2.3.3.2 Utilisation d'un filtre à fréquence centrale variable

Le filtrage directionnel a pour objectif d extraire l information utile dans la direction recherchée. Pour cela les filtres de Gabor (Equ.14) sont très souvent utilisés ([6], [16]-[18]) car ce sont des filtres passe bande simples à créer et ils ont une résolution conjointe spatiale/fréquentielle optimale (c'est-à-dire qu'ils sont très performant pour sélectionner à la fois une fréquence et une orientation).

Chapitre III: Le traitement de l'image.

Le filtre spatial de Gabor (Figure III-18.a) est composé du produit (Equ.14) d'un filtre passe bas gaussien agissant suivant la direction locale des stries et d'un filtre passe bande agissant perpendiculairement aux stries (il s'agit en fait d'un filtre de Gabor à une dimension).

2 2

2 2 0

1 ' 1 '

', ' exp exp cos 2 ' ' '

2 2

cos sin

avec '

sin cos

'

x y

y x

y x

h x y f x h x h y

x x

y y

(Equ.14)

Le calcul de la transformée de Fourier du filtre (Equ.15) se traduit par deux gaussiennes centrées sur les fréquences f0 et f0 (Figure III-18.b),

2 2

2 2 2 2 2 2 2

0 0

', ' exp 2 _x ' exp 2 _x ' exp 2 _y '

H u v K u f u f v (Equ.15)

a. b.

Figure III-18: Les réponses spatiale (a) et fréquentielle (b) d un filtre de Gabor.

Le filtre directionnel de Gabor a quatre degrés de liberté:

L orientation du filtre

La fréquence centrale f₀ que l'on cherche à extraire

Les écarts types _x et _y permettant de régler les bandes passantes fréquentielle et directionnelle Le choix de la fréquence de Gabor est très important: la qualité de l'image finale dépend directement du bon choix de ce paramètre, en effet si f₀ est trop grand des stries sont créées et si f₀ est trop petit des stries sont fusionnées. Il est souvent considéré que la distance inter-stries entre différentes personnes d'âge adulte est similaire, une analyse de la base de données permet alors d'estimer f₀ et de fixer définitivement les autres paramètres du filtre ([16], [17]). L'avantage de cette considération est de pouvoir calculer les filtres à l'extérieur du système et de gagner en temps de calcul.

Néanmoins nous avons vu dans la section III.2.2 que la variation fréquentielle n'est pas négligeable ( d_min..d_max 3..15 ) en raison du mode de balayage du capteur utilisé. Ceci implique de définir une grande bande passante fréquentielle de 2.3octaves (les systèmes classiques admettent généralement une bande passante de 1octave). Malheureusement les filtres de Gabor ne sont pas adaptés pour une

Chapitre III: Le traitement de l'image.

bande passante fréquentielle supérieure à 1octave car il y a alors un recouvrement des gaussiennes en l'origine dans l'espace fréquentiel (Figure III-19), ce qui laisse passer les très basses fréquences (le filtre passe-bande se transforme en simple filtre passe-bas).

Figure III-19: Composante radiale fréquentielle pour un filtre de Gabor avec B=2.3 octaves.

Dans notre cas le filtre de Gabor peut tout de même être utilisé. Cela nécessite alors de réduire la bande passante fréquentielle à 1octave et d'adapter localement le filtre en utilisant la fréquence locale

f0 du bloc ([6]) estimée au moyen de la carte fréquentielle.

Le choix des paramètres _x et _y des gaussiennes est délicat et nécessite quelques précautions. En effet si l'on considère le terme h_x (Equ.14) on voit qu'avec une valeur trop faible pour _x les deux gaussiennes de l'espace fréquentiel finissent par se recouvrir à l'origine pour former une composante continue non négligeable, le terme en exponentielle finit par annuler l'effet de la modulation en cosinus et h_x devient un simple filtre passe-bas. Avec une valeur élevée de _x le filtre devient très sélectif car la bande passante est alors très étroite (Equ.16)

y définit le degré de lissage du terme passe-bas gaussien h_y agissant perpendiculairement aux stries.

Il agit également sur la bande passante directionnelle du filtre. Une valeur trop grande va lisser trop fortement les minuties en diminuant , une valeur trop faible va dégrader l'image car hy sera alors trop sélectif par rapport à la largeur des stries.

L'analyse de l'équation fréquentielle du filtre (Annexe A) permet de définir mathématiquement les bandes passantes radiale F et angulaire (Equ.16)

0 2

0 1

0

log

ln 2 2 avec

2 tan

x x

y

f C

F octaves

f C

C C

f

(Equ.16)

et permet ainsi de calculer les paramètres _x et _y des gaussiennes (Equ.17)

Chapitre III: Le traitement de l'image.

0

0

0 0

2 1

ln 2 2 1

2 1

avec et

tan 2

F

x F

y

C T

C T

C T f (Equ.17)

Dans notre cas l'espace est divisée en N directions (N=8) on cherche donc à avoir une bande passante angulaire 8. En imposant une bande passante fréquentielle de une octave chaque filtre est entièrement défini (Equ.14) par les paramètres suivants:

La direction du filtre est fournie par la carte directionnelle

La fréquence centrale f₀ T₀ ¹ du filtre est fournie par la carte fréquentielle Les paramètres de la gaussienne valent: _y 0.94 T₀ et _x 0.56 T₀

Les calculs peuvent être légèrement diminués en considérant le fait que la variation fréquentielle des stries dans la direction verticale est connue et égale à une octave (voir section III.2.2). Ainsi le filtre de direction verticale peut être calculé à l'extérieur du système en prenant T_min..T_max 6..12 et f₀ 8. Concernant la taille L H, du filtre défini par , f₀ une taille trop grande augmente sensiblement le nombre de calculs et le nombre d'accès mémoires dus à la convolution, mais une taille trop petite risque d'éliminer la composante passe-bande. La taille du filtre doit donc être suffisamment grande pour contenir les gaussiennes. Nous avons observé empiriquement que en choisissant L 2 _x 1 et

2 _y 1

H la taille du filtre est limitée au minimum tout en conservant la partie passe bande.

On peut observer sur la Figure III-20 un exemple de filtrage obtenu avec cette méthode. On peut noter que cette méthode est très sensible au bruit, les bords de l'image et quelques blocs très bruités au centre de l'image ont été dégradés en raison d'une mauvaise estimation de la fréquence locale.

image originale image filtrée

carte directionnelle

carte fréquentielle

Figure III-20: Résultat du filtrage directionnel adaptatif.

Chapitre III: Le traitement de l'image.