Um Estudo de Procedimentos de Validação de Igualdades
Algébricas Por Meio da Aritmética E da Geometria
Adriano da Fonseca Melo José Luiz de Freitas Magalhães
Introdução
Durante 14 anos de trabalho com turmas de anos finais do Ensino Fundamental e turmas do Ensino Médio, foi possível observar que, de modo geral, os alunos permanecem vários anos estudando e ainda assim, não conseguem desenvolver habilidades com relação ao cálculo algébrico, mesmo utilizando vários recursos propostos em livros didáticos e outras metodologias educacionais.
A busca por diferentes recursos didáticos para ensinar cálculo com expressões algébricas está ligada com a vontade de fugir da prática convencional de sala de aula, em que o conteúdo é apresentado de forma geral, sendo trabalhado por meio da simbologia e os problemas são desinteressantes ou sem sentido para os alunos. O cálculo algébrico, em muitos casos, é apresentado ao aluno como sendo um assunto de cálculo literal, ou prolongamento do cálculo numérico, onde o aluno precisa decorar algumas regras para resolver os problemas. O livro didático, em alguns casos, reforça este trabalho.
Apresentarei a seguir uma breve análise do tratamento dado nos livros didáticos ao tema. Inicialmente observamos que, conforme o guia do livro didático do PNLD 2008 não há um consenso entre os autores de livros didáticos sobre qual o melhor momento para iniciar o trabalho com álgebra. Alguns preferem já nas primeiras páginas, do livro correspondente ao sexto ano do Ensino Fundamental, apresentar a linguagem algébrica sem o preparo adequado do aluno para lidar com este conteúdo, como se a aprendizagem ocorresse espontaneamente. Outros preferem trabalhar as propriedades aritméticas sem representá-las algebricamente, deixando para fazer isso somente depois da introdução da álgebra. Há os livros que introduzem de forma gradual, preparando o aluno para compreender a linguagem algébrica
como uma ferramenta para expressar conceitos matemáticos. Há coleções que preferem omitir qualquer referência à linguagem algébrica no sexto ano, prejudicando assim a construção gradativa do conhecimento algébrico. De acordo com o PNLD/2008
Algumas coleções ainda exageram na abordagem do cálculo algébrico, incluindo o tratamento de equações que poderiam ser deixadas para outros níveis de escolaridade, como as biquadradas, irracionais, fracionárias e literais. Por outro lado, já são muitas as coleções que, de forma adequada, utilizam-se dos conhecimentos de área, desenvolvidos em momentos anteriores, para auxiliar o aluno a entender produtos notáveis e as fatorações de polinômios. (BRASIL, p.45)
Os PCN de Matemática defendem que o trabalho com os conceitos algébricos deveria ser desenvolvido a partir da observação de regularidades e estabelecendo relações, ao invés de desenvolver o estudo dos conceitos algébricos apenas enfatizando as manipulações de expressões e equações de forma mecânica. Eles consideram ainda, que o estudo da álgebra é um campo fértil para que o aluno desenvolva e exercite sua capacidade de abstração e generalização, além de possibilitar a aquisição de uma poderosa ferramenta para resolver problemas.
Diante do exposto, a cada ano que eu verificava que, mesmo com muito esforço, não tinha conseguido atingir o que era previsto, ou seja, desenvolver habilidades ligadas ao campo da álgebra e uma enorme angústia dominava as minhas reflexões. As mesmas serviam de impulso para buscar novas formas e metodologias que permitissem romper as barreiras criadas quanto ao domínio de conteúdos algébricos.
Na busca por novas formas e metodologias de ensino, tive a oportunidade de analisar algumas pesquisas realizadas cujo tema estava relacionado ao ensino do cálculo com expressões algébricas. Entretanto, o número de pesquisa pouco demonstrando que tem muito a ser pesquisado. Dentre as pesquisas que estive lendo, constam os tratados escritos pelos pesquisadores ligados a NCTM (National Council of Theacher of Mathematics) e alguns relatos de experiência desenvolvidos por professores comunidade brasileira de educadores matemáticos, por meio de publicações da revista Educação Matemática em Revista.
Com essa constatação, resolvi desenvolver a pesquisa em que o objetivo é investigar possíveis aprendizagens no trabalho com expressões algébricas por meio de procedimentos de validações que fazem uso dos domínios aritméticos e geométricos com alunos do 8º ano do Ensino Fundamental.
