A Réaction nucléaire - LPNHE

Mention Physique - M2 - Ann´ ee 2012-2013

Master de Sciences et Technologies : ing´ enierie pour le nucl´ eaire NP800 :

Th` eme N

1 : Remise ` a z´ ero physique Nucl´ eaire - R´ eaction nucl´ eaire - Exp´ erience de Rutherford - Ordre de grandeur - Lois de

conservation - Section efficace

Pour acc´eder au Cours, TD, TP, Probl`eme et leurs corrections, aller sur le cite du LPNHE (Accueil du site), puis : Le LPNHE>Pages du personnel>Kapusta Fr´ed´eric>np800

np8002012

Figure 1: Domaines attrait `a la physique nucl´eaire.

A R´ eaction nucl´ eaire

A1 Exp´ erience de diffusion Rutherford

L’exp´erience de Rutherford est une exp´erience de diffusion de particulesαsur des noyaux d’or

197

79Au. La r´eaction s’´ecrit :

197 79Au +α

noyau d’h´elium ⁴2He

→¹⁹⁷79Au +α (1)

1

Geiger et Marsden mesurent le nombre de particulesαdiffus´ees en fonction de l’angle de diffusionθ(voir la figure 3).

Figure 2: Les r´esultats exp´erimentaux obtenue par Geiger- Marsden (1909) dans l’exp´erience de Rutherford (haut) - Tra- jectoire des particules alpha (α) diffus´ees avec l’angle de diffu- sion theta (θ) pour un noyau ayant une densit´e de charge tr`es concentr´ee dans l’espace (bas).

Figure 3: Le mod`ele atom- ique de Thomson (1904) (haut).Le mod`ele plan´etaire de l’atome de Bohr (1912- 1913) (haut et milieu).

1. D´efinir en quelque mots l’angle de diffusion θ, le param`etre d’impact b et la distance minimum d’approchermind’une particule alpha d’´energie cin´etiqueT0(voir la figure 3).

Quelles sont les limites des grandeurs physiques bet rmin quand l’angle de diffusionθ tends vers 0^oet 180^o, on donne

b(θ) =D 2cotθ

2 (∼

θ=0 D θ θ=π∼

D

4 (π−θ) (2)

rmin(θ) =b(θ) cos₂^θ 1−sin^θ2

( ∼

θ=0^o D

θ

θ=π∼ D (3)

2

avec

D=ZαZAue² 4πε0T0

(4) o`uε0est la permittivit´e du vide etela valeur absolue de la charge de l’´electron. Quelle est la signification physiuqe deD?

2. D´eterminer num´eriquement le param`etre d’impactbd’une particule alpha d’´energie cin´etique T0 = 7,7 MeV si son angle de diffusion est deθ= 140^o. En d´eduire la distance mini- mum d’approcherminentre cette particuleαet le noyau d’or. On utilisera les grandeurs suivantes, couramment utilis´ee en physique nucl´eaire et des particules.

α= e²

4πε0¯hc≃ 1

137,04 (constante de structure fine) (5)

¯

hc≃197,33 MeV fm (constante de conversion) (6)

3. Comparer la distance minimum d’approche calcul´ee pr´ec´edemment au rayon du noyau d’or que vous estimerez en utilisant la formule semi-empiriqueR =r0A^1/3 o`uRest le rayon du noyau, A le nombre de masse etr0= 1,2 fm. Commentaire ?

4. Dans le mod`ele de Bohr de l’atome d’hydrog`ene, le rayon de Bohr a0 est la longueur caract´eristique s´eparant l’´electron du proton. C’est donc un ordre de grandeur du rayon des atomes (voir la figure 3). Calculer num´eriquement le rayon de Bohr et le comparer au rayon du proton. On donne

a0=4π¯h²ε0

mee² (7)

o`ume≃511,00 keV/c²est la masse de l’´electron.

