CONTROLE NÃO-LINEAR FUZZY TAKAGI-SUGENO DO MOVIMENTO DE PARAPLÉGICOS UTILIZANDO ACELERÔMETROS

CONTROLE NÃO-LINEAR FUZZY TAKAGI-SUGENO DO MOVIMENTO

DE PARAPLÉGICOS UTILIZANDO ACELERÔMETROS

Ruberlei Gaino*, Marcelo Carvalho Minhoto Teixeira**, Rodrigo Cardim**, Aparecido Augusto

de Carvalho**, Edvaldo Assunção** e Marcelo Augusto Assunção Sanches**

*Departamento de Engenharia Elétrica/UEL, Londrina, Brasil

**Departamento de Engenharia Elétrica/UNESP-FEIS, Ilha Solteira, Brasil

e-mail: ruberlei.gaino@gmail.com

Abstract: A simple method for design a control system, to vary the joint knee angle of paraplegic patients using Function Neuromuscular Stimulation (FNS) is presented. The nonlinear system is described by Takagi-Sugeno fuzzy models. Closed control techniques for the rehabilitation of paraplegic patients, improve the quality of (FNS). We investigated the use of accelerometers as the main sensors for feedback. Accelerometers are very suitable for these applications because of their small dimension, weight and cost. Simulations results show that the proposed procedure is efficient and offers a good resolution for this control problem.

Palavras-chave: Acelerômetros, Controle Não-

Linear, Fuzzy Takagi-Sugeno, Engenharia de Reabilitação, Paraplégicos.

Introdução

A estimulação elétrica funcional (FES) tem sido utilizada na restauração de movimentos em pacientes paraplégicos, tetraplégicos e hemiplégicos. São vários os estudos realizados objetivando o controle do movimento de pacientes paraplégicos utilizando FES e diferentes modelos matemáticos de músculos e da articulação do joelho [1] e [2].

Em [3] e [4] foram realizados, pela primeira vez, estudos e simulações da posição da perna de um paraplégico, utilizando modelos fuzzy Takagi-Sugeno [5] e [6]. Foi adotado o modelo matemático da perna proposto por [2], que relaciona o torque do músculo com a largura de pulso do sinal de estimulação elétrica. Analisou-se a estabilidade da planta utilizando-se Linear Matrix Inequalities (LMI) para a obtenção da lei de controle do regulador. O projeto do regulador fuzzy foi construído através da Compensação Distribuída Paralela (CDP) [5]. Este método faz a combinação fuzzy das matrizes de ganho de retroação, obtendo-se um regulador fuzzy que estabiliza o sistema globalmente [6]. O projeto do regulador foi realizado para o ponto de operação de 30º, isto é, a trajetória da perna sai do estado de repouso e estabiliza-se em 30º. Considerou-se que o músculo quadríceps eletricamente estimulado apresenta uma resposta não-linear [7]. Foi usado o modelo fuzzy Takagi-Sugeno (T-S) no projeto do controlador para variar o ângulo da articulação do joelho.

O sinal de realimentação, relacionado ao ângulo da articulação do joelho, pode ser obtido utilizando-se eletrogoniômetro, porém este sinal pode não ser confiável, devido à dificuldade de fixação do dispositivo sobre a pele [8]. O uso de acelerômetros em pontos estratégicos é mais seguro e confiável [8], e proporciona uma melhor integração com estudos em fuzzy Takagi-Sugeno, usando a realimentação proporcional e derivativa de estados [9]. O objetivo deste trabalho foi utilizar técnicas de controle fuzzy Takagi-Sugeno em aplicações de Engenharia de Reabilitação nas quais os sinais disponíveis para o controle são obtidos através de acelerômetros. Definindo-se como variáveis de estado o deslocamento e a velocidade, podem-se usar os sinais de aceleração para estimar os sinais de velocidade [9] e então realimentar esses sinais, que são justamente as derivadas das variáveis de estado da planta.

Materiais e Métodos

Modelo da Junção do Joelho – Na modelagem

proposta em [2], os autores consideraram o membro inferior como uma cadeia cinemática aberta composta de dois segmentos rígidos: a coxa e o complexo canela-pé, conforme mostra a Figura 1.

Figura 1: Sistema de controle e parâmetros θ, θv e Ma.

