Configurations d'équilibres de mati`ere nucléaire en rotation

Mention Physique - M2 - Ann´ ee 2013-2014

Master de Sciences et Technologies : ing´ enierie pour le nucl´ eaire NP800 :

probl` eme N

5 : Configurations d’´ equilibres de mati` ere nucl´ eaire en rotation - R´ eaction par noyau compos´ e -

A Configurations d’´ equilibres de mati` ere nucl´ eaire en rotation

Consid´erons une configuration de mati`ere nucl´eaire incompressible en rotation et en interaction

´electromagn´etique dot´ee d’une tension de surface. La surface de la mati`ere nucl´eaire est sp´ecifi´ee par un certain nombre de degr´es de libert´e qui peut ˆetre infinie.

1. ´Energie de d´eformation

(a) D´efinir l’´energie de d´eformationξet monter qu’elle peut se mettre sous la forme 1 ci-dessous :

ξ= (BS−1) + 2x(BC−1) +y(BR−1) (1) avec

BS(forme) = ES

ES⁽⁰⁾

, BC(forme) = EC

E⁽⁰⁾C

, BR(forme) = ER

E⁽⁰⁾R

(2)

Vous d´efinirez le param`etre de fissiblit´ex (ou pouvoir fissile) et le param`etre de l’´energie de rotationyqui interviennent dans l’´equation 1.

(b) Dans le cas d’un mod`ele de goutte liquide, d´eterminer le pouvoir de fissilexd’un noyau en fonction des variations absolues d’´energies. Commentaire ?

On rappelle que dans le mod`ele de la goutte liquide on a : BE(A, Z)S=−aSA^2/3

1 +2

5ε²

(3) BE(A, Z)c=−acZ(Z−1)A^−1/3

1−1

5ε²

(4)

1

2. Pour param´etriser la surface (ρ(z, φ), φ, z) du noyau, nous allons utiliser les polynˆomes de Legendre. En posant 2z0 la longueur du noyau sur l’axezon a :

ρ(z, φ)≃ρ⁰s

x= z

z0

= v u u t

Nz

X

k=1

a2k[P2k(x)−1] (5)

(a) Faire un sch´ema de la forme du noyau sik= 2,4.

on rappelle que

P2(u) =1

2(3u²−1) (6)

P4(u) =1

8(35u⁴−30u²+ 3) (7)

Dans la suite on consid´erera quek= 2,4,6,8,10 comme dans la figure 3.

(b) Donner l’expression int´egrale du param`etre de formeBS(forme).

(c) Donner l’expression int´egrale du param`etre de formeBc(forme).

(d) ´Ecrire l’´equation qui donne la condition d’´equilibre du noyau (e) Quelle conditions pour que l’´equilibre soit stable (instable) ? 3. Commenter les r´esultats des figure 3, 4, 5, 6 et 7

B R´ eaction par noyau compos´ e

On consid`ere une r´eaction par noyau compos´e suivante

a+X→C^⋆→Y +b (8)

1. Tracer dans un diagramme en ´energie la position d’un niveau d’´energie correspondant

`a un ´etat d’excitation d’´energieE<sup>⋆</sup> du noyauC, la r´ef´erence en ´energie ´etant prise `a la masse au repos du noyauC.

2. (a) Que repr´esente la quantit´e suivanteSaqui est d´efine par

Sa=mac²+MXc²−MCc² (9)

(b) En d´eduire sur le diagramme en ´energie trac´ee ci-dessus, la position du niveau d’´energie du syst`eme initial en faisant l’hypoth`ese que celui-ci est au repos dans le centre de masse de la r´eaction (tracer ce niveau `a gauche du niveauE^⋆).

3. (a) Que repr´esente la quantit´e suivanteSbqui est d´efine par

Sb=mbc²+MYc²−MCc² (10)

2

(b) En d´eduire sur le diagramme en ´energie trac´ee ci-dessus, la position du niveau d’´energie du syst`eme final en faisant l’hypoth`ese que celui-ci est au repos dans le centre de masse de la r´eaction (tracer ce niveau `a droite du niveauE^⋆).

4. Quelle doit ˆetre doit ˆetreT0^⋆, la somme de l’´energie cin´etique de la particuleaet l’´energie cin´etique du noyauXdans le syst`eme du centre de masse (c.m.) si l’on veut que le noyau compos´e soit dans un ´etat d’´energie d’excitationE^⋆? (vous ´ecrirezT₀^⋆en fonction deE^⋆ etSa)

5. On veut d´eterminer l’´energie cin´etiqueT_a^lab de la particuleadans le laboratoire qui cor- responds `a son ´energie cin´etiqueTa^c.m.dans le c.m. (le noyau cible X ´etant au repos dans le laboratoire). Pour cela

(a) D´eterminer la vitesse du centre de masse de la r´eaction~vc.m.en appliquant la conser- vation de l’´energie dans centre de masse .On rapelle que si la vitesse de la particule aest~va(~v^⋆a) dans le laboratoire (c.m.) on a dans le changement de r´ef´erentielle la relation suivante :

~v_a^⋆=~va−~vc.m. (11)

(b) en d´eduire l’´energie cin´etiqueTa^laben fonction deTa^c.m.

6. D´eterminer l’´energie cin´etiqueT_X^c.m.dans le c.m. du noyauXen fonction deT_a^lab, le noyau cibleXest au repos dans le laboratoire.

