TRIGONOMETRIA ESFÉRICA
Dra. Daniele Barroca Marra Alves
Dr. José Milton Arana
Departamento de Cartografia Faculdade de Ciências e Tecnologia Unesp – Campus de Presidente Prudente
SUMÁRIO
1. TRIGONOMETRIA ESFÉRICA ... 3
1.1. Conceitos básicos ... 3
1.2. Unidades de medidas de arcos e ângulos ... 3
1.3. Transformação de unidades ... 5
1.4. Linhas e funções trigonométricas ... 5
1.5. Algumas Relações entre funções circulares ... 8
1.6. Arcos e extremidades associadas ... 9
1.8. Série de Taylor ... 10
1.9. Exercícios relativos aos conceitos básicos ... 11
2. CONCEITOS FUNDAMENTAIS ... 16
2.1. Definições ... 16
2.2. Exercícios relativos à esfera. ... 19
3. TRIÂNGULO ESFÉRICO ... 20
3.1. Polígono esférico ... 20
3.2.Triângulo esférico ... 20
3.3. Igualdade dos triângulos esféricos ... 22
3.4. Propriedades dos triângulos esféricos ... 22
3.5. Triângulos polares ... 23
3.6. Excesso esférico ... 24
3.7. Exercícios relativos aos triângulos esféricos ... 25
4. FÓRMULAS FUNDAMENTAIS DA TRIGONOMETRIA ESFÉRICA... 26
4.1. Fórmula dos Quatro Elementos (lado) ... 26
4.2. Fórmula dos Quatro Elementos (ângulo) ... 28
4.3. Lei dos Senos da Trigonometria Esférica ... 29
4.4. Fórmulas dos 5 elementos ... 29
4.5. Fórmulas das Co-tangentes ... 29
4.6. Fórmulas da Borda ... 30
4.7. Analogias de Delambre e as de Nepper ... 31
4.8. Resolução dos triângulos esféricos retângulos ... 32
4.9. Exercícios – resolução de triângulos esféricos retângulos ... 33
4.10. Resolução de Triângulos Esféricos Retiláteros ... 33
4.11. Exercícios – resolução de triângulos esféricos retiláteros ... 34
5. COORDENADAS DE UM PONTO SOBRE A SUPERFÍCIE DA TERRA E SOBRE MODELOS GEOMÉTRICOS ... 35
5.1. Coordenadas geográficas ... 35
5.2. Superfícies de referências ... 36
6. RELAÇÃO DE EXERCÍCIOS A SEREM RESOLVIDOS ... 37
6.1. Relação de exercícios a serem resolvidos ... 37
6.2. Relação de cidades e suas coordenadas geográficas ... 38
6.3 – Relação de triângulos esféricos resolvidos ... 39
OBS: O objetivo destas notas de aula é apenas para facilitar as atividades desenvolvidas em sala de aula, proporcionando aos alunos do Curso de Engenharia Cartográfica um material para estudos de fácil acesso. Lembra-se aos leitores que não se pretende abordar todo o conteúdo de Trigonometria Esférica, apenas aborda-lo de maneira simples e de fácil entendimento para ao aluno, proporcionando uma ferramenta ao desenvolvimento do Curso.
NOTAS DE AULA
A Trigonometria Esférica é imprescindível ao estudo de Astronomia de Posição, Cartografia, Geodésia Elementar, etc. Assim, fundamentalmente, seu conteúdo será abordado de maneira a resolver o triângulo esférico, resolvendo problemas relativos a Posicionamento. Numa primeira aproximação, em nosso estudo, a Terra será reduzida ao modelo esférico.
1. TRIGONOMETRIA ESFÉRICA
1.1. Conceitos básicos
A Trigonometria é um ramo da Matemática que tem por objetivo o estudo das funções trigonométricas e a consequente resolução dos triângulos. Didaticamente, a Trigonometria é “dividida” em: Trigonometria Plana e em Trigonometria Esférica (esta é alvo de nossos estudos):
Trigonometria Plana: estuda os triângulos situados em uma superfície plana (esfera de raio infinito), estes triângulos são denominados de triângulos planos;
Trigonometria Esférica: estuda a resolução dos triângulos situados em uma superfície esférica, estes são denominados de triângulos esféricos;
Circunferência Orientada: é a circunferência na qual se fixou, convencionalmente, como sentido de percurso o sentido anti-horário (denominado de sentido positivo);
Círculo trigonométrico: é a região contendo a circunferência orientada de raio 1 e todos seus pontos interiores;
Arco trigonométrico: é um segmento do círculo trigonométrico.
1.2. Unidades de medidas de arcos e ângulos
As unidades de medidas de arcos e ângulos são dadas por:
Grau (o): é o arco que mede 1/360 da circunferência. As subunidades do grau são:
Minuto de arco (‘): corresponde a 1/60 do grau;
Segundo de arco (“): corresponde a 1/60 do minuto, os segundos são subdivididos em decimais.
Exemplificando: 22o 07’ 18,34” (vinte e dois graus, sete minutos, dezoito
segundos e trinta e quatro centésimos de segundo.
Grado (gr): é o arco que mede 1/400 da circunferência, seus submúltiplos são decimais.
Exemplo: 24,580 gr (24 grados, cinquenta e oito centigrados);
Hora (h): é o arco correspondente à 1/24 da circunferência. As subunidades da hora são:
Minuto de arco de hora (min) - corresponde à 1/60 da hora;
Segundo de arco de hora (s) - 1/60 do minuto de arco de hora. Estes são sub-divididos em sub-múltiplos decimais.
