PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA ESCOLA DE ENGENHARIA UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE. Dissertação de Mestrado

(1)

PGMEC

PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA

ESCOLA DE ENGENHARIA

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

Dissertação de Mestrado

DESENVOLVIMENTO DE SOLUÇÕES

PARA PROBLEMAS DE

ADVECÇÃO-DIFUSÃO COMBINANDO

TRANSFORMAÇÃO INTEGRAL E

MÉTODOS DISCRETOS

DANIEL JOSÉ NAHID MANSUR CHALHUB

(2)

DANIEL JOSÉ NAHID MANSUR CHALHUB

DESENVOLVIMENTO DE SOLUÇÕES PARA

PROBLEMAS DE ADVECÇÃO-DIFUSÃO

COMBINANDO TRANSFORMAÇÃO INTEGRAL

E MÉTODOS DISCRETOS

Tese apresentada ao Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânicada UFF como parte dos requisitos para a obtenção do título de Mestre em Ciências em Engenharia Mecânica

Orientador(es): Leandro Alcoforado Sphaier, Ph.D. Leonardo Santos de Brito Alves, Ph.D.

UNIVERSIDADEFEDERALFLUMINENSE

(3)

DESENVOLVIMENTO DE SOLUÇÕES PARA

PROBLEMAS DE ADVECÇÃO-DIFUSÃO

COMBINANDO TRANSFORMAÇÃO INTEGRAL

E MÉTODOS DISCRETOS

Esta tese foi julgada adequada para a obtenção do título de MESTRE EM ENGENHARIA MECÂNICA

na área de concentração de Termociências, e aprovada em sua forma final pela Banca Examinadora formada pelos membros abaixo:

Leandro Alcoforado Sphaier, Ph.D (Orientador) Universidade Federal Fluminense – PGMEC/UFF

Leonardo Santos de Brito Alves, Ph.D (Orientador) Instituto Militar de Engenharia – PGED/IME

Maria Laura Martins-Costa, D.Sc

Universidade Federal Fluminense – PGMEC/UFF

Renato Machado Cotta, Ph.D

(4)

Resumo

O presente trabalho tem como objetivo analisar e comparar diversos tipos de abor-dagem utilizando a Técnica da Transformada Integral Generalizada (GITT) e o Método de Volumes Finitos (FVM) e o desenvolvimento de metodologias mistas.

Diversos problemas de advecção-difusão são considerados: Convecção forçada de calor entre placas paralelas de fluidos newtonianos e não newtonianos (Power-law e fluido de Bingham), convecção forçada em microcanais, convecção forçada em dutos retangulares e equação de Burgers. Em todos os casos foram considerado o regime de escoamento laminar, desenvolvido hidrodinamicamente e em desenvolvimento tér-mico. As condições de contorno clássicas de temperatura prescrita na parede foram utilizadas. Nos problemas desenvolvidos, foi considerado a simplificação de difusão axial desprezível (Pe À 1).

A equação de Burgers também foi solucionada por utilizando uma abordagem mista envolvendo GITT e métodos discretos, onde cinco aproximações discretas fo-ram propostas para o termo advectivo.

Em todas as comparações realizadas entre FVM e GITT, a integração da equação no método de FVM é sempre realizada na mesma direção da transformação integral de GITT. Desse modo os sistemas de equações diferenciais ordinárias de ambas metodo-logias são resolvidos utilizando a mesma rotina numérica na direção de marcha.

Todos os sistemas de equações diferenciais ordinárias foram solucionados pela ro-tina numérica NDSolve do software Mathematica. Esse programa também foi utili-zado no auxílio de manipulações simbólicas em todas as formulações.

(5)

Abstract

This study aims to analyze and compare different types of approaches using the Ge-neralized Integral Transform Technique (GITT) and the Finite Volume Method (FVM) as well the development of mixed methodologies.

Several advection-diffusion problems are considered: Forced heat convection bet-ween parallel plates of non-Newtonian and Newtonian fluids (Power-law and Bingham fluid), forced convection in microchannel, forced convection in rectangular ducts and Burgers equation. The flow is laminar as well as hydrodynamically developed and thermally developing. The classical prescribed temperature boundary conditions were used on the wall. In all problems, wed considered negligible axial diffusion (Pe À 1).

The Burgers equation was also solved using a mixed approach involving discrete methods and GITT, where five discrete approximations were proposed for the advec-tive term.

In all comparisons done between FVM and GITT, the integration of the equation by FVM is always performed at the same direction as the integral transformation of GITT. Thus the systems of ordinary differential equations from both methods are solved using the same time marching numerical routine.

All ordinary differential equation systems were solved by the routine NDSolve from Mathematica Software. This program was also used to aid all symbolic manipu-lation.

(6)

Sumário

Resumo . . . iv

Abstract . . . v

Nomenclatura. . . xvi

1. Introdução . . . 1

1.1 Histórico da Técnica da Transformada Integral . . . 2

1.2 Revisão bibliográfica . . . 5

1.3 Organização do Trabalho . . . 12

2. Formulação Matemática . . . 13

2.1 Convecção forçada entre placas paralelas . . . 13

2.1.1 Convecção forçada entre placas paralelas - Hagen-Poiseuille . 16 2.1.2 Convecção forçada em microcanais . . . 17

2.1.3 Convecção forçada em fluidos não newtonianos . . . 18

2.2 Convecção forçada em dutos retangulares . . . 19

2.3 Equação de Burgers não linear . . . 21

3. Soluções pela Técnica da Transformada Integral . . . 22

3.1 Introdução a Técnica da Transformada Integral . . . 22

3.1.1 Metodologia . . . 24

3.2 Convecção forçada entre placas paralelas - Hagen-Poiseuille . . . 27

3.3 Convecção forçada em microcanais . . . 30

3.3.1 Problema de Autovalor de Helmholtz . . . 30

3.3.2 Problema de autovalor com a velocidade como função peso . . 33

3.4 Convecção forçada em fluidos não newtonianos . . . 35

(7)

3.6.1 Problema Filtro . . . 43

3.6.2 Problema de Autovalor e Par Transformada . . . 44

4. Soluções pelo Método de Volumes Finitos . . . 47

5. Formulação Mista Envolvendo Expansão em Autofunções e Metodologias Discretas. . . 58

5.2.1 Aproximação atrasada de primeira ordem: Formulação Padrão (UDS) . . . 62

5.2.2 Aproximação atrasada de primeira ordem: Formulação Hí-brida (UDS*) . . . 63

5.2.3 Aproximação centrada de segunda ordem (CDS) . . . 64

5.2.4 Aproximação totalmente atrasada de segunda ordem (UDS2) . 64 5.2.5 Aproximação parcialmente atrasada de terceira ordem (UDS3) 65 6. Resultados e discussão . . . 66

6.1 Implementação . . . 66

6.3 Convecção forçada em microcanais . . . 71

6.5.1 Comparação entre GITT e FVM . . . 81

6.5.2 Formulação mista . . . 86

6.6 Equação de Burgers não linear - Comparação entre GITT e FVM . . . 91

(8)

7. Conclusões . . . 123

8. Bibliografia . . . 127

(9)

Lista de Figuras

6.1 Perfil das funções filtro utilizadas na implementação computacional para todas as formulações. . . 92 6.2 Erro vs. tempo computacional para GITT e FVM comRe = 1eξ = 0,1. 98 6.3 Erro vs. tempo computacional para GITT e FVM comRe = 1eξ = 0,3. 98 6.4 Erro vs. tempo computacional para GITT e FVM comRe = 1eξ = 0,5. 99 6.5 Erro vs. tempo computacional para GITT e FVM comRe = 1eξ = 0,7. 99 6.6 Perfil das condições iniciais utilizadas para a implementação

compu-tacional para a formulação GITT mista. . . 101 6.7 Gráficos do campo de velocidade comparando a influência da variação

do parâmetroδ. Mantendo todos os outros parâmetros constantes (α =

50, t0= 0, 5,Re = 100,τ = 0,5enmax= 5). . . 103

6.8 Gráficos do campo de velocidade comparando a influência da variação do parâmetroδ. Mantendo todos os outros parâmetros constantes (α =

