Modelação Matemática de Sistemas Físicos
1. Para o sistema representado na figura, assumindo deslocamento apenas na vertical e um comportamento linear dos elementos do modelo, obtenha:
a) A função de transferência
G s
X s
F s
( )
( )
( )
=
e o circuito eléctrico equivalente.b) A representação em modelo de estado(Eq. de Estado + Eq. de saída).Escolha como variáveis de estado
x
,x&
. K1 K2 M B X - deslocamento F - força aplicada F x2. Para o sistema massa-mola-atrito representado na figura, obtenha: a) As seguintes funções de transferência:
i)
X S
F S
1( )
( )
ii)X S
F S
2( )
( )
iii)X S
X S
2 1( )
( )
b) A sua representação através de variáveis de estado. Considere como saída
x
2 e como entradaF(t)
. Escolha como variáveis de estadosx
2 ,x&
2.K1 M B Xi - deslocamentos F - força aplicada F x1 x2
3. Para o sistema representado na figura seguinte obtenha: a) A função de transferência
G s
X s
F s
( )
( )
( )
=
2 . b) O respectivo diagrama de blocos.c) A sua representação através de variáveis de estado. Considere como saída
x
2,x
1 e como entradaF(t)
. Escolha como variáveis de estadosx
2 ,x&
2 ,x
1,x&
1.K1 M1 B Xi - deslocamentos F - força aplicada F x1 x2 M2 K2
4. Para os sistemas mecânicos representados nas figuras A e B obtenha: a) Os modelos matemáticos associados.
b) A modelação do sistema, representado na figura B, por variáveis de estado. Escolha como variáveis de estado
x
,x&
e como saídax
.Despreze o atrito e considere condições iniciais nulas.
M F x K Figura (A)
M F x K1 K2 y Figura (B)
5. Para o sistema mecânico representado na figura, modelo simplificado da suspensão de uma roda de um automóvel, obtenha a função de transferência
G s
X s
X s
o i( )
( )
( )
=
.K
1M
B
x
ox
16. Obtenha a função de transferência
G s
X s
X s
o i( )
( )
( )
=
dos seguintes sistemas mecânicos. Admita que o sistema é linear.a) b) K1 B1 xo xi K2 K1 B1 xo xi B2 K2
7. Para o seguinte sistema mecânico de rotação obtenha:
a) A função de transferência que relaciona o momento aplicado
T
(entrada do sistema) com o deslocamento angular do eixoθ
.
b) A representação em modelo de estado. Considere como variáveis de estado
θ
,
θ
&
. Considere o eixo rígido.J
B
T θ
8. Para o circuito eléctrico representado obtenha: a) O diagrama de blocos associado.
b) A função de transferência
G s
V s
V s
o i( )
( )
( )
=
, simplificando o diagrama de blocos.c) A representação em modelo de estado.Considere como variáveis de estado
i
L, V
c.
d) Indique justificando se são variáveis de fase .
Vi
9. Considere os seguintes circuitos eléctricos: i) ii) R1 R2 C Vi Vo
R1 C1 C2 R2 Vi Vo
a) Obtenha as respectivas funções de transferência,
G S
V S
V S
i( )
( )
( )
=
0.
b) Obtenha a representação em modelo de estado do sistema correspondente à figura i). Considere
V
c como variavel de estado.c) Com base na função de transferência do sistema representado na figura ii), determine o modelo de estado.
10. Para o circuito eléctrico representado na figura: a) Determine a função de transferência
G s
I s
V s
( )
( )
( )
=
.b) Partindo da função de transferência, determine o modelo de estado.
V
I
11. Considerando o circuito representado:
a) Determine a função de transferência
G s
V s
I s
o i( )
( )
( )
=
b) Obtenha o diagrama de blocos que relaciona
V
o(s)
eI
i(s).
c) Determine a sua representação através de variáveis de estado. Escolha como variáveis de estado
i
Le V
c.
Ii
12. Obtenha a função de transferência,
G s
V s
V s
o i( )
( )
( )
=
, para os seguintes circuitos:a) b)
Ri Ro
R o R i c) d)
R C
C R e) f)
C R1 R2
R1 C R0 g)
R1 R2 R3 R4
h) Qual a designação de cada um dos circuitos representados nas alíneas anteriores ?
13. Partindo da função de transferência, do circuito representado na alínea e) do problema anterior, determine o respectivo modelo de estado. Que variável escolhe para variável de estado?
14. Para o circuito representado obtenha a função de transferência
G s
V s
V s
o i( )
( )
( )
=
. Assuma que os AMPOPs têm comportamento ideal.15. Verifique que o circuito representado na figura realiza a função de transferência
G s
V s
V s
s
as
o i( )
( )
( )
=
= −
+
+
1
1
2 . Admita funcionamento ideal para os AMPOPs,
a>0
eRC=1.
