Resposta ao Impulso, ao Degrau e à Excitação Arbitrária

(1)

1 INTRODUÇÃO

Estudamos, até agora, a resposta de sistemas dinâmicos às excitações harmônicas e periódicas, sendo que essas últimas foram transformadas, através de uma série de Fourier, em excitações harmônicas. A questão que naturalmente surge é: como obtemos a resposta quando a excitação é arbitrária? É de se esperar, aliás, que a excitação arbitrária seja a mais comum, na prática.

Antes de discutirmos a resposta à excitação arbitrária, vamos considerar a resposta a dois tipos especiais de forçamento, as funções impulso e degrau unitários.

Vamos utilizar como modelo, em nosso estudo, sistemas mecânicos de 1a_{e 2}a_{ordens. Obviamente, os}

resultados obtidos se aplicam aos demais tipos de sistemas físicos análogos.

2 RESPOSTA AO IMPULSO

O impulso unitário (ou função Delta de Dirac) é definido como sendo a função δ(t), tal que

(1a) δ(t - a) = 0 t ≠ a

(1b)

∫

+∞

∞

−δ(t−a)dt=1

conforme ilustra a fig. 1:

Fig. 1 A transformada de Laplace do impulso unitário é dada por

(2) ∆(s) = e-as

É muito comum, na prática, que o impulso ocorra no instante a = 0. Nesse caso: (3) ∆(s) = 1

19

Resposta ao Impulso, ao Degrau e

(2)

Resposta ao impulso: é definida como sendo a resposta de um sistema ao impulso unitário aplicado no instante t = 0, com condições iniciais nulas (sistema inicialmente em repouso). Evidentemente, se o impulso unitário for aplicado num instante de tempo posterior, t = a, a resposta será obtida deslocando-a para a direita, ao longo do eixo do tempo, de um intervalo t = a.

RESPOSTA DE SISTEMAS DE 1a_ORDEM

O modelo matemático para um sistema de 1a_{ordem ilustrado na fig. 2 foi obtido anteriormente como}

sendo

Fig. 2 (4) cx.(t)+kx(t)=f(t)

Substituindo f(t) por δ(t) e tomando a transformada de Laplace para condições iniciais nulas: (cs + k)X(s) = ∆(s)

Isolando X(s) e tendo em conta a eq. (3): (5) k cs 1 ) s ( X + =

Tendo em vista a definição de constante de tempo de um sistema mecânico de 1a_{ordem, dada por}

(6) τ = c/k podemos rescrever a eq. (5) como

τ + τ = + τ = 1 s 1 k 1 k s k 1 ) s ( X

Voltando ao domínio do tempo, obtemos a resposta de um sistema de 1a_{ordem ao impulso unitário:}

(7) e u(t) c 1 ) t ( u e k 1 ) t ( x_δ −tτ ₌ −tτ τ =

onde xδ(t) simboliza a resposta ao impulso e u(t) é o degrau unitário, o qual multiplica a resposta porque

ela deve ser nula para t < 0.

Por outro lado, a resposta de um sistema de 1a_{ordem submetido a uma condição inicial x(0) = x}

0 é dada,

conforme já vimos, por:

(3)

Portanto, comparando as eqs. (7) e (8), concluímos que a resposta ao impulso de um sistema de 1a

ordem equivale à resposta do mesmo a uma condição inicial. No presente caso, a condição inicial é o deslocamento inicial dado por x(0) = 1/c.