10000,t0= 0,Re = 100,τ = 0,5enmax= 15). . . 104

6.9 Gráficos do campo de velocidade comparando a influência da variação do parâmetroδ. Mantendo todos os outros parâmetros constantes (α =

(10)

Lista de Tabelas

6.1 Temperatura adimensional paraη = 0eη = 0,5. (GITT). . . 68

6.2 Temperatura adimensional paraη = 0eη = 0,5(FVM). . . 69

6.3 Número de Nusselt (GITT). . . 69

6.4 Número de Nusselt (FVM). . . 70

6.5 Número de Nusselt local para o problema de autovalor de Helmholtz (w = 1). . . 72

6.6 Número de Nusselt local para o problema de autovalor com velocidade (w (η) = u∗(η)). . . 73

6.7 Número de Nusselt para diferentes fluidos Power-law (FVM). . . 75

6.8 Número de Nusselt para diferentes fluidos de Bingham (FVM). . . 76

6.9 Número de Nusselt para diferentes fluidos Power-law (GITT). . . 77

6.10 Número de Nusselt para diferentes fluidos de Bingham (GITT). . . 78

6.11 Estimativa do erro para FVM. . . 79

6.12 Estimativa do erro para GITT. . . 80

6.13 Convergência da velocidade para algumas posições críticas(CITT). . . 82

6.14 Convergência da velocidade para algumas posições críticas (FVM). . . 83

6.15 Número de Nusselt local (GITT). . . 83

6.16 Número de Nusselt médio (GITT). . . 84

6.17 Número de Nusselt local (FVM). . . 84

6.18 Número de Nusselt médio (FVM). . . 85

6.19 Comparação dos resultados na região de entrada térmica calculada, com a trabalho feito por Chandrupatla e Sastri [1]†. . . 85

6.20 Número de Nusselt local para o esquema A, calculado para diferentes ordens de truncamento (lmax) e diferentes malhas (kmax) para dutos quadrados (K0= 1). . . 87

(11)

6.21 Número de Nusselt médio para o esquema A, calculado para diferentes ordens de truncamento (lmax) e diferentes malhas (kmax) para dutos

quadrados (K0= 1). . . 88

6.22 Número de Nusselt local para o esquema B, calculado para diferentes ordens de truncamento (lmax) e diferentes malhas (kmax) para dutos

6.23 Número de Nusselt médio para o esquema B, calculado para diferentes ordens de truncamento (lmax) e diferentes malhas (kmax) para dutos

6.24 Comparação dos resultados para a região termicamente desenvolvida com os trabalhos realizados por Rohsenow et al. [2], Kays et al. [3], Bejan e Krauss [4]. . . 91 6.25 Resultados por FVM para Re = 1e τ = 1: velocidades em diferentes

posições. . . 93 6.26 Resultados por GITT paraRe = 1 e τ = 1: velocidades em diferentes

posições para diferentes filtros. . . 94 6.27 Resultados por FVM paraRe = 10e τ = 1: velocidades em diferentes

posições. . . 96 6.28 Resultados por GITT paraRe = 10eτ = 1: velocidades em diferentes

posições para diferentes filtros. . . 97 6.29 Parâmetros das figuras 6.7, 6.8 e 6.9. . . 102 6.30 Convergência da velocidade em função denmaxpara diversas posições

e abordagens paraα = 50,t0= 0, 5,δ = 0,00001,τ = 1eRe = 1. . . 107

6.31 Convergência da velocidade em função denmaxpara diversas posições

e abordagens paraα = 10000, t0= 0,δ = 0,00001,τ = 1eRe = 10. . . . 108

e abordagens paraα = 50,t0= 0, 5,δ = 0,001,τ = 1eRe = 10. . . 109

(12)

e abordagens paraα = 50,t0= 0, 5, x = 0,8,δ = 0,00625,τ = 1eRe = 1. 111

e abordagens paraα = 10000, t0= 0,δ = 0,00625,τ = 1eRe = 1. . . . 112

6.36 Convergência da velocidade em função deδpara diversas posições e abordagens paraα = 50, t0= 0, 5,nmax= 20 τ = 1eRe = 10. . . 113

6.37 Convergência da velocidade em função deδpara diversas posições e abordagens paraα = 10000,t0= 0,nmax= 20,τ = 1eRe = 10. . . 114

e abordagens paraα = 50,t0= 0, 5 δ = 0, 0125,τ = 0,5eℜ = 10. . . 115

e abordagens paraα = 50,t0= 0, 5,δ = 0,0125,τ = 1,5eRe = 10. . . . 116

6.40 Convergência da velocidade em função deδpara diversas posições e abordagens paraα = 50, t0= 0, 5,nmax= 30,τ = 0,5eRe = 10. . . 117

6.41 Convergência da velocidade em função deδpara diversas posições e abordagens paraα = 50, t0= 0, 5,nmax= 30,τ = 1,5eRe = 10. . . 118

e abordagens paraα = 10000, t0= 0 δ = 0, 0125,τ = 0,5eRe = 10. . . . 119

e abordagens paraα = 10000, t0= 0,δ = 0,0125,τ = 1,5eRe = 10. . . 120

6.44 Convergência da velocidade em função deδpara diversas posições e abordagens paraα = 10000,t0= 0,nmax= 30,τ = 0,5eRe = 10. . . 121

6.45 Convergência da velocidade em função deδpara diversas posições e abordagens paraα = 10000,t0= 0,nmax= 30,τ = 1,5eRe = 10. . . 122

A.1 Convergência da velocidade em função denmaxpara diversas posições

e abordagens paraα = 50;t0= 0, 5;δ = 0,025;τ = 1eRe = 1. . . 135

(13)

A.11 Convergência da velocidade em função deδpara diversas posições e abordagens paraα = 50;t0= 0, 5;nmax= 10;τ = 1eRe = 1. . . 145

(14)

e abordagens paraα = 10000;t0= 0;δ = 0,025;τ = 1eRe = 1. . . 151

e abordagens paraα = 10000;t0= 0;δ = 0,00625;τ = 1eRe = 1. . . . 152

A.27 Convergência da velocidade em função deδpara diversas posições e abordagens paraα = 10000;t0= 0;nmax= 10;τ = 1eRe = 1. . . 161

(15)

(16)

Nomenclatura

x, y,z Coordenadas cartesianas clássicas

t Tempo

u Velocidade

u∗ _{Velocidade adimensional}

u Velocidade média

u∗₀ Condição inicial para a velocidade

ui n Velocidade de entrada

T Temperatura

Tm Temperatura média de mistura

T0 Temperatura de entrada no canal

Ts Temperatura na parede do canal

p Pressão

∆p∗ _{Gradiente de pressão adimensional}

nmax,lmax Ordens de truncamento para GITT

imax, jmax,kmax Número de divisões por FVM

F,G Parâmetros da formulação de placas paralelas

n Expoente Power-law

η0 Posição na qual ocorre a tensão limite de escoamento

h Coeficiente de filme

w Função peso

L(•),B (•) Operadores diferenciais lineares

Λ(•) Operador diferencial discreto

N Norma

(17)

H Distância entre placas

L Comprimento

Dh Diâmetro hidráulico

λ Caminho médio livre entre as moléculas

K0,K1,K2 Razões de aspecto para dutos retangulares

a,b Dimensões das paredes do duto retangular nas direçõesxey µ Coeficiente de viscosidade ν Viscosidade cinemática ˙ γ Taxa de cisalhamento k Condutividade térmica α Difusividade térmica Pe Número de Peclet Nu Número de Nusselt Kn Número de Knudsen Re Número de Reynolds Símbolos Gregos

ξ,η,ϕ Coordenadas cartesianas adimensionais

τ Tempo adimensional

θ Temperatura adimensional

θm Temperatura média de mistura adimensional

βv Coeficiente de escorregamento na parede

βt Coeficiente de salto na temperatura na parede

λ,µ,γ Autovalores

X,Y,Ω,ψ Autofunções

˜

ψ Autofunções normalizadas

(18)

Subscritos

n,m,i, j,k,r,s,l,p Índices para diferentes equações e variáveis

( )H Potencial filtrado

( )F Função filtro

Sobrescritos

¯

(19)

Capítulo 1

Introdução

Por séculos, técnicas analíticas foram as únicas soluções disponíveis para a solução de problemas difusivos e convectivo-difusivos, porém essas metodologias só podem ser aplicadas a uma pequena classe desses problemas, na maioria das vezes lineares. Métodos discretos também se originaram há muito tempo, mas a sua aplicação em larga escala e desenvolvimento começou apenas há algumas décadas com a disponibilidade de computadores com maior capacidade de processamento.

