Sérgio Carvalho – Matemática Financeira
Resolução Matemática Financeira ICMS-RJ/2008 – Parte 02
33. Uma rede de lojas, que atua na venda de eletrônicos, anuncia a venda de notebook da seguinte forma:
- R$ 1.125,00 à vista em boleto bancário; ou
- 3 prestações mensais iguais, sem juros, de R$ 450,00, vencendo a primeira prestação no ato da compra.
Embora na propaganda seja utilizada a expressão “sem juros”, os clientes que escolhem a segunda opção pagam juros ao mês de, aproximadamente:
(Utilize, se necessário: raiz de 7=2,646).
a) 13,5% b) 20% c) 21,5% d) 19% e) 9,5%
Sol.: São duas diferentes formas de pagamento. Não foi dito de forma expressa, mas como se trata de uma venda realizada pelo comércio, fica subentendido que o regime é o composto. Ok?
Se usarmos a equivalência composta de capitais, descobriremos qual a taxa de juros embutida na operação a prazo. O desenho da questão é o seguinte:
Cores diferentes para cada forma de pagamento. Podemos melhorar este desenho? Claro! Como? Fazendo sumir a parcela de entrada. Basta fazer uma conta de subtrair. Teremos:
1.125,
450, 450, 450,
675,
Agora, sim! Dando seqüência: se o regime é o composto, podemos escolher qualquer data focal. Que tal a última data do desenho? Ótimo. Teremos, pois, que a equação de equivalência será a seguinte:
Æ 675.(1+i)2 = 450.(1+i)1 + 450
Só isso! Haverá uma única taxa capaz de confirmar esta igualdade! Será exatamente a taxa que estamos procurando! Ok? Se observarmos as opções de resposta, veremos que há, entre elas, as seguintes: 19%, 20% e 21,5%. São bastante próximas! Podemos testar a intermediária (20%), e ver se com isso chegaremos a alguma conclusão. Que tal? Teremos:
Æ 675.(1+0,2)2 ??=?? 450.(1+0,2)1 + 450
As interrogações servem para lembrar que estamos fazendo uma pergunta! Um teste! Ok? Vamos às contas. Teremos:
Æ 675 x 1,44 ??=?? 450 x 1,2 + 450 Æ 972 ??=?? (540+450)
Æ 972 ??=?? 990 Æ A resposta é NÃO! Logo, a taxa que procuramos não é 20%.
Percebam que o lado que ficou menor que o outro foi o primeiro. Assim, para que ele aumente – vamos pensar juntos – a taxa terá que ser maior ou menor que 20%?
Você responderá: ora, professor, se eu aumentar a taxa, as duas partes da equação aumentarão, e não só a primeira parte.
É bem verdade isso!
Mas veja que a primeira parte da equação traz o parêntese famoso elevado ao quadrado. Uma elevação da taxa representará um aumento maior na primeira parte da equação que na segunda. Viram? Assim, qual é a única taxa, entre as opções, maior que 20%?
Ora, é 21,5%, que é a resposta da questão!
Mas já que estamos na chuva, vamos tirar a prova dos nove, e testar os 21,5% na equação de equivalência. Teremos:
Æ 675.(1+0,215)2 ??=?? 450.(1+0,215)1 + 450
Æ 996,45 ??=?? 996,75
A resposta é SIM! A diferença de centavos é desprezível. Ademais, a questão falou em aproximadamente! Na hora da prova, não precisaríamos ter feito este últimos cálculos. Bastava analisar! Ok? Próxima!
34. Um banco desconta (desconto simples por fora), dois meses antes do vencimento, promissórias com taxa de desconto de 5% ao mês e exige que 20% do valor de face da promissória sejam aplicados em um CDB que rende 6% nesses dois meses. A taxa bimestral de juros cobrada pelo banco é de, aproximadamente:
a) 9,2% b) 12,6% c) 11,1% d) 10,3% e) 18,4% Sol.: Podemos dizer que o valor nominal da promissória seja igual a R$ 100,00 (cem). Ok? Isso ajudará a fazermos contas mais rápidas.
Haverá uma operação de desconto simples por fora, e os dados são os seguintes: Æ N=100 ; Æ n=2 meses = 1 bimestre Æ i= 5%a.m. = 10% ao bimestre Æ A=?
Teremos:
n
i
D
N
.
100
=
Æ100
10
1
100
x
D
=
Æ D=10 Æ E: A=N-D Æ A=90,00Se fosse só isso, o desenho da questão estaria pronto! Ocorre que, além das informações do desconto, diz-nos o enunciado que haverá uma retenção de 20% do valor de face, e que este valor será aplicado a juros de 6% ao bimestre.