Justificativa
O campo da álgebra é composto de diversos conceitos, o que exige um recorte para ser trabalhado. Para tanto a minha experiência profissional, e os cursos de formação continuada para professores de séries iniciais e professores formados em Matemática os quais ministrei, serviram para indicar as expressões algébricas. Os diálogos com os professores serviram para perceber símiles entre as dificuldades dos meus alunos e as recorrentes nas turmas em que os professores ministravam aula. Dentre as dificuldades apontadas por estes docentes, destaca-se a articulação dos conceitos estudados na aritmética e na geometria com conceitos estudados na álgebra. A dificuldade pode dar uma falsa impressão ao aluno de que o sentido da expressão algébrica é o de um conteúdo posto para complicar sua vida e que não tem utilidade nenhuma. Inicialmente realizei a leitura de textos produzidos por professores ligados a grupos de instituições que já desenvolvem pesquisas na área de Educação Matemática. Esses textos permitiram que eu realizasse as primeiras reflexões sobre o processo de ensino e de aprendizagem da Matemática e sua influência nas ações do dia-a-dia do cidadão e questões referente o ensino dos conteúdos matemáticos. Dentre os textos lidos está “Matemática em ação” do Skovsmose (2002), que fala da importância do saber matemático para representar situações do cotidiano, de tal forma que justifique estratégias comerciais e sociais de organização, tanto do trânsito de uma grande cidade como a venda de passagens de uma empresa aérea. Para tanto, o uso da linguagem algébrica torna-se um recurso muito útil nessa representação.
Outra fonte utilizada para consulta é a revista “Educação Matemática em revista”, na qual os relatos de experiências quanto ao aprender matemática e sobre possíveis encaminhamentos seguidos durante projetos realizados em sala de aula por professores e pesquisadores brasileiros, os quais têm como foco o ensino e a aprendizagem de conteúdos matemáticos e aplicação de pesquisas realizadas em vários locais do mundo, como Estados Unidos e França.
Booth (1988) no artigo “dificuldades das crianças que se iniciam em álgebra” parte do estudo desenvolvido na década de 1980 para o NCTM, aponta a álgebra como fonte de confusão e atitudes negativas, e uma das razões pode estar no fato dos alunos acharem provavelmente a álgebra difícil. Todavia Booth percebeu que o tempo de estudo não representa maior aprendizagem, ao comparar os erros cometidos pelos alunos, independente
de anos de estudo do conteúdo algébrico, ficou evidente algumas semelhanças, as quais podem estar ligadas as idéias dos alunos sobre aspectos como: o foco da atividade algébrica e a natureza das “respostas”; o uso da notação e da convenção em álgebra; o significado das letras e das variáveis; os tipos de relações e métodos usados em aritmética.
Se considerarmos o estatuto do uso de letras, perceberemos que há uma tendência de evitar a distinção “nome-objeto” e pensar numa variável simplesmente como um símbolo pelo qual se podem substituir coisas, para Usiskin (1988) essa concepção de variável como “símbolo que representa indistintamente os elementos de um conjunto” é tão natural hoje que não é questionado. Contudo, não é o único ponto de vista a ser considerado com relação a variáveis. No início do século XX, a matemática formalista considerava as variáveis e todos os outros símbolos matemáticos como meros sinais no papel, relacionados entre si por propriedades assumidas ou deduzidas que por sua vez não passam de sinais no papel.
Porque utilizar a abordagem aritmética? Segundo Booth (1995) a álgebra não é isolada da aritmética, ou seja, seria uma aritmética generalizada, residindo aí a fonte de algumas dificuldades dos alunos. Ainda segundo a mesma, “para compreender a generalização das relações e procedimentos aritméticos é preciso primeiro que tais relações e procedimentos sejam apreendidos dentro do contexto aritmético”.
