Mecânica Quântica: uma abordagem (quase) conceitual

(1)

Mecânica Quântica:

uma abordagem (quase) conceitual

Carlos Eduardo Aguiar

Programa de Pós-Graduação em Ensino de Física Instituto de Física - UFRJ

I Escola Brasileira de Ensino de Física

UFABC, outubro de 2014 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 2

Sumário

1. Ensino e aprendizagem de mecânica quântica 2. Fenômenos quânticos

3. Princípios da mecânica quântica 4. Sistemas quânticos simples: aplicações 5. Emaranhamento

6. Realismo, contextualidade e não-localidade 7. Operadores, autovalores, autovetores

Ensino e aprendizagem de mecânica quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 3

Ensino e aprendizagem de mecânica quântica

• Dificuldades conceituais • Dificuldades matemáticas • Literatura

• Material didático: simulações, vídeos

Ensino e aprendizagem de mecânica quântica

• Dificuldades conceituais

– Superposição quântica – Probabilidade subjetiva x objetiva – Complementaridade – O problema da medida – Realismo vs. localidade – ... • Dificuldades matemáticas – Vetores – Números complexos – Espaços vetoriais complexos – Operadores, autovalores, autovetores

– Dimensão infinita, operadores diferenciais, funções especiais – ...

Ensino e aprendizagem de mecânica quântica

• Entre os alunos as dificuldades matemáticas ganham

proeminência pela necessidade de adquirir um domínio operacional da teoria, essencial a aplicações.

• Como veremos, é possível expor a teoria quântica – sem descaracterizá-la – reduzindo as ferramentas matemáticas a vetores e um pouco de números complexos. Com isso, torna-se viável dar mais atenção aos aspectos conceituais. • Tal abordagem pode ser de interesse a alunos para os quais

o aspecto operacional não é o mais importante (licenciandos em física, por exemplo).

(2)

Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica • D. F. Styer, Common misconceptions regarding quantum mechanics, American Journal of Physics

64 , 31, 1996.

• I. D. Johnston, K. Crawford, P. R. Fletcher, Student difficulties in learning quantum mechanics, International Journal of Science Education 20 , 427, 1998.

• S. Vokos, P. S. Shaffer, B. S. Ambrose, L. C. McDermott, Student understanding of the wave nature

of matter: Diffraction and interference of particles, American Journal of Physics 68, S42, 2000.

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• G. Pospiech, Uncertainty and complementarity: the heart of quantum physics, Physics Education 35, 393, 2000.

• I. M. Greca, M. A. Moreira, Uma revisão da literatura sobre estudos relativos ao ensino da

mecânica quântica introdutória, Investigações em Ensino de Ciências 6, 29, 2001.

• I. M. Greca, M. A. Moreira, V.E. Herscovitz, Uma proposta para o ensino de mecânica quântica, Revista Brasileira de Ensino de Física 33, 444, 2001.

• C. Singh, Student understanding of quantum mechanics, American Journal of Physics 69, 885, 2001. • E. Cataloglu, R. W. Robinett, Testing the development of student conceptual and visualization

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Physics 70, 238, 2002.

• K. Mannila, I. T. Koponen, J. A. Niskanen, Building a picture of students’ conceptions of wave- and

particle-like properties of quantum entities, European Journal of Physics 23, 45, 2002.

Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica • R. Müller, H. Wiesner, Teaching quantum mechanics on an introductory level, American Journal of

Physics 70, 200, 2002.

• M. Alonso, Emphasize applications in introductory quantum mechanics courses, American Journal of Physics 70, 887, 2002; ver também a resposta de Müller e Wiesner na mesma página. • I. M. Greca, O. Freire Jr, Does an emphasis on the concept of quantum states enhance students’

understanding of quantum mechanics?, Science & Education 12 , 541, 2003.

• F. Ostermann, T. F. Ricci, Construindo uma unidade didática conceitual sobre mecânica quântica:

um estudo na formação de professores de física, Ciência & Educação 10, 235, 2004.

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language used in physics affects student learning, Physical Review Special Topics - Physics

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teach it effectively, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 4, 10103, 2008.

• C. Singh, Student understanding of quantum mechanics at the beginning of graduate instruction, American Journal of Physics 76, 277, 2008.

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Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica • L. D. Carr, S. B. McKagan, Graduate quantum mechanics reform, American Journal of Physics 77,

308, 2009.

• M. Dubson, S. Goldhaber, S. Pollock, K. Perkins, Faculty Disagreement about the Teaching of

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• C. Baily, N. D. Finkelstein, Development of quantum perspectives in modern physics, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 5, 10106, 2009.

• C. Baily, N. D. Finkelstein, Teaching and understanding of quantum interpretations in modern

physics courses, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 6, 10101, 2010.

• S. B. McKagan, K. K. Perkins, C. E. Wieman, Design and validation of the Quantum Mechanics

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• L. Deslauriers, C. E. Wieman, Learning and retention of quantum concepts with different teaching

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• M. Ayene, J. Kriek, B. Damtie, Wave-particle duality and uncertainty principle: Phenomenographic

categories of description of tertiary physics students’ depictions, Physical Review Special Topics

-Physics Education Research 7, 020113, 2011.

• G. Zhu, C. Singh, Improving students’ understanding of quantum mechanics via the Stern–Gerlach

experiment, American Journal of Physics 79, 499, 2011.

• G. Zhu, C. Singh, Improving students’ understanding of quantum measurement. I. Investigation of

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Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica • G. Zhu, C. Singh, Improving students’ understanding of quantum measurement. II. Development of

research-based learning tools, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 8,

101118, 2012.

• O. Levrini, P. Fantini, Encountering productive forms of complexity in learning modern physics, Science & Education 22,1895, 2013.