Ex. 2,566 h (duas horas, quinhentos e sessenta e seis milésimos).
Radiano (rad): é o arco cujo comprimento é igual ao raio da circunferência. O radiano subdivide-se em submúltiplos decimais.
Ex.: 0,386 rad (trezentos, oitenta e seis mili-radianos);
Ex: Seja uma circunferência de raio 6 que contém um arco de 8 cm. Qual a medida desse arco em radianos?
Exercício: Desenhe a representação de Grau, Grado, Hora e Radiano na Circunferência.
1.3. Transformação de unidades
Para calcular o valor correspondente em outra unidade angular, basta fazer as relações, que seguem:
180o = 200 gr = 12 h = rad onde,
= 3,14159265358979 rad
Tem-se que 1” é igual a 0,0000048481 rad, ainda:
sen 1” = 0,0000048481
Estes valores são utilizados para transformação angulares de segundo de arco para radiano, bastando fazer sen 1”, ou melhor, arredondando, a divisão por 206000. E para transformar pequenas quantidades (valores absolutos) de radiano para segundo de arco, simplesmente multiplica-se por 206000.
1.4. Linhas e funções trigonométricas
Seno – o valor do seno (sen) de um arco mede a projeção do raio no eixo vertical, sendo positivos os arcos pertencentes ao primeiro e segundos quadrantes e negativos os pertencentes ao terceiro e quarto quadrantes (Figura 1). Seus valores extremos são +1 e -1. Figura 1 – Seno MOSTRE!! B 2o Q 1o Q C A 3o Q 4o Q D O
Cosseno - o valor cosseno (cos) de um arco mede a projeção do raio no eixo horizontal, sendo positivos os arcos pertencentes ao primeiro e quarto quadrantes e negativos os pertencentes ao segundo e terceiro quadrantes (Figura 2). Seus valores extremos são +1 e -1.
Figura 2 – Co-seno
Tangente - o valor tangente (tg) de um arco mede a projeção do raio no eixo AT, sendo positivos os arcos pertencentes ao primeiro e terceiro quadrantes e negativos os pertencentes ao segundo e quarto quadrantes. Seus valores extremos são + e -. A Figura 3 representa o segmento de reta que liga A ao ponto T.
Figura 3 - Tangente B 2o Q 1o Q C A 3o Q 4o Q O D 2o Q 1o Q 3o Q 4o Q D A C B T O
Cotangente - o valor cotangente (cotg) de um arco mede a projeção do raio no eixo BT, sendo positivos aos arcos pertencentes ao primeiro e terceiro quadrantes e negativos aos pertencentes ao segundo e quarto quadrantes. Seus valores extremos são + e -. A Figura 4 representa o segmento de reta que liga B ao ponto T.
Figura 4 – Co-tangente
Secante - o valor secante (sec) de um arco mede o segmento de reta de O à U sendo positivos aos arcos pertencentes ao primeiro e quarto quadrantes e negativos aos pertencentes ao segundo e terceiro quadrantes. Seus valores extremos são + e - e não está definido para (-1,1). Na figura 1.5, representa o segmento de reta que liga o centro O à U.
Figura 5 – Secante B 2o Q 1o Q 3o Q 4o Q D A C T O 2o Q 1o Q O 3o Q 4o Q A B C D M U
Cossecante - o valor cossecante (cossec) de um arco mede o segmento de reta de
O à S, sendo positivos os arcos pertencentes ao primeiro e segundo quadrantes e
negativos os pertencentes ao terceiro e quarto quadrantes. Seus valores extremos são + e - e não está definido para (-1,1). A Figura 6 representa o segmento de reta que liga o centro O à S.
S Figura 6 – Cossecante
1.5. Algumas Relações entre funções circulares
1 cos2 2 a a sen a a sen a tg cos a sen a a g cos cot a a cos 1 sec a sen a 1 sec cos x x tg arc x arc 2 1 cos 2 1 x x tg arc x sen arc 2o Q 1o Q O 3o Q 4o Q A B C D M
1.6. Arcos e extremidades associadas
Dois arcos de mesma origem têm extremidades associada quando estas extremidades são simétricas em relação ao centro, ou a um dos eixos:
complemento b = 90o – a
suplemento b = 180o – a
explemento b = 180o + a
replemento b = 360o – a
Para os arcos respectivos, tem-se as seguintes igualdades trigonométricas:
complemento suplemento explemento replemento
sen (90o - a) = cos a sen (180o - a) = sen a sen (180o + a) = - sen a sen (360o - a) = - sen a cos (90o - a) = sen a cos (180o - a) = - cos a cos (180o + a) = - cos a cos (360o - a) = cos a tg (90o - a) = cotg a tg (180o - a) = - tg a tg (180o + a) = tg a tg (360o - a) = - tg a cotg (90o - a) = tg a cotg (180o - a) = -cotg a cotg (180o + a) = cotg a cotg (360o - a) = - cotg a sec (90o - a) = cossec a sec (180o - a) = - sec a sec (180o + a) = - sec a sec (360o - a) = sec a cossec (90o - a) = sec a cossec(180o-a) = cossec a cossec(180o+a)=-cossec a cossec(360o-a) =-cossec a
Ex: Desenhe o complemento, suplemento, explemento e replemento para algumas funções trigonométricas.