Usiskin (1995) em seu artigo concepções sobre a álgebra da escola média e utilização das variáveis, aponta algumas concepções a saber:
• Aritmética generalizada – uso das variáveis para generalizar modelos (traduzir, generalizar)
• Meio de resolver certos problemas – uso das variáveis como incógnitas, constantes (resolver, simplificar)
• Estudo de relações – uso das variáveis como argumentos, parâmetros (relacionar, gráficos)
• Estruturas – uso das variáveis como sinais arbitrários no papel (manipular, justificar)
Já Charlouth e Hercosvics (1995) apresentam argumentos para justificar o uso de uma abordagem geométrica no ensino de expressões algébricas. Na pesquisa desenvolvida por elas com alunos de sexta e sétima série demonstrou que o uso de problemas envolvendo conceitos
[p1] Comentário: Outra referência que também precisa colocar na bibliografia.
[p2] Comentário: Faltou indicar o número da página dessa citação.
geométricos permite aos alunos “construírem um significado para expressões envolvendo uma incógnita e uma operação até para expressões envolvendo várias incógnitas e várias operações”.
Os diferentes significados atribuídos aos registros algébricos servem para indicar alguns caminhos a serem trilhados durante a investigação das interações entre os domínios, entendido aqui como sendo o conjunto de propriedades e conceitos que formam a aritmética, a geometria e a álgebra, que estão diretamente interligados com o ensino das expressões algébricas nos anos finais do Ensino Fundamental. A preocupação com o ensino da álgebra e suas inter-relações como os outros domínios não são tão novos, conforme pode ser observado nas pesquisas de Booth, Usiskin e Charlouth e Hercosvics. Entretanto há pontos a serem investigados com o intuito de descobrir as relações e interferências que podem levar a uma aprendizagem das expressões algébricas.
Objeto e os Objetivos de Estudos
O objeto de estudo da nossa pesquisa é o estudo dos procedimentos de validação de alunos do 8º ano ao realizar cálculos algébricos, utilizando os domínios aritméticos e geométricos.
Desse modo, investigaremos inicialmente alguns tipos de atividades que apresentam procedimentos de validações das expressões algébricas por meio da aritmética ou da geometria nos livros didáticos e verificaremos a freqüência de atividades que trabalham com essas mudanças de domínios.
A partir desses dados coletados analisaremos procedimentos de validação que fazem parte dos livros didáticos, com a finalidade de encontrar subsídios para elaborar uma seqüência didática. Tal seqüência tem o propósito de investigar possíveis aprendizagens no trabalho com expressões algébricas por meio de procedimentos de validações que fazem uso dos domínios aritméticos e geométricos, com alunos do 8º ano do ensino fundamental.
Acreditamos que a elaboração de uma seqüência didática nos possibilitará identificar os procedimentos de substituição de letras por números particulares e cálculos aritméticos realizados, bem como uso de propriedades aritméticas. Pretendemos ainda permitirá identificar dificuldades para calcular áreas de retângulos cujas medidas dos lados estão representadas por
[p3] Comentário: Faltou dizer o número de página dessa citação.
números ou por letras, bem como o uso de propriedades geométricas. Os dois aspectos anteriores possibilitarão a análise das validações realizadas por meio de confrontação de resultados de cálculos em diferentes domínios, assim como, aprendizagem em relação ao uso de cálculos envolvendo expressões algébricas.
A análise das validações ocorrerá em conformidade com o que é proposto por Brousseau (1988) e Margolinas (1993) em que o trabalho do aluno não se restringe às informações em torno do conhecimento, mas extrapolam para certas afirmações, elaborações e declarações sobre esse conhecimento. O aluno é levado a propor uma prova daquilo que está afirmando, com o intuito de convencer seu ouvinte de algo que ele aceita como correto. Referencial Teórico
O referencial teórico auxilia o pesquisador a analisar os dados coletados, ao fornecer alguns parâmetros que precisam ser seguidos para que se desenvolva de forma coerente com os objetivos. Porém, o pesquisador precisa ter o cuidado de escolher procedimentos metodológicos coerentes com o teórico, pois alguns instrumentos de coleta possibilitarão a realização em conformidade com os objetivos e com o referencial teórico que servirá de aporte.
Neste projeto utilizaremos a “teoria das situações didáticas” de Guy Brousseau (1986) para identificação e análise de validações por meio do confronto de resultados, em diferentes domínios matemáticos, ao permitirem a análise de situações didáticas, em particular das fases adidáticas de validação e o estudo do envolvimento dos alunos com a realização de cálculos e validação dos mesmos. O uso da teoria de Brousseau deverá possibilitar o estudo de momentos didáticos nos quais o aluno estará formulando afirmações e procurando justificativas para validá-las.
