1 : Interaction des ´ electrons de haute

(1)

Mention Physique - M2 - Ann´ ee 2012-2013

Master de Sciences et Technologies : ing´ enierie pour le nucl´ eaire NP800 :

Probl` eme trait´ e en cours N

^◦

1 : Interaction des ´ electrons de haute

´ energie avec les noyaux (Test de connaissance)

A Interaction des ´ electrons de haute ´ energie avec les noyaux [1] [2]

• On veut décrire l’interaction [1], [2] et [3] d’un électron incident d’ impulsion~p0(énergie E0) avec un noyau au repos dans le laboratoire. Ce noyau est constitué deZprotons et deN neutrons et son énergie de masse vautM c².

• Après l’interaction, on note l’énergie cinétique (l’impulsion) du noyau cible parTc(P) et~ l’impulsion (l’énergie) de l’électron par~p(énergieE).

• Pour illustrer la méthode et les idées physiques avec plus de clarté et de transparence, nous faisons, au début, l’approximation que le noyau et l’électron sont sans spin ( par hypothèse, ils possèdent donc tout les deux un spin nul). Nous verrons par la suite comment les résultats sont modifiés si on prend en compte leurs spins.

A1 Description du dispositif exp´ erimental et des r´ esultats exp´ erimentaux

1. Décrire brièvement le dispositif expérimental représenté sur les figures 1 et 2.

2. Décrire brièvement le comportement des données expérimentales montrées sur les figures 3 et 4.

3. Décrire brièvement le comportement des données expérimentales montrées sur les figures 5 et 6.

4. Décrire brièvement la densité nucléaire donnée par la figure 7.

5. D´ecrire bri`evement le comportement des sections efficaces de la figure 8.

6. Quelle caract´eristique physique important traduit le facteur de forme sur la figure 9 ?.

7. Décrire brièvement la densité de charge du proton et du neutron donnée parr la figure 10.

A2 Etude de la cin´ ´ ematique de la r´ eaction

1. Dans le laboratoire, on noteP¹le quadrivecteur de l’électron incident,P²le quadrivecteur du noyau cible considéré au repos,P³le quadrivecteur de l’électron après interaction et P⁴ le quadrivecteur du noyau après interaction. L’ordre de grandeur de l’énergieE0 de l’électron incident est la centaine de MeV, êtes-vous en accord avec les approximations faites ci-dessous ?

P¹=

E0≃p0c

~ p0c

, P²= M c²

~0

, P³=

E≃pc

~ pc

, P⁴=

Tc+M c² P c~

(1)

2. À partir de la relationP4²= (P¹+P²− P³)²que vous justifierez, vous déduirez la relation 2, ci-dessous, entre les impulsions finale et initiale de l’électron.

p= p0

1 +_{M c}^2E⁰²sin²^θ₂ (2)

oùθest l’angle entre la direction de l’électron incident et la direction de l’électron finale.

3. À partir de la relationP²· P⁴que vous justifierez, vous déduirez l’équation 3, ci-dessous, qui donne l’énergie cinétiqueTcdu noyau lourd après interaction.

Tc= 2E₀² M c²

sin²^θ₂

1 +_{M c}^2E⁰2sin²^θ₂ (3)

4. On d´efinit le quadrivecteur transfertqede l’´electron par la formule ci-dessous 4.

~c×qe=P¹− P³ (4)

(a) Quelle est la dimension du quadrivecteur transfertqede l’´electron ?

(b) Donner la dimension du quadrivecteur transfertqede l’électron si on adopte les unités de Planck [4],[5] où l’on a renormalisé à 1 les cinq constantes physique fondamentales, soit la constante gravitationnelleG, la constante de Planck réduite~, la vitesse de la lumière dans le videc, la constante de BoltzmannkBet la constante de Coulomb

1 4πε0, soit

G=~=c=kB= 1

4πε0= 1 (5)

(2)

(c) On d´efinit leq² de l’´electron par la relation 6 suivante :

q²=−q_e² (6)

Donner la relation entre leq² et la longueur d’onde réduite de de Broglieλ de l’électron incident définit par l’équation 7 :

λ= ~ p0

(7)

