Ainsi, pour tout terme sous forme standard P, il existe un graphe G tel que : P→∗ (V, I, F, CF(Π>i∈V\FMiαi)EGNV\I)
où CF est composé de commandes de correction, Π> signifie que le produit n’est pas commutatif et E(V,D) = Πu,v∈DEu,v. (G, I, F) est appelégéométrie deP.
Les règles de réécriture permettant d’atteindre la forme standard préservent le déterminisme, le déterminisme uniforme et l’exécutabilité d’un m-terme.
10.3 Condition de flots
10.3.1 Condition de flot simple
Danos et Kashefi [DK05] ont introduit une condition suffisante pour qu’un terme soit uniformément déterministe : un terme est uniformément déterministe si la géométrie associée admet un flot.
Définition 10.3 Un flot (f,≺) pour une géométrie (G, I, F) est composé d’une fonctionf :V\F →V\Iet d’un ordre partiel≺surV tel que pour toutx∈V\F :
– x et f(x) sont adjacents dans G; – x≺f(x);
– pour tout y∈NG(f(x)), x≺y.
Théorème 10.1 [DK05] Un terme du m-calcul est uniformement déterministe si et seulement si la géométrie associée admet un flot.
Ainsi, si une géométrie admet un flot, alors un calcul déterministe peut être mené. De plus, la relation d’ordre partiel associée au flot donne le nombre d’étapes permettant d’effectuer le calcul. En effet, en supposant que l’état graphe est pré- paré, certaines mesures sur un qubit peuvent être effectuées en parallèle. Ce pa- rallélisme est limité par la stratégie de correction. Danos et Kashefi ont montré que si une géométrie admet un flot(f,≺), alors k étapes de mesure suffisent pour effectuer toutes les mesures, oùkest la longueur de la plus longue suite strictement décroissante selon ≺. k est appelé la profondeur du flot.
La première étape de mesure consiste à mesurer en parallèle tous les qubits qui correspondent à des éléments minimaux pour ≺: W1 =⊔V. La seconde étape consiste à mesurer, parmi les qubits restants, les plus petits, et cœtera. Ainsi, les qubits mesurés à l’étape l sont Wl =⊔(V \(∪k<lWk).
126CHAPITRE 10. CALCUL QUANTIQUE PAR CONSOMMATION D’INTRICATION
a2
a3 a1
c3 c2 c1
b3 b2 b1
Fig. 10.1 – Géométrie admettant un flot de profondeur 5.
b1 b2 b3
a2
b0
a3 a1
Fig. 10.2 – Géométrie n’admettant pas de flot.
Exemple 10.1 La géométrie (G1,{a1, a2, a3},{c1, c2, c3}) avec G1 décrit dans la figure 10.1 admet un flot :f(ai) =bi etf(bi) =ci aveca1 ≺ {b1, a2} ≺ {c1, b2, a3} ≺ {c2, b3} ≺c3. La profondeur est 5. La structure du graphe permet de conclure que tous les flots de ce graphe sont de profondeur au moins 5. En effet, la seule fonc- tion f possible est f(ai) = bi et f(bi) = ci, de plus chaque bi est strictement plus grand que ai, chaque ai est plus grand que bi−1. On en déduit que la profondeur minimum est5.
La géométrie (G2,{a1, a2, a3},{b0, b1, b2, b3}) avec G2 décrit dans la figure 10.2 n’admet pas de flot.
En effet, par contradiction, l’image parf d’au moins deux des sommets d’entrée est un sommet de degré 2, supposons par exemple que f(a1) = b3 et f(a2) = b1. On en déduit que a1 ≺ {b3, a2} ≺ {b1, a3}. Or, f(a3) = b0 ou f(a3) =b2, dans les deux cas on a a3 ≺a1 ce qui contredit la relation d’ordre.
10.3. CONDITION DE FLOTS 127
10.3.2 Condition de flot généralisé
Est ce que tout terme uniformément déterministe admet un flot ? Est ce que pour tout terme uniformément déterministe, il existe un flot dont la profondeur est le nombre minimum d’étapes nécessaires ?
Nous proposons une généralisation de la condition de flot, qui permet de ré- pondre par la négative à ces deux questions.
Etant donnée une fonctionf :V \F →N, pour tout u∈V, soient : – A(u) ={v ∈V \F, v6=u∧f(v)≤f(u)}
– S(u) ={v ∈V \F, f(v)> f(u)}
La fonction f induit un ordre sur les élements de V, A(u) désigne les antécé- dents de u, et S(u) désigne les successeurs.