A teoria das Situações Didáticas é uma teoria epistemológica, cuja problematização matemática, alicerça a concepção de que se aprende por adaptação a um meio. Ainda, Brousseau define o papel do matemático, o qual ao se deparar com um problema, investiga com o intuito de encontrar uma solução para a situação. O encontrar um resultado gera um novo saber, que deverá ser descontextualizado, despersonalizado e destemporalizado. Entretanto, o papel do professor é propor situações problema em que o saber é contextualizado
e personalizado, dessa forma cabe ao aluno investigar, levantar hipóteses, experienciar e concluir sobre suas tentativas, que poderá resultar na solução do problema. A partir do momento que o aluno detém a solução para a situação apresentada pelo professor, caberá percorrer o caminho inverso do professor, ou seja, re-descontextualizar, re-despersonalizar e re-destemporalizar, incorporando o novo saber ao seu repertório cognitivo.
Uma situação é caracterizada didática quando fica claramente a intenção do professor de possibilitar ao aluno momentos de aprendizagem de um determinado conteúdo. Brousseau caracteriza uma situação didática como sendo:
O conjunto de relações estabelecidas explicitamente e ou implicitamente entre um aluno ou um grupo de alunos, num certo meio compreendendo eventualmente instrumentos e objetos, e um sistema educativo (o professor) com a finalidade de possibilitar a estes alunos um saber constituído ou em vias de constituição[...](BROUSSEAU, apud FREITAS, 2007, p.80)
Sendo assim, o professor organiza as interações do aluno com o saber através da devolução. Esta devolução entendida como condições que possibilitam ao aluno apropriar da situação, a partir desse momento o professor pode deixá-lo com a responsabilidade da pesquisa, caracterizando dessa forma o inicio de uma situação adidática. Uma situação adidática (FREITAS, 2007) caracteriza-se por momentos em que o aluno trabalha de forma independente da ação do professor, relativo ao conteúdo matemático em jogo. Os alunos são os responsáveis pela investigação e autônomos na pesquisa da solução. Cabe ressaltar que não pode confundir uma situação adidática com uma situação não-didática, pois essa situação não foi planejada visando uma aprendizagem, mas surge eventualmente na vivência pessoal do sujeito.
Na situação adidática o aluno inicialmente não vê um objetivo didático, entretanto ao assumir a responsabilidade em resolver o problema, estará mobilizando uma gama de conhecimentos já adquiridos e que servirão de base nas suas tentativas que conduzirá a um novo conhecimento. Durante o processo de construção do novo conhecimento o aluno vivenciará momentos que não são hierárquicos, mas sim momentos que ocorrem simultaneamente, a estes momentos Brousseau chamou de ação, formulação e validação. O problema a ser resolvido deve ser capaz de permitir ao aluno que aplique conhecimentos já acomodados, mas que não são suficientes para resolver o problema.
A necessidade de procurar novos conhecimentos que possibilite a resolução do problema levará o aluno a desenvolver algumas ações que levarão a dominar os conhecimentos e que eram objetivo do professor quando selecionou a situação-problema. Durante a busca do conhecimento necessário o aluno realiza algumas formulações que representam naquele momento suas idéias com relação ao problema, entretanto são idéias que necessitam serem validadas para que continue seu raciocínio, para tanto o aluno procura suas fontes de validações, que no caso do método clássico seria o professor, mas para Brousseau o aluno deveria criar novos mecanismos de validações que permitissem a ele assumir com autonomia este processo de aprendizagem.
Dessa forma a melhor ação do professor, durante o processo de busca do aluno, seria utilizar a metodologia socrática, isto é, a cada pergunta do aluno ele responderia com uma nova pergunta que o obrigue a refletir sobre sua resolução e sobre o que estava inicialmente sendo pedido no problema. Levando o aluno a pensar, refletir, argumentar e estabelecer formas de provar as proposições contidas em suas formulações. De acordo com FREITAS (2007) “um processo de validação se caracteriza principalmente como uma atividade que tem como finalidade assegurar a validade de uma dada proposição matemática podendo ainda consistir na produção de uma explicação teórica”. Assim o aluno pode apresentar para um grupo de colegas ou para a sala sua estratégia e hipóteses sobre a situação, e isso pode ocorrer por meio da escrita de algumas idéias ou oralmente argumentando suas idéias.