(d) Montrer que la perte d’énergie ∆E de l’électron est de l’ordre de _{M c}Ê²⁰² et que si le noyau cible est massif _{M c}Ê⁰2≪1

elle est de la forme

∆E=E0−E≃~²q²

2M (8)

et que l’on a la relation 9 suivante :

~²q²≃ |~p0−~p|²=~²|~q|²≃4p²0sin²θ

2 (9)

(e) Calculer en fm et en mbarn la valeur numérique duq²pour des angles de diffusion de 30, 50 et 70 degré correspondant à l’interaction d’électrons de 420 MeV sur du

12C. Que deviennent ces grandeurs en unit´e de Planck ?

D’apr`es le PDG (particle data group)[6] les constantes de conversion~cet (~c)²pren-

nent les valeurs suivantes~c= 197,3269631(49) MeV fm et (~c)²= 0,389379304(19) GeV²mbarn.

A3 Etude de la dynamique de la r´ ´ eaction

Pour décrire l’interaction, nous traitons le problème à l’approximation de Born. La prob- abilité de transition par unité de tempsw^′, d’un état initiale dans lequel l’électron a une impulsion ~p0 (énergie E0) vers un état final dans lequel l’électron a une l’impulsion~p (énergieE), est donnée par la théorie des perturbations au premier ordre de la mécanique quantique :

w^′=dw dt =2π

~|H|² dn dEf

(10) oùHest l’élément de matrice entraˆınant la transition et_dE^dn

f est la densité d’états finaux d’énergieEf.

A3 .1 Etude de l’´´ el´ement de matrice de l’interaction

• Soit ψ(~r) la fonction d’onde d’une onde plane d’impulsion ~p normalis´ee dans le volumeL³, on a

ψ(~r) = 1 L^3/2exp

i~p·~r

~

(11)

• On note Φi

R~1, ~R2,· · ·, ~RZ

≡Φila fonction d’onde, numérotéi, d’onde du noyau contenant les coordonnéesR~k(k= 1,· · ·, Z) desZ protons de chargeeconsidérés comme ponctuel. Φ0 est la fonction d’onde de l’état fondamentale du noyau. Il est à noter que, par mesure de simplicité, nous avons omis dans nos notations les coordonnées des neutrons contenus dans le noyaux.

• On définit le potentiel phénoménologique d’interaction électromagnétiqueVa

~r^′ par

Va

~r^′

= e

|~r^′|exp

−|~r^′| a

(12) (a) Commentez le potentiel d’interaction ´electromagn´etiqueVa

~r^′

et comparer le param`etre a`a de la taille du noyauR.

(b) Montrer que l’élément de matrice de l’interactionHentre l’état initial et l’état final peut se mettre sous la forme suivante,

H=e² Z

Φ^⋆f

1 L^3/2exp

−i~p·~r

~ ^k=Z

X

k=1

exp

−^|~^r−a^R^~^k^|

|~r−R~k| Φ0

1 L^3/2exp

i~p0·~r

~

d~rd ~R1· · ·d ~RZ

(13) (c) Écrire l’élément de matriceHen fonction du termeϕ

R~1· · ·R~Z

définit ci-dessous par l’équation 14. Que représente ce termeϕ

R~1· · ·R~Z

?

ϕ R~1· · ·R~Z

=e

k=Z

X

k=1

exp i(~p0−p)~ ·R~k

~

!Z exp

−^|~^r−a^R^~^k^|

|~r−R~k| exp





i(~p0−~p)·

~r−R~k

~



 (14)

≃ 4πe

|~p0−~p|²

~² k=Z

X

k=1

exp i(~p0−~p)·R~k

~

!

(15) (d) En déduire que l’élément de matriceHpeut se mettre sous la forme de l’équation

16, ci-dessous :

H≃ 4πe²~²

L³|~p0−~p|²Mf0 (16) avec

Mf0= Z

V.N.

Φ^⋆fΦ0 k=Z

X

k=1

exp i(~p0−~p)·R~k

~

!!

d ~R1· · ·d ~RZ (17) où l’intégration est faites sur le volume nucléaire (V.N.)