Nesta figura, θ, θv e Ma são, respectivamente, o

ângulo comum do joelho (ângulo entre a canela e a coxa no plano sagital), o ângulo da canela (ângulo entre a canela e o eixo vertical no plano sagital) e o torque ativo produzido pela estimulação elétrica no quadríceps. Em [3] e [4], demonstra-se que a equação de estados não-linear, que representa o movimento da articulação do joelho ao estímulo elétrico aplicado no quadríceps, é dada por:

( )

1 _~ 1 2 21 1 2 3 3 0 1 0 0 1 0 . 1 0 0 N x x B x f x x P J J x x G τ τ   _{ }   _{ }      _{ } −  ₌  _{+  }   _{ }      _{ }    ₋   _{ }   _{ }     & & & (1) sendo x1= ∆θv=θv−θv0,x2= &x1 e x3= ∆Ma=Ma−Ma0.

O ponto de operação do sistema é dado por:

(

θ θv, &v,Ma

)

=

(

θv0, 0,Ma0

)

. A função f%21

( )

x1 é uma

não-linearidade do sistema e pode ser descrita como:

( )

(

)

1 21 1 1 1 2 1 0 1 , 2 vo vo E x vo a f x mglsen x Jx e x M π θ θ π λ θ ω   − _ + + _    = +    _{+ + −} _{+ }   _   _ % (2) P_N P Mao , G = − (3) sendo que:

• J é o momento inercial do complexo composto pela canela-pé;

• θ_v é o ângulo da canela (ângulo entre a canela e o eixo vertical no plano sagital);

• m é a massa do complexo canela-pé;

• l é a distância entre o joelho e o centro da massa do complexo canela-pé;

• B é o coeficiente de atrito viscoso;

• Ma é o torque ativo do joelho produzido pela

estimulação elétrica;

Em [2], é feita a identificação dos parâmetros G e τ da função de transferência que relaciona a largura de pulso (P) e o torque produzido (Ma). Na equação (3) é

definida a nova entrada do sistema (PN). Em [2]

também são apresentadas as medidas antropométricas de um paciente paraplégico: 2 0.362[ ]; 4.37[ ]; 23.8[ ] J = kgm m= kg l= cm , 0.951 , 0.27[ . . / ], 2.918[ ] 41.208[ . / ], 2.024[1/ ]. s B N m s rad rad N m rad E rad τ ω λ = = = = =

Definição do Problema – Considere o modelo

fuzzy T-S descrito a seguir [10]:

( )

( )

( )

(

( )

( )

)

( )

( )

( )

1 1 , ( ), r i i i i r i i i x t x t A x t B x t u t x t F x t α α = = = + = −

∑

∑

& (4)

sendo r o número de modelos locais (Ai, Bi, i=1,2, ..., r),

αi(x(t)) as funções de pertinência do sistema fuzzy, Fi os

ganhos de retroação do vetor de estados obtidos por meio de LMI [11] e u(t) o sinal de controle, obtido através de CDP. Supondo-se que apenas a derivada do vetor de estado (x&) esteja disponível, verifica-se através

da equação (4) a necessidade de se obter as variáveis de estado para o projeto das funções de pertinências e dos ganhos Fi para o controlador fuzzy.

Realimentação da Derivada do Vetor de Estados com Acelerômetros – Os resultados publicados em [3]

e [4] consideram a realimentação do sistema com eletrogoniômetros, nos quais uma das extremidades é presa na coxa e a outra na canela. Devido à dificuldade de alinhar a haste do eletrogoniômetro com o eixo da coxa e a outra haste com o eixo da canela, e ainda o efeito do deslizamento sobre a pele, as medidas não são confiáveis [12]. Para resolver este problema, acelerômetros são fixados em pontos estratégicos, conforme descrito em [8], que obteve resultados mais confiáveis, mostrando que acelerômetros e giroscópios oferecem soluções mais práticas e menos onerosas que quando se utiliza eletrogoniômetros. No presente trabalho, utilizam-se dois acelerômetros para medir as acelerações tangenciais at1 e at2. A Figura 2 mostra

como os acelerômetros são fixados na perna [13].

Figura 2: Posição dos acelerômetros para medida da aceleração tangencial.

A aceleração da articulação do joelho, θ&& , é _v determinada pela equação:

(

1 2

) (

/ 1 2

)

.

v at at r r

θ&& = − − ₍₅₎

A velocidade pode ser obtida com uso da integração da equação (5). Autores sugerem técnicas para obter a velocidade [8] e [13].