7. En d´eduire la relation entre T₀^c.m. et T_a^lab dans le cas d’un changement de r´ef´erentiel classique.

8. Quelle doit ˆetre l’´energie cin´etiqueT_a^⋆dans le laboratoire de la particuleasi le noyau com- pos´e est dans un ´etat d’excitationE^⋆(le noyau cibleXest au repos dans le laboratoire).

Vous donnerez la relation entreTa^⋆etE^⋆.

9. Quelle doit ˆetre l’´energie cin´etiqueTa dans le laboratoire de la particuleasi le noyau compos´e est dans un ´etat d’excitationE(le noyau cibleXest au repos dans le laboratoire).

Vous donnerez la relation entreTaetE.

10. Tracer les fl´eches sur le diagramme en ´energie qui correspondent aux deux conditions initialesTaetTa^⋆de l’´energie cin´etique de la particulesadans le laboratoire.

11. D’apr`es la figure 2, donner une estimation, pour la r´eaction dont l’´etat initial estn+²³⁵92U, de la section efficace totaleσtot, de la section efficace de fissionσf, de la section efficace de captureσcet de la section efficace ´elastiqueσelas.si le neutron incident est thermique (son ´energie cin´etique estTn≃1/40 eV)

12. Montrer que l’on peut mod´eliser la section efficace totaleσtot(Tn) =σ^n+23592U(Tn), jusqu’a la premi`ere r´esonnance incluse (voir figure 2 ), par l’expression ci-dessous et la repr´esenter sommairement en fonction deTn, l’´energie cin´etique du neutron incident.

σ^n+23592U(Tn) = A

√Tn (Tn−B)²+C (12)

3

Figure 1: Les courbes du haut vers le bas,

`a gauche, repr´esente la section efficace to- tale (courbe bleu), la section efficace de fision (courbe verte), la section efficace de capture (courbe noire) et la section efficace de capture (courbe rouge) de l’uranium²³⁵92U.

Figure 2: Mˆemes courbes que la figure 1, mais pour une gamme en ´energie cin´etique de neu- tron incident plus faible

On rappelle que la largeur partielle du neutron Γnest en premi`ere approximation pro- portionelle `a sa vitesse initiale et que sa longeur d’onde de Broglie λdest inversement proportionelle `a sa vitesse initiale.

13. D´eterminer num´eriquement les param`etresA,BetC`a l’aide de la figure 2. On prendra comme largeur de fission Γf≃0,10 eV.

14. Donner une estimation de la largeur de capture Γγ

4

Figure 3: Forme des points de scelles, pour des noyaux qui ne sont pas en rotation, dans le mod`ele de la goutte liquide (LDM) et dans le mod`ele de Yukawa-plus-exponentiel `a port´ee finie (YPE) pour des nombres de masse compris entre 60 et 300 par pas de 40. La valeur de la charge de la charge de chaque noyau est d´etermin´ee par l’approximation de Green de la ligne de stabilit´e beta [?]. Les courbes ferm´ees sont les intersections des surfaces des noyaux avec un plan contenant les axes de sym´etrie du noyau. Les formes sont dessin´ees avec un rayonR0

renormalis´e de mani`ere `a ˆetre identique pour chaque noyau.

5

Figure 4: Calcul de la hauteur de barri`ere de fission, pour des noyaux qui ne sont pas en rotation, en fonction du nombre de masse pour des noyaux stable vis `a vis de la d´esint´egration beta (noyau sur la ligne de stabilit´e) dans le mod`ele de la goutte liquide (LDM) (ligne hach´ee) et dans le mod`ele de Yukawa-plus-exponentiel `a port´ee finie (YPE)(ligne solide). Les cercles ouverts sont les pr´edictions de Mustafa et al. utilisant le mod`ele YPE, mais avec une param`etrisation plus limit´ee que celle employ´ee dans le probl`eme.

6

Figure 5: Calcul de la hauteur de barri`ere de fission, dans le mod`ele YPE et pour des noyaux qui ne sont pas en rotation, en fonction du nombre de masse pour des nombre atomiqueZ= 20 `a 90.

Les points sont les barri`ere pour les noyaux stable vis `a vis de la d´esint´egration beta (noyau sur la ligne de stabilit´e) pourZ= 14 `aZ= 117.9 par pas de 2 (sauf pour le dernier pas).

Figure 6: Mˆeme chose que la figure 5 mais pourZ= 86 `a 110.

7

Figure 7: Formes de l’´etat fondamental et du point de scelle en fonction du nombre de masse et du moment angulaireLpour des noyaux sur la ligne de stabilit´e. La ligne solide repr´esente la ligne de moment angulaire particulierLI. La ligne hach´e en gros tir´e repr´esente la ligne de moment angulaire particulierLII. Les formes en ligne hach´ee sont les ´etats fondamentaux qui ont une sym´etrie axiale. Les formes en ligne solide sont les points de scelles (ceux `aL= 0 ont une sym´etrie axiale, tandis que ceux `aLI sont l´eg`erement triaxial). Les formes en pointill´ees sont les points o`u la famille des ´etats fondamentaux et la famille des points de scelles s’unissent et la barri`ere de fission disparaˆıt. Les formes pourLI`aZ = 80 etZ = 100 sont dessin´ees en trait hach´e et montre que la barri`ere de fission disparaˆıt pour ces forme sym´etriques. La forme

`a droite en pointill´ee indique un noyau sph´erique avecZ= 117,88,A= 311,71 pour lequel la barri`ere de fission disparaˆıt `aL= 0

8