(e) ´Ecrire |Mf0|². Quel lien le terme Pk=Z k=1exp

i(~p0−~p)·R~k

~

dans Mf0 a-t-il avec les phénomènes physique d’interférence et de diffraction ? Que mesure |Mf0|? Ces phénomènes sont-ils observable sur la figure 5 ?

5. Écrire la probabilité de transition par unité de tempsw^′en fonction de|Mf0|.

(3)

A3 .2 Etude de la densit´´ e en ´energie de l’´etat final .

1. Démontrer que, pour un électron libre, le nombre d’états dnélectron où l’impulsion de l’électron estpàdpprès et le vecteur position de l’électron est dans l’angle solide Ω àdΩ près vaut :

dn´electron=L³p²dpdΩ

(2π~)³ (18)

On rappelle que la mécanique quantique nous montre que le nombre de niveauxnd’une particule ponctuelle libre ayant un degré de liberté dans un intervalle de longueurLet dont l’impulsion est comprise entre une valeur nulle et la valeurpvaut :

n=L×p

2π~ (19)

2. Que peut t-on dire de l’état quantique du noyau et de l’état quantique de l’électron après la réaction ?. En déduire une relation entrednélectronet le nombre d’étatsdndu système composé de l’électron et du noyau, où l’impulsion de l’électron estpàdpprès et le vecteur position de l’électron est dans l’angle solide Ω àdΩ.

3. D´emontrez la relation suivante dEf

dp =p−p0cosθ

M +c≃ 2p0

M csin²θ

2 (20)

En déduire que la densité d’états finaux en énergie

dn dEf

peut se mettre sous la forme suivante

dn dEf

=L³p²dΩ (2π~)³c

1

1 +_{M c}^2E⁰²sin²^θ₂ (21) 4. Écrire la probabilité de transition par unité de tempsw^′en fonction|Mf0|²

A4 Section efficace

1. Écrire la probabilité de transition par unité de tempsw^′en fonction de la section efficace σX+e→X+e ≡ σ et du flux Φe d’électrons incident. Pour cela vous écrirez le taux de réaction par unité de tempsRde deux fa¸cons différentes.

2. En déduire que pour un électron ultra-relativiste la section efficace différentielle de la réaction peut se mettre sous la forme suivante

dσ=L³

c w^′ (22)

3. En déduire que pour des noyaux cibles massifs définis par _{M c}Ê⁰²≪1

la section efficace diff´erentielle s’´ecrit

dσ dΩ=

e² 2E0

2

1 sin⁴^θ₂

1

1 +_{M c}^2E⁰²sin²^θ₂|Mf0|² (23)

A5 Prise en compte du spin de l’´ electron (en plus- n’est pas au programme

Dans cette partie nous allons voir comment on peut simplement prendre en compte le spin de l’électron. La fonction d’onde de l’électron libre, de quadri-impulsionP, transportant un spin est maintenant un spineurψ, elle vérifie l’équation 24 de Dirac :

~

α· P+βmec²

ψ=Eψ (24)

o`u~αetβsont des matrices op´erateurs 4×4

~ α=

0~σ

~σ 0

, β= 1 0

0−1

(25) σx,σyetσz´etant les matrices de Pauli :

σx= 0 1

1 0

, σy= 0−i

i 0

, σz= 1 0

0−1

(26) Les deux solutionsψ^±(~r, t) de l’´equation de Dirac 24 correspondant aux deux orientations possible du spin (spin up (+) et spin down (-)), dans le cas o`u on amec²≪E≃pcsont ;

ψ^±(~r, t) =





 u^±1

u^±₂ u^±₃ u^±₄





 expi

~(~p·~r−Et) =U^±expi

~(~p·~r−Et) (27) avec

u⁺₁ =− 1

√2cosθ, u⁺₂ =− 1

√2(sinθcosφ+isinθsinφ), u⁺₃ = 1

√2, u⁺₄ = 0 (28) u⁻₁ = 1

√2(−sinθcosφ+isinθsinφ), u⁻₂ = 1

√2cosθ, u⁻₃ = 0, u⁻₄ = 1

√2 (29)

1. La partie de spin des fonction d’ondeψ^±(~r, t) a été normalisé à l’unité, vérifiez le.

2. On nomme I₀⁺ I₀⁻

l’´etat initial de spin up (Down) etI_f⁺ I_f⁻

l’´etat final de spin Up (Down).