O modelo matemático para um sistema de 2a_{ordem como o ilustrado na fig. 3 é dado por}

Fig. 3

(9) mx..(t)+cx.(t)+kx(t)=f(t)

Substituindo f(t) por δ(t) e tomando a transformada de Laplace para condições iniciais nulas: (ms2_{+ cs + k)X(s) = ∆(s)}

Isolando X(s) e tendo em conta a eq. (3): (10) k cs ms 1 ) s ( X ₂ + + =

Considerando o sistema subamortecido e levando em conta que

m k n = ω e que n m 2 c ω = ς , podemos

rescrever a eq. (10) como

(11) ) s 2 s ( m 1 ) s ( X ₂ n n 2 ₊ _ςω ₊_ω =

Para obter a transformada inversa de Laplace, é conveniente expandir o membro direito da eq. (11) em frações parciais. Deixamos a cargo do aluno mostrar que:

(12) _      − − − − = 2 1 2 1 s s 1 s s 1 ) s s ( m 1 ) s ( X

onde s1 e s2 são as raízes da equação s2 + 2ζωns + ω2n =0, dadas por

(13) s1,2 = -ζωn ± iωd

(4)

(14) 2 n d=ω 1 ζ−

ω

Podemos, então, voltar ao domínio do tempo achando as transformadas inversas da eq. (12), obtendo

(

st s t

)

2 1 2 1 e e ) s s ( m 1 ) t ( x − − =

Substituindo s1 e s2 dadas pela eq. (13) na equação acima, obtemos a resposta de um sistema de 2a ordem

ao impulso: (15) e sen tu(t) m 1 ) t ( x t _d d n ω ω = −ςω δ

onde xδ(t) simboliza a resposta ao impulso e u(t) é o degrau unitário. Notemos que a resposta foi

multiplicada por u(t) tendo em vista que ela deve ser nula para t < 0.

Por outro lado, a resposta de um sistema de 2a_{ordem submetido às condições iniciais x(0) = 0 e}

0 . . x ) 0 (

x = é dada conforme já vimos, por:

(16) x(t) e x cos t x x sen t x e tsen _dt

d 0 . d d 0 . 0 n d 0 t n n ω ω =         ω ω + ςω + ω = −ςω −ςω

Portanto, comparando as eqs. (15) e (16), concluímos que a resposta ao impulso de um sistema de 2a

ordem é equivalente à resposta do mesmo a uma condição inicial. No presente caso, a condição inicial é a velocidade inicial dada por 0

. . x ) 0 ( x = = 1/m.

3 RESPOSTA AO DEGRAU

O degrau unitário, ilustrado na fig. 4, é definido matematicamente como (17) u(t - a) =    > < a t para 1 a t para 0 Fig. 4 A transformada de Laplace do degrau unitário é dada por (18) U(s) = e-as_/s

(5)

É muito comum, na prática, que o degrau unitário ocorra no instante a = 0. Nesse caso: (19) U(s) = 1/s

Resposta ao degrau: é definida como sendo a resposta de um sistema ao degrau unitário aplicado no instante t = 0, com condições iniciais nulas (sistema inicialmente em repouso). Evidentemente, se o degrau unitário for aplicado num instante de tempo posterior, t = a, a resposta será obtida deslocando-a para a direita, ao longo do eixo dos tempos, de um intervalo t = a.

Vamos estudar, a seguir, a resposta de sistemas de 1a_{e 2}a_ordens.

Conforme já vimos, o modelo matemático é dado pela eq. (4), aqui repetida: (4) cx.(t)+kx(t)=f(t)

Substituindo f(t) por u(t) e tomando a transformada de Laplace para condições iniciais nulas: (cs + k)X(s) = U(s)

Isolando X(s) e tendo em conta a eq. (19): (20) k cs 1 s 1 ) s ( X + =

Tendo em vista a definição de constante de tempo de um sistema de 1a_{ordem, dada pela eq. (6), podemos}

substituir na eq. (20) e expandir a mesma em frações parciais, obtendo: (21) _       τ + − = 1 s 1 s 1 k 1 ) s ( X

Voltando ao domínio do tempo, obtemos a resposta ao degrau: (22) 1 e u(t) k 1 ) t ( xu = _ − −tτ_

onde xu(t) simboliza a resposta ao degrau e u(t) é o degrau unitário. Notemos que a resposta foi

multiplicada por u(t) tendo em vista que ela deve ser nula para t < 0. O gráfico da eq. (22) está ilustrado na fig. 5:

(6)

