Approches divisives

Les m´ethodes divisives de partitionnement utilisent g´en´eralement une fonction per- mettant d’´evaluer l’importance d’une arˆete dans un graphe. Puis en utilisant une borne et une mesure de qualit´e du partitionnement, les arˆetes les moins importantes (arˆetes inter-groupes) sont retir´ees.

26 Chapitre 3. D´ecomposition et Visualisation : Etat de l’art

Partant d’un ´etat o`u la d´ecomposition ne contient qu’un seul groupe (contenant tout le graphe), les arˆetes sont supprim´ees successivement. Si la suppression d’une (ou plusieurs) arˆetes d´econnecte un groupe, alors ce groupe est divis´e en deux nouveaux groupes. Ce processus est r´ep´et´e jusqu’`a ce qu’il n’y ait plus aucune arˆete (i.e. chaque groupe contient exactement un sommet).

Nous pr´esentons dans cette partie deux algorithmes connus en visualisation d’infor- mation : l’algorithme de Newman et Girvan [105] et l’algorithme de Auber et al.[13].

Dans [105], Newman et Girvan ont propos´e un algorithme divisif utilisant laBetween- ness Centrality des arˆetes et la mesure de modularit´eQ.

Betweenness Centrality [53] : Dans [53], Freedman d´efinit une m´etrique appel´ee Betweenness Centrality. Cette mesure permet de quantifier la centralit´e d’un sommet ou d’une arˆete dans un graphe. La Betweenness Centrality d’un sommetu(resp. d’une arˆete e) est le nombre de plus courts chemins passant par u (resp. par e) entre chaque paire de sommets, normalis´e par le nombre de plus court chemins entre ces sommets. Plus formellement, la Betweenness Centrality d’un sommet v est d´efinie comme suit :

Bet(v) = X

s6=v6=t∈V

σst(v)

σ_st (7)

o`u σ<sub>st</sub> est le nombre de plus courts chemins de s `a t et σ_st(v) est le nombre de plus courts chemins de s`a t passant parv. LaBetweenness Centrality d’une arˆete est d´efinie de mani`ere analogue. Dans [24] et [103], Brandes et Newman donnent des algorithmes pour calculer la Betweenness Centrality des sommets et arˆetes d’un graphe en temps O(|V| · |E|).

Algorithme : Dans [105], Newman et Girvan ont propos´e l’algorithme divisif suivant : 1. Calculer laBetweenness Centrality de chaque arˆete dans le graphe

2. Supprimer l’arˆete de plus forte centralit´e, si cette suppression d´econnecte un groupe alors cr´eer deux nouveaux groupes

3. Calculer la centralit´e de chaque arˆete dans le graphe r´esultant 4. Aller `a l’´etape 2 tant qu’il existe des arˆetes

A chaque fois que la suppression d’une arˆete d´econnecte un groupe, un nouveau niveau dans la hi´erarchie est cr´e´e. Cela permet d’obtenir un partitionnement de graphe sur plu- sieurs niveaux. Puis pour trouver le «meilleur» niveau de la hi´erarchie, les auteurs uti- lisent ensuite la mesure de modularit´e.

Une autre approche divisive est donn´ee par Auber et al. dans [13]. Dans cet article, les auteurs ´evaluent la«force»d’une arˆete (Strength) [13, 32] puis utilisent la mesure de qualit´e M Qpour calculer la valeur optimale de la borne.

3.1. D´ecomposition de graphes 27

Fig. 3.1: La m´etrique Strength de l’arˆete e = (u, v) est calcul´ee en comparant le nombre de cycles de tailles 3 et 4 passant par cette arˆete au nombre maximal de tels cycles.

M´etrique Strength [13, 32] : Cette m´etrique permet de quantifier la coh´esion du voi- sinage d’une arˆete (plus pr´ecis´ement, du voisinage des extr´emit´es d’une arˆete). Par cons´e- quent, la m´etrique Strength [13, 32] permet d’´evaluer si une arˆete est intra-communautaire (coh´esion forte autour de l’arˆete) ou inter-communautaire (coh´esion faible). Pour la d´e- finir, nous devons introduire quelques notations. Soient u etv deux sommets du graphe, on note

M_u(v) =N_G(v)\(N_G(u)∪ {u})

l’ensemble des voisins de v (en excluantu) qui ne sont pas voisins deu, et on note W_uv=N_G(u)∩N_G(v)

l’ensemble des sommets voisins de u et dev. Soient A etB deux ensembles de sommets, on noteE(A, B) l’ensemble des arˆetes reliant un sommet deA `a un sommet deB. Enfin,

s(A, B) =|E(A, B)|/(|A| · |B|)

est le ratio entre le nombre d’arˆetes reliant A et B et le nombre maximal d’arˆetes qu’il pourrait y avoir entre ces deux ensembles ³. La m´etrique Strength d’une arˆetee= (u, v), not´ee ws(e)est calcul´ee comme suit :

w_s(e) =γ₃(e) +γ₄(e) (8)

o`u :

γ3(e) =|Wuv|/(|Mv(u)|+|W(u, v)|+|Mu(v)|)

γ4(e) =s(Mv(u), Mu(v)) +s(Mv(u), Wuv) +s(Wuv, Mu(v)) +s(Wuv) (9) Apr`es discussion avec les auteurs de l’article, nous avons utilis´e la version de la m´e- trique Strength disponible dans le logiciel de visualisation de graphe Tulip [12]. La m´e- trique Strength y est d´efinie comme suit :

w_s(e) = γ_3,4(e)

γmax(e) (10)

3LorsqueA=B, on as(A, A) =s(A) = 2· |E(A)|/(|A| ·(|A| −1))

28 Chapitre 3. D´ecomposition et Visualisation : Etat de l’art

o`u :

γ_3,4(e) =|Wuv|+E(M_v(u), M_u(v))|+|E(Mv(u), W_uv)|+|E(Wuv, M_u(v))|+|E(Wuv)|

γ_max(e) =M_v(u)|+|W(u, v)|+|Mu(v)|

+|Mv(u)||Mu(v)|+|Mv(u)||Wuv|+|Wuv||Mu(v)|+|Wuv|(|Wuv| −1)/2

(11) Cette m´etrique compte donc pour chaque arˆete le nombre de cycles de longueur 3 et 4 passant par cette arˆete et normalise cette valeur par le nombre maximum possible de tels cycles. La figure 3.1 illustre comment est calcul´ee cette m´etrique sur une arˆete.

Algorithme : Dans l’approche utilis´ee par Auber et al., les arˆetes ne sont pas suppri- m´ees une `a une. Pour une borne donn´ee, toutes les arˆetes ayant une valeur de Strength inf´erieure `a cette borne sont retir´ees. L’algorithme de Auber et al. calcule pour chaque borne, la valeur de M Qdu partitionnement correspondant. Le r´esultat de cet algorithme est la partition obtenue en utilisant la borne optimale (i.e. la borne permettant de maxi- miser M Q).