Estimativa da Posição da Perna do Paciente Paraplégico– Como somente acelerômetros são usados,

só há acesso à variável x&2=&&x1. A variável x2= &x1 é

estimada. No projeto do controlador apresentado em [3] e [4] somente é possível sua implementação com o acesso a x1, necessário para o cálculo das funções de

pertinências αi(x(t)), com realimentação pelo

eletrogoniômetro. Considerando a equação (1), a estimação de x1 é dada por:

( )

2 21 1 1 1 3 1 . B x f x x x x J J = % − + & & (6)

A variável x3 refere-se ao torque produzido pela

estimulação elétrica. Esta variável é disponível, pois pode ser medida através de sensores de força. A função não-linear da equação (2), para x1 variando, 0º< θv < 60º

com θv0=30º, pode ser aproximada por uma reta usando

“basic fitting tool of Matlab”. Uma aproximação da equação (6) pode ser escrita:

(

)

2 1 1 1 3 1 , B x ax b x x x J J = + − + & & (7) sendo a=13.584 e b=-28.896. De (7) obtém-se: 2 1 1 1 2 3 1 0. B ax bx x x x J J + − & −& + = (8) Definindo 1 2 3 1 ( ) B 0, c t x x x J J = − & −& + = (9) então, ax12+bx1+c t( )=0. (10)

A solução de x1 é dada por:

2 1 4 ( ) . 2 b b ac t x a − ± − = (11)

encontrando-se como solução numérica,

x₁=1.0636− 1.1313 0.0736 ( ).− c t (12)

Existe solução analítica da equação (10), para o intervalo de x1, compreendido entre [-π/6, π/6].

Deste modo, x1 pode ser obtido em função de x&1,x&2

e x3. O diagrama de blocos do sistema de controle

proposto é mostrado na Figura 3. As simulações foram realizadas no ambiente do SIMULINK do software Matlab/SIMULINK. x1 alpha1 alpha2 alpha Pn x1_d x2_d x3 Planta x1_d x2_d x3 x1 Dinâmica Inversa alpha1 alpha2 x1 x2 x3 Pn Controlador

Figura 3: Diagrama de blocos do sistema de controle proposto.

O bloco da Dinâmica Inversa faz a estimativa de x1,

a partir dos sinais dos demais sensores.

Controle da Posição da Perna de um Paciente Paraplégico usando Fuzzy Takagi-Sugeno– O

conceito de Compensação Paralela Distribuída CDP [5], foi usado para projetar reguladores, através da resolução de LMI, pode estabilizar sistemas não-lineares descritos por modelos fuzzy T-S. O sistema fuzzy T-S desenvolvido em [3] e [4], apresenta uma não-linearidade, descrita na equação (2). O conjunto fuzzy e suas funções de pertinências são obtidos utilizando-se o valor mínimo e máximo da equação (2), no intervalo desejado [3], [4]. O sistema é composto por uma regra If-Then , dois modelos locais (o número de modelos locais é 2s, sendo s é o número de não-linearidades), e, por conseqüência duas funções de pertinências (r=2 em (4)). A idéia é projetar um regulador para cada regra do modelo fuzzy. O modelo global fuzzy é uma combinação de cada regulador (de acordo com (4)).

Lema 1. O controle CDP [5], que considera

simultaneamente a estabilidade e a taxa de decaimento β, β>0 para o sistema controlado, pode ser especificado se existirem uma matriz simétrica positiva definida X (X>0, X=XT), e Mi, i=1, 2, ..., r tais que,

2 0, i i i T T T i i i XA −M B +A X−B M + βX < (13) e 4 0, , 1, 2,..., , , i j i j i j T T T T T T i i j j j i XA M B XA M B A X B M A X B M X i j r i j β − + − + − + − + < = < (14)

sendo que os ganhos do controlador são dados por Fi=MiX-1, i=1,2,...,r. Considerando as condições iniciais

conhecidas x(0), então a restrição u t

( )

≤u é imposta para t ≥ 0, para restrição do sinal de entrada do controlador, considerando-se (13), (14) e (15) abaixo,

( )

( )

2 1 0 0 0, 0 T T i i X M x e x X M µ I      ≥  ≥   _ _   (15) sendo I a matriz identidade com dimensão apropriada.

Resultados

No gráfico da Figura 4 são apresentados os resultados da simulação, que foram obtidos a partir da realimentação de estados usando acelerômetros, pelo método proposto neste trabalho.

O ganho do controlador, considerando as condições do Lema 1, com β=1 e µ=500x10-6 de [2], são:

3 3 10 0.6197 0.1286 0.1174 , 10 0.8619 0.1347 0.1175 . 1 2 F F − − = _− _ = _− _ (16)

A realimentação do sistema, utilizando acelerômetros, foi realizada com uso da estimação da posição x1 através da equação (11). As simulações da

paciente paraplégico, utilizando a curva exata (contínua), representada pela equação (6), e a curva aproximada (tracejada), representada pela equação (7), considerando as condições iniciais x0=[-θv, 0 -Ma0 ]T ,

são ilustradas na Figura 4.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 â n g u lo d o j o e lh o ( ra d )

Curva Exata e Aproximada

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 tempo (s) â n g u lo d o j o e lh o ( ra d ) Curva Aproximada Curva Exata Gráfico Ampliado

Figura 4: Simulações da variação do ângulo da articulação do joelho (θv) de um paciente paraplégico

utilizando as funções f%₂₁( )x₁ exata e aproximada.