(a) On considère la transition de spin de l’électronI₀⁺→I_f⁺de l’état initial spinI₀⁺vers l’état final de spinI_f⁺. Démontrer que l’amplitude de probabilité, notéA⁺⁺, s’écrit :

A⁺⁺=

j=4

X

j=1

u⁺(~p)^⋆u⁺_j (~p0)^⋆= U⁺(~p)†

U⁺(~p0) (30) En d´eduire que la probabilit´e de transitionP⁺⁺vaut :

P⁺⁺= cos⁴θ

2 (31)

(4)

(b) Combien y a-t-il d’autres transitions possibles de spin ? Calculer les probabilit´es correspondantes de transitions de spin.

(c) Le faisceau d’électrons n’est pas polarisé et on ne détecte aucune configuration parti- culière du spin de l’électron dans l’état final. On doit donc calculer la section efficace en sommant sur toute les configurations possibles du spin de l’électron final et en moyennant sur toute les configurations possibles du spin de l’électron initial. En déduire que si on tient compte du spin la section efficace différentielle d’interaction entre un électron et un noyau vaut :

dσ dΩ=

e² 2E0

2

cos²^θ₂ sin⁴^θ₂

1

1 +_{M c}^2E⁰²sin²^θ₂|Mf0|² (32)

A6 Section efficace ´ elastique

1. Montrer que, lors d’une interaction élastique, l’élément de matriceMf0 s’écrit :

M00= Z

V.N.|Φ0|²

k=Z

X

k=1

exp i(~p0−p)~ ·R~k

~

!!

d ~R1· · ·d ~RZ (33)

2. Montrer que si la longueur d’onde réduite de Broglieλde l’électron incident est grande devant les dimensions de la matière nucléaire, soit

λ≫ |R~k| (k= 1,· · ·, Z) (34) On peut faire l’approximation suivante :

(~p0−~p)

~ ·R~k≃0 (35)

et en déduire que la section efficace 32 est la fameuse section efficace de Mott décrivant l’interaction d’un électron et d’une charge ponctuelleZe, soit

dσel

dΩ

point

= Ze²

2E0

2

1

1 +_{M c}^2E⁰2sin²^θ₂ (36) Avec l’approximation faite, ce résultat était-il prévisible?

3. Dapr`es la figure 7, l’approximation 34 est-elle valable dans le cas d’une interaction d’un

électron de 420 MeV sur du carbone¹²C ? Commentaire ? 4. (a) Définir physiquement la quantitéρ

R~

donn´e par l’´equation 37 : ρ

R~

= Z

V.N.|Φ0

R, ~~ R2,· · ·, ~RZ

|²d ~R2· · ·d ~RZ (37)

(b) Quelle est la normalisation deρ R~

?

(c) Donner la relation entreρ R~

et la quantit´e 38 d´efinit ci-dessous : Z

V.N.|Φ0

R~1, ~R,· · ·, ~RZ

|²d ~R1d ~R3· · ·d ~RZ (38)

(d) D´efinirρe

R~

la densit´e de charge du noyau.

5. D´emontrer que la section efficace d’interaction entre l’´electron incident et le noyau peut se mettre sous la forme 39, ci-dessous :

dσel

dΩ

= Ze²

2E0

2

|F(~q)|²

1 +_{M c}^2E⁰²sin²^θ₂ (39) o`uF(~q) est le facteur de forme nucl´eaire donne par

F(~q) = Z

V.N.

ρ R~

exp i~q·R~

d ~R (40)

et

~

q=(p~0−~p)

~ (41)

6. Montrer que si le noyau est sph´erique le facteur de formeF(~q) s’´ecrit : F(~q) =4π

|~q| Z ∞

r=0

ρ(~r) sin (|~q||~r|)rdr (42)

7. On fait à partir de maintenant l’hypothèse que ρ0, la densité de présence d’un proton dans le volume sphérique du noyau de rayonR0est constante. Donner la valeur.