No âmbito dos métodos discretos, o Método dos Volumes Finitos (FVM)1 [5, 6] aparece como opção amplamente utilizada para uma variedade de problemas de di-fusão e convecção, devido à sua natureza implicitamente conservativa e facilidade de aplicação. No entanto, como acontece com qualquer método discreto, aproximações das derivadas e integrais em termos de pontos nodais em um domínio computacional são necessárias, resultando em um erro de truncamento, que decai com o refinamento da malha.

A Técnica da Transformada Integral Generalizada (GITT)2 [7–14] lida com ex-pansões da solução buscada em termos de infinitas bases ortogonais de auto-funções, mantendo o processo de solução sempre dentro de um domínio contínuo. No entanto, ao contrário da Transformada Integral Clássica [15], o método pode ser aplicado a

sis-1_{a sigla se origina da lingua inglesa, Finite Volume Method}

(20)

temas não transformáveis incluindo problemas não lineares, tornando o método aplicá-vel a um número virtualmente infinito de problemas. O sistema resultante é geralmente composto de um conjunto de equações diferenciais acopladas, que pode ser facilmente resolvido por rotinas numéricas bem estabelecidas que permitem o controle da preci-são. Porém, como as séries infinitas devem ser truncadas para que qualquer aplicação possível seja feita, um erro de truncamento está envolvido. Este erro decresce quando o número de termos aumenta, e a solução converge para um valor final. Devido à natureza da representação em séries, a estimativa do erro pode ser facilmente obtida, que resulta em um melhor controle do erro global da solução. A desvantagem associ-ada a essa abordagem é a necessidade de uma manipulação analítica mais elaborassoci-ada. No entanto, este esforço pode ser consideravelmente minimizado com o emprego de computação simbólica [16].

1.1 Histórico da Técnica da Transformada Integral

As ideias inicias que conduziram a criação da Técnica da Transformada Integral, segundo Cotta [13], foram introduzidas por Koshlyakov em 1936. Grimnberg [17], em 1948, progrediu a teoria através de aplicações em classes de problemas elétricos e magnéticos. Após algumas décadas os autores Özisik [18] e Tranter [19] já concebiam a ideia.

Segundo Özi¸sik e Murray [20], em 1974, durante o período da corrida espacial, a Rússia e outros países do Leste Europeu proporcionaram um grande avanço no de-senvolvimento e aplicação de métodos analíticos, tal como a transformada integral. Concomitantemente, Estados Unidos e Europa concentravam-se no desenvolvimento de métodos denominados puramente numéricos (diferenças finitas e elementos finitos). Posteriormente, os cálculos desenvolvidos no ocidente requisitavam um crescente es-forço computacional, enquanto que as metodologias do Leste Europeu concentravam esforços em extensas manipulações analíticas.

Isso durou até meados dos anos setenta. Mikhailov [21], em 1972 deu uma con-tribuição definitiva para a consolidação do método da transformada integral, quando

(21)

propôs um núcleo de processamento geral que unificou as várias transformações indi-viduais desenvolvidas até aquele momento, a obtenção da solução geral para a equação de difusão linear em regiões finitas.

Özi¸sik e Murray [20], em 1974, aplicaram pela primeira vez a teoria da transfor-mada integral em problemas de difusão com condições de contorno variáveis com a posição e com o tempo. O problema proposto se caracterizava pela presença de ter-mos não transformáveis pela CITT, que mesmo assim foram inseridos na fórmula de inversão, o que resultou em um sistema infinito de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem para o potencial transformado. Para a recuperação do potencial original, foram obtidas soluções aproximadas deste sistema de equações diferenciais, nascendo aí a natureza híbrida analítico-numérica do procedimento adotado e dando os primeiros passos na Técnica Transformada Integral Generalizada.

Outro estudo que também contribuiu consideravelmente para a evolução da teoria da transformada integral foi publicada por Mikhailov [22], em 1975. Esse trabalho solucionou problemas de difusão com coeficientes dependentes do tempo. O que ge-rou termos que também não eram transformáveis pela CITT. Usando um problema de autovalor auxiliar, dependendo do tempo e aplicando o mesmo procedimento usado por Özi¸sik e Murray [20], Mikhailov obteve um sistema infinito de equações diferen-ciais com coeficientes variáveis para o potencial de transformação.

Ambos os trabalhos, Özi¸sik e Murray [20] e Mikhailov [22], criaram as condições necessárias para o desenvolvimento de uma nova metodologia capaz de resolver pro-blemas de difusão, até então, insolúveis pelas técnicas clássicas, estabelecendo assim os princípios da Técnica da Transformada Integral Generalizada - GITT.

Neste contexto, Shah e London [23], em 1978, já chamavam a atenção para o fato de que a aplicação de métodos clássicos era limitada na solução para problemas de convecção. Depois de uma extensa compilação de documentos e análise relacionada ao problema clássico de Graetz [2], verificou-se que as soluções dos problemas de escoamento de fluidos, representado por modelos mais realistas, sempre eram mais difíceis de encontrar, ou tinham soluções incompletas. Sabendo disso, Shah e London

(22)

indicaram a necessidade de um novo método capaz de resolver problemas com estas características.

Em 1984, Mikhailov e Özi¸sik [15] apresentaram uma maneira sistemática de apli-cação da técnica da transformada integral para a solução de diversos problemas lineares de difusão, divididos em sete grandes classes. Desse trabalho surgiram os formalismos da Técnica Transformada Integral Clássica (CITT). Segundo Cotta [10], as caracte-rísticas da abordagem da CITT, comparadas às metodologias numéricas, geram uma variedade de vantagens, conforme é mostrado abaixo:

• Metodologia sistemática de solução;

• Redução do tempo de processamento;

• Controle prescrito de erro;

• Aceleração da taxa de convergência numérica;

• Inexistência de malhas;

• Obtenção de soluções de benchmark;

• Determinação numérica direta da função em um ponto (para valores definidos de tempo e espaço) sem necessidade de cálculo numérico de estados temporais anteriores ou de outros pontos do domínio espacial;

• Versatilidade do método em se associar com outros, devido às suas característi-cas analítico-numéricaracterísti-cas.

Devido ao processo evolutivo encontrado no método de transformada integral, Cotta [10], apresentou uma revisão dos formalismos clássicos, que são agora esten-didos com ênfase na resolução de problemas não lineares e fortemente acoplados, e sugeriu técnicas para melhorar a eficiência da solução. Desde então, a GITT começou a ser disseminada rapidamente e se destacou como uma poderosa ferramenta híbrida para resolução de problemas difusivos e difusivo-convectivos. Mais tarde, um livro foi desenvolvido especificamente para aplicações da GITT em problemas difusivos e difusivos-convectivos [13].

(23)

1.2 Revisão bibliográfica

Recentemente, diversos trabalhos recentes utilizaram o método da Transformada Integral Generalizada para a resolução de diversos tipos de problemas.