• C. C. Sahelices, J. A. M. Villagrá, Principios de mecánica cuántica en la resolución de problemas de

estructuras atómicas en estudiantes de química, Experiências em Ensino Ciências 9, 1, 2013.

• W. Dür, S. Heusler, What we can learn about quantum physics from a single qubit, arXiv:1312.1463, 2013.

• A. Kohnle et al., A new introductory quantum mechanics curriculum, European Journal of Physics 35, 015001, 2014.

• J. Castrillon, O. Freire Jr, B. Rodriguez, Mecánica cuántica fundamental, una propuesta didáctica, Revista Brasileira de Ensino de Física 36, 1505, 2014.

• C. Baily, N. D. Finkelstein, Teaching quantum interpretations: Revisiting the goals and practices of

introductory quantum physics courses, arXiv:1409.8503, 2014.

• C. Baily, N. D. Finkelstein, Ontological Flexibility and the Learning of Quantum Mechanics, arXiv:1409.8499, 2014.

• A. Kohnle, C. Baily, S. Ruby, Investigating the influence of visualization on student understanding of

quantum superposition, arXiv:1410.0867, 2014.

Livros

• R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, Lições de Física de Feynman, vol. III, Bookman, 2008. • R. P. Feynman, QED - A estranha teoria da luz e da matéria, Gradiva, 1988.

• H. M. Nussenzveig, Curso de Física Básica: Ótica, Relatividade, Física Quântica, Blucher, 2002. • I. M. Greca, V. E. Herscovitz, Introdução à Mecânica Quântica, UFRGS, 2002

(http://www.if.ufrgs.br/public/tapf/n13_2002_greca_herscovitz.pdf) • O. Pessoa Jr, Conceitos de Física Quântica, Livraria da Física, 2003. • D. F. Styer, The Strange World of Quantum Mechanics, Cambridge UP, 2000. • J. Polkinghorne, Quantum Theory: A Very Short Introduction, Oxford UP, 2002. • V. Scarani, Quantum physics: a first encounter, Oxford UP, 2006.

• B. Rosenblum , F. Kuttner , Quantum Enigma: Physics Encounters Consciousness, Oxford UP, 2006. • A. Rae, Quantum Physics: Illusion or Reality?, Cambridge UP, 2012.

• M. Le Bellac, The Quantum World, World Scientific, 2013.

• L. Susskind, A. Friedman, Quantum Mechanics: The Theoretical Minimum, Basic Books, 2014 • G. Greenstein, A. G. Zajonc, The Quantum Challenge: Modern Research on the Foundations of

Quantum Mechanics, Jones & Bartlett, 2005.

• M. Le Bellac, Quantum Physics, Cambridge UP, 2006.

• D. McIntyre, C. A. Manogue, J. Tate, Quantum Mechanics: A Paradigms Approach, Addison-Wesley, 2012.

• M. Beck, Quantum Mechanics: Theory and Experiment, Oxford UP, 2012.

Simulações

• Interferômetro de Mach-Zehnder (Universidade Federal do Rio Grande do Sul) http://www.if.ufrgs.br/~fernanda/

• Experiência de Stern-Gerlach (Universidade Federal do Rio Grande do Sul) http://www.if.ufrgs.br/~betz/quantum/SGtexto.htm

• QuantumLab (Universität Erlangen-Nürnberg)

http://www.didaktik.physik.uni-erlangen.de/quantumlab/english/index.html • PhET (University of Colorado)

http://phet.colorado.edu/pt_BR/simulations/category/physics/quantum-phenomena

• SPINS (Oregon State University)

http://www.physics.orst.edu/~mcintyre/ph425/spins/index_SPINS_OSP.html • Quantum physics (École Polytechnique)

http://www.quantum-physics.polytechnique.fr/index.html

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Internet

• Quantum Physics (IoP) http://quantumphysics.iop.org/ • Quantum Mechanics (Leonard Susskind)

http://theoreticalminimum.com/courses/quantum-mechanics/2012/winter • Quantum Entanglement (Leonard Susskind)

http://theoreticalminimum.com/courses/quantum-entanglement/2006/fall • Advanced Quantum Mechanics (Leonard Susskind)

http://theoreticalminimum.com/courses/advanced-quantum-mechanics/2013/fall

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 13 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 14 Charles Addams, New Yorker, 1940

Fenômenos Quânticos

Um experimento com a luz

feixe luminoso pouco intenso semiespelho (50-50%) espelho espelho detectores de luz D1 D2

Resultado do experimento

• Os detectores nunca disparam ao mesmo tempo:

apenas um, ou D1ou D2, é ativado a cada vez.

D1 D2 D1 D2 ou 50% 50% probabilidade

Se a luz fosse uma onda

... os detectores deveriam disparar ao mesmo tempo.

D1

D2

Se a luz é composta por partículas

... ou D1dispara, ou D2dispara.

ou

D1

D2

D1

(4)

Conclusão

• A luz é composta por partículas: os fótons.

• O detector que dispara aponta “qual caminho”

o fóton tomou.

caminho 2

caminho 1 D2

D1

O experimento de Grangier, Roger & Aspect

• Experimento realizado pela primeira vez em 1986 por Philippe

Grangier, Gérard Roger e Alain Aspect.

• A fonte luminosa de “pouco intensa” usada no experimento não é fácil de construir.

ν

1

ν

2 átomo de

cálcio τ= 4,7 ns

O experimento de Grangier, Roger & Aspect

w = 9 ns

P. Grangier, G. Roger, A. Aspect, Experimental evidence for a photon anticorrelation effect on a

beam splitter: A new light on single-photon interferences, Europhysics Letters 1, 173 (1986)

Resultado do experimento de Grangier et al.