1.7. Funções circulares inversas
As funções inversas têm por objetivo determinar os arcos quando se conhece o valor da função. Por possuírem uma infinidade de arcos que proporcionam o mesmo valor, significa dizer que o problema inverso é indeterminado, ou seja, admite uma infinidade de arcos que tem o mesmo valor (mesmo seno, mesmo cosseno, mesma tangente, etc).
Ex: cos a = x
Existirá um único valor de x para o valor de a dado. No entanto, quando se conhece o valor de x, a equação proporciona infinitas soluções. Nos problemas da Engenharia quase sempre nos interessa as soluções correspondentes às menores determinações.
As funções inversas são representadas por: arc sen x, arc cos x, arc tg x, etc.
Ex: sen a = 0,5
A solução será um arco do primeiro ou segundo quadrantes (existirá infinitas soluções poderá ser 30o, 150 o, 390o, 510 o, etc (30o + n*360; e 150 o + n*360).
1.8. Série de Taylor
As funções trigonométricas podem ser calculadas pelas Séries de Taylor, que segue: . . . 7 5 3 ... 112 5 40 3 6 ... 720 61 24 5 2 1 sec ... 315 17 15 2 3 .... ! 6 ! 4 ! 2 1 cos . . . ! 7 ! 5 ! 3 7 5 3 7 5 3 6 4 2 7 5 3 6 4 2 7 5 3 x x x x x tg arc x x x x x sen arc x x x x x x x x x tg x x x x x x x x x sen
1.9. Exercícios relativos aos conceitos básicos
1 - Transformar os ângulos em graus decimais:a) 27o 19’ 53,78”
Solução:
27o 19’ 53,78” = 27o +19’ + 53,78” (#)
Sabemos que 1o contém 60’, portanto 19’ = 19 / 60o = 0,31666667o; e 1o contém 3600”, então 53,78” = 53,78 / 3600o = 0,0149388889o
Levando estes valores em (#), tem-se:
27o 19’ 53,78” = 27o + 0,31666667o + 0,0149388889o 27o 19’ 53,78” = 27,331605556o
b) 243’ = c) 12500” = d) 20,346565” =
2 – Dados os ângulos, transforma-los em radianos:
a) 27o 19’ 53,78” =
b) 243’ = c) 12500” = d) 20,346565” =
3 – Transformar em graus sexagesimais: a) 27,331605556o Solução: 27,331605556o = 27o + 0,331605556o () 0,331605556o = 0,331605556 x 60’ = 19,896 333 336’ 19,896333336’ = 19’ + 0,896333336’ 0,896333336’ = 0,896333336 x 60” = 53,78”
Então, “retornando” à (), tem-se que 27,331605556o = 27o 19’ 53,78” b) 2,4678 rad
c) 378,3421 gr
d) 17h 43min 57,92s
e) 0,25537 rad
4 – Transformar os dados, conforme indicados:
a) 312,267592” = ____o ___’ ____,___” b) 10o 42’ 42” = ___,________o c) 115o 29’ 06,35” = ___h ___min ___,___s d) 1,267265 rad = ____,__________o e) 200,5634 gr = ___o____’___,___” f) 312,267692’ = ___o____’___,___” g) 312,267692” = ___h ___min ___,__s
h) 0,76578 rad = _______,____” i) 0,76578 rad = ___o____’___,___” j) 0o 05’’ 12,267692” = __________,_________” k) 8h 12min 51,64s = ___o ____’____,___” i) 4h 42min 54,218s = ___,__________rad j) 12h 20min 44,52s = ____,________h
5 – Extrair o valor das funções abaixo:
a) sen 20o 56’ 12,3” = __,________________ b) sen -50o 16’ 42,7” = ___,________________ c) cos 5,34578 rad = ___,_________________ d) tg 307o 22’ 01,2” = ___,____________ e) sec 67o 31’ 58” = ___,_________ f) cotg 2345” = ___,_____________ g) cossec 22,35gr = ____,________
6 – Calcular os arcos correspondentes a:
a) sen x = 0,987 656 6 x = ___o___’___,__” ou x = ___o___’___,__”
b) cos x = 0,637 627 8 x = ___o___’___,__” ou x = ___o___’___,__”
c) tg x = 2,366 347 3 x = ___o___’___,__” ou x = ___o___’___,__” d) cotg x = 10,276 365 1 x = ___o___’___,__” ou x = ___o___’___,__” e) sec x = 10,987 656 6 x = ___o___’___,__” ou x = ___o___’___,__” f) cossec x = 10,987 656 6 x = ___o___’___,__” ou x = ___o___’___,__” h) sen (90o – a) = 0,876 867 a = ___o___’___,__” ou a = ___o___’___,__” i) tg (90o – a) = 2,347 390 3 a = ___o___’___,__” ou a = ___o___’___,__” j) cos b = -0,505 509 8 b =___h____min___,___s ou b =___h____min___,___s k) cos (180o – a) = -0,343 445 a =___h____min___,___s b =___h____min___,___s
l) sen (180o – a) = 0,987 867 a = __,__________rd
a = __,__________rd
7 – Utilizando-se das Séries de Taylor, calcular o valor das funções trigonométricas: a) sen 32o 46’ 17,32”
b) cos 67o 15’ 47,43”
c) tg 54o 49’ 54,12”
d) arc sen 0,5412897
2. CONCEITOS FUNDAMENTAIS
2.1. Definições
Superfície esférica: é o lugar geométrico dos pontos do espaço que eqüidistam de
um ponto interior chamado centro.