Cheroto et al. [24] apresentaram um estudo teórico da convecção forçada laminar transiente para um escoamento entre placas paralelas em desenvolvimento térmico. O escoamento é submetido a uma variação periódica da temperatura de entrada e a GITT é utilizada para fornecer uma solução híbrida. A análise periódica é realizada usando dois problemas similares acoplados. O problema é analisado por meio da solução das equações da camada-limite térmica para convecção forçada laminar usando uma formulação complementar que consiste em dividir o problema em duas partes, sendo uma real e outra imaginária. Ao final, os resultados obtidos foram comparados com outros já existentes na literatura para validação.

Almeida e Cotta [25] investigaram a solução de problemas de difusão-convecção dentro de um domínio sem fronteiras através da Técnica da Transformada Integral Ge-neralizada. A GITT foi testada em domínio sem fronteira por meio de dois esquemas: procedimento de truncamento de domínio simples e um método de transformação de coordenadas. Um problema clássico unidimensional baseado na Equação de Burgers foi utilizado, onde, apesar de sua simplicidade, é provido de importantes características que permitem uma eficiente análise, além de possuir diversas aplicações práticas.

Mikhailov e Cotta [26], apresentaram o problema de transferência de calor por con-vecção em regime permanente para o escoamento laminar no interior de microcanais formados por placas paralelas foi resolvido analiticamente, fazendo uso do método da transformada integral e da solução analítica exata do problema de autovalor cor-respondente em termos da função hipergeométrica confluente. Um algoritmo misto simbólico-numérico foi desenvolvido sob a plataforma do Mathematica. O documento também foi preparado no formato de notebook do Mathematica e disponibilizado, per-mitindo a reprodução imediata dos resultados e a compreensão das regras simbólica e computacional desenvolvido.

(24)

laminar potencial dentro do tubo elíptico, sob uma condição de contorno de primeira espécie constante, com propriedades físicas constantes e difusão de calor axial despre-zível axial (número de Peclet elevado). Para resolver o problema térmico em desenvol-vimento, foi utilizada a GITT. Os eixos foram algebricamente transformados a partir do sistema de coordenadas cartesianas para o sistema de coordenadas elípticas, a fim de evitar a forma irregular da parede do duto elíptico. A GITT em seguida, foi aplicada para transformar e resolver o problema e para obter o campo de temperatura. Depois disso, foi possível calcular e apresentar as quantidades de interesse prático, tais como a temperatura do fluido, o número de Nusselt local e do número de Nusselt médio para várias seções transversais.

O trabalho de de Queiroz [28] apresentou soluções para problemas de convecção forçada utilizando a GITT. O objetivo principal foi de analisar diferentes estratégias para solução de escoamentos em desenvolvimento térmico utilizando a GITT, a fim de determinar que solução é mais eficiente para diferentes configurações. O escoa-mento laminar entre placas paralelas, desenvolvido do ponto de vista hidrodinâmico, foi considerado, e o problema mais simples de escoamento uniforme foi analisado para comparar os resultados com a convergência de soluções analíticas. As duas con-dições clássicas de aquecimento na parede (parede isotérmica e com fluxo constante) foram utilizadas. Além disto, diferentes valores do número de Péclet foram analisa-dos, levando à situação simplificada sem difusão axial (Peclét grande) até situações com Péclet unitário. Diferentes problemas de autovalor foram analisados, gerando três possibilidades de transformação integral do problema. Também foram analisadas di-ferentes estratégias para a solução do sistema transformado. A comparação entre as diferentes estratégias de solução foi realizada por meio da análise da taxa de conver-gência do número de Nusselt. Foram analisados também o tempo computacional gasto por diferentes estratégias de solução do sistema transformado, assim como a taxa de convergência para a temperatura em diferentes posições.

Gondim et al. [29] analisou a convecção-difusão transiente empregando GITT com-binada com uma função filtro transiente, de modo a melhorar a convergência. A ideia

(25)

foi considerar aproximações analíticas do problema original, assim como as soluções das funções filtro. Uma função filtro local-instantânea é então considerada para ofere-cer uma formulação híbrida, analítico-numérica para problemas de convecção-difusão lineares ou não lineares.

A dissertação de mestrado de Pelegrini [30] visou dar uma contribuição para o desenvolvimento e disseminação da GITT como uma ferramenta qualificada para a resolução de problemas difusivos complexos, o autor obteve a solução de problemas difusivos de natureza parabólica em domínios de geometria elíptica e retangular que apresentam propriedades termofísicas variáveis. Para facilitar o tratamento analítico, a equação da difusão foi linearizada fazendo uso da Transformada de Kirchhoff sobre o potencial temperatura e, quando necessário, as variáveis espaciais também foram convenientemente transformadas para facilitar a aplicação das condições de contorno do problema. Para uma melhor compreensão dos problemas estudados, parâmetros físicos de interesse foram determinados para diversas razões de aspecto. Para a visu-alização e análise do comportamento transiente, foram construídos, então, diagramas para representação de problemas cujos meios apresentam propriedades com diversos tipos de dependência com a temperatura. Posteriormente, para fins de comparação, os problemas propostos para o presente trabalho foram resolvidos numericamente pela técnica de elementos finitos com o auxílio do programa computacional Ansys®. A partir dos resultados obtidos, observou-se que a GITT foi aplicada com sucesso para a obtenção de solução de problemas difusivos transientes multidimensionais que não admitem soluções pelas técnicas analíticas clássicas.

O artigo de Damean e Regtien [31] apresenta um estudo sobre o campo de veloci-dade laminar e desenvolvido em dutos hexagonais. Esse tipo de duto é a principal parte da estrutura de um atuador-sensor usado pra determinação dos parâmetros do fluido e do escoamento. O assunto central do trabalho de Damean e Regtien [31] é a constru-ção de um formulaconstru-ção analítica para o campo de velocidade. Duas abordagens foram implementadas: A primeira é baseada no método do ponto correspondente e a segunda é baseada na GITT. Ambas abordagens ofereceram similar credibilidade porém

(26)

mos-trando que a segunda abordagem é mais apropriada para dutos de maiores razões de aspecto.

Lima et al. [32] aplicaram GITT para a solução do escoamento bidimensional de-senvolvido de fluidos não newtonianos do tipo Power-law em dutos retangulares. A característica automática e simples do controle de erro da técnica permitiu a deter-minação de resultados de benchmark para comparar com o desempenho de técnicas puramente numéricas. Resultados numéricos para o produto fator de atrito de Fan-ning e número de Reynolds generalizado foram computados para diferentes valores do índice Power-law e razões de aspecto, que foram comparados com resultados previa-mente obtidos na literatura, fornecendo comparações críticas entre eles. Os perfis de velocidade computados usando GITT também foram comparados com outras técnicas de aproximação numéricas.

Nascimento et al. [33] se concentraram em solucionar o escoamento de fluidos de Bingham em dutos anulares analiticamente usando CITT. Na análise da região de en-trada térmica, quatro tipos de condições de contorno foram adotadas e prescritas no interior ou exterior da parede duto, e o escoamento é considerado laminar e hidrodi-namicamente desenvolvido. O número de Nusselt local foi computado ao longo do comprimento do canal com uma elevada precisão para diferentes razões de aspecto e tensões limite de escoamento. Foram realizadas também comparações com trabalhos anteriores para validar os códigos numéricos desenvolvidos.

Um modelo de advecção-difusão de duas dimensões para descrever a dispersão de poluentes foi solucionado por de Almeida et al. [34] por GITT, utilizando dois esque-mas diferentes. O primeiro utiliza a integração numérica do sistema transformado para o problema de valor inicial. O segundo esquema utiliza a solução totalmente analítica sendo mais robusta e computacionalmente mais econômica, porém pouco flexível.

Uma solução analítica para o problema transiente bidimensional de dispersão de poluentes atmosféricos foi apresentada por Cassol et al. [35]. A abordagem utilizada neste problema utiliza a GITT, a Transformada de Laplace e diagonalização de matri-zes. Além disso, os filtros matemáticos são utilizados devido à existência de condições

(27)

de contorno não-homogêneas. Os resultados obtidos foram comparados com dados ex-perimentais para a dispersão de curto alcance na direção do vento, utilizando dois co-nhecidos conjuntos de dados de dispersão experimental (Copenhagen e Prairie Grass). É mostrado que a presente abordagem analítica gerou bons resultados para a concen-tração na direção do vento, exceto para os receptores muito próximos dos pontos de lançamento.