Sobre o ensino do conceito de fóton

• Os experimentos de anticoincidência fornecem evidência simples e direta da natureza corpuscular da luz.

• Mais fácil de discutir (principalmente no ensino médio) que o efeito fotoelétrico.

• Ao contrário do que se lê em muitos livros-texto, o fóton não é necessário para explicar os efeitos fotoelétrico e Compton.

– G. Beck, Zeitschrift für Physik 41, 443 (1927) – E. Schroedinger, Annalen der Physik 82, 257 (1927)

Outro experimento com a luz

interferômetro de Mach-Zehnder D2 D1 segundo semiespelho feixe luminoso “fóton a fóton”

(5)

Preliminares: um feixe bloqueado

1 2

50%

25% 25%

O outro feixe bloqueado

1 2

50%

25% 25%

Resultado fácil de entender com partículas

= caminho do fóton 1 2 50% 25% 25%

De volta ao interferômetro

D1

D2

Resultado do experimento:

0% 100% D1

D2

Difícil de entender se os fótons seguem caminhos

definidos

caminho 1 caminho 2 1 25% 25% 2 25% 25%

Se o fóton segue o caminho 1 (2) não deve fazer diferença se o caminho 2 (1) está aberto ou fechado, e portanto vale o resultado do experimento preliminar.

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C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 31 ) 2 ( D ) 1 ( D Dn

P

n

P

n

P

=

+

probabilidade do

detector Dndisparar apenas o caminho

1 aberto

apenas o caminho 2 aberto

Proposição*

Cada fóton segue ou o caminho 1 ou o caminho 2

consequência:

* The Feynman Lectures on Physics, v.3, p.1-5

Teste da Proposição

Experimentalmente: ) 2 ( D ) 1 ( D Dn

P

n

P

n

P

≠

+

%

100 P

_D₁

=

%

25 P

(1) D1

=

%

25 P

(2) D1

=

%

25 P

(1) D2

=

%

0 P

D₂

=

%

25 P

(2) D2

=

a proposição é falsa!

Repetindo:

A afirmativa

“o fóton segue ou pelo caminho 1 ou pelo caminho 2” é falsa.

“\ um fenômeno que é impossível, absolutamente impossível, de explicar em qualquer forma clássica, e que traz em si o coração da mecânica quântica.”

R. P. Feynman, The Feynman Lectures on Physics, v.3, p.1-1

Por onde vai o fóton?

1 e 2

ou 1 ou 2

nem 1 nem 2

1 2

Por onde vai o fóton?

• Experimentalmente, a opção “ou 1 ou 2” é falsa. • Se os dois caminhos forem fechados, nenhum

fóton chega aos detectores. Logo, “nem 1 nem 2” também não é aceitável.

• Parece restar apenas a opção “1 e 2”: o fóton segue os dois caminhos ao mesmo tempo.

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 35 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 36

Uma resposta melhor

• Não faz sentido falar sobre o caminho do fóton no interferômetro, pois a montagem experimental não permite distinguir os caminhos 1 e 2.

• A pergunta “qual o caminho do fóton?” só faz sentido frente a um aparato capaz de produzir uma resposta.

Quando alguém deseja ser claro sobre o que quer dizer com as palavras “posição de um objeto”, por exemplo do elétron (em um sistema de referência), ele deve especificar experimentos determinados com os quais pretende medir tal posição; do contrário essas palavras não terão significado.

- W. Heisenberg,

The physical content of quantum kinematics and mechanics

(7)

Fácil de entender num modelo ondulatório

D1 D2 interferência construtiva interferência destrutiva

Comprimentos variáveis

L1 L2

PD2 PD1

L1, L2= comprimentos ajustáveis dos “braços” do interferômetro

Resultado experimental:

• Padrão de interferência: é possível definir um comprimento de onda. • Só há um fóton de cada vez no interferômetro: o fóton “interfere com

ele mesmo”.

• Se cada fóton seguisse um único caminho (ou 1 ou 2), o comprimento do outro caminho não deveria influenciar o resultado.

L

1

– L

2 0 1

P

_D1

L

1

– L

2 1 0

P

_D2

(linha tracejada: “ou 1 ou 2” ↔ PD(1) + PD(2))

O experimento de Grangier, Roger & Aspect

P. Grangier, G. Roger, A. Aspect, Experimental evidence for a photon anticorrelation effect on a

beam splitter: A new light on single-photon interferences, Europhysics Letters 1, 173 (1986)

O experimento de Grangier, Roger & Aspect

L1– L2(λ/50) L1– L2(λ/50)

Interferência de nêutrons

interferômetro de nêutrons

(8)

Interferência de átomos

interferômetro de átomos

A. D. Cronin, J. Schmiedmayer, D. E. Pritchard, Optics and interferometry

with atoms and molecules, Reviews of Modern Physics 81, 1051 (2009)

Interferência de elétrons

A. Tonomura et al., Demonstration of single-electron build-up

of an interference pattern, Am. J. Phys. 57, 117 (1989)

E se os caminhos forem distinguíveis?

P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer

at the quantum-classical boundary, Nature 411, 166 (2001)

diferença de “caminhos” (ajustável)

interferência desaparece!

E se os caminhos forem distinguíveis?

N ↔ Massa • Massa = 0 • caminho identificado • não há padrão de interferência • Massa →∞ • caminho não identificado • padrão de interferência

E se a informação sobre o caminho for apagada?

impossível determinar o caminho

interferência

Quando há interferência?