A2 R´ eaction de fusion nucl´ eaire

On ´etudie la r´eaction nucl´eaire de fusion d’un noyau de deut´erium (D) sur un noyau de tritium (T).Dans l’´etat final de cette r´eaction on observe une particuleα.

1. ´Etude de l’´etat initial.

(a) Donner le symbole du noyau de deut´erium.

(b) Donner le symbole du noyau de tritium.

2. Dans l’´etat final de cette r´eaction on observe une particuleα.

(a) Donner le symbole du noyau d’h´elium (b) Combien y a-t-il de protons dans l’´etat final ?

(c) Combien y a-t-il de neutrons dans l’´etat final ?

3. ´Ecrire la r´eaction de fusion en utilisant les symboles des noyaux.

3

4. La masse du proton est de mp = 938.272013(23)± MeV/c². Donner cette masse en kg. La vitesse de la lumi`ere est dec= 299792458 m⁻¹. La charge de l’´electron est de qe=−1.602176487(40) 10⁻¹⁹C.

(Vous pouvez obtenir certaine valeurs num´eriques utiles dans le PDG (particle data group), http://pdg.lbl.gov/)

5. Pour l’h´elium

(a) Estimer la masse de son noyau en kg si on donneMα≃4,00150606 u.

On a 1 u.m.a. (unit´e de masse atomique) = 1 u = ₁₂¹ de la masse d’un atome de carbone¹²6C = 931,494028 MeV/c²= 1,660538 10⁻²⁷kg.

(b) Estimer le rayon de son noyau, en utilisant la formule semi-empiriqueR =r0A^1/3 o`uRest le rayon du noyau, A le nombre de masse etr0= 1,2 fm

(c) Estimer sa masse volumique et la comparer `a la masse volumique du gaz d’h´elium ρ^gaz = 0,1785 kg/m³ dans les conditions normales de temp´erature et de pression (CNTP)(T = 0^oC (273,15 K), p= 1 atm = 101,325 kPa).

(d) Commenter la phrase suivante : la mati`ere est remplie de vide.

6. ´Ecrire le moment angulaire total ainsi que la parit´e de l’´etat initial et de l’´etat final. Le deut´erium et de tritium sont presque au repos dans le laboratoire donc on cosid`erera que le moment angulaire entre ces noyaux est nul.

On rappel que le spin parit´e, du noyau de deut´erium estJ_D^P = 1⁺, du noyau de tritium estJT^P=¹₂⁺, de la particuleαestJα^P= 0⁺et du nucl´eon estJN^P=¹₂⁺.

7. D´eterminer le bilan ´energ´etique Q de la r´eaction de production sachant que mn = 939,565346±0,000023 MeV/c²,MD= 1875.613 MeV/c²etMT = 2808.921 MeV/c². (Si vous voulez obtenir le bilan ´energ´etique de certaines r´eactions, vous pouvez aller sur ce cite WEB http://www.nndc.bnl.gov/qcalc/)

8. ´Etude de la loi de conservation de l’´energie

(a) ´Ecrire la loi de conservation de l’´energie en fonction du bilan ´energ´etiqueQ, de l’´energie cin´etique du neutronTn et de l’´energie cin´etique de la particule alphaTα

sachant que la r´eaction de fusion a lieu quand deut´erium et le tritium sont au repos dans le centre de masse.

(b) Montrer que l’´energie cin´etique de la particuleαv´erifie l’in´equation ci-dessous. En d´eduire, que dans cette r´eaction, cette particule est non-relativiste et donner la relation entre le module de son impulsionpαet son ´energie cin´etique.

Tα≤Q (8)

(c) Le neutron est-il une particule relativiste dans cette r´eaction ?

9. En appliquant la loi de conservation de l’impulsion donner la relation entre l’´energie cin´etique de la particuleαet l’´energie cin´etique du neutron.

10. D´eterminer analytiquement, puis num´eriquement l’´energie cin´etique de la particuleαet l’´energie cin´etique du neutron.