Cotta et al. [36], Sphaier et al. [37] resumem a teoria e descrevem o algoritmo rela-cionado a construção de um código computacional misto, simbólico-numérico aberto, chamado UNIT (UNified Integral Transforms), que fornece uma plataforma de de-senvolvimento para se obter soluções de equações diferenciais parciais (EDP) linea-res e não-linealinea-res, via transformadas integrais. O UNIT foi desenvolvido no sistema de computação simbólica Mathematica, versão 7.0, em conjunto com a metodologia numérico-analítica da GITT. O objetivo do trabalho foi ilustrar uma robusta simulação com controle de precisão em problemas de convecção-difusão transientes, não-lineares e multidimensionais. Casos teste foram selecionados baseados em formulações não-lineares multidimensionais das equações de Burgers, fornecendo resultados de refe-rência para valores numéricos específicos dos parâmetros de governo.

Nos trabalhos de Guedes e Ozisik [38, 39], os autores analisaram a convecção forçada transiente em um escoamento laminar entre placas paralelas. Este problema é resolvido usando um esquema híbrido que combina GITT com diferenças finitas de segunda ordem. Os resultados semi-analíticos são apresentados para variações na amplitude da temperatura média de mistura e o fluxo de calor ao longo do comprimento do canal para diferentes frequências. Uma formula aproximada para o decaimento dos picos amplitude da temperatura média de mistura é desenvolvida.

Em Cotta e Gerk [40], a transformada integral é usada em conjunto com diferenças finitas de segunda ordem para resolver a classe de problemas parabólicos-hiperbólicos que aparecem em problemas de convecção forçada em dutos. Aplicações típicas em geometrias de duas e três dimensões são consideradas. São examinados a estabilidade e a convergência da abordagem mista proposta.

(28)

Castellões e Cotta [41] analisaram a convecção laminar interna incompressível em desenvolvimento térmico em microcanais. Variações de entrada na temperatura e campo de velocidade foram também consideradas. Essa formulação considera efeitos de rarefação existentes no regime de escorregamento na parede. Efeitos de condução axial e dissipação viscosa são considerados. A solução é obtida usando transforma-ção integral parcial e o sistema resultante é resolvido numericamente pelo método das linhas.

O trabalho de Naveira et al. [42] apresentou uma solução híbrida numérico-analí-tica para convecção laminar forçada transiente entre placas planas de espessura não desprezível, submetida a variações arbitrárias no tempo do fluxo de calor aplicado na parede na interface fluido-sólido. Este problema conjugado de convecção-condução é primeiramente formulado através do emprego da abordagem de equações integrais acopladas (CIEA) para simplificar o problema da condução de calor na placa através da média da equação de energia relacionada na direção transversal. Como resultado, uma formulação diferencial parcial melhorada para a temperatura da parede transver-sal média é obtida, enquanto uma condição de contorno terceiro tipo é aplicada para o líquido pelo balanço de energia na interface sólido-líquido. A partir do perfil de velo-cidade disponível, uma solução híbrida baseada na Técnica da Transformada Integral Generalizada é então proposta, combinada com o método das linhas e implementada no Mathematica 5.2 utilizando a rotina NDSolve. Assim, os coeficientes de transfe-rência de calor são facilmente determinados a partir das distribuições de temperatura na parede, bem como os valores da temperatura em qualquer ponto desejado dentro do fluido. Alguns casos de teste de diferentes materiais e espessuras das paredes são definidos para permitir uma melhor interpretação física, em contraste com o modelo simplificado, sem conjugação.

O trabalho de Guerrero et al. [43] apresentou uma solução formal exata da equa-ção linear de advecequa-ção-difusão de transporte com coeficientes constantes em ambos os regimes transiente e permanente. Foi utilizado uma substituição matemática clássica, que transformou a equação de advecção-difusão original em uma equação

(29)

exclusiva-mente difusiva. Esse novo problema difusivo foi resolvido analiticaexclusiva-mente usando a versão clássica da GITT, resultando em uma solução explícita formal. A nova solu-ção se mostrou capaz de convergir mais rapidamente do que uma solusolu-ção analítico-numéricos anteriormente obtidos através da aplicação da GITT diretamente para a equação de transporte de advecção-difusão.

Em sua tese de doutorado, de Oliveira [44] elaborou um método para simulação computacional de escoamentos viscosos, incompressíveis e laminares em duas ou três dimensões. O procedimento para discretização das equações de Navier-Stokes em duas dimensões baseou-se no método dos elementos finitos de Galerkin, sendo ainda utilizado o método da projeção para desacoplar a pressão e a velocidade. A inte-ração fluido-estrutura é abordada para analisar-se o fenômeno de vibrações induzi-das por vórtices, empregando-se o procedimento arbitrário Lagrangeano-Euleriano. A extensão do problema para escoamentos tridimensionais incorporou a transformação integral generalizada das equações diferenciais que governam o problema, de modo a reduzi-las a um conjunto de equações bidimensionais transformadas. As autofun-ções deste problema foram utilizadas para fazer a expansão da velocidade, utilizando a expressão inversa da transformada integral. No caso bidimensional estudou-se es-coamentos fechados em cavidades e canais, bem como em torno de cilindros fixos ou moveis. No caso tridimensional utilizou-se os comandos do MPI para processa-mento em computadores paralelos e estudou-se canais, cilindros fixos, com o objetivo de analisar a transição para a tridimensionalidade da esteira, e cilindros rígidos moveis apoiados em base elástica, para a investigação das vibrações induzidas por vórtices.

Outras aplicações já desenvolvidas podem ser encontradas, como aplicações em geometrias irregulares [45–49], secagem em meio poroso capilar [50], problemas de injeção de traçadores em poços injetores [51], expansão assimétrica [52], escoamento em cavidade quadrada [53], escoamento de fluidos não newtonianos com reações quí-micas [54] e secagem de produtos agrícolas [55].

(30)

1.3 Organização do Trabalho

O presente trabalho tem como objetivo avaliar e comparar o desenvolvimento de esquemas de soluções pela Técnica da Transformada Integral Generalizada (GITT) e o método discreto de Volumes Finitos (FVM) e desenvolver uma formulação mista, utili-zando combinações do método híbrido (GITT) e métodos discretos tradicionais como o Método dos Volumes Finitos (FVM) ou o Método de Diferenças Finitas (MDF).

A finalidade desta combinação de diferentes metodologias é obter esquemas de so-lução que consigam unir as vantagens de métodos com características bastante diferen-tes, proporcionando assim, um método misto aprimorado para solucionar problemas de advecção-difusão mais eficientemente.

No capítulo 2 é apresentada a formulação matemática dos problemas a serem solu-cionados pelas metodologias. Diversos problemas de difusão-advecção foram escolhi-dos para servirem como base de análise escolhi-dos esquemas de solução.

No capítulo 3 é mostrado o esquema de solução dos problemas utilizando pura-mente a Técnica da Transformada Integral. Utilizando variações nas abordagens dos problemas de autovalor e problemas filtros envolvidos. No capítulo 4 é realizada a aproximação dos problemas anteriores pelo Método de Volumes Finitos.

Já no capítulo 5 são mostrados os esquema mistos desenvolvidos utilizando a trans-formada integral e metodologias discretas.