Resultado pode ser obtido de duas maneiras alternativas, indistinguíveis experimentalmente

interferência (“1 e 2”)

Resultado pode ser obtido de duas maneiras alternativas, distinguíveis experimentalmente

(“ou 1 ou 2”)

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Princípios da Mecânica Quântica

• Vetores de estado e o princípio da superposição • A regra de Born

• Complementaridade e o princípio da incerteza • Colapso do vetor de estado

• Evolução unitária • Sistemas de N estados

Vetores de Estado

e o

Princípio da Superposição

Sistemas de dois estados

• esquerda / direita

• horizontal / vertical

• para cima / para baixo

• sim / não

• 0 / 1

Sistemas de dois estados

cara coroa

fóton refletido

fóton transmitido

Sistemas de dois estados

A = ? a1 a2    = 2 1 a a A grandeza física observável:

a2 a1 a2 a1 medidor de “A” ou

(10)

Sistemas clássicos

• Sistema clássico de dois estados, A = a1e A = a2. • Representação dos estados: pontos no “eixo A”

A a1 a2 sistema tem A = a1 sistema tem A = a2

Sistemas quânticos: vetores de estado

• Sistema quântico de dois estados, A = a1e A = a2. • Representação dos estados: vetores ortogonais

(e de comprimento unitário) em um espaço de duas dimensões

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 57 1 a 2 a sistema tem A = a2 sistema tem A = a1

A notação de Dirac

vetor ↔ L identificação ↓ ↑ b ↔ 2 1 a a direita esquerda 1 0 exemplos:

O que muda?

Passar de dois pontos em uma reta para dois vetores perpendiculares não parece ser mais do mudar o sistema de “etiquetagem” dos estados.

1 a 2 a A a1 a2

O que muda é o seguinte:

?

O Princípio da Superposição

Qualquer combinação linear dos vetores |a1〉 e |a2〉 representa um estado físico do sistema.

2 2 1 1a c a c + = ψ 1 a 2 a _ψ

Significado de |ψ〉

• A = a

₁

e A = a

₂

?

• esquerda e direita?

• horizontal e vertical?

• sim e não?

• 0 e 1?

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 61 1

a

2

(11)

O espaço de estados é grande

• Um sistema quântico de dois estados tem muito mais que dois estados, tem infinitos estados. • Os estados |a1〉 e |a2〉 formam uma “base” do

espaço de estados.

a

2

a

Princípio da Superposição: formulação geral

Se |ϕ〉 e |χ〉 são vetores de estado, qualquer combinação linear deles representa um estado físico do sistema.

χ β + ϕ α = ψ ϕ χ ψ

Um ‘detalhe técnico’

• As constantes c

1

e c

2

podem ser números

complexos (o espaço de estados é um

espaço vetorial complexo).

• Deve-se ter cuidado com figuras como

esta:

1 a 2 a ψ c2 c1

Outro ‘detalhe técnico’

• Qual o significado de “ortogonalidade”

num espaço vetorial complexo?

• Como se define “comprimento” de um

vetor nesse espaço?

1 a 2

a

?

A Regra de Born

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 67 2 2 1 1a c a c + = ψ 1 a 2 a ψ c2 c1 A probabilidade de uma medida da grandeza física A resultar em A = ané

2 2 2 1 2 n n c c c ) a ( P + = (n = 1, 2)

(12)

A Regra de Born

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 68 2 2 1 1a c a c + = ψ ? a1 a2 a2 a1 a2 a1 medidor de “A” 2 2 2 1 2 1 1 c c c ) a ( P + = 2 2 2 1 2 2 2 c c c ) a ( P + =

Probabilidade total

Só há dois resultados possíveis, ou a1ou a2. 1 c c c c c c ) a ( P ) a ( P 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 = + + + = +

A probabilidade da medida resultar

ou em a1ou em a2é 1 (100%)

Normalização do vetor de estado

1 a a1 = 2 = 2 2 2 1 c c + = Ψ Norma de |Ψ〉: 1 a 2 a ψ c2 c1 (tamanho do vetor |Ψ〉)

Com essa definição:

Normalização do vetor de estado

Ψ Ψ λ = Φ 2 2 1 1a c a c +λ λ = Φ 2 2 1 1a c a c + = Ψ

|Φ〉 e |Ψ〉 têm normas diferentes mas representam o mesmo estado físico!

) a ( P c c c c c c ) a ( P 2 n 2 2 1 2 n 2 2 2 1 2 n n Ψ Φ = + = λ + λ λ = Ψ × λ = Φ

Normalização do vetor de estado

Todos os vetores ao longo de uma dada direção representam o mesmo

estado físico.

Podemos trabalhar apenas com vetores “normalizados”:

1 = Ψ 1 c c , a c a c 22 2 1 2 2 1 1 + + = = Ψ ou seja, 2 n n) c a ( P =

Vetores normalizados: a Regra de Born

2 2 1 1a c a c + = Ψ ? a1 a2 a2 a1 a2 a1 medidor de “A” 2 1 1) c a ( P = 2 2 2) c a ( P = (normalizado)

(13)

Amplitude de probabilidade

c

_n

⇔

amplitude de probabilidade

probabilidade = |

amplitude de probabilidade

|

2

n n) c x ( = Ψ “função de onda” 2 n n) (x) x ( P =Ψ 2 2 1 1x c x c + = Ψ

Frequência dos resultados de medidas

N medidas de A (N→ ∞) a2 a1 a2 a1 Ψ Ψ Ψ a2 a1 • • • N1↔ a1 N2↔ a2 podemos prever a frequência dos resultados: 2 1 1 1 _P₍_a₎ _c N N ₌ ₌ 2 2 2 2 _P₍_a₎ _c N N ₌ ₌ 2 2 1 1a c a c + = Ψ

Valor médio dos resultados

valor médio de A: N a N a N A ₌ 11+ 2 2 a2 a1 a2 a1 Ψ Ψ Ψ a2 a1 • • • 2 2 1 1a c a c + = Ψ 2 2 2 1 2 1 a c a c A = +