On remarque que pour toutv ∈V \F,{v}, A(v)etS(v)forment une partition de V \F.
Définition 10.4 (Flot généralisé) Une géométrie (G, I, F) admet un flot géné- ralisé si et seulement si il existe f : V \F → N telle que pour tout v ∈ V \F, il existe un ensemble correctif C(v)⊆(S(v)∪F)\I satisfaisant :
– v ∈ImpG(C(v)), – A(v)⊆PairG(C(v)).
où ImpG(X) ={u∈V \X : NG(v)∩X = 1 mod 2}et PairG(X) = {u∈V \X : NG(v)∩X = 0 mod 2}. ImpG(X) (PairG(X))est l’ensemble des voisins impairs (pairs) de X.
Théorème 10.2 Un terme est uniformément déterministe si la géométrie associée admet un flot généralisé.
La preuve, comme dans le cas de la condition de flot simple, est fondée sur l’idée selon laquelle l’application d’un opérateur de correction Zisi juste avant la mesure du qubit i permettrait d’obtenir une évolution déterministe. Un tel terme, bien qu’uniformément déterministe, n’est pas exécutable. En revanche, ce terme non exécutable peut être transformé en un terme exécutable, en préservant le déterminisme uniforme. Cette transformation s’appuie sur une des propriétés combinatoires des états graphes : pour tout graphe G = (V, E) et tout u ∈ V,
|Gi = XuZNG(u)|Gi. Le lemme suivant donne une version équivalente de cette propriété dans le cadre du m-calcul :
Lemme 10.1 Pour toute géométrie (G, I, F), et tout u∈V \I, EGNV\I =XuZNG(u)EGNV\I
128CHAPITRE 10. CALCUL QUANTIQUE PAR CONSOMMATION D’INTRICATION Preuve : EGNV\I est une opération linéaire de HI = H{0,1}|I| dans HV. L’en-
semble {ZKNI, K ⊆I}est une base de HI. Soit K ⊆V, EGNV\IZKNI = ZKEGNI
= ZK|Gi
= ZKXuZNG(u)|Gi
= XuZNG(u)EGNV\IZKNI
Preuve du théorème 10.2 : Soit (G, I, F)une géométrie etf :V \F →N telle que pour tout v ∈V \F, il existe un ensemble correctif C(v)⊆S(v)\I avec :
– v ∈ImpG(C(v)), – A(v)⊆PairG(C(v)).
Le terme P = (V, I, F, A), avec A = (Π>i∈V\FMiαiZisi)EGNV\I, est uniformé- ment déterministe mais non exécutable. De plus, la géométrie associée à P est (G, V, I). La stratégie permettant de transformer le terme P en un terme exécu- table consiste à utiliser, pour chaque sommet mesurév, le lemme 10.1 pour chacun des sommets de l’ensemble correctifC(v). En effet,EGNV\I = Πu∈C(v)XuZNG(u)EGNV\I. Puisque Z2 =Id, on a, à une phase globale près non importante :
EGNV\I =XC(v)sv ZImpsv
G(C(v))EGNV\I
La définition du flot généralisé garantit que l’opérateur XC(v)sv ZImps(v)
G(C(v)) com- mute avec les mesures effectuées avant celle dev. De plus, v ∈ImpG(C(v) permet de compenser le facteur correctif Zvsv introduit pour obtenir le déterminisme uni- forme. Enfin, en utilisant les règles de réécriture, l’opérateur XC(v)sv ZImps(v)
G(C(v))\{v}
peut être intégré aux mesures qui suivent celles de v, ou à un facteur correctif global agissant sur les qubits de sortie.
Ainsi, par récurrence sur la position de la mesureMvαv dans le terme, on montre que ce terme peut être transformé en un terme exécutable :
A = CF(Π>i∈S(v)MiαiZisi)MvαvZvsv(Π>j∈A(v)Mjαj)EGNV\I
= CF(Π>i∈S(v)MiαiZisi)MvαvZvsv(Π>j∈A(v)Mjαj)XC(v)sv ZImpsv
G(C(v))EGNV\I
= CF(Π>i∈S(v)MiαiZisi)XC(v)sv ZImpsv
G(C(v))\{v}Mvαv(Π>j∈A(v)Mjαj)EGNV\I
→∗ CF′ (Π>i∈S(v)Miα′iZis′i)Mvαv(Π>j∈A(v)Mjαj)EGNV\I
La condition de flot simple, introduite par Danos et Kashefi, peut être vue comme un cas particulier du flot généralisé, dans le cas où l’ensemble correctif est composé d’un seul élément.
10.4. M-CALCUL 3P 129