(a) D´emontrer que le facteur de formeF(~q) vaut alors

F(~q) = 3~³c³ 8R³0E0³sin³^θ₂

sin

2R0E0

~c sinθ 2

−2R0E0

~c sinθ 2cos

2R0E0

~c sinθ 2

(43)

(b) et que la section efficace diff´erentielle vaut dσel

dΩ = e²

4π~c

23πZ~⁴c⁴ 4E0⁴R₀³

2

cos²^θ₂ sin¹⁰^θ₂

sin ^2R_~c⁰^E⁰sin^θ₂

−^2R~c⁰^E⁰sin^θ₂cos ^2R_~c⁰^E⁰sin^θ₂2

1 +_{M c}^2E⁰2sin²^θ₂

(44)

(5)

References

[1] ROBERT HOFSTADTER est lauréat d’une moitié du prix Nobel de physique de 1961 (l’autre moitié a été remise à Rudolf Ludwig Mössbauer) “ pour ses études pionnières de la diffraction de l’électron dans le noyau atomique et pour les découvertes sur la structure des nucléons qui en ont découlées “... (Extrait de wikipedia)

[2] R. Hofstadter Frontiers In Physics: A Lecture Note and Reprint Electron scattering and nuclear and nucleon structure

[3] Les figures sont extraites de : The electron-scattering method and its application to the structure of nuclei and nucleons (Nobel Lecture, December 11, 1961)

I am very conscious of the high honor that has been conferred on me and I wish to thank the Swedish Academy of Sciences sincerely for this recogni- tion. It is a privilege and a pleasure to review the work which has brought me here and which concerns a very old and interesting problem. Over a period of time lasting at least two thousand years, Man has puzzled over and sought an understanding of the composition of matter. It is no... Pour en savoir plus voir :http://nobelprize.org/nobel−prizes/physics/laureates/1961/hofstadter-lecture.html [4] M. Planck, Uber irreversible Strahlungsvorgange, S.-B. Preuss Akad. Wiss.(1899) 440-480;

Ann. d. Phys. 1 (1900) 69 reprinted in Max Planck, Physikalis-che Abhandlungen und Vor- trage, Band I. Friedr. Vieweg. 1958, pp. 560–600,pp. 614–667.

[5] M. J. Duff Comment on time-variation of fundamental constants arXiv:hep-th/0208093v3 [6] K. Nakamura et al. (Particle Data Group),Journal of Physics G 37, 075021 (2010)

http://pdg.lbl.gov/

[7] Extrait de wikipedia : http://fr.wikipedia.org/

Figure 1: Schémas du dispositif expérimental d’interaction d’un faisceau d’électrons avec une cible, par exemple de composée de noyaux de carbone. Ce type de géométrie est employée dans les hall expérimentales modernes d’interaction avec des électrons. Le cercle est la trace qui symbolise le dispositif sur lequel les détecteurs de spectrométrie peuvent circuler, le rayon est de 13,5 pieds (1 pied = 1 ft= 0,30480 m)

Figure 2: Photographie du dispositif expérimental. Les deux spectromètres peuvent être utilisés en co¨ıncidence ou en parallèles. Ces détecteurs peuvent courber la trajectoire des électrons et mesurer leurs énergie jusqu’au GeV (ou BeV ancienne unité pouvant être employée dans de vieux texte). Leur résolution en énergie et position est assez grande pour être utilisée dans presque tout les types de processus d’interaction électron-noyau qu’ils soient élastiques ou inélastiques. Un exemple de telle résolution en énergie obtenue expérimentalement est montrée dans les figures 3 et 4. De même qu’en on mesure la distribution angulaire des électrons émis après l’interaction avec une cible de carbone ¹²C, avec de telle résolution angulaire on peut obtenir la position du pic de diffraction et du minimum, ce qui est montré dans la figure 5.

(6)

Figure 3: Cette figure représente le nombre d’électrons détectées (counts) à 80 dégrée en fonction de leur énergie en MeV pour des électrons incident d’énergie de 187 MeV interagissant sur une cible de carbone¹²C. Cette figure montre le pic d’interaction élastique avec le noyau de carbone pour des énergies d’électrons détectées proche de 185 MeV. Elle montre aussi les pics provenant de l’interaction inélastique avec les états excités du noyaux de carbone. Le pic dont le maximum est proche 180,7 MeV est associé au niveau d’énergie de 4,43 MeV du carbone.