Incerteza

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 77 2 2 1 1a c a c + = Ψ

possível prever o resultado (probabilidade = 100%): valor de A “bem definido”

1 a 2 a Ψ c2 c1 c1, c2

≠

0 impossível prever o resultado de uma medida

0 c , 1 c a1 ↔ 1= 2= = Ψ ou Se 1 c , 0 c a2 ↔ 1= 2= = Ψ

Incerteza

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 78 2 2 1 1a c a c + = Ψ ∆ A = incerteza de A no estado |Ψ〉

(

)

2 2 2 2 _A _A _A _A ) A (∆ = − = − 1 a = Ψ ou 2 a = Ψ ∆ A = 0

Complementaridade

e o

Princípio da Incerteza

(14)

Complementaridade

a2 a1 B A b2 b1 1 a 2 a 2 b 1 b duas grandezas físicas: A e B

Grandezas compatíveis e incompatíveis

1 a 2 a 1 b 2 b 2 b 1 b 2 a 1 a A e B compatíveis A e B incompatíveis

A e B complementares: incompatibilidade “máxima”

O Princípio da Incerteza

2 b 1 b 2 a 1 a Ψ A e B incertos (∆ A≠0, ∆ B ≠0) A bem definido, B incerto

(∆ A = 0, ∆ B ≠0)

B bem definido, A incerto (∆ B = 0, ∆ A ≠0)

O Princípio da Incerteza

2 b 1 b 2 a 1 a Ψ A e B incompatíveis

⇒

nenhum estado |Ψ〉 com ∆A = 0 e ∆B = 0

Exemplo: posição e momentum

X

x1 x2

duas posições: |x1〉, |x2〉 (“aqui”, “ali”)

dois estados de movimento: |p1〉, |p2〉 (“repouso”, “movimento”)

2 p p₁ 2 x 1 x

impossível ter um estado com posição e momentum bem definidos

Resumo da “cinemática” quântica

estado físico vetor no espaço _{de estados}

grandeza física

sistema de eixos (uma “base”) no espaço de estados

(15)

Resumo da “cinemática” quântica

probabilidade de uma medida da grandeza A resultar em A = a1 ou A = a2 grandezas físicas incompatíveis (complementares) diferentes sistemas de eixos no espaço de estados 2 a 1 a projeção do vetor de estado no eixo |an〉

⇓

probabilidade da medida resultar em A = an

• “Colapso” durante uma medida

• Evolução unitária (equação de

Schroedinger)

Como o vetor de estado muda com o tempo?

Colapso do Vetor de Estado

Colapso do vetor de estado

a2 a1 Ψ a2 a1 a2 antes da medida depois da medida

Colapso do vetor de estado

1 a 2 a Ψ resultado A = a2 resultado A = a1

medida de A resulta em an

⇒

logo após a

medida o vetor de estado do sistema é |an〉

Colapso do vetor de estado

• O colapso garante que a medida é repetível: se obtemos A = ane imediatamente refazemos a medida, encontramos A = annovamente com 100% de probabilidade.

• O estado | an〉 é o único em que a nova medida resultará em A = ancom 100% de probabilidade.

• |Ψ〉 → |an〉: a medida causa uma alteração imprevisível e incontrolável do estado quântico; versão moderna do “salto quântico”.

• O colapso aplica-se a medidas “ideais” (medidas de von Neuman, ou projetivas). Na prática, muitas vezes não faz sentido falar em colapso. Por exemplo:

– Um fóton geralmente é absorvido durante sua detecção; não há mais fóton após a primeira medida.

– Medidas de grandezas contínuas como posição e momentum não têm resultados absolutamente precisos; os detectores necessariamente possuem uma resolução finita.

(16)

Medidas simultâneas de duas grandezas

Ψ Φ a2 a1 b2 b1 (A, B) (∆ A ≠0, ∆B ≠0) (∆ A =0, ∆B =0)

Se A e B são incompatíveis (complementares), não existe estado |Φ〉 com ∆ A

=

0 e ∆ B

=

0.

É impossível realizar um experimento no qual A e B são medidos simultaneamente (de forma reprodutível).

Evolução Unitária

A equação de Schroedinger

• Evolução temporal do vetor de estado:

|Ψ

(0)

〉 → |Ψ

(t)

〉

• Dinâmica quântica: determinada pela

energia do sistema (o conceito de força

é pouco relevante).

A (solução da) equação de Schroedinger

E

1

E Sistema de dois estados

Dois níveis de energia: E1, E2

2 2 1 1E c E c ) 0 t ( = = + Ψ 2 / t E i 2 1 / t E i 1e E ce E c ) t ( = − 1 h + − 2 h Ψ • ћ = constante de Planck (÷ 2π) ≈ 1×10-34_Js • Números complexos são inevitáveis. Mesmo que as

componentes do vetor de estado sejam reais em t = 0, para t

≠

0 elas serão complexas:

• A evolução |Ψ(0)〉 → |Ψ(t)〉 ditada pela equação de Schroedinger é contínua (sem ‘saltos quânticos’) e determinista (sem elementos probabilísticos).