Figura 7 - Circunferência
Círculo máximo e círculo menor: A interseção de um plano com a esfera forma
um círculo. Há duas situações:
círculo máximo - se este plano contiver o centro da esfera (Figura 8);
círculo menor - se o plano que “corta” a esfera não contém o centro da esfera (Figura 9).
Circunferência máxima: é a figura geométrica formada pela interseção da
superfície esférica com um plano que contém o centro da superfície esférica. A Figura 8.
Figura 8 – Circunferência máxima R
A B
Circunferência menor: é a figura geométrica formada pela interseção da
superfície esférica com um plano que não contém o centro da superfície esférica. A Figura 9.
Figura 9 – Circunferência menor
Distância esférica: é o menor arco de circunferência máxima que liga dois pontos
na superfície esférica, a Figura 8 ilustra a distância esférica entre os pontos A e B. Se existirem dois pontos não diametralmente opostos de uma superfície esférica, por ele sempre passa um único arco de círculo máximo. Assim, a distância esférica entre estes dois pontos é o arco de menor comprimento do círculo máximo que passa por eles.
d
R
(rad) Pólo e polar: Pólo de um círculo da esfera são os extremos de um diâmetro
perpendicular ao plano do círculo considerado. No caso da consideração de um círculo máximo, este é denominado de polar. Portanto polar é o lugar geométrico dos pontos da superfície esférica que eqüidistam 90o dos pólos.
Área de uma superfície esférica: A área de uma superfície esférica é expressa
em função do Raio (R) da superfície esférica.
S
4
R
2 seu volume será 33 4
R V C
Área de uma calota esférica: Calota esférica é cada uma das partes em que a
superfície esférica fica dividida por um plano secante à ela. Figura 10.
h
R
S
c
2
Figura 10 – Calota esférica
Área de uma zona esférica: Zona esférica é a porção da superfície compreendida
entre dois paralelos quaisquer. A área de uma zona esférica é expressa em função do raio da superfície esférica e a distância (k) entre os paralelos. Figura 11.
S
z
2
R
k
Figura 11 – Zona esférica
Meridiano: é uma circunferência máxima que contém os pólos de uma superfície
esférica.
Área de um fuso esférico: Fuso esférico é a porção da superfície esférica
compreendida entre dois semi-meridiano de um mesmo diâmetro. A amplitude de um fuso (ao) é o ângulo diedro formado pelos semi-meridianos que compõem o fuso. 90 2 a R Sf
k h R2.2. Exercícios relativos à esfera.
Supondo-se que a forma da Terra seja esférica com raio de 6 378 km. Calcular:
2.1- Sua área.
2.2- Seu volume.
2.3- Supondo que sua densidade média seja 2,67 g/cm3, determine sua massa.
2.4- A área de um fuso de 2o de amplitude.
2.5- O comprimento do equador.
2.6- O comprimento do paralelo distante 30o do equador.
2.7- A área da calota esférica, cuja distância polar é de 23o 27’.
2.8- A área de um fuso de 15o de amplitude.
2.9- A área da zona esférica limitada pelo equador e o trópico de capricórnio (latitude 23o 27’S).
3. TRIÂNGULO ESFÉRICO
3.1. Polígono esférico
Denomina-se polígono esférico a porção da superfície esférica limitada exclusivamente por arcos de circunferência máxima. Figura 12.
Figura 12 – Polígono esférico
3.2.Triângulo esférico
Triângulo esférico (euleriano) é a porção da superfície esférica limitada por três arcos de circunferência máxima, menores que 180º. Também pode ser definido como um polígono esférico formado por três lados menores que 180º. A todo triângulo corresponde um triedro com vértice no centro da esfera a qual pertence o triângulo. Resolver um triângulo esférico é determinar três de seus elementos quando são conhecidos os outros três elementos, onde os elementos de um triângulo esférico são:
três ângulos – são os ângulos esféricos formados nos vértices do triângulo, representados normalmente por A, B, C;
três lados – são os arcos de circunferências máximas que unem os três vértices, dois a dois, normalmente são representados por a, b, c.
Figura 13 – Ângulos e lados O a b d c B a c A C b
Figura 14 – Esfera e triângulo esférico
Figura 15 – Triângulo esférico
Medida dos lados de um triângulo esférico – os lados de um triângulo esférico são medidos através dos arcos de círculo que ele possui. Esses arcos podem ser visualizados através do triedro que se obtém quando se ligam os vértices do triângulo ao centro da esfera. Os lados do triângulo esférico são medidos pelos ângulos planos das faces, assim, o ângulo AÔC mede o lado b.
Medida dos ângulos de um triângulo esférico – os ângulos de um triângulo esférico são medidos através das medidas dos respectivos diedros do triedro que ele determina quando se ligam seus vértices ao centro da esfera. O ângulo CÂB mede o vértice A. O A a b c C B A B C a a b b c c O
3.3. Igualdade dos triângulos esféricos
Dois triângulos, pertencentes à mesma esfera, ou esfera de mesmo raio são iguais quando:
Possuem um ângulo igual, compreendido entre dois lados, respectivamente iguais;
=
Possuem três lados respectivamente iguais;
=
Tem um lado igual, adjacentes a dois ângulos iguais.