4

B Section efficace

B1 Irradiation d’une cible de Bore

On irradie une cible de Bore¹¹5B avec des neutrons, d’´energie cin´etiqueTn= 10 MeV, de flux Φ = 2 10¹⁰m⁻²s⁻¹, afin d’´etudier la r´eaction de production de lithium⁸3Li et d’une particule alpha suivante :

n+¹¹5B→α+⁸3Li (9)

La cible de ¹¹ B a une surface 10 cm², une ´epaisseur de 1µm et une densit´e ρ = 2,34 g.cm⁻³. La section efficace totale de cette r´eaction est donn´ee par les figures 4, 5 tir´ee du National Nuclear Data Center (http://www.nndc.bnl.gov/sigma/search.jsp)

Figure 4: Evolution de la section efficace en fonction de l’´energie cin´etique du neutron. La courbe est extraite de la librairie : ENDF/B-VII.0 Library. Les croix sont les donn´ees exp´erimentales.

Figure 5: Repr´esentation de la figure 4 en ´echelle log-log.

1. Estimer la section efficace totale de la r´eaction pour l’´energie cin´etique des neutrons.

2. Calculer le nombre de particule α(Nα) produites par cette r´eaction apr`es 10 minutes d’exposition,

(a) dans l’hypoth`ese o`u on n´eglige la variation du nombre de noyaux-cible pendant le temps de l’exp´erience.

(b) dans l’hypoth`ese o`u l’on prend en compte la variation du nombre de noyaux-cible pendant le temps de l’exp´erience. En d´eduire aussi la condition pour que l’on puisse n´egliger cette variation; est-elle satisfaite ?

5

3. (Question `a faire soi-mˆeme) Le<sup>8</sup>3Li se d´esint`egre avec un temps de demi-viet1/2= 0,844 s. D´eterminer le nombre de⁸3Li pr´esent dans la cible apr`es 10 minutes d’exposition.

4. Calcul de l’´energie cin´etique minimaleTsdu neutron pour que la r´eaction ait lieu (´Energie seuil de la r´eaction) en utilisant les quadrivecteurs.

(a) ´Ecrire le quadrivecteurPndu neutron incident dans le laboratoire.

(b) ´Ecrire le quadrivecteurP¹¹₅B du noyau de Bore cible dans le laboratoire. Le noyau de Bore cible est au repos dans le laboratoire.

(c) ´Ecrire le quadrivecteurP_α^cmde la particule alpha dans le syst`eme du centre de masse de la r´eaction. On notera~pcmle quadrivecteur de la particule alpha dans le syst`eme du centre de masse de la r´eaction.

(d) ´Ecrire le quadrivecteurP⁸3Lidu noyau de lithium dans le syst`eme du centre de masse de la r´eaction.

(e) ´Ecrire les produits scalairePn· P¹¹₅BetPα^cm· P^8cm

3Li. (f) Quelle relation y-a-il entre

Pn+P¹¹₅B

2

etPn· P¹¹₅B? (g) Quelle relation y-a-il entre

Pn+P¹¹5B

² et

Pα^cm+P^8cm

3Li

²

? En d´eduire une relation contenantTn.

(h) Quelle est la valeur minimale depcm=|~pcm), en d´eduire queTn> Tsavec

Ts=−Q

Mα+M⁸₃Li+mn+M¹¹₅B

2M¹¹₅B

(10) o`uQest le bilan ´energ´etique de la r´eaction.

(i) Les tables donnent la valeur num´eriquement deQ=−6632.510.43 MeV et la valeur num´erique deTs= 7240.3270.469 MeV. Ces r´esultats sont t-ils en accord avec la formule 10 et la figure 5.