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 96 h / t E i n n n e c ) t ( c = −

A (solução da) equação de Schroedinger

Propriedades da equação de Schroedinger

• Linearidade: ) t ( ) 0 ( ) t ( ) 0 ( b b a a Ψ → Ψ Ψ → Ψ Ψ(0) =αΨa(0) +βΨb(0) ) t ( ) t ( ) t ( =αΨa +βΨb Ψ t = 0 t

≠

0

(17)

Propriedades da equação de Schroedinger

• Conserva a norma do vetor de estado: ) 0 ( ) t ( = Ψ Ψ Ψ(t) ) 0 ( Ψ

• Conserva o ortogonalidade entre vetores: tamanho não muda

) 0 ( Ψ ) t ( Ψ ) 0 ( Φ ) t ( Φ dois vetores perpendiculares continuam perpendiculares

Demonstração da linearidade

2 2 1 1 b 2 2 1 1 a E d E d ) 0 ( E c E c ) 0 ( + = Ψ + = Ψ 2 2 2 1 1 1 b a E ) d c ( E ) d c ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( β + α + β + α = Ψ β + Ψ α = Ψ

(

) (

)

) t ( ) t ( E e c E e c E e c E e c E e ) d c ( E e ) d c ( ) t ( b a 2 / t E i 2 1 / t E i 1 2 / t E i 2 1 / t E i 1 2 / t E i 2 2 1 / t E i 1 1 2 1 2 1 2 1 Ψ β + Ψ α = + β + + α = β + α + β + α = Ψ − − − − − − h h h h h h

Demonstração da conservação da norma

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 100 2 / t E i 2 1 / t E i 1 2 2 1 1 E e c E e c ) t ( E c E c ) 0 ( 2 1h − h − ₊ = Ψ + = Ψ 2 2 2 2 1 2 / t E i 2 2 / t E i 1 2 ) 0 ( c c e c e c ) t ( 1 2 Ψ = + = + = Ψ − h − h

Demonstração da conservação da ortogonalidade

) 0 ( Ψ ) 0 ( Φ ) 0 ( Ω ) t ( Ψ ) t ( Φ Ω(t) 2 ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( = Φ −Ψ = Ω |Ψ(0)〉 e |Φ(0)〉 ortogonais 2 ) t ( ) t ( ) t ( = Φ −Ψ = Ω |Ψ(t)〉 e |Φ(t)〉 ortogonais

• Determinismo

• Continuidade

• Linearidade

• Conservação da norma

• Conservação da ortogonalidade

Propriedades da equação de Schroedinger

“evolução unitária”

Estados estacionários

• |Ψ(t)〉 e |Ψ(0)〉 representam o mesmo estado físico. • Estados de energia bem definida são “estacionários”.

n E ) 0 ( = Ψ n / t E i E e ) t ( = − n h Ψ

mesma “direção” que |En〉

(18)

Conservação da energia

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 104 2 / t E i 2 1 / t E i 1e E ce E c ) t ( = − 1 h + − 2 h Ψ 2 n 2 / t E i n n,t) ce c E ( P = − n h = ) 0 ( ) t ( E E_Ψ = _Ψ ) 0 t , E ( P ) t , E ( P n = n =

Eq. de Schroedinger x Processos de medida

• Equação de Schroedinger:

– contínua – determinista

– válida enquanto não se faz uma medida

• Colapso do vetor de estado:

– descontínuo – probabilístico

– ocorre durante a medida

Eq. de Schroedinger x Processos de medida

Dois tipos de evolução temporal?

• Equação de Schroedinger:

– interação do sistema quântico com outros sistemas quânticos.

– A = a1 e A = a2

• Colapso do vetor de estado

:

– interação do sistema quântico com um aparato clássico, o aparelho de medida (o “observador”). – A = a1 ou A = a2

O “problema da medida”

Por que o aparelho de medida não é regido pela eq. de Schroedinger?

a2

a1 a1 a2 a1 a2

Descrição quântica do aparelho de medida:

| 〉 |↑〉 | 〉 2 2 a a↑⇒ 1 1 a a↑⇒ 2 2 1 1 2 2 1 1a c a c a c a c ↑ + ↑ ⇒ + equação de Schroedinger:

o ponteiro aponta em duas direções ao mesmo tempo ! aparelho de medida:

O “problema da medida”

• Porque as superposições quânticas não são encontradas

no mundo macroscópico?

– Jamais se observou um ponteiro macroscópico apontando em duas direções ao mesmo tempo.

– Um gato não pode estar simultaneamente vivo e morto.

• Como conciliar o espaço quântico de infinitos estados

com a observação de apenas alguns poucos estados

macroscópicos?

Uma descrição do processo de medida

baseada na equação de Schroedinger

deve dar respostas a essas questões.

Física quântica x física clássica

• Por medida, na mecânica quântica, nós entendemos qualquer processo de interação entre objetos clássicos e quânticos…

L. Landau & E. Lifshitz, Quantum Mechanics • … os instrumentos de medida, para funcionarem como tal, não podem ser propriamente incluídos no domínio de aplicação da mecânica quântica.

N. Bohr, carta a Schroedinger, 26 de outubro de 1935 • …o ‘aparato’ não deveria ser separado do resto do mundo em uma caixa preta, como se não fosse feito de átomos e não fosse governado pela mecânica quântica.

J. Bell, Against measurement

(19)

Física quântica x física clássica

física quântica física

clássica

…a mecânica quântica ocupa um lugar muito incomum entre as teorias físicas: ela contém a mecânica clássica como um caso limite, mas ao mesmo tempo requer esse caso limite para sua própria formulação...

- L. Landau & E. Lifshitz, Quantum Mechanics

Os gatos de Schroedinger

Sistemas de N Estados

Você está em todo lugar

Sistemas de 3 estados

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 113 2 a 1 a 3 a a3 a1 a2 3 3 2 2 1 1a c a c a c + + = Ψ Três valores possíveis para a grandeza A: 3 , 2 , 1 n , | c | ) a ( P n = n 2 =

Sistemas de N estados

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 114 2 a 1 a 3 a N a

...

(impossível desenhar N eixos perpendiculares) N valores possíveis para a grandeza A: aN a1 a2...