Fig. 5 RESPOSTA DE SISTEMAS DE 2a_ORDEM

Comparando as eqs. (3) e (19), concluímos que o degrau unitário é a integral do impulso unitário. Se o sistema é linear, podemos aplicar o Princípio da Superposição e estabelecer que a resposta ao degrau unitário é a integral da resposta ao impulso unitário, ou, simbolicamente:

(23) =

∫

ξ ξ ∞ − δ t u(t) x ( )d x

onde ξ é uma variável muda. Aplicando a propriedade acima, simplesmente substituímos xδ(t), dada pela

eq. (15), na eq. (23): ω ξ ξ ξ ω =

∫

∞ − ξ ςω − t d d u(t) _m1 sen u( )d x n

Tendo em conta a definição de degrau unitário, podemos rescrever a equação acima como

(24) ω ξ ξ ω =

∫

t −ςωξ 0 d d u(t) _m1 e sen d x n

Usando a fórmula de Euler

i 2

e e

senω_dξ= iωdξ − −iωdξ

na eq. (24), e realizando a integração, chegamos, após algum trabalho algébrico, à resposta ao degrau

(25) 1 e cos t sen t u(t) k 1 ) t ( x _d d n d t u n                 ω ω ςω + ω − = −ςω

(7)

Fig. 6

donde concluímos que a resposta ao degrau unitário é uma oscilação amortecida que ocorre em torno de 1/k, sendo k a rigidez do sistema.

4 RESPOSTA À EXCITAÇÃO ARBITRÁRIA. INTEGRAL DE CONVOLUÇÃO

Vamos, agora, considerar o caso de uma excitação arbitrária (qualquer). Para achar a resposta a uma excitação dessa natureza, utilizaremos o Método da Convolução, também conhecido como Método da Integral de Duhamel. Esse método se destaca por sua ampla aplicabilidade, servindo para qualquer tipo de excitação, inclusive para aquelas já estudadas anteriormente. Entretanto, apresenta uma desvantagem considerável pois, para funções complicadas, ele se torna de difícil aplicação, devido às integrações trabalhosas que surgem.

Seja um sistema massa-mola-amortecedor, como o da fig. 3, em que a função de forçamento f(t) é genérica, como a ilustrada na fig. 7

Fig. 7 onde é usada a variável muda τ para o tempo.

(8)

Consideremos que, durante um intervalo de tempo infinitesimal dτ, começando no instante t = τ, a função f(t), naquele ponto, consista de um impulso infinitesimal de magnitude f(τ)dτ, mostrado na área hachurada da figura. A função f(t) pode ser considerada, no intervalo de tempo finito que vai de 0 até t, como sendo constituída por uma série desses impulsos infinitesimais, cada um deles provocando uma variação infinitesimal na quantidade de movimento da massa m:

f(τ) dτ = m dx. (26) = τ dτ m ) ( f x d.

Por outro lado, a resposta a cada impulso isoladamente é devida à aplicação das condições iniciais de deslocamento inicial nulo e velocidade inicial dx . Para descrever essa situação, já temos a eq. (16), aqui. repetida: (16) x(t) x e t sen _dt d 0 . n ω ω = −ςω

Adaptando para a simbologia atual e considerando que a resposta ao impulso tem início após a aplicação do mesmo, ou seja, após o instante t = τ, podemos rescrever a eq. (16) como

dx(t) dx e (t )sen _d(t ) d . n ω −τ ω = −ςω −τ

Levando em conta a eq. (26), obtemos

ω −τ τ ω τ = e−ςω −τ sen (t )d m ) ( f ) t ( dx (t ) _d d n

Devido à condição de sistema linear, podemos aplicar o Princípio da Superposição e afirmar que a resposta total à série de impulsos infinitesimais ocorrendo de t = 0 até t = τ, é dada pela integral da equação acima, o que constitui a chamada Integral de Duhamel:

(27)

∫

τ ω −τ τ ω = t −ςω −τ 0 d ) t ( d d ) t ( sen e ) ( f m 1 ) t ( x n

O método que acabamos de descrever também recebe o nome de Método da Convolução porque a eq. (27) é uma forma especial da integral de convolução

(28) x(t) tf( )g(t )d f(t)*g(t)

0 τ −τ τ=

(9)

onde (29) e sen (t ) m 1 ) t ( g (t ) _d d n ω −τ ω = τ − −ςω −τ

Na eq. (28), a expressão f(t)*g(t) é lida como “convolução de f(t) e g(t)” ou “f(t) convolução g(t)”.