No capítulo 6 são mostrados os resultados numéricos obtidos por todas as formu-lações. Esses resultados consistem basicamente de tabelas com valores dos potenciais e números de Nusselt em diversas posições

(31)

Capítulo 2

Formulação Matemática

2.1 Convecção forçada entre placas paralelas

Para a modelagem matemática da convecção de calor entre placas paralelas são ne-cessárias as equações da conservação da quantidade de movimento linear e a equação de conservação da energia. Como o escoamento é desenvolvido hidrodinamicamente, a equação do momentum linear tem a seguinte simplificação:

d dy µ µ( ˙γ)du dy ¶ = dp dx para 0 ≤ y ≤ H 2 e x ≥ 0 (2.1a) µ du dy ¶ y=0 = 0 (2.1b) u (H /2) + Fµ du dy ¶ y=H/2 = 0 (2.1c)

ondeµrepresenta a viscosidade, que em um caso mais geral pode ser função da taxa de cisalhamento (γ = du/dy˙ ) dependendo do tipo de fluido, H é a distância entre as placas eF é um parâmetro que controla as condições de contorno que são impostas ao escoamento.

(32)

de aquecimento viscoso, é apresentada da seguinte forma: u(y)∂T (x, y) ∂x = α µ∂2 T (x, y) ∂x2 + ∂2_{T (x, y)} ∂y2 ¶ (2.2a) para 0 ≤ y ≤ H 2 e x ≥ 0 (2.2b) G µ∂T ∂y ¶ y=H/2 = Ts− T (x, H/2) (2.2c) µ∂T ∂y ¶ y=0 = 0, (2.2d) T (0, y) = T0, (2.2e) µ∂T ∂x ¶ x→∞ = 0, (2.2f)

ondeαé a difusividade térmica,T0eTssão constantes e respectivamente a temperatura

de entrada do canal e a temperatura da parede to canal e G, assim como F, é um parâmetro é um parâmetro que controla as condições de contorno da convecção forçada de calor.

Para adimensionalizar o problema, introduz-se as seguintes variáveis adimensio-nais: η = y H /2, (2.3) ξ = x L, (2.4) θ(ξ,η) =T (x, y) − Ts T0− Ts , (2.5) u∗(η) = u(y) u , (2.6) onde: u = 1 2H Z 2H 0 u(y) d y (2.7) e o valor deL é escolhido através da análise de escala da região de entrada térmica:

L = H

(33)

PeH =

¯

u H

α , (2.9)

A introdução desses parâmetros leva à formulação adimensional da energia:

1 2u ∗₍_η)∂θ(ξ,η) ∂ξ = Pe−2H ∂2_θ(ξ,η) ∂ξ2 + ∂2_θ(ξ,η) ∂η2 , (2.10a) 2G H µ∂θ ∂η ¶ η=1+ θ(ξ, 1) = 0, (2.10b) µ∂θ ∂η ¶ η=0= 0, (2.10c) θ(0,η) = 1, (2.10d) µ∂θ ∂ξ ¶ ξ→∞= 0 (2.10e)

Considerando os casos onde a difusão axial pode ser negligenciada, ou seja, os casos para elevados números de Peclet, a equação governante é simplificada para a seguinte formulação: 1 2u ∗₍_η)∂θ(ξ,η) ∂ξ = ∂2_θ(ξ,η) ∂η2 , (2.11a) 2G H µ∂θ ∂η ¶ η=1+ θ(ξ, 1) = 0, (2.11b) µ∂θ ∂η ¶ η=0= 0, (2.11c) θ(0,η) = 1, (2.11d)

assim, somente a condição de entrada (ξ = 0) é necessária para a direção axial, ou seja, a condição de contorno (2.10e) não é mais necessária.

Finalmente, o número de Nusselt, em termos das variáveis adimensionais, é calcu-lado a partir da expressão:

NuDh(ξ) =

−4 (∂θ±∂η)η=1

θm(ξ)

(34)

a temperatura média de mistura adimensionalθm á dada por:

θm(ξ) =

Z 1

0

u∗θ dη (2.13)

e o diâmetro hidráulico para placas paralelas é dado por:

Dh = 2 H (2.14)

Em todos os casos considerados nessa seção, a convecção de calor ocorre em es-coamento laminar incompressível, hidrodinamicamente desenvolvido e termicamente em desenvolvimento entre placas paralelas.

2.1.1 Convecção forçada entre placas paralelas - Hagen-Poiseuille

Solucionando a formulação geral da quantidade de movimento (2.1) e considerando o caso de escoamento laminar de fluidos newtonianos entre placas paralelas (F = 0), encontra-se o perfil de velocidade:

u∗(η) = u ¯ u = 3 2 · 1 −³ y H /2 ´2¸ = 3 2¡1 − η 2_{¢ ,} _(2.15)

com a velocidade média dada por:

¯ u = −1 µ H2 12 dp dx. (2.16)

A conservação da energia, considerando o tipo de escoamento estudado (G = 0) resulta na seguinte formulação normalizada:

3 4¡1 − η 2¢∂θ ∂ξ = ∂2_θ ∂η2, (2.17a) θ(ξ,1) = 0, (2.17b) µ∂θ ∂η ¶ η=0= 0, (2.17c) θ(0,η) = 1, (2.17d)

(35)

O número de Nusselt em termos das variáveis adimensionais é dado pela equa-ção (2.12).

2.1.2 Convecção forçada em microcanais

O problema desenvolvido nessa seção é a convecção de calor em microcanais for-mados por placas paralelas, no qual o número de Knudsen é definido por:

Kn = λ

Dh

(2.18)

ondeλé o caminho médio livre entre as moléculas eDh é o diâmetro hidráulico, dado

pela equação (2.14)

O regime de escorregamento na parede é considerado, onde10−3≤ Kn ≤ 10−1, de maneira que a hipótese de contínuo ainda é valida. Desse modo as equações de Navier-Stokes (2.1) podem ser empregadas, com as modificações apropriadas nas condições de contorno (F = 2 H βvKn), que resulta no seguinte perfil de velocidade:

u∗³ y H /2 ´ = u(y) ¯ u = 3 2 Ã 1 + 8Knβv− ¡ y H /2 ¢2 1 + 12Knβv ! , (2.19a)

com a velocidade média dada por:

¯ u = −H2dp dx µ 1 + 12Knβv 12νρ ¶ . (2.19b)

ondeβv é o coeficiente de escorregamento na condição de contorno na parede.

A equação da conservação da energia (2.11) para esse problema, desconsiderando aquecimento viscoso e condição de salto na temperatura nas paredes (G = 2 H Knβt) é

representada pela formulação já simplificada para elevados números de Peclet. Deve ser ressaltado que os parâmetrosF eGsão escolhidos para uma aproximação da ordem

(36)

de Knudsen ao quadrado (O[Kn2]). 3 4 µ 1 + 8Knβv− η2 1 + 12Knβv ¶∂θ(ξ,η) ∂ξ = ∂2_θ(ξ,η) ∂η2 , (2.20a) 4 Knβt µ∂θ ∂η ¶ η=1= −θ(ξ, 1), (2.20b) µ∂θ ∂η ¶ η=0= 0, (2.20c) θ(0,η) = 1, (2.20d)

ondeβt é o coeficiente de salto na temperatura na condição de contorno na parede.

O número de Nusselt, baseado no diâmetro hidráulico, é calculado pela expres-são (2.12).

2.1.3 Convecção forçada em fluidos não newtonianos

Dois diferentes tipos de fluidos newtonianos generalizados serão considerados nesse trabalho, levando aos seguintes perfis de velocidade desenvolvidos:

• Modelo de Power-law [56]. u∗= u ¯ u = 1 + 2n 1 + n (1 − η 1+1 n ), 0 ≤ η ≤ 1 (2.21) • Fluido de Bingham [56]: u∗= u ¯ u = 3 2 " (1 − η2) − 2η0(1 − η) 1 −3₂η0+1₂η3₀ # , η0≤ η ≤ 1 (2.22a) u∗ = u ¯ u = 3 2 + η0 , 0 ≤ η < η0 (2.22b)

Onden é o expoente de Power-law eη0 é a posição na qual ocorre a tensão limite de

escoamento do fluido de Bingham.

A formulação de conservação da energia é obtida substituindo os perfis de veloci-dade mostrados na equação geral da energia adimensional (2.11) e considerandoG = 0. O número de Nusselt é dado pela expressão (2.12) já mencionada anteriormente.