Figure 4: Cette figure montre, en d´etail, l’association entre l’´etat fondamental ainsi que les

états excités du carbone¹²C et les énergies des électrons après la réaction. Plus on a laissé le noyau de carbone dans un état excité de grande énergie, plus l’énergie de l’électron détectées après l’interaction est faible

Figure 5: Cette figure montre la section efficace différentielle en cm²par stéradian en fonction de l’angle en degré de l’électron détecté après interaction pour une énergie d’électrons incident de 420 MeV sur des noyau de carbone ¹²C. On peut voir les courbes de l’interaction élastique et inélastique. Les cercle pleins représentent les données expérimentales de l’interaction élastiques et les carrées pleins les données expérimentales de l’interaction inélastiques avec le niveau d’énergie de 4,43 MeV du carbone. La ligne solide (pointillée) montre le résultat du calcul théorique pour l’interaction élastique (inélastique). Ce calcul prend en compte la distribution de nucléon dans le noyau qui est montrée dans la figure 7. La valeur de l’angle au minimum de diffraction donne immédiatement une indication de la taille de la matière nucléaire.

Figure 6: Cette figure représente la section efficace en cm² en fonction de l’angle de l’électron détectés après interaction en degrés pour trois valeur de l’énergie de l’électron inci- dents (183 MeV,· · ·). Les points représentent les données expérimentales de l’interaction entre un électron incident d’énergie donnée et un noyau d’or. Les lignes solides sont les distribu- tions angulaires calculées théoriquement avec un modèle de noyau d’or comparable à celui de la figure 5.

⋆

(7)

Figure 7: Cette figure représente la densité de charge ρ en 10¹⁹ Coulomb par cm³ en fonction de la distance radial en 10⁻¹³ cm pour différents noyaux. Toutes ces distribu- tions de densité de charge sont estimées grâce aux méthodes expérimentales d’interaction d’électrons avec le noyau considéré. Sauf pour les extrêmement noyaux légers d’hydrogène et d’hélium le fait que la densité nucléaire centrale est quasiment une constante est clairement représentée dans la figure. On peut noter la grande disparité entre les den- sités moyennes central du proton et tous les autres noyaux. La particule alpha (⁴He) est

également un cas unique et présente une den- sité centrale beaucoup plus grande que toutes celles des noyaux plus lourds.

Figure 8: Cette figure montre la section efficace différentielle en cm² par stéradian en fonction de l’angle en degré de l’électron détecté après interaction pour une énergie d’électron incident de 188 MeV dans le laboratoire sur de l’hydrogène. Les cercles plein et leur barres d’erreur représentent les données.

On a tracé les section efficace différentielle théorique calculé es par Mott (courbe (a), le proton est sans spin et il est considéré comme ponctuel), par Dirac (courbe (b), le spin du proton est pris à sa valeur 1/2, il est considéré comme ponctuel et on prend en compte son moment magnétique (facteur de formeF1)), par un calcul exacte si on considère le proton comme ponctuelle (courbe (c), incorpo- rant au calcul de Dirac la contribution anor- male de Pauli (facteur de forme F2)). La déviation entre les donnée est la courbe (c) montre les effets du facteurs de forme du proton (ie il n’est plus constant et dépend du q²) et prouve l’existence d’une structure à l’intérieur du proton.

⋆

Figure 9: Cette figure montre les plus récentes données expérimentales de Stanford sur les facteurs de formeF1 et F2 du proton et du neutron. Dans le cas du proton, les courbes en pointillés représentent les limites des erreurs théoriques sur ces facteurs de forme. Dans le cas du neutron, les courbes en pointillées sont les calculs théoriques, on ne montre pas les erreurs théoriques.

(8)

Figure 10: Cette figure présentent un résumé succinct des connaissances sur la densité de charge et de moment magnétique du proton et du neutron ainsi que du facteur de forme du proton