Teorema de Borel: estabelece que a convolução de duas funções é igual à transformada inversa de Laplace do produto de suas transformadas de Laplace, ou seja

(30) x(t) = f(t)*g(t) = £-1_[f(s).g(s)]

Esse teorema é de extrema importância prática, porque permite usar a transformação de Laplace para solucionar problemas de transientes.

Exemplo ilustrativo 1

Um sistema massa-mola encontra-se inicialmente em repouso e é submetido a um pulso retangular de magnitude constante f0 durante t1 segundos. Achar a resposta transiente usando o Método da Convolução.

Solução:

Como não existe amortecimento, ζ = 0. Levando na eq. (27):

∫

ω −τ τ ω = τ τ − ω τ ω = t1 0 0 n n t 0 n n d ) t ( sen f m 1 d ) t ( sen ) ( f m 1 ) t ( x

Tendo em vista que t não depende de τ, t pode ser considerado constante no processo de integração:

[

]

t1 0 n 2 n 0 _cos ₍_t ₎ m f ) t ( x − ω −τ ω − = de onde chegamos finalmente a

[

cos (t t) cos t

]

m f ) t ( x ₂ n 1 n n 0 _ω ₋ ₋ _ω ω =

(10)

Exemplo ilustrativo 2

Um sistema massa-mola encontra-se inicialmente em repouso quando é submetido ao pulso triangular da figura 8. Achar a resposta no tempo x(t).

Solução Equação da excitação: f(τ)= 800 200 n + τ τ − Integral de Duhamel:

∫

τ ω −τ τ ω = t −ςω −τ 0 d ) t ( d d ) t ( sen e ) ( f m 1 ) t ( x n

Como não há amortecimento, ζ = 0 e ωd = ωn, logo

∫

τ τ+ ω −τ τ τ − ω = /4 0 _n n n n d ) t ( sen ) 200 800 ( m 1 ) t ( x

Realizando o trabalho de integração e tendo em conta que mωn2 = k e que ωnτn = 2π, a expressão acima

simplifica para:

[

2sen t (2 )cos t

]

k 200 ) t ( x ω_n + −π ω_n π = Fig. 8

(11)

EXERCÍCIOS

1 Deduzir a eq. (11). 2 Deduzir a eq. (12). 3 Demonstrar a eq. (15). 4 Deduzir a eq. (21). 5 Deduzir a eq. (25).

6 Usando o VisSim, pedem-se:

(a) plotar a resposta do exemplo ilustrativo 2, ou seja,

[

2sen t (2 )cos t

]

k 200 ) t ( x = _π ωn + −π ωn ;

(b) resolver a EDOL do exemplo ilustrativo 2; (c) comparar os gráficos obtidos nos itens (a) e (b).

7 Um sistema massa-mola encontra-se inicialmente em repouso quando é submetido à excitação da figura. Determinar a resposta no tempo x(t).

Resp.:       _ω π − = 1 2sen t k F ) t ( x _n

(12)

8 Usando o VisSim, pedem-se:

(a) plotar a resposta do exercício 7, ou seja, 

     _ω π − = 1 2sen t k F ) t ( x _n ;

(b) resolver a EDOL do exercício 7;

(c) comparar os gráficos obtidos nos itens (a) e (b).

9 O sistema da figura é submetido a uma força impulsiva f(t) = f0 δ(t) onde f0 é o módulo do

impulso. Usando o VisSim, plotar o deslocamento da massa m em função do tempo, resolvendo numericamente a equação diferencial.

Dados: m = 1 kg; c = 10 N.s/m; f0 = 100 N.