

cairá

fora

do intervalo de (1)100% de confiança de _k.

• Essa relação algébrica é verdadeira porque nós falhamos

em rejeitar a hipótese nula quando , ou quando 0 : k

H   c

1 : k

H   c

c c

t t t

   ep( ) k c c k b c t t b    

ep( ) ep( )

k c k k c k

5.2.10 Testes Unicaudais

• Testes unicaudais são utilizados para testar H₀: _k = c

contra a hipótese alternativa H₁: _k > c, ou H₁: _k < c.

• Para testar H₀: _k = c contra a alternativa H₁: _k > c, nós

selecionamos a região de rejeição para valores da estatística do teste t que suportem a hipótese alternativa.

• Nós definimos a região de rejeição para valores de t

maiores do que um valor crítico t_c, extraído de uma distribuição t com T2 graus de liberdade, tal como

onde  _{é o nível de significância do teste.}

•A regra de decisão para um teste unicaudal é, “Rejeita-se

H₀: _k = c e não se rejeita a alternativa H₁: _k > c se t  t_c.” Se t < t_c, então nós não rejeitamos a hipótese nula.

•O cálculo do valor-p está analogamente confinado a uma

calda da distribuição

( _c)

No exemplo da despesa com alimentação, teste

H

₀: _{2 = 0} contra a alternativa

H

₁: ₂ > 0.

1. A hipótese nula é

H

₀: _{2 = 0. A hipótese alternativa é}

H

₁: ₂ > 0.

2. A estatística do teste é ,

se a hipótese

nula for verdadeira.

3. Para o nível de significância _{=0,05, o valor crítico}

t

_{c é} 1,686 para uma distribuição

t

com

T



2=38 graus de liberdade.

4. A estimativa de mínimos quadrados de _{2 é}

b

_{2 = 0,1283,} com erro padrão ep(

b

₂)=0,0305. Exatamente como no teste bicaudal, o valor da estatística do teste

t

é

2

( 2) 2

~ ep( ) T

b

t t

b 



0,1283

4,20 0,0305

5.2.11 Um Comentário na Construção das Hipóteses Nula e Alternativa em testes monocaudais

• A hipótese nula é geralmente escrita de tal modo que

se nossa teoria estiver correta, então nós a rejeitaremos.

• Nós estabelecemos a hipótese nula para o caso de

não existir relação entre as variáveis,

H

₀: _{2 = 0. Na} hipótese alternativa, nós colocamos a conjuntura que nós gostaríamos de estabelecer,

H

₁: _{2 > 0.}

• É importante estabelecer as hipóteses nula e

5.3 O Previsor de Mínimos Quadrados

Nós queremos prever o valor da variável dependente

y

₀, dado um valor da variável explanatória

x

₀, o qual é dado por

(5.3.1)

onde

e

₀ é um erro aleatório. Esse erro aleatório tem média

E

(

e

₀)=0 e variância var(

e

₀)= . Nós também assumimos que cov(

e

₀,

e

_t)=0.

O previsor de mínimos quadrados de

y

₀ é

(5.3.2)

0 1 2 0 0

y     x  e

2 

0 1 2 0 ˆ

o

erro de previsão

é

(5.3.3)

O valor esperado de

f

é:

(5.3.4)

Pode ser demonstrado que

(5.3.5)

0 0 1 2 0 1 2 0 0

1 1 2 2 0 0

ˆ ( )

( ) ( )

f y y b b x x e

b b x e

        

      

0 0 1 1 2 2 0 0

ˆ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 0 0 0

E f  E y  y  E b    E b   x  E e

   

2

2 0

0 0 2

1 ( )

ˆ

var( ) var( ) 1

( _t ) x x

f y y

T x x

 _ 

    _   _



 

A variância do erro de previsão é estimada pela substituição de pelo seu estimador ,

(5.3.6)

A raiz quadrada da variância estimada é o

erro padrão da

previsão

,

(5.3.7)

Conseqüentemente, nós podemos construir uma variável aleatória normal padronizada como

(5.3.8)

2

 _ˆ2

2

2 0

2

1 ( )

ˆ ˆ

var( ) 1

( _t ) x x f

T x x

 _ 

  _   _



 







 

varˆ

 

ep f  f

~ (0,1) var( )

f

Então,

(5.3.9)

Se

t

_c é um valor crítico da distribuição , tal que

P

(

t



t

_c) = /2, então

(5.3.10)

Então,

Simplificando essa expressão, obtemos

(5.3.11)

( 2) ~

ep( ) ˆ

var( ) T

f f

t f

f  

(T 2)

t _

( _{c c}) 1

P t  t t   

0 0 ˆ

[ ] 1

ep( )

c c

y y

P t t

f



     

0 0 0

ˆ ˆ

[ _cep( ) _cep( )] 1

Um intervalo de (1-₎_{100% de confiança, ou intervalo de} previsão, para

y

₀ é

• Equação 5.3.5 implica que, quanto mais afastado for

x

₀ da

média amostral , maior será a variância do erro de previsão

• Como a variância de previsão aumenta quanto maior é a

distância de

x

₀ da média amostral , os limites de confiança aumentam à medida que cresce.

0

ˆ _cep( )

y  t f

x

x

0

5.3.1 Previsão no Modelo da Despesa com Alimentação

A despesa semanal prevista com alimentação para um domicílio com renda semanal de

x

₀ = $750 é

A variância estimada do erro de previsão é

O erro padrão de previsão é então 0 1 2 0

ˆ 40,7676 0,1283(750) 136,98

y  b b x   

2 2

2 0

2

( )

1 1 (750 698)

ˆ ˆ

var( ) 1 1429,2456 1 1467,4986

( _t ) 40 1532463

x x f

T x x

 _  _{  }

  _   _  _   _  

   







ˆ

O intervalo de 95% de confiança para

y

₀ é

• Nosso intervalo de previsão sugere que um domicílio

com renda semanal de $750 gastará alguma coisa entre $59,44 e $214,52 com alimentação.

• Um intervalo muito amplo significa que nosso ponto de

previsão, $136,98, não é confiável.

• Nós podemos melhorá-lo, mensurando o efeito de que

outros fatores, além da renda, pode ter. 0

ˆ ep( ) 136,98 2,024(38,3079)

[59,44 a 214,52] c