Tableaux multiples - Cedric-Cnam

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Tableaux multiples et données évolutives

N. Niang Keita [email protected]

Gilbert Saporta [email protected] mai 2011

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• Suite de tableaux individus

variables

temps

– temps discret 1,2,.. t, ... T – « données de panels »

– données « cubiques »

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Plan

1. Généralités 2. Double ACP 3. STATIS

4. AFM

4

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1. Généralités

• Espace des individus

– T nuages, n trajectoires

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• Espace des variables

– T matrices de variance-covariance – T sous-espaces de Rⁿ

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• Etude classique d’un tableau: l’ACP associe au tableau un ensemble de représentation graphiques (

)

• Plusieurs tableaux: études séparéesÎ trop de représentations indépendantes, pas

pertinent; d’où:

• Recherche d’un ensemble unique de

représentation, un résumé global, un

compromis des tableaux

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4 étapes:

• Interstructure : étude globale des différences entre tableaux

• Compromis : résumer les tableaux en un seul

représentatif selon certains critères

• Intrastructure : étude fine des différences entre tableaux

• Trajectoires : évolution des individus ou variables suivant les tableaux

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2. La double ACP (Bouroche,J.M., 1975)

• ACP n°1: nuage des centres de gravité g

comme étude de l’interstructure

• Recherche de l’intrastructure

– ACP de chaque tableau: T systèmes d’axes – Système d’axes compromis maximise

l’inertie de la somme des projections de

chaque nuage = somme des inerties après centrage

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double ACP ^(suite)

• Axes compromis : vecteurs propres de

• ACP n°2: ACP de la concaténation

verticale (superposition) des X

centrés X

X

X

1 T

t t=

∑ ^V

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double ACP: exemple

• Crimes et délits en 9 catégories pour l’ensemble des départements métropolitains, par année de 1974 à 1993

• VO : vols et recels

• FX :faux et escroqueries

• DF: délits financiers

• CH: chèques sans provisions

• CR: coups, réglements de comptes, traumatismes

• ST: stupéfiants

• DD: destructions et dégradations

• ET : délits à la police des étrangers

• DV : divers

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3. La méthode STATIS

• Structuration de Tableaux A Trois Indices de la Statistique

• permet l’exploration simultanée de plusieurs tableaux de données

quantitatives:

• n individus et p variables Î STATIS

– Privilégie la position des individus

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STATIS

• Idées essentielles de la méthode:

– recherche d’une réponse à la question: les

distances entre individus sont elles stables d’un tableaux à un autre ?

– Nécessité de trouver une structure commune aux études ou intrastructure

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Rappels d’ACP

• ACP classique : triplet ( X ^, M , D)

– facteurs principaux : MVu = λu – composantes principales : c = Xu

MX’DXu= λu

XMX’DXu= λXu WDc= λc

W =matrice des produits scalaires entre individus

Composantes principales WDc = λc

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Etude de l’interstructure : analyse globale

• ACP particulière: 3 phases

– Définir un objet représentatif

– Définir une métrique pour distances entre objets – Trouver une image des objets représentatifs

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Interstructure, objet représentatif: W

• W

= X

M

X’

caractérise (X

, M

, D)

– W

contient les produits scalaires entre individus = tous les liens inter- individus – ses vecteurs propres sont les

composantes principales

– permet de reconstruire la géomètrie du nuage

– “Opérateur d’Escoufier”

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• Métrique de l’ACP:

définit une distance entre objets

Produit scalaire de Hilbert Schmidt:

Si les objets W^t ont des normes très

différentes, on utilise le cosinus associé:

( )

' ' '

tt = t t HS =Tr t t

S W W DW DW

( )

( )

, ' '

/ [ ] [

]

t t t t t t

RV = W W Tr DW Tr DW

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• RV coefficient de corrélation vectoriel

– mesure la liaison entre deux tableaux de données portant sur les mêmes individus – RV=1 si les nuages associés sont

homothètiques – RV positif ou nul

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• STATIS: une ACP particulière

– Individu (ou “supervariable”) = W_t = objet représentatif d’un tableau

– Matrice de corrélation = S = Matrice des

coefficients RV (produits scalaires entre objets normés W_t)

– Composante principale = vecteur propre de S – Facteur taille car tous les RV sont positifs

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Interstructure image représentative des objets

• ACP de S

Les vecteurs propres de S associés aux deux plus grandes valeurs propres permettent la

représentation des objets W₁,…, W_T sur un plan factoriel :

– Les coordonnées des W_t sur l’axe i sont contenues dans c_t,i:

,

t i

= λ

c u

i^ème valeurpropre de S i^ème vecteur propre de S

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STATIS - Résumé Interstructure

•

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Compromis-Intrastructure

Interstructure = analyse globale

mise en évidence de ressemblances ou différences globales entre tableaux sans les expliquer.

