1 Simulation Monte-Carlo
Pour chaque réplicat simulant 1 heure d’examen, environ 14 millions d’événements ont été générés. LaFigureIV.5illustre le nombre de coïncidences émises au niveau de chaque région pour un réplicat, normalisée par la taille de la région. Les données sont ici exprimées enBq/ml en supposant que la simulation 2D concerne une coupe de l’HRRT (d’épaisseur égale à environ 1.2 mm, comme pour la simulation) et tiennent compte de la sensibilité de détection de 6%.
Les données ont ensuite été histogrammées en sinogrammes en choisissant des frames ré- gulières de 57 secondes, de sorte que les CAT comportent 64 échantillons. L’échantillonnage régulier permet d’utiliser le signal pour le niveau de résolution 0 (voir §1.1.a). 64 échantillons ont été choisis comme un compromis entre niveau de bruit dans les échantillons, nombre de points suffisant pour effectuer plusieurs niveaux de décomposition en ondelettes, et également en tenant compte du temps de reconstruction (frames indépendantes à reconstruire).
Le nombre d’émissions par frame (en tenant compte de la sensibilité de détection) pour des voxels de chacune des structures est illustré dans la Figure IV.6. Celle-ci illustre le niveau de bruit attendu dans les CAT pour chaque réalisation de cette simulation, en supposant une
FIG. IV.5 – Concentration d’activité émise au niveau de chaque région, corrigée par la sen- sibilité de détection, échantillonnée toutes les secondes. En tenant compte des espaces entre les têtes, où les photons ne sont pas détectés, ceci correspondrait au signal émis pour chaque région.
reconstruction parfaite et en l’absence de données non-mesurées (qui représentent 18% des bins, voir §II.2.3).
Le sinogramme moyenné sur les 64 frames et 300 réplicats est présenté dans laFigureIV.7.
En moyenne, environ 530 événements ont été détectés dans les bins non nuls du sinogramme sur l’ensemble de l’examen, ce qui correspond à 8 événements par frame.
Enfin un réplicat a été reconstruit avec l’algorithme RM-OP-OSEM et des images sont pré- sentées dans la FigureIV.8. Ces images reproduisent bien le niveau de bruit typiquement ob- servées dans un examen dynamique FDG.
2 Validation du choix de la famille d’ondelettes
Nous nous sommes ensuite intéressés à la décomposition du signal dans les bases d’onde- lettes. LaFigure IV.9illustre la décomposition dans les deux bases d’ondelettes DR2etDR3 d’un voxel de l’image reconstruite d’un réplicat, avec la décomposition de la CAT théorique, de la CAT moyenne sur 100 réplicats et du bruit. Le bruit a ici été supposé additif, et a été calculé en soustrayant les valeurs de la CAT théorique des valeurs de la CAT au niveau d’un réplicat.
FIG. IV.6 –Nombre d’émissions dans des voxels appartenant à chaque région, corrigée par la sensibilité de détection. En tenant compte des espaces entre les têtes, ceci correspondrait au signal émis pour chaque voxel.
FIG. IV.7 – Sinogramme moyen sur 300 répli- cats. Les variations locales d’intensité sont carac- téristiques de l’histogrammeur des projections de l’HRRT. Noter également les données non mesu- rées correspondant aux espaces entre les têtes de détection.
Cette figure montre que le bruit ainsi calculé semble être bien discriminé du signal dans ces deux bases d’ondelettes.
Les valeurs de l’entropie des décompositions dans différentes bases d’ondelettes des CAT théoriques sont représenté dans leTableau IV.4. Ce tableau montre que DR2est la base d’en-
d’un réplicat de la simula- tion.
tropie minimale pour la CAT artérielle, et DR3pour les autres cinétiques, illustrant ainsi que ces deux bases semblent adaptées à notre application.
FIG. IV.9 – Décomposition d’un voxel de l’image reconstruite dans DR2 et DR3. La courbe théorique, la moyenne sur 100 images reconstruites, et le bruit sont également représentés. Le voxel choisi appartenait au caudé.
3 Débruitage des sinogrammes
3.1 Validation de la transformée de Haar-Fisz
LaFigure IV.10représente les valeurs du test de Jarque-Bera calculé avec (IV.19) effectué pour chaque bin sur 100 réplicats, puis moyennées sur l’ensemble des frames, avant et après transformée de Haar-Fisz. La transformée conduit à des valeurs de test plus faibles dans les bins centraux. Les bins avec unJBélevé correspondent à des bins où le nombre total de coïn- cidences est faible au cours de l’examen : inférieur à 10 coïncidences (voir FigureIV.7). Ces bins représentent environ 6%des bins non-nuls, mais seulement environ 0.01%du nombre total de coïncidences dans le sinogramme. La moyenne du test de Jarque-Bera pour les autres bins est de 2.4. Nous avons donc considéré que la transformée de Haar-Fisz était adaptée à notre
TAB. IV.4 –Entropie de différentes décompositions en ondelettes pour les CAT sans bruit. Les ondelettes de type CoifletN sont des ondelettes plus symétriques que Daub2N, avec 2N moments nuls, et de support 6N.
CAT Entropie de la décomposition (Shannon normalisée)
DR2 DR3 Daub4 Daub6 Coiflet1 Coiflet2 Battle1 Battle2 Blanche 1.935 1.836 2.069 2.077 2.089 2.083 2.078 2.077
Grise 1.922 1.821 2.066 2.068 2.083 2.088 2.072 2.070 Tumeur 1.899 1.792 2.070 2.069 2.087 2.097 2.075 2.072 Artériel 1.968 2.053 