Assim, como o valor nominal (valor de face) da promissória é 100, 20% dele serão iguais a 20.
O dono do título, que se dirigiu ao banco para descontar a promissória, levará consigo esses R$ 20,00? Não! Esta quantia ficará lá, no banco, aplicada. É uma exigência do contrato.
Assim, aquele valor atual (R$ 90,00) que havíamos calculado sofrerá nova redução. De quanto? De R$ 20,00. Levará quanto para casa? Apenas R$ 70,00.
A taxa de juros é de 6% ao bimestre.
Se o capital foi de R$ 20,00, os juros no período serão de R$ 1,20. E o montante que ele produzirá, R$ 21,20. Tudo bem até aqui?
Pois bem! De quanto era mesmo o valor nominal do título? Era R$ 100,00, conforme adotamos.
Para encontrarmos a taxa de juros que o banco utiliza, temos que saber que aqueles R$ 70,00 iniciais irão gerar um valor maior daqui a 2 meses. Quanto? Seriam aqueles R$ 100,00 (valor nominal do título)?
Na realidade, os R$ 100,00 terão que ser reduzidos de R$ 21,20.
Assim, na data 2m, o valor monetário presente naquela data era de R$ 78,80. Teremos:
Assim:
70,
Æ
n
i
J
C
.
100
=
Æi
80
,
8
100
70 =
Æ7
88
70
880 =
=
i
Æ i=12,6 %a.b. Æ Resposta!35. Uma loja oferece a seus clientes duas alternativas de pagamento: I. Pagamento de uma só vez, um mês após a compra;
II. Pagamento em três prestações mensais iguais, vencendo a primeira no ato da compra.
Pode-se concluir que, para um cliente dessa loja: a) a opção I é sempre melhor.
b) a opção I é melhor quando a taxa de juros for superior a 2% ao mês. c) a opção II é melhor quando a taxa de juros for superior a 2% ao mês. d) a opção II é sempre melhor.
e) as duas opções são equivalentes.
Sol.: Em meu entendimento, questão passível de anulação. O enunciado não forneceu elementos suficientes para concluirmos qual a melhor forma de pagamento.
Uma vez que não dispomos de valores numéricos para as parcelas, não há como concluir nada.
O enunciado não deixou claro nenhuma relação entre o valor das parcelas referentes às duas formas de pagamento. Não se sabe se uma parcela da segunda alternativa é 1/3 da parcela única da primeira. Ou uma outra fração qualquer.
Isso não foi dito pelo enunciado! Pode ser qualquer valor! Como dizer, então, que uma forma de pagamento é melhor que a outra?
Questão mal feita, e que precisa ser anulada.
36. Uma dívida é composta de duas parcelas de R$ 2.000,00 cada, com vencimento daqui a 1 e 4 meses. Desejando-se substituir essas parcelas por um pagamento único daqui a 3 meses, se a taxa de juros é 2% ao mês, o valor desse pagamento único é: (Despreze os centavos na resposta)
a) R$ 2.122, b) R$ 1.922, c) R$ 4.041, d) R$ 3.962, e) R$ 4.880,
Sol.: Questão tradicional de equivalência de capitais. Reparem que o enunciado não falou – expressa ou implicitamente – nada sobre o regime da operação, se simples ou composto.
Neste caso, em que não há nenhum sinal de regime composto presente na leitura, trabalha-se com o simples.
Aqui uma curiosidade: uma vez que a taxa da operação é relativamente baixa (2% a.m.) e as distâncias de tempo envolvidas são muito curtas, não vai influenciar muito optar por um regime ou pelo outro. A bem da verdade, as respostas serão praticamente iguais!
Senão vejamos: trabalhemos primeiro considerando o regime composto. Teremos:
Adotando como data focal a mais à direita do desenho, a equação de equivalência será a seguinte:
Æ X.(1+0,02)1 = 2000.(1+0,02)3 + 2000
Æ 1,02.X = (2000 x 1,061208) + 2000 Æ X = 4.122,42 / 1,02 Æ X = 4.041,00 Æ Letra C Æ Resposta!
Agora, resolvendo pelo regime simples! Uma vez que o enunciado não disse nada acerca da data focal, somos obrigados a adotar a data zero. Projetando todas as parcelas do desenho para lá, por meio de operações de desconto racional simples, teremos:
Æ