=
3.4. Propriedades dos triângulos esféricos
A soma dos ângulos de um triângulo esférico está compreendido entre 180o e 540º; 180o< A + B + C < 540o
A soma dos lados de um triângulo esférico é sempre menor que 360º; a + b + c < 360º
Um lado sempre é menor que a soma dos outros dois lados e maior que a diferença dos mesmos;
a < b + c
a > b – c (considerando que b é maior que c)
O lado maior se opõe ao ângulo maior e vice-versa; B a c B a c b a c b a c B a C B a C
A lados iguais se opões ângulos iguais;
A soma de 180o a um ângulo do triângulo esférico é maior que a soma dos outros dois ângulos;
A + 180o > B + C
Todo triângulo esférico tri-retângulo é tri-retilátero e vice-versa;
A = B = C = 90o , implica dizer que a = b = c = 90o e vice-versa
3.5. Triângulos polares
Polar – Polar é o lugar geométrico dos pontos da superfície esférica que distam 90o
dos polos. Assim, todas as circunferências máximas perpendiculares a polar contém os polos.
Dois triângulos esféricos são polares quando os vértices do primeiro são os pólos dos lados homônimos do outro, e reciprocamente.
A relação existente entre os triângulos polares diz: “os lados de um triângulo esférico polar são suplementos dos ângulos do triângulo dado, e seus ângulos são os suplementos dos lados do triângulo dado”.
Figura 15 - Triângulos polares A’ A b’ b c’ c C B C’ a B’ a’
Propriedades dos triângulos polares (decorrentes da relação mencionada). A + a’ = 180o B + b’ = 180o C + c’ = 180o a + A’ = 180o b + B’ = 180o c + C’ = 180o
3.6. Excesso esférico
Conforme já mencionamos, a soma dos ângulos de um triângulo esférico euleriano é sempre maior que 180o, e o que excede de 180o é denominado de excesso esférico.
= A + B + C – 180o (este excesso é proporcional à área do triangulo esférico)O excesso esférico também pode ser calculado com uso da Fórmula de L’Huillier: 2 2 2 2 4 2 s c tg b s tg a s tg s tg tg , onde 2 c b a s
A área do triângulo esférico, determinada a partir de seu excesso esférico é:
rad R S 2
, ou ainda: o o R S 180 2 S = R2 sen 1”
”3.7. Exercícios relativos aos triângulos esféricos
3.1 Determinar a área do triângulo esférico pertencente a uma esfera de raio 6 378 km, onde:
A = 144o 15’ 43” B = 97o 27’ 21” C = 68o 21’ 43”
3.2 Determinar a área do triângulo polar ao do exercício 3.1
3.3 Determinar o excesso esférico e a área do de um triângulo esférico (pertencente a uma esfera de raio 6 378 km) de lados:
a = 25 994,372 m b = 35 637,943 m c = 28 998,321 m.
3.4 Determinar o excesso esférico e a área do triângulo (pertencente a uma esfera de raio 6 378 km):
a = 33o 21’ 37” b = 83o 17’ 54” c = 110o 48’ 29”
4. FÓRMULAS FUNDAMENTAIS DA TRIGONOMETRIA ESFÉRICA
A Trigonometria Esférica, em nossos estudos, tem por objetivo principal a resolução dos triângulos esféricos, onde serão utilizadas as leis que relacionam os elementos destes triângulos. Iremos deduzir apenas um grupo de fórmulas, as conhecidas como Fórmula dos Quatro Elementos, conforme segue.
4.1. Fórmula dos Quatro Elementos (lado)
A fórmula dos quatro elementos, aplicada a lados, também é denominada de “Lei dos cossenos da Trigonometria Esférica”. Esta fórmula relaciona três lados e um ângulo do triângulo esférico.
Considere o triângulo esférico, Figura 16, de ângulos A, B, C, pertencente a uma esfera de raio unitário (R = 1), cujos vértices estão ligados ao centro da esfera O. Considere que pelo vértice A traça-se AN tangente ao arco de circunferência máxima AB. Da mesma forma, pelo vértice A traça-se AM tangente ao arco AC.
Como a tangente é ortogonal ao raio no ponto considerado da superfície esférica, tem-se (Figura 16):
OÂM = OÂN = 90o
Figura 16 – Lei dos cossenos
Tomando os triângulos planos AMN e OMN, e lembrando MÂN = A e MÔN = a,
tem-se: MN2 = NA2 + MA2 – 2 NA MA cosA MN2 = MO2 + NO2 – 2 NO MO cosa . M c C A B a a c b b O . N
Portanto, igualando as duas equações:
MO2 + NO2 – 2 NO MO cosa = NA2 + MA2 – 2 NA MA cosA
MO2 - MA2 + NO2 - NA2 – 2 NO MO cosa + 2 NA MA cosA = 0 (1)
Ainda na Figura 16, tem-se:
MO2 = OA2 + MA2 OA2 = MO2 – MA2 NO2 = OA2 + NA2 OA2 = NO2 – NA2 Portanto, substituindo em (1): OA2 + OA2 + 2 NA MA cosA = 2 NO MO cosa ou 2 OA2 + 2 NA MA cosA = 2 NO MO cosa OA2 + NA MA cosA = NO MO cosa (2) Ainda da Figura 16, c sen ON AN ON AN senc b sen OM AM OM AM b sen c ON OA ON OA c b OM OA OM OA b
cos cos cos (4)
cos
Portanto, substituindo as equações (4) em (2):
(OM2 cos2b) + (ON sen c) (OM sen b) cos A = NO MO cos a Logo: A b sen c sen b ON OM a cos cos cos 2 (3)
Mas sabe-se por (4 – terceira equação) que: b OA c OM b c OA OM b ON OM c OA
ON 2 cos2 cos cos2
cos cos
cos
Por (4 – primeira equação) sabe-se que:
b OM b c OM b OA c OM b OM OA cos cos cos cos cos cos 2 2 b c b ON OM cos cos cos2 , substituindo em (3), tem-se:
cos a = cos b cos c + sen b sen c cosA, e por analogia, cos b = cos a cos c + sen a sen c cos B
cos c = cos a cos b + sen a sen b cos C
Estas são as da Lei dos Co-senos da Trigonometria Esférica, cujo enunciado: “O cosseno de um lado é igual ao produto do co-seno dos outros dois lados mais o produto dos senos dos mesmos lados pelo cosseno do ângulo por eles formado”.