MARGOLINAS (1993) defende que as ações dos alunos devem estar ligadas a condição de ter êxito na realização da tarefa a qual tomou como sua, sendo capaz de antecipar alguns passos para ter êxito na realização da tarefa. Com relação à validação Margolinas (1993, p.40) coloca:
A noção de fase de validação dever estar ligada com a de finalidade. A finalidade das ações do aluno na situação adidática é ter êxito na tarefa que tomou cargo. Ainda, é necessário que possa antecipar como pode fazer para ter êxito, sem que aquilo lhe seja entregue pelo professor.
BROUSSEAU (1986) enfatiza a necessidade da interação das mensagens e da troca das mesmas com o meio, assim como a diferença que há entre uma informação e uma afirmação de validação, o que na matemática é muito claro e importante. Com relação a este aspecto BROUSSEAU (1986, p.72) asserta:
Existem enfim interações nas quais as mensagens trocadas com o meio são afirmações, teoremas, demonstrações, emitidos e recebidos como tais. A diferença entre uma informação e uma afirmação de validade é suficientemente clara e importante em matemática para que seja inútil insistir.[...] podem ser mesmo de diferentes tipos, como que se a validade sintática ou a validade semântica da declaração contida na afirmação, como que intervêm como ensaio, demonstração ou como axiomas ou definições. Ele também invocar-se-a validade pragmática, a apreciação sobre a eficácia da declaração.
Ao professor cabe, após os debates em sala de aula das diversas idéias e estratégias, sistematizar as produções aproximando assim do saber constituído universalmente. Entretanto, este trabalho não compete somente ao professor, mas também a sala de aula que junto com o professor formarão a redação final de tudo que foi discutido e cruzarão com as informações registradas em livros didáticos. Segundo FREITAS (2008, p.102)
[...] cabe ao professor organizar essa síntese do conhecimento procurando elevá-lo a um estatuto de saber que não dependa mais dos aspectos subjetivos e particulares. Faz-se necessário igualmente estabelecer as devidas correlações com outros saberes, essas sínteses são necessárias para que possam ser reinvestidas em outras situações.
O outro referencial teórico a ser utilizado nesta pesquisa será com relação às interações de domínios conceituais da Matemática. Douady (1986) propõe a teoria da dialética ferramenta-objeto com o intuito de analisar fenômenos de ensino-aprendizagem da Matemática, permitindo assim uma leitura da evolução das noções matemáticas. A dialética ferramenta – objeto serve como instrumento de análise da aprendizagem efetivamente existente. Ainda, essa aprendizagem ocorre quando o aluno é capaz de utilizar os conhecimentos como ferramenta para resolver situações–problema propostas pelo professor, entretanto estes conhecimentos podem não ser suficiente para encontrar a solução, obrigando assim o aluno a pesquisar uma ferramenta adequada para resolver o problema.
Os alunos poderão apresentar várias formas de conhecimentos, que precisam ser explicitados e institucionalizados, cujo objetivo é dar um estatuto de objeto do conhecimento, as quais se tornarão num outro momento, ferramentas a serem utilizadas para resolver o
problema. Porém, este conhecimento deverá ser utilizado outras vezes para resolver outros problemas o que permitirá a familiarização do aluno com ele. Para tanto, devem ser a ele propiciadas situações de diferentes níveis de complexidade, exigindo assim que o aluno teste ou desenvolva novos conhecimentos. No desenvolvimento do processo de aprendizagem é importante que o aluno saiba transitar entre os diferentes domínios conceituais existentes na Matemática. Douady (1986, p. 389) caracteriza de interação entre domínios. Para ela um quadro é constituído de ferramentas de uma parte da matemática, de relações entre os objetos, suas formulações eventualmente diferentes e de imagens mentais associadas a essas ferramentas e relações. Ainda, de acordo com Douady dois domínios podem ter os mesmos objetos, porém diferentes por causa das imagens mentais e da problematização desenvolvida a partir deles. Conforme Maranhão (2008, p.165)
busca-se um modo de avivar,o mais possível, as relações matematicamente importantes entre as noções e um certo número de outras, interessantes, no contexto do problema. Isso leva à construção de situações em que mais de um domínio está em jogo, à freqüente interação entre domínios, a fazer funcionarem diversas ferramentas[...]