∑

= = Ψ N 1 n n na c N , 2 , 1 n , | c | ) a ( P 2 n n = = K

Sistemas de infinitos estados

• N pode ser infinito:

∑

∞ = = Ψ 1 n n na c

• N pode ser infinito, e a ter valores contínuos:

∫

= Ψ dac(a)a

∫

′′ ′ = ′′ ′ a a 2 | ) a ( c | da ) a , a ( P 2 | ) a ( c | ) a ( p = densidade de probabilidade: probabilidade:

(20)

Exemplo: a = x = posição de uma partícula

Sistemas de infinitos estados

∫

Ψ = Ψ dx (x)x

∫

Ψ = 2 1 x x 2 2 1,x ) dx| (x)| x ( P 2 | ) x ( | ) x ( p = Ψ densidade de probabilidade: probabilidade: função de onda: Ψ(x)

Sistemas de infinitos estados

• A grandeza a pode ter valores discretos e contínuos:

∫

∑

+ = Ψ c a dac(a)a n n n

Exemplo: a = E = energia de uma partícula

∫

∑

+ = Ψ c E dEc(E)E n n n

Aplicações a sistemas simples

Interferômetro de Mach-Zehnder

• Interferência de uma partícula • Descrição quântica do interferômetro • Interferência e indistinguibilidade

O interferômetro de Mach-Zehnder

0% 100% D1 D2 interferência construtiva interferência destrutiva “ondas”

O interferômetro de Mach-Zehnder

D1e D2nunca disparam em coincidência “partículas” 1

2

50%

25% 25%

(21)

Descrição quântica do interferômetro

1

2

(caminho 1)

(caminho 2)

Espaço de estados

2 c 1 c1 + 2 = Ψ    = = 2 2 2 2 1 1 c P c P probabilidades: 2 1

Semiespelho

2 2 1 1 2 1 1 → + 2 2 1 1 2 1 2 → − 1 1 2 1 2 2

probabilidade de reflexão = probabilidade de transmissão = 1/2 evolução unitária

Semiespelho

2 2 1 1 2 1 ₊ 2 2 1 1 2 1 ₋ 2

1 sinal negativo: evolução unitária conserva a

ortogonalidade

Interferômetro

D1 D2 1 2 1

Interferômetro

Primeiro semiespelho: 2 2 1 1 2 1 1 → + Estado inicial: 1

(22)

Interferômetro

Segundo semiespelho:

ou seja, o estado final é

      ₋ +       ₊ → + 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 ₌       − +       + interferência destrutiva interferência construtiva P1= 100% P2= 0%

O que interfere?

2 2 1 2 1 1 2 1 2 1       − +       + (1-1-1) (1-2-1) (1-1-2) (1-2-2) 1 1 1 2 1 ₁ 2 2

soma das amplitudes de probabilidade associadas a caminhos alternativos indistinguíveis

Caminho bloqueado

1 2

D2 D1

Caminho bloqueado

Primeiro semiespelho: 2 2 1 1 2 1 1 → + Estado inicial: 1 Bloqueio: + → + ⊗ 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 fóton bloqueado

Caminho bloqueado

⊗ +       ₊ → ⊗ + 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 ⊗ + + 2 1 2 2 1 1 2 1 P1= 25% P2= 25% P⊗= 50%

não há caminhos alternativos, logo não há interferência

Por que não há interferência?

(1-1-1)

(1-1-2)

não há caminhos alternativos para cada um dos estados finais ⇒ não há interferência 1 1 1 ⊗ + + 2 1 2 2 1 1 2 1 (1-2-⊗) 1 1 2 1 2 ⊗

(23)

Caminhos alternativos distinguíveis

D1

D2

mola

Caminhos alternativos distinguíveis

Primeiro semiespelho: 2M 2 1 R 1 2 1 R 1 → + Estado inicial: 1R • 1, 2: caminho do fóton • R: espelho em repouso • M: espelho em movimento M 2 , M 1 , R 2 , R 1

Caminhos alternativos distinguíveis

      ₋ +       ₊ → + 2M 2 1 M 1 2 1 2 1 R 2 2 1 R 1 2 1 2 1 M 2 2 1 R 1 2 1 M 2 2 1 R 2 2 1 M 1 2 1 R 1 2 1 ₊ ₊ ₋ P1= P(1, R) + P(1, M) = 50% P2= P(2, R) + P(2, M) = 50% soma de probabilidades, não de amplitudes

Apagando a informação sobre o caminho

D1100%

D20%

mola

Apagando a informação sobre o caminho

      ₋ +       ₊ → + 2M 2 1 R 1 2 1 2 1 M 2 2 1 R 1 2 1 2 1 M 2 2 1 R 1 2 1 R 1

a informação sobre o caminho foi apagada e a interferência restabelecida

O palito de fósforo quântico

(24)

O palito de fósforo quântico

fóton

fóton • fósforo “bom”

• fósforo “ruim”

O palito de fósforo quântico

palitos bons e ruins misturados

Problema: como encher uma caixa de fósforos apenas com palitos bons?

Teste clássico

palito ruim palito bom

queimado

Teste quântico

D1

D2

Palito ruim

D1100%

D20% transparente

palito ruim ⇒ D2nunca dispara

Palito bom

D225% D125% 50%

palito bom ⇒ D2dispara em 25% das vezes,

(25)

Teste quântico

• D

₂

→ fósforo bom intacto

• D

1

→ fósforo bom intacto ou fósforo ruim

• Fósforo acende → fósforo bom queimado

Dos fósforos bons:

• 25% estão identificados e intactos • 50% foram queimados

• 25% em dúvida

Retestando os casos duvidosos é possível identificar 1/3 dos fósforos bons.