B2 Section efficace diff´ erentielle

On irradie une cible de zirconium⁹⁰40Zr par un faisceau de protons, et on mesure la section efficace diff´erentielle de production de l’´etat final comportant un neutron et un noyau de niobium⁹⁰41Nb pour plusieurs valeurs de l’´energie cin´etique du proton. Le r´esultat de ces mesures est pr´esent´e sur le figure 6

On peut noter que le zirconium est utilis´e comme enveloppe pour les barres de combustible fissible (r´esistance `a la corrosion, r´esistance `a l’irradiation, grande p´en´etrabilit´e des neutrons lents, conservation des propri´et´es `a haute temp´erature). Le niobium est utilis´e en alliage avec le zirconium du fait de sa faible section de capture des neutrons.

1. Donner l’angle solide ´el´ementaire dΩ dans le syst`eme de coordonn´ees sph´erique ainsi qu’une repr´esentation graphique.

2. Quelle doit ˆetre la surface de d´etectionSdd’un d´etecteur de neutrons plac´e `a une distance d = 50 cm de la cible (consid´er´e comme ponctuelle) pour couvrir l’angle solide Ω dont l’angle polaire est compris entreθ1= 80^oetθ2= 100^o?

6

Figure 6: Section efficace diff´erentielle de la r´eaction en fonction de l’angle de production dans le centre de masse (cm). Les points sont les donn´ees exp´erimentales. les courbes proviennent du mod`ele th´eorique IAS (Production directe de neutron par une r´esonance isobarique analogue)

3. Donner une estimation de la section efficace de la r´eaction en cm² pour des protons incidents d’´energie cin´etique de 25 MeV et pour l’ angle solide Ω.

4. Mˆeme question que pr´ec´edemment mais pour des protons d’´energie cin´etique de 35 MeV.

Note : en faisant une int´egration par partie on peut montrer que Z

Asinθexp (−µθ)dθ=−Acosθ+µsinθ

1 +µ² exp (−µθ) (11)

B3 Temps de combustion de l’uranium naturel

1. On d´efinit par la relation ci-dessous le taux de fissionRfpar unit´e de volume (variation du nombre de r´eactions de fission par unit´e de volume (dNf) par unit´e de temps) pour

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une certaine quantit´e de mati`ere fissible correspondant `aNnoyaux par unit´e de volume dont la section efficace de fission est ´egale `aσfet qui est soumise `a un flux neutronique Φ.

V´erifier la dimension de cette ´equation.

Rf =dNf

dt =NσfΦ

2. D´efinir le taux de capture Rc par unit´e de volume (nombre de r´eactions de capture neutronique par unit´e de volume (Nc) par unit´e de temps) pour une certaine quantit´e de mati`ere correspondant `a N noyaux par unit´e de volume dont la section efficace de capture neutronique est ´egale `aσcet qui est soumise `a un flux neutronique Φ.

3. D´efinir le taux d’absorptionRapar unit´e de volume (nombre de r´eactions d’absorption de neutrons par unit´e de volume (Na) par unit´e de temps) pour une certaine quantit´e de mati`ere fissible correspondant `aN noyaux par unit´e de volume dont la section efficace d’absorption est ´egale `aσaet qui est soumise `a un flux neutronique Φ. Quand est-il pour une mati`ere non fissile ? Commentaire ?

4. Quelle relation y-a-t-il entre la variation par unit´e de temps du nombre de noyaux de mati`ere fissile par unit´e de volume N(t) et le taux de r´eaction d’absorption par unit´e de volume Ra, en d´eduire l’´equation diff´erentielle qui r´egit N(t). La r´esoudre dans l’hypoth`ese o`u le flux φest constant. A l’instant initiale (t = 0) on aN0 noyaux de mati`ere fissile par unit´e de volume.

5. En prenant un flux neutronique deφ= 10¹³cm⁻²s⁻¹d´eterminer la fraction de mati`ere fissile initiale d’uranium ²³⁵92U consomm´ee au bout d’un ans (t1 = 1 ans). La section efficace d’absorption (de fission) de neutrons thermiques sur l’uranium²³⁵92U est de l’ordre deσa= 680 b (σf = 582 b) (1 barn = 10⁻²⁴cm²). Commentaire ?

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