Exercício:
Resolver o triângulo esférico: a = 52o 05’ 50” b = 66o 06’ 10” c = 68o 13’ 00”
4.2. Fórmula dos Quatro Elementos (ângulo)
Utilizando as propriedades dos triângulos esféricos polares, chega-se às fórmulas dos quatro elementos aplicadas a ângulos. Este grupo de fórmulas relacionam três ângulos e um lado.
cos A = - cos B cos C + sen B sen C cos a cos B = - cos A cos C + sen A sen C cos b cos C = - cos A cos B + sen A sen B cos c
Exercício:
4.3. Lei dos Senos da Trigonometria Esférica
Este grupo de fórmulas, também conhecido como Analogia dos Senos
relaciona dois lados e dois ângulos opostos.
C sen c sen B sen b sen A sen a sen
Cujo enunciado é: “Em todo triângulo esférico os senos dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos”.
4.4. Fórmulas dos 5 elementos
Este grupo de fórmulas relaciona três lados e dois ângulos.
sen b cos A = cos a sen c - sen a cos c cos B sen c cos B = cos b sen a - sen b cos a cos C sen a cos C = cos c sen b - sen c cos b cos A sen b cos C = cos c sen a - sen c cos a cos B sen c cos A = cos a sen b - sen a cos b cos C sen a cos B = cos b sen c - sen b cos c cos A
4.5. Fórmulas das Co-tangentes
Este grupo de fórmulas apresenta a relação entre dois lados e dois ângulos.
cotg A sen B = cotg a sen c - cos c cos B cotg B sen C = cotg b sen a - cos a cos C cotg C sen A = cotg c sen b - cos b cos A cotg A sen C = cotg a sen b - cos b cos C cotg B sen A = cotg b sen c - cos c cos A cotg C sen B = cotg c sen a - cos a cos B
4.6. Fórmulas da Borda
Este grupo de fórmulas também é conhecido como Fórmulas dos Marinheiros.
b sen a sen c s sen s sen C b sen a sen b s sen a s sen C sen c sen a sen b s sen s sen B c sen a sen c s sen a s sen B sen c sen b sen a s sen s sen A c sen b sen b s sen c s sen A sen ) ( 2 2 cos ) ( ) ( 2 2 ) ( 2 2 cos ) ( ) ( 2 2 ) ( 2 2 cos ) ( ) ( 2 2
Por divisão conveniente das fórmulas da Borda, chega-se às chamadas Fórmulas dos Marinheiros.
C B A S c b a s com B S A S C S S c tg c s sen s sen b s sen a s sen C tg C S A S B S S b tg b s sen s sen c s sen a s sen B tg C S B S A S S a tg a s sen s sen c s sen b s sen A tg 2 2 ) cos( ) cos( ) cos( cos 2 ) ( ) ( ) ( 2 ) cos( ) cos( ) cos( cos 2 ) ( ) ( ) ( 2 ) cos( ) cos( ) cos( cos 2 ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 2 2 2
4.7. Analogias de Delambre e as de Nepper
As Analogias de Delambre, também conhecidas como Equações de Gauss, são muito utilizadas como formulas de verificação, envolvem os seis elementos do triângulo e conduzem a uma identidade quando os elementos obtidos pelo cálculo são corretos.