As ferramentas aqui pensadas são os conceitos relativos aos domínios aritmético e geométrico, que inter-relacionam com os algébricos, os quais estão implícitos ou explícitos no manuseio das expressões para representar propriedades numéricas e geométricas, envolvendo particularmente áreas e perímetros de figuras geométricas.
Aspectos Metodológicos da Pesquisa
No que concerne ao referencial metodológico, é ele norteará os passos a serem seguidos durante o processo de pesquisa, e a clareza desse referencial a análise de outras pesquisas que o utilizou, a forma como autores se utilizam dessa metodologia. No caso da pesquisa a qual desenvolverei será utilizado a “Engenharia Didática” de Michele Artigue (1991) como referencial metodológico ao propor um caminho que possibilita a coleta dos dados necessários para o desenvolvimento do trabalho.
A Engenharia Didática propõe que o pesquisador realize quatro fases distintas e ao mesmo tempo com algumas imbricações. A primeira trata de uma análise preliminar, em que é levantado o aspecto epistemológico dos conteúdos visados pelo ensino, o ensino usual e seus efeitos, concepções dos alunos, das dificuldades e obstáculos que marcam suas avaliações e o
campo de coação, no qual se situará a realização didática efetiva. Tais análises terão como suporte, pesquisas já realizadas sobre os aspectos epistemológicos do conteúdo do ponto de vista do professor e do aluno, livros didáticos, documentos oficiais que norteiam o ensino no país.
A segunda fase é a concepção e análise a priori em que o pesquisador delimita algumas variáveis sobre as quais irá agir, definindo assim as variáveis que comandarão, por serem pertinentes ao problema dado. Artigue (1988) afirma que o objetivo da análise a priori é de determinar em qual das escolhas efetuadas permite controlar os comportamentos dos alunos e seu sentido. Aqui comportamento é utilizado com o sentido de compreender a ação cognitiva do aluno perante a resolução de uma situação problema. Neste projeto as variáveis escolhidas serão as expressões algébricas representadas nas atividades de área e perímetro de figuras geométricas, nas quais aparecem elementos da aritmética e da geometria e nas propriedades numéricas.
A terceira fase consiste em preparar a seqüência didática, a qual é composta por um certo número de sessões planejadas e analisadas previamente com a finalidade de observar as produções dos alunos durante o desenvolvimento das seqüências. Durante as sessões será observado como os alunos transitam entre os conceitos aritméticos, geométricos e algébricos.
A seqüência será composta 10 sessões, nas quais serão trabalhados os conceitos aritméticos e geométricos necessários para os alunos validarem as respostas dadas às atividades. Cada sessão é plausível de análises que permitirá correções de rumo no processo de investigação, em relação às sessões seguintes.
A quarta fase será a experimentação e análise a posteriori, a qual consiste em aplicar as atividades durante as sessões com duração de uma hora/aula cada, em que os alunos realizarão os registros nas fichas atividades, as quais deverão ser respondidas utilizando caneta, o que permitirá analisar as tentativas, os conceitos e propriedades utilizadas para encontrar as soluções. Nas sessões em que os alunos trabalharem em dupla será utilizado o gravador e o registro de observações durante o trabalho. Ainda, nessa fase ao final de cada sessão será feita análise dos dados coletados confrontando com as expectativas levantadas na análise a priori. Este controle mais de perto possibilitará a correção de aspectos que precisam ser corrigidos para as próximas sessões.
A última fase consiste em validar os dados coletados, entretanto não é algo que ocorrerá somente ao final da seqüência didática, mas será feito meio em paralelo com as sessões. Para tanto serão analisadas as argumentações utilizadas pelos alunos para justificar procedimentos de resolução. Cabe ressaltar que o PCN de matemática para o 3º e 4º ciclos, em vários momentos, defende o trabalho com atividades em que o aluno seja levado a argumentar sobre suas estratégias e até mesmo a realizar prova preliminar de algumas propriedades matemáticas.
A pesquisa terá como foco os registros dos alunos para validar suas afirmações, utilizando para isso as interações de domínios, as produções durante as sessões, por meio da análise das produções escritas e das gravações de falas dos alunos durante as atividades das sessões, o que poderá indicar possíveis aprendizagens no trabalho do aluno com expressões algébricas envolvendo a interação com os domínios aritméticos e geométricos.
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