(37)

2.2 Convecção forçada em dutos retangulares

Nessa seção será modelada a convecção laminar em regime permanente e incom-pressível de fluidos newtonianos em dutos retangulares. O escoamento é considerado hidrodinamicamente desenvolvido e em desenvolvimento térmico.

O problema para o perfil de velocidade é dado pela seguinte formulação adimensi-onal da equação de momentum linear:

∂2_u∗₍_ξ,η) ∂ξ2 + K 2 0 ∂2_u∗₍_ξ,η) ∂η2 = ∆p ∗_, _em _{0 ≤ η ≤ 1,} _{0 ≤ ξ ≤ 1} _(2.23a) u∗(1,η) = 0, µ∂u∗ ∂ξ ¶ ξ=0= 0, em 0 ≤ η ≤ 1, (2.23b) u∗(ξ,1) = 0, µ∂u∗ ∂η ¶ η=0= 0 em 0 ≤ ξ ≤ 1, (2.23c)

onde∆p∗é o gradiente de pressão adimensional e é calculado de forma a garantir que

u∗_{seja normalizado com a velocidade média na seção ortogonal, que pode ser obtida}

da seguinte relação: u = Z 1 0 Z 1 0 u∗(ξ,η) dξdη = 1 (2.24) A equação adimensional da conservação da energia e suas condições de contorno, desprezando os efeitos de aquecimento devido a dissipação viscosa, assumindo propri-edades constantes e desprezando a difusão axial (Pe À 1), é dada a seguir:

u∗(ξ,η)∂θ ∂ϕ = K 2 1 ∂2_θ ∂ξ2 + K 2 2 ∂2_θ ∂η2 em 0 ≤ η ≤ 1, 0 ≤ ξ ≤ 1, ϕ ≥ 0 (2.25a) µ∂θ ∂ξ ¶ ξ=0= 0, θ(1,η,ϕ) = 0, em 0 ≤ η ≤ 1, ϕ ≥ 0 (2.25b) µ∂θ) ∂η ¶ η=0= 0 θ(ξ,1,ϕ) = 0, em 0 ≤ ξ ≤ 1, ϕ ≥ 0 (2.25c) θ(ξ,η,0) = 1, em 0 ≤ η ≤ 1, 0 ≤ ξ ≤ 1 (2.25d)

(38)

As variáveis e parâmetros adimensionais são apresentadas abaixo. ξ = x a, (2.26) η = y b, (2.27) ϕ = αz D2_hu, (2.28) θ = T − TS T0− TS (2.29) ∆p∗₌ a2 u dp dz (2.30)

e as razões de aspecto são dadas da seguinte forma:

K0= a b, (2.31) K1= Dh a , (2.32) K2= Dh b , (2.33)

onde a/2eb/2 são as dimensões das paredes do duto nas direçõesx e y respectiva-mente eDh é o diâmetro hidráulico, dado por:

Dh =

4 a b

a + b (2.34)

Com as variáveis adimensionais adotadas, o número de Nusselt baseado no diâme-tro hidráulico tem a seguinte formulação:

NuDh(ϕ) = h Dh k = µ −K1K2 K1+ K2 ¶ K₀−1 R1 0 ³ ∂θ ∂ξ ´ ξ=1dη + K0 R1 0 ³ ∂θ ∂η ´ η=1dξ θm(ϕ) (2.35)

onde o valor de h é dado na media no perímetro da seção transversal do duto, de maneira queh = h(ϕ).

A temperatura média de mistura, necessária para o cálculo de Nusselt, é obtida de:

θm(ϕ) = Z 1 0 Z 1 0 u∗θ dξdη (2.36)

(39)

2.3 Equação de Burgers não linear

Uma simplificação bastante conhecida da equação de Navier-Stokes é chamada de equação de Burgers, que é uma equação diferencial parcial fundamental da mecânica dos fluidos e ocorre também em diversas áreas da matemática aplicada. A equação de Burgers é bastante interessante do ponto de vista computacional pois ela avalia difusão e advecção não linear na mesma direção.

A formulação de Burgers para velocidade é apresentada abaixo com suas condições iniciais e de contorno: ∂u∗₍_ξ,η) ∂τ + u∗(ξ,η) ∂u∗₍_ξ,η) ∂ξ = 1 Re ∂2_u∗₍_ξ,η) ∂ξ2 (2.37a) u∗(0,τ) = 1, (2.37b) u∗(1,τ) = 0, (2.37c) u∗(ξ,0) = u∗₀(ξ). (2.37d) ondeu₀∗(ξ)é a função que corresponde a condição inicial do problema e os parâmetros e variáveis adimensionais são dados por:

ξ = x L, (2.38a) τ = t ui n L (2.38b) Re = ui nL ν , (2.38c) u∗= u ui n , (2.38d)

ondeui n é a velocidade de entrada,νé a viscosidade cinemática eL é o comprimento

(40)

Capítulo 3

Soluções pela Técnica da Transformada Integral

3.1 Introdução a Técnica da Transformada Integral

As equações diferenciais que governam os processos de difusão dos problemas que aqui foram propostos apresentam uma estrutura que, em geral, não permitem a obten-ção de soluobten-ção analítica pelas técnicas clássicas conhecidas. Assim, para a obtenobten-ção de solução destes problemas decidiu-se, como já foi dito anteriormente, pela aplicação da técnica híbrida analítico-numérica GITT, a Técnica da Transformada Integral Ge-neralizada. Em síntese, a aplicação da GITT envolve uma seqüência de procedimentos que pode ser sistematizada nas seguintes etapas:

• Escolha de um problema auxiliar de autovalor, que guarda o máximo de infor-mações do problema original relativo à geometria e aos operadores;

• Desenvolver o par transformação;

• Transformar a EDP1original, através do uso de operadores apropriados, em um sistema de EDOs2infinito;

• Truncar e resolver o sistema de EDOs, segundo a precisão preestabelecida;

• Obter os potenciais originais, através do uso da fórmula de inversão.

1_{Equação Diferencial Parcial} 2_{Equações Diferenciais Ordinárias}

(41)

As ideias básicas referentes à Técnica da Transformada Integral Generalizada de-rivam da versão clássica da Transformada Integral. De uma maneira geral, a Técnica da Transformada Integral Clássica (CITT), que é uma extensão do método da sepa-ração de variáveis, consiste no estabelecimento do par transformada-inversa de cada potencial em termos de uma base ortogonal de autofunções, que são obtidas a par-tir de um problema auxiliar de autovalor escolhido adequadamente. A transformação integral clássica da equação diferencial original do problema é obtida através de opera-dores adequados que promovem a remoção das derivadas parciais espaciais de segunda ordem. Fazendo uso da fórmula de transformação, obtém-se um sistema infinito e de-sacoplado de equações diferenciais ordinárias para o potencial transformado, que pode ser resolvido analiticamente. Assim, através da própria fórmula de inversão, obtém-se a solução analítica de cada potencial. Este procedimento (CITT) somente se aplica quando todos os termos da equação diferencial original são transformáveis, para que se produza o sistema de equações desacoplado relativo ao potencial transformado.

A partir dos trabalhos de Özi¸sik e Murray [20] e de Mikhailov [22] (1975), a Téc-nica da Transformada Integral adquiriu uma estrutura semi-analítica que generalizou a aplicabilidade do método. Na realidade, a GITT, faz uso de um procedimento similar àquele aplicado na CITT. A distinção reside no fato de, após a aplicação da transfor-mada, se persistir na aplicação da fórmula de inversão sobre os termos não transformá-veis da equação diferencial original correspondente a um dado problema. Com isto, obtém-se um sistema de equações diferenciais ordinárias acoplado e infinito para o potencial transformado. O sistema é, então, resolvido numericamente truncando-se a expansão em uma dada ordem que garanta a precisão desejada. Após a solução dos po-tenciais transformados, aplica-se a formula de inversão para a obtenção dos popo-tenciais originais. Este procedimento é que caracteriza a natureza híbrida analítico-numérica da GITT.