Discussão

O uso da aproximação linear, para a função não-linear da equação (2), justifica-se pela facilidade de implementação computacional. Através da Figura 4, observa-se que as curvas exata e aproximada são praticamente idênticas. Na Figura 4 verifica-se que o sistema no regime, convergiu para o ponto de equilíbrio desejado, 0.52 rad. Um novo método para controlar a posição da perna de um paciente paraplégico, utilizando sinais de realimentação produzidos por acelerômetros e modelos fuzzy Takagi-Sugeno, foi proposto. O sistema de controle projetado considerou todas as não-linearidades da planta e satisfez às restrições de projeto, mostrando-se um método eficiente, viável e rigoroso.

Agradecimentos

Os autores agradecem o apoio financeiro da FAPESP, CNPq e CAPES.

Referências

[1] Hill, A. V. (1938), “The heat of shortening and the dynamic constant of muscle”, In: Proceedings of the Royal Society, v. B, n. 126, p. 136–195.

[2] Ferrarin, M. and Pedotti, A. (2000), “The Relationship Between Electrical Stimulus and Joint Torque: A Dynamic Model”, IEEE Transactions on Rehabilitation Engineering, v. 8, n. 3, p. 342–352. [3] Teixeira, M. C. M., Deaecto, G. S., Gaino, R.,

Assunção, E., Carvalho, A. A. and Farias, U. C. (2006), “Design of a Fuzzy Takagi-Sugeno Controller to Vary the Joint Knee Angle of

Paraplegic Patients”, Lectures Notes in Computer Science Springer Berlin/Heidelberg, v. 4234, n. 3, p. 118–126.

[4] Teixeira, M. C. M., Deaecto, G. S., Gaino, R., Assunção, E., Carvalho, A. A. and Farias, U. C. (2006), “Projeto de um Controlador Fuzzy Takagi-Sugeno para Variar o Ângulo da Articulação do Joelho”, In: XVI Congresso Brasileiro de Automática , Salvador. p., 2287–2292, 3-6 Out. [5] Tanaka, K., Ikeda, T. and Wang, O. H. (1998),

“Fuzzy Regulators and Fuzzy Observers: Relaxed Stability Conditions and LMI-Based Designs”, IEEE Transactions on Fuzzy Systems, v. 6, n. 2, p. 250– 265.

[6] Teixeira, M. C. M. and Zak, S. H. (1999), “Stabilizing Controller Design for Uncertain Non-Linear Systems Using Fuzzy Models”, IEEE Transactions on Fuzzy Systems, v. 7, n. 2, p. 133– 142.

[7] Crago, P. E., Mortimer, T. and Pecham, P. H. (1980), “Cosed-Loop Control of Force During Electrical Stimulation of Muscle”, IEEE Transaction on Biomedical Engineering, v. 27, n. 6, p. 306–312. [8] Dejnabadi, H., Jolles, B.M., Aminian, K. (2005), “A

New Approach to Accurate Measurement of Uniaxial Joint Angles Based on a Comnation of Accelerometers and Gyroscopes”, IEEE Transaction on Biomedical Engineering, v. 52, n. 8, p.

[9] Cardim, R., Teixeira, M. C. M., Assunção, E., Faria, A. F., Covacic R. C. (2007), “Controle de um Levitador Magnético Utilizando Modelos Fuzzy e Derivada de Estados da Planta”, In: Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente, Florianópolis, 8-11 Out.

[10] Takagi T., Sugeno M. (1985), “Fuzzy Identification of System and Its Applications to Modeling and Control ”, IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics, v. 15, n. 1, p. 116–132.

[11] Gahinet, P., Nemirovski, A., Laub, A. J., Chilali, M. (1995). LMI Control Toolbox- For use with Matlab, The Math Works Inc.

[12] Winter, D.A. (2005), Biomechanics and Motor Control of Human Movement, New York: John Wiley Sons Inc.

[13] Franken, H.M., Veltink, P.H., Tijsmans, R., Nijmeijer, H., Boom, H.B.K. (1993), “Identification of Passive Knee Joint and Shank Dynamics in Paraplegics Using Quadriceps Stimulation”. IEEE Transactions on Rehabilitation Engineering, v. 1, n. 3, p. 154–164.