Mais aplicações a sistemas simples

• O problema de Deutsch

• Molécula de H

2+

• Benzeno

• Oscilação de neutrinos

• Polarização do fóton

• Spin ½

• Informação quântica

Emaranhamento

|Ψ〉 sistema I |Φ〉 sistema II |Ψ〉 subsistema I |Φ〉 subsistema II sistema composto

Emaranhamento

• Estados do sistema composto:

II I ,Φ ≡ Ψ Φ Ψ II I ,Ψ = Φ Ψ Φ

↔ sistema Ino estado |Ψ〉, sistema IIno estado |Φ〉 ↔ sistema Ino estado |Φ〉, sistema IIno estado |Ψ〉

• Superposição ⇒ estado emaranhado: Ψ Φ + Φ Ψ , 2 1 , 2 1

Emaranhamento

• Não é possível associar vetores de estado aos subsistemas individuais.

• O emaranhamento pode ocorrer mesmo quando os

subsistemas estão separados por distâncias macroscópicas. • Um dos mais estranhos e surpreendentes aspectos da

mecânica quântica.

“O melhor conhecimento possível de um todo não inclui o melhor conhecimento possível de suas partes, nem mesmo quando essas estão completamente separadas umas das outras e no momento não influenciam umas às outras.”

- E. Schrödinger, The Present Situation in Quantum Mechanics (o artigo de 1935 onde apareceu o gato de Schroedinger)

(26)

Realismo, Contextualidade e Localidade

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 152 “Eu só gostaria de saber que diabos está acontecendo, é só! Eu gostaria de saber

que diabos está acontecendo! Você sabe que diabos está acontecendo?”

Variáveis ocultas

)

(

A

λ

variável “oculta” que determina o valor de A Medidas:

• revelam um valor preexistente? • criam o resultado encontrado?

grandeza medida no experimento

Experimentos com um sistema composto

I

II

AI= ±1 AII= ±1 BII= ±1 B_I= ±1 incompatíveis compatíveis

Quatro experimentos com um sistema composto

Quatro experimentos possíveis:

1) Medida de AIe AII

AI= +1 e AII= +1 ↔ encontrado algumas vezes

2) Medida de AIe BII AI= +1 e BII= +1 ↔ nunca encontrado 3) Medida de BIe AII BI= +1 e AII= +1 ↔ nunca encontrado 4) Medida de BIe BII BI= -1 e BII= -1 ↔ nunca encontrado

Quatro experimentos com um sistema composto

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 156 A. G. White, D. F. V. James, P. H. Eberhard, P. G. Kwiat,

Nonmaximally Entangled States: Production, Characterization, and Utilization, Physical Review Letters 83, 3013 (1999)

1) P(AI+, AII+) (em %) grau de emaranhamento 2) P(AI+, BII+) = 0 3) P(BI+, AII+) = 0 4) P(BI−, BII−) = 0

Experimentos com um sistema composto

A

I

= +1

A

II

= +1

B

I

= -1

B

II

= -1

sempre

Se os valores de AI, AII, BIe BIIjá existiam antes das medidas:

!!

Mas BI= BII= -1 nunca é encontrado (exp. 4)!

(27)

Estados de Hardy

(

+ + + + − + − +

)

= Ψ BI ,BII BI ,BII BI ,BII 3 1 estado emaranhado P(BI−, BII−) = 0 ⇐ experimento 4

L. Hardy, Quantum Mechanics, Local Realistic Theories, and

Lorentz-Invariant Realistic Theories, Physical Review Letters 68, 2981 (1992).

L. Hardy, Nonlocality for two particles without inequalities for almost all

entangled states, Physical Review Letters 71, 1665 (1993)

Estados de Hardy

(

)

(

− + + −

)

= − − + + = + A A 2 1 B A A 2 1 B B+ − B − A + A Experimentos 1, 2 e 3:

Estados de Hardy

(

− + + + − + − −

)

= Ψ 2AI ,BII AI ,BII AI ,BII 6 1

(

+ − + − + + − −

)

= Ψ 2BI ,AII BI ,AII BI ,AII 6 1

(

− + + + + − + − + + − −

)

= Ψ AI ,AII AI ,AII AI ,AII 3AI ,AII 12 1 Experimentos 1, 2 e 3: 3) 2) 1)

Contextualidade

)

C

,

(

A

I

λ

II

o que está sendo medido em II(AIIou BII)

)

C

,

(

A

II

λ

I

o que está sendo medido em I(AIou BI)

)

C

,

(

B

I

λ

II

)

C

,

(

B

II

λ

I

Não-localidade

I II

AI AII

BII BI

O teorema de Bell

Qualquer teoria de variáveis ocultas

compatível com a mecânica quântica

(28)

Operadores, autovalores, autovetores

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 164 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 165

Conexão com os operadores

• Produto escalar: 〈Φ|Ψ〉

• Projetores: |Ψ〉〈Ψ|

• Operador associado à grandeza A:

• Autovalores e autovetores de A: 2 2 2 1 1 1a a a a a a A= + Ψ λ = Ψ A 2 2 1 1 a , a ou a , a = λ = Ψ = λ = Ψ

É mais fácil encontrar (postular) o operador A do que os “eixos” |an〉 e valores an.

Em seguida:

• Simetrias e grandezas conservadas • Posição e momentum

• Partícula em 1 dimensão: aplicações – Partícula livre

– Potenciais constantes por partes: estados ligados, tunelamento, etc.

– Oscilador harmônico

E se houver tempo:

• Partículas idênticas

• Partícula em 3 dimensões; momento angular • Soma sobre caminhos

• Descoerência

• Muitos-mundos, de Broglie-Bohm

Concluindo

• É possível apresentar alguns dos princípios básicos da mecânica quântica utilizando apenas matemática acessível a professores (e alunos?) do ensino médio. • Essa abordagem permite descrever apropriadamente

a mecânica quântica de sistemas simples.

• Aspectos pouco (ou nada) intuitivos da mecânica quântica podem ser discutidos sem interferência de dificuldades adicionais associadas à matemática.

Funciona?

(29)