(42)

3.1.1 Metodologia

A seguir apresentam-se os procedimentos matemáticos utilizados na GITT. Con-sidere um problema difusivo-convectivo unidimensional, transiente, não linear e com termo fonte, definido em uma regiãoΩcom superfície de contornoΓ:

w (x)∂T (x,t)

∂t + v (x, t , T ) · ∇ T (x, t ) + L (T (x, t )) = P (x, t ) {x ∈ Ω, t ≥ 0} (3.1a)

com w (x) > 0 (3.1b)

T (x, 0) = f (x), {x ∈ Ω} (3.1c)

B (T (x, t )) = φ(x, t) {x ∈ Γ, t ≥ 0} (3.1d) onde os operadores diferenciais são dados por:

L(•) = −∇ · k(x)∇(•) + d(x)(•) (3.2a)

B (•) = a(x)(•) + b(x)k(x)∂(•)

∂η (3.2b)

w (x)representa a função peso,ηdenota a componente normal a superfícieΓek(x) > 0. A Equação (3.1a) representa uma generalização incluindo advecção dos proble-mas definidos como de Classe I, por Mikhailov e Özi¸sik [15], e que são capazes de representar uma grande variedade de problemas difusivos-convectivos. Em particular, quando o termo convectivo v (x, t , T ) se anula, a Equação (3.6) representa problemas puramente difusivos. Quando o vetorv (x, t , T ) é não nulo, o problema apresentado é não transformável pela CITT.

Para estabelecer o par transformada-inversa o potencialT (x, t )é escrito em termos de uma base ortogonal de autofunções obtidas a partir do seguinte problema auxiliar de autovalor:

L∗¡ψi(x)¢ − µ2_i w∗(x)ψi(x) = 0, {x ∈ Ω} (3.3a)

B∗¡

(43)

Deve-se observar que para GITT a função peso w∗(x)do problema de auto valor, assim como os operadoresL∗ eB∗não necessitam ser iguais ao do problema original

w (x),LeB, porém quanto mais informações esses parâmetro carregarem do problema original, melhor será o desempenho da técnica. Problemas representados pela Equa-ção (3.3a) com a condiEqua-ção de contorno dada pela EquaEqua-ção (3.3b) são conhecidos como problemas de Sturm-Liouville, onde as autofunções ψi(x) e os autovalores µi

cor-respondentes são aqui considerados conhecidos através da solução de tais equações. Assim, define-se o seguinte par transformação:

Transformada =⇒ T¯i(t ) = Z Ωw ∗_{(x) ˜}_ψ i(x) T (x, t ) dΩ (3.4a) Inversa =⇒ T (x, t ) = ∞ X i =1 ˜ ψi(x) ¯Ti(t ) (3.4b)

onde_ψ˜_i(x)representa as autofunções normalizadas, ou seja:

˜ ψi(x) = ψi (x) p Ni , (3.5) eNi representa as normas: Ni = Z Ωw ∗_(x)_ψ2 i(x) dΩ (3.6)

Para fins de demonstração da técnica, as seguintes considerações são realizadas:

w∗(x) = w(x) (3.7)

L∗(•) = L(•) (3.8)

B∗(•) = B(•) (3.9)

A transformação integral da equação diferencial que governa o problema é ob-tida efetuando o produto interno das autofunções normalizadas _ψ˜_i(x) com a

(44)

Equa-ção (3.1a). d ¯T (t ) dt + Z Ωψ˜i(x) (v (x, t , T ) · ∇T (x, t))dΩ + µ 2 i T¯i(t ) = ¯gi(t ) (3.10) onde: ¯ gi(t ) = Z Ωψ˜i(x) P (x, t )dΩ + Z Γk(x) µ ˜ ψi(x)∂T (x,t) ∂η − T (x, t ) ∂Ki(x) ∂η ¶ dΓ (3.11)

Utilizando a fórmula de inversão no termo não transformável podemos simplificar a equação anterior para:

d ¯T (t ) dt + ∞ X j =1 ai j(t , T ) ¯T (t ) + µ2_iT¯i(t ) = ¯gi(t ), para i = 1,2,3... (3.12) ai j(t , T ) = Z Ωψ˜i(x)¡v(x, t,T ) · ∇ ˜ψj(x)¢ dΩ (3.13)

Para a solução da equação transformada (3.12) É necessária a transformação da condição inicial (3.1c):

¯

Ti(0) =

Z

Ωw (x) ˜ψi(x) f (x) dΩ = ¯fi (3.14)

Como pode ser observado, a Equação (3.12) representa um sistema infinito de equações diferenciais ordinárias, acoplado e não linear para os potenciais transfor-mados T¯i(t ). Para obtenção de solução numérica, a expansão do potencial T (x, t ) é

truncada para uma dada ordemnmax suficientemente alta a fim de garantir a precisão

desejada. Existem vários métodos de solução para problemas de valor inicial descritos pela Equação (3.12) junto com a condição inicial transformada (3.14). Após o cálculo dos potenciais transformadosT¯i(t ), aplica-se a fórmula de inversão para a reconstrução

do potencialT (x, t )que é a base de cálculo dos diversos parâmetros físicos de interesse do problema original. Estes procedimentos formais que permitem a obtenção da solu-ção para a classe de problemas representados pela Equasolu-ção (3.1a). Esse procedimento pode ser generalizado para o caso multidimensional, utilizando os mesmos conceitos,

(45)

como poder ser visto em [10].

É importante frisar que para GITT, diferentemente da CITT, é possível a utilização de qualquer problema de autovalor auxiliar. Cada problema de autovalor utilizado, resultará em diferentes ordens de truncamento (nmax) necessárias para a convergência.

Outro fator que melhora o desempenho é a utilização de uma função filtro adequada, ou seja, que contenha o máximo de informações possíveis do problema original.

Nas próximas seções serão realizadas as formulações por transformada integral, utilizando o problema de autovalor e a função filtro específica para cada caso desen-volvido, dos diversos problemas de difusão-convecção, já apresentados anteriormente.

3.2 Convecção forçada entre placas paralelas - Hagen-Poiseuille

A solução pela transformada integral do problema considerado é realizada empre-gando a Técnica da Transformada Integral Generalizada [10]. O processo de solução é iniciado definindo o par transformação:

Transformada =⇒ θ¯n(ξ) = Z 1 0 θ(ξ, η) ˜ Yn(η) dη, (3.15a) Inversa =⇒ θ(ξ, η) = ∞ X n=1 ¯ θn(ξ) ˜Yn(η), (3.15b)

ondeYnsão as soluções ortogonais do problema de autovalor de Sturm-Liouville. Para

o problema de convecção-difusão considerado, o seguinte problema de autovalor é selecionado:

Y_n00(η) + λ2_nYn(η) = 0, para 0 ≤ η ≤ 1, (3.16a)

(46)

Que resulta em infinitas soluções não-triviais na forma:

Yn(η) = cos(λnη), (3.17)

e com os seguintes autovalores:

λn = µ n −1 2 ¶ π, para n = 1,2,3,... (3.18)

A norma deYn é dada por:

Nn =

Z 1

0

Y_n2(η) dη = 1

2. (3.19)

As autofunções normalizadas são:

˜ Yn= Yn p Nn (3.20)

A transformação do problema é realizada multiplicando a equação (2.17a) porYn,

integrando no domínio0 ≤ η ≤ 1e aplicando a formula de inversão (3.15b) nos termos não transformáveis. Este processo resulta:

∞ X

k=1

A_n,kθ¯0_k(ξ) + λ2_nθ¯n(ξ) = 0. (3.21)

com as seguintes condições iniciais:

¯ θn(0) = bn = Z 1 0 ˜ Yn(η) dη, (3.22)

onde os coeficientes An,k são dados por:

An,k= 3 4 Z 1 0 ¡1 − η 2¢ _˜ Yk(η) ˜Yn(η) dη (3.23)

A formulação resultante é um sistema de equações diferenciais ordinárias de pri-meira ordem acoplado, que pode ser resolvida numericamente. Alternativamente