Objectif de la suite = analyse plus fine pour expliquer Deux étapes:

* recherche d’un point de repère= compromis

* étude de l’intrastructure

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Recherche d’un compromis

Compromis = bon résumé, de même nature Co que les objets

solution: Wco moyenne pondérée des W

Les coefficients sont tels que Wco soit le plus corrélé avec les W

1

W W

T

CO t t

t

α

=

= ∑

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En ACP usuelle, la première composante principale vérifie un principe d’association maximale

Ici on prendra pour α

les composantes (toutes positives) du premier vecteur propre de S

( )

2

1 1

max

;

avec

j j

r c x c α x

= =

∑ = ∑

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Recherche d’un compromis

1

W W

T

CO t t

t

α

=

= ∑

( ) 1 1

1 u ^t αt

= λ

1^ère valeur propre de S

t^ième élément du 1^er vecteur propre de S

t = t ′t

W X MX

Matrice de données initiales

Matrice compromis W co

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• Wco est encore un opérateur

d’Escoufier car les α

sont non négatifs

• Wco est donc associé à un tableau de données “compromis” X tel que

Wco=XMX’

• ACP de

• Pondération des tableaux

1 1 2 2

...

α α α

=

X X X X

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Recherche d’un compromis

4 cas 4 cas: :

** Wt ont des normes voisines et des grands RVWt ont des normes voisines et des grands RV:: existence d

existence d’’une structure commune bien une structure commune bien ddéécrite par le compromiscrite par le compromis

** un Wt diffun Wt difféérent des autresrent des autres: il intervient peu : il intervient peu dans la construction du compromis, robuste dans la construction du compromis, robuste

** Wt normes trop diffWt normes trop difféérentesrentes: il faut normer: il faut normer

** Wt trWt trèès diffs difféérents, RV faibles: pas de rents, RV faibles: pas de structure commune

structure commune

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Statis: exemple

• Elections présidentielles de 1969 à 1988

– résultats par département

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Intrastructure image représentative des points compromis

• ACP de W_CO

• Les vecteurs propres de W_CO associés aux deux plus grandes valeurs propres fournissent une image euclidienne des points compromis

– Les coordonnées compromis sur l’axe i sont contenues dans le vecteur c_CO,i:

,

1

CO i i i co i

i

δ δ

= =

c v W v

i^ème valeur propre de W_CO i^ème vecteur propre de W_CO

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Intrastructure : corrélation variables-compromis

• Chaque composante principale du compromis

est un vecteur à n dimension, n étant le nombre d’individus des tableaux initiaux.

• Calcul de leurs corrélations avec les variables initiales des tableaux X^t

• Représentation des cercles de corrélation

• Interprétation des axes pour expliquer les positions compromis des individus

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STATIS - Intrastructure

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STATIS - Trajectoires des individus

• Méthode: technique des points supplémentaires:

Représentation sur l’image euclidienne compromis des N nuages des individus

• Remarque : c_CO,i est le “centre de gravité” des points c_{CO t,i} ,

1

CO t i t i

δ

=

c W v

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STATIS - Trajectoires des individus

• Objectif :

– Mise en évidence des écarts entre les W_t et avec le compromis au niveau individuel

– Détection des individus responsables des écarts entre tableaux

• Définition :

– On place les différentes positions d’un individu tel qu’il est décrit par chaque étude. Ces différentes positions définissent sa trajectoire

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Interprétation des trajectoires

• Deux classes de trajectoires des individus :

– Peu étendue autour de sa position compromis = individus dont l’évolution suit l’évolution moyenne, écart par rapport à la moyenne régulier d’un tableau à l’autre

– Trajectoire de grande amplitude = changement de structure suivant les tableaux, différence avec l’évolution moyenne

Rque: si les axes du compromis sont bien corrélés avec les variables on pourra expliquer les axes par les variables et on interprètera de façon détaillée les trajectoires des individus

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4. l’AFM : analyse factorielle multiple

• Une autre manière de pondérer les

tableaux: égaliser les premières valeurs

propres de chaque ACP

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AFM

• Objet représentatif

• Compromis

• Intrastructure ACP de

( ) 1

1

t t

λ ^W

1 ( )

1 T

1

t t

t⁼

λ

∑ ^W

1 2

(1) (2) ( )

1 1 1

1 1 1

...

λ λ λ

=

X X X X

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L’interstructure en AFM

• La norme d’un objet ne vaut pas 1 mais est d’autant plus grande que le nuage associé est plus multidimensionnel

(premiers facteurs nombreux et d’importance comparable)

• Représentation de chaque tableau par les

produits scalaires entre objets et (objets

associés aux) axes du compromis

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Remarques et extensions

• La double ACP : T tableaux où les individus ne sont pas forcément les mêmes, mais variables identiques

• STATIS et AFM T tableaux avec des

variables éventuellement différentes mais les mêmes individus

• STATIS duale pour comparer des matrices

de variance

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Références

Bry, X. Analyses factorielles multiples, Economica, 1996

Escofier, B., Pagès, J. Analyses factorielles

simples et multiples, 4^ème édition, Dunod , 2008 Kroonenberg, P., Applied Multiway Data Analysis,

Wiley, 2008

Lavit, C., Analyse conjointe de tableaux quantitatifs, Masson, 1998