Quadro 1 – Analogias de Delambre e as de Neper Analogia de DELAMBRE
(verificação)
Analogia de NEPER dois lados e três ângulos
Analogia de NEPER Três lados e dois angulos
2 ) c b ( sen 2 A sen 2 a sen 2 ) C B ( cos 2 ) c b ( cos 2 A sen 2 a cos 2 ) C B ( cos 2 ) c b ( sen 2 A cos 2 a sen 2 ) C B ( sen 2 ) c b ( cos 2 A cos 2 a cos 2 ) C B ( sen 2 ) c a ( sen 2 B sen 2 b sen 2 ) C A ( cos 2 ) c a ( cos 2 B sen 2 b cos 2 ) C A ( cos 2 ) c a ( sen 2 B cos 2 b sen 2 ) C A ( sen 2 ) c a ( cos 2 B cos 2 b cos 2 ) C A ( sen 2 ) b a ( sen 2 C sen 2 c sen 2 ) B A ( cos 2 ) b a ( cos 2 C sen 2 c cos 2 ) B A ( cos 2 ) b a ( sen 2 C cos 2 c sen 2 ) B A ( sen 2 ) b a ( cos 2 C cos 2 c cos 2 ) B A ( sen 2 ) c b ( sen 2 ) c b ( sen 2 A g cot 2 ) C B ( tg 2 ) c b ( cos 2 ) c b ( cos 2 A g cot 2 ) C B ( tg 2 ) c a ( sen 2 ) c a ( sen 2 B g cot 2 ) C A ( tg 2 ) c a ( cos 2 ) c a ( cos 2 B g cot 2 ) C A ( tg 2 ) b a ( sen 2 ) b a ( sen 2 C g cot 2 ) B A ( tg 2 ) b a ( cos 2 ) b a ( cos 2 C g cot 2 ) B A ( tg 2 ) C B ( sen 2 ) C B ( sen 2 a tg 2 ) c b ( tg 2 ) C B ( cos 2 ) C B ( cos 2 a tg 2 ) c b ( tg 2 ) C A ( sen 2 ) C A ( sen 2 b tg 2 ) c a ( tg 2 ) C A ( cos 2 ) C A ( cos 2 b tg 2 ) c a ( tg 2 ) B A ( sen 2 ) B A ( sen 2 c tg 2 ) b a ( tg 2 ) B A ( cos 2 ) B A ( cos 2 c tg 2 ) b a ( tg
4.8. Resolução dos triângulos esféricos retângulos
Um triângulo esférico é retângulo, se possuir pelo menos um ângulo reto. Para a resolução destes triângulos, existe uma regra denominada Regra de Maudiut. O enunciado é: “O cosseno do elemento médio é igual ao produto das co-tangentes dos elementos conjunto ou produto dos senos dos elementos separados”
cos___ = cotg___ cotg___ = sen___ sen___
Exemplos: cos a = cos a =
Figura 17 – Triângulo Esférico Retângulo
Na aplicação desta regra, há que se considerar:
Admitindo a como elemento médio (poderia ser escolhido qualquer elemento do triângulo, exceto o ângulo reto), seus elementos conjuntos serão os lados B e C, seus elementos separados serão b e c;
O Elemento reto é considerado inexiste na aplicação da regra. Se admitirmos b como elemento médio, seus conjuntos serão C e c;
Não se “tomam” os catetos, e sim seus complementos: Se A for o ângulo reto, utilizaremos (90o – c) e não c; (90o – b) e não b.
a
B C
A
4.9. Exercícios – resolução de triângulos esféricos retângulos
Resolver os triângulos esféricos, retângulos em A:
4.1 – a = 75o 28’ 52” b = 67o 56’ 28” 4.3 - a = 65o 00’ 32” B = 28o 45’ 53” 4.2 - a = 75o 19’ 19” c = 35o 59’ 59” 4.4 - B = 47o 50’ 18” C = 67o 46’ 35”
4.10. Resolução de Triângulos Esféricos Retiláteros
O triângulo esférico retilátero é o triângulo esférico que possui pelo menos um lado reto (lado igual a 90o).
Figura 18 – Triângulo Esférico Retilátero
A resolução do triângulo esférico retilátero, utilizando da Regra de Mauduit, procede-se da seguinte maneira:
Lembrando-se das propriedades dos triângulos polares, verifica-se que um triângulo polar ao triângulo retilátero será um triângulo retângulo;
Utilizando das propriedades dos triângulos polares, determina-se o triângulo polar ao triângulo dado;
Utiliza-se a Regra de Mauduit para resolver o triângulo polar (este determinado pelas propriedades polares);
Resolvido o triângulo polar (utilizando a regra de Mauduit), novamente com as propriedades dos triângulos polares calcula-se o triângulo dado.
a = 90º
B C
A
4.11. Exercícios – resolução de triângulos esféricos retiláteros
Resolver os triângulos esféricos, retiláteros:
4.5 a = 90o 00’ 00” b = 45o 28’ 52” c = 67o 56’ 28” 4.7 c = 90o 00’ 00” b = 83o 33’ 25” B = 27o 46’ 11” 4.6 c = 90o 00’ 00” a = 55o 55’ 55” B = 77o 56’ 00” 4.8 c = 90o 00’ 00” a = 115o 24’ 36” b = 60 18 24
5.
COORDENADAS DE UM PONTO SOBRE A SUPERFÍCIE DA
TERRA E SOBRE MODELOS GEOMÉTRICOS
5.1. Coordenadas geográficas
Latitude geográfica ou astronômica - é o ângulo formado pela vertical do ponto com sua projeção equatorial (em nossa disciplina será representada pela letra grega ), tem variação de 0o a 90o, sendo positiva no Hemisfério Norte e negativa no Hemisfério Sul. Assim, todos os pontos situados em território brasileiro terão latitude negativa;
Longitude geográfica - é o ângulo diedro formado pelo meridiano astronômico do ponto e o meridiano que passa pelo Observatório de Greenwich (origem). É simbolizada pela letra grega . A longitude varia de 0o a 180o por leste ou de 0o a 180o por oeste de Greenwich. Usualmente, representa-se a longitude com variação de 0o a 180º. No desenvolvimento de nossa disciplina, será utilizado o sinal positivo para longitude de pontos situados a leste de Greenwich e negativo para pontos situados a oeste. Assim, todos os pontos situados em território brasileiro terão longitude negativa;
Azimute astronômico - chama-se azimute astronômico de uma direção ao ângulo formado entre o meridiano do ponto e o alinhamento da direção, contado sobre o plano do horizonte, a partir do sul por oeste.
Figura 19 – Coordenadas geográficas Ps G S Equador Meridiano de S Meridiano origem Pn Paralelo de S
5.2. Superfícies de referências
Rotineiramente, o cartógrafo utiliza as superfícies:
Superfície física da Terra – É a superfície na qual são realizadas as operações geodésicas e astronômicas;
Superfície do modelo geométrico – Denominada de superfície de referência e sobre a qual são efetuados os cálculos geodésicos, na maioria das vezes é o elipsóide de revolução. No elipsóide é medida a altura geométrica h.
Geóide é uma superfície equipotencial do campo da gravidade, que se aproxima do nível médio dos mares. É medida no geóide a altitude ortométrica H (distância contada ao longo da vertical, desde o geóide até o ponto considerado).
Na Figura 20 são apresentadas esquematicamente as três superfícies mencionadas, além de N que representa a altura (ou ondulação) geoidal.
Figura 20 – Superfícies utilizadas em Geodésia
6. RELAÇÃO DE EXERCÍCIOS A SEREM RESOLVIDOS
6.1. Relação de exercícios a serem resolvidos
Exercício o ‘ “ o ‘ “ o ‘ “ 6.1 a = 52 05 50 b = 66 06 10 c = 68 13 00 6.2 A=110 30 20 B= 130 40 10 C =100 20 50 6.3 a = 88 42 30 b = 60 10 10 C = 70 48 40 6.4 A = 70 30 30 B = 100 30 30 c = 60 30 40 6.5 a = 54 20 01 b = 43 32 30 A = 90 6.6 b = 12 17 07 c = 09 45 01 A = 90 6.7 a = 64 40 17 B = 64 38 43 A = 90 6.8 a = 15 28 52 B = 67 56 28 A = 90 6.9 a = 115 24 36 b = 60 18 24 C = 90 6.10 a = 55 55 55 B = 77 56 00 c = 90 6.11 b = 33 31 25 B = 27 46 11 c = 90 6.12 a = 15 28 52 b = 67 56 28 A = 90 6.13 a = 35 59 59 c = 75 19 19 A = 90 6.14 a = 65 00 32 B = 97 16 35 A = 90 6.15 B = 105 12 58 C = 58 23 01 A = 90 6.16 b = 33 48 41 c = 76 42 20 A = 90 6.17 c = 05 13 59 C = 42 24 56 A = 90 6.18 a = 125 26 58 b = 58 02 01 A = 77 19 19 6.20 a = 15 28 52 b = 17 56 28 A = 58 25 53 6.21 a = 17 42 25 b = 50 16 48 C = 149 04 53,2 6.22 a = 35 21 06 b = 57 55 17 B = 118 31 23 6.23 a = 41 18 19 b = 25 25 25 c = 46 43 22 6.24 A = 102 28 52 B = 87 16 44 C = 55 12 58 6.25 b = 11 20 12 A = 58 17 56 C = 37 22 05
6.2. Relação de cidades e suas coordenadas geográficas
Dadas às coordenadas geográficas das cidades, pode-se calcular a distância esférica e o azimute astronômico entre elas.
Localidade Latitude () Longitude ()
Presidente Prudente 22o 07’ 18” S 51o 24’ 20” W Curitiba 25 26 52 S 49 13 50 W Foz do Iguaçu 25 32 45 S 54 35 08 W Rio Branco 09 58 22 S 67 48 40 W Greenwich 51 28 38 N 00 00 00 Calcutá 22 33 25 N 88 20 12 E Moscou 55 45 17 N 37 30 11 E Tóquio 35 39 19 N 139 44 29 E
6.3 – Relação de triângulos esféricos resolvidos
a b c A B C 15o 38’ 07” 16o 06’ 22” 20o 15’ 35” 50o 02’ 53” 52o 05’ 54” 80o 02’ 18” 16 06 22 40 32 32 52 05 54 15 38 07 39 09 35 129 57 07 21 27 36 50 02 53 56 52 23 25 26 17 64 09 41 100 30 16 40 09 20 56 52 53 79 29 44 36 10 38 50 02 53 115 50 19 41 32 39 44 44 18 57 10 06 52 05 54 56 52 23 88 42 27 38 57 12 55 01 00 56 15 42 47 37 51 74 16 19 77 43 18 17 42 25 50 16 48 .6 66 07 09 51 23 25 39 06 149 04 53 35 21 06 57 55 17 33 12 34 36 52 04 118 31 23 34 36 23 98 00 04 115 53 18 45 59 13 75 18 00 118 30 28 44 37 35 47 12 33 61 46 09 43 59 18 56 21 29 91 46 10 51 59 23 102 27 54 140 44 20 86 35 22 105 35 25 141 22 12 100 01 51 78 12 52 50 31 15 76 15 43 85 55 36 51 51 33 81 48 40 46 12 18’ 69 15 18 75 48 36 48 07 12 74 42 30 90 109 15 48 37 09 18 105 14 42 101 55 06 38 45 24 90 157 29 06 109 19 00 72 12 30 156 17 12 97 38 42 90 38 08 24 138 43 24 126 16 00 49 59 42 125 10 36 90 60 24 00 123 15 30 105 43 00 64 35 24 119 41 36 90 115 24 36 60 18 24 90 119 36 00 56 44 30 74 17 007. BIBLIOGRAFIA UTILIZADA
ARANA, J. M. Astronomia de Posição: Notas de aula. FCT/Unesp- Departamento de Cartografia. Presidente Prudente. 2000.
BOSCO, R. Conceitos de Astronomia. Editora Edghard Blücheer Ltda. São Paulo. 1984.
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NADAL, C. A. Introdução à Trigonometria Esférica – Aplicações na Astronomia e na Cartografia. UFPR/Setor de Tecnologia – Departamento de Geociências. Curitiba. 1998.