16. Para o circuito representado obtenha: h) A função de transferência
G s
V s
V s
o i( )
( )
( )
=
.17. Para o circuito representado obtenha a função de transferência
G s
V s
V s
o i( )
( )
( )
=
. Simplifique a expressão obtida para a situação em queR
1=
R
2=
R
eC
1=
C
2=
C
. Assuma que o AMPOP é ideal. Vi Vo Soluções: 1. a)G s
Ms
Bs K
K
( )
=
+
+
+
1
2 1 2 b)[ ]
x
x
k
k
M
B
M
x
x
M
F t
y t
x
x
1 2 1 2 1 2 1 20
1
0
1
1 0
. .( )
( )
= − −
−
+
=
2. a) i)X S
F S
MS
BS k
k MS
BS
1 2 2( )
( )
=
(
)
+
+
+
ii)X S
F S
MS
BS
2 21
( )
( )
=
(
+
)
iii)X S
X S
k
MS
BS k
2 1 2( )
( )
=
(
+
+
)
b)[ ]
z
z
B
M
z
z
M
F t
y t
z
z
1 2 1 2 1 20
1
0
0
1
1 0
. .( )
( )
=
−
+
=
3. a)
X S
F S
BS
M S
BS k
M S
BS k
S B
2 1 2 1 2 2 2 2 2( )
( )
=
(
+
+
)(
+
+
)
−
c)z
z
z
z
k
M
B M
B M
B M
k
M
B M
z
z
z
z
M
F t
y t
z
z
z
z
1 2 3 4 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 3 4 1 1 2 3 40
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1 0 0 0
0 0 1 0
. . . ./
/
/
/
/
/
( )
( )
=
−
−
−
−
+
=
4 a)G s
X s
F s
Ms
K
G s
X s
F s
Ms
K K
K
K
A B( )
( )
( )
( )
( )
( )
=
=
+
=
=
+
+
1
1
2 2 1 2 1 2 b)[ ]
x
x
k k
M k
k
x
x
M
F t
y t
x
x
1 2 1 2 2 1 1 2 1 20
1
0
0
1
1 0
. .(
)
( )
( )
=
−
+
+
=
5.G s
K
Bs
Ms
Bs K
( )
=
+
+
+
2 6. a)G s
K
Bs
Bs K
K
( )
=
+
+
+
1 1 2 b)(
)(
)
(
1 2 2 2 1 2)
1 2 2 2 1 2 2 1 1k
k
s
B
k
k
B
k
B
s
B
B
k
s
B
k
s
B
+
+
+
+
+
+
6. a)θ( )
( )
(
)
S
T S
=
S JS B
+
1
b)
[ ]
x
x
B J
x
x
J
U t
y t
x
x
1 2 1 2 1 20
1
0
0
1
1 0
. ./
/
( )
( )
=
−
+
=
7. b)G s
R
R
R LCs
R R Cs R
R
( )
(
)
=
+
+
+
+
2 1 2 2 1 2 1 2 c)[ ]
x
x
C
L
R R
L R
R
x
x
L R
R
R
U t
y t
x
x
1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 20
1
1
0
1 0
. ./
/
(
)
(
)
( )
( )
= −
−
+
+
+
=
9. a) i)G S
R CS
CS R
R
( )
(
)
=
+
+
+
2 1 21
1
ii)G S
C R S R C S
R C S
R C S
R C S
( )
(
)(
)
(
)(
)
=
+
+
+
+
+
1
1
1
1
1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 b)x
x
R
R C
V
R
R C
y t
R
R
R
x
R
R
R
V
i i 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 .(
)
(
)
,
( )
= −
+
+
+
=
+
+
+
c)a = C
1R
1b = C
2R
2x
x
ab
a b
ab
R C
ab
x
x
ab
U t
y t
ab
C R
x
x
U t
1 2 2 1 1 2 1 2 1 20
1
1
0
1
1
. ./ ( )
(
)
( )
( )
( )
=
−
− + +
+
=
−
+
10. a)G s
LCR s
L R R C s R
R
( )
(
)
=
+
+
+
+
1
2 2 1 2 1 2 b)[ ]
x
x
R
R
R CL
L CR R
R CL
x
x
R CL
U t
y t
x
x
1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 20
1
0
1
1 0
. .(
)
(
)
( )
( )
= −
+
−
+
+
=
11. a)G s
s
C s
R
L
s
LC
( )
(
)
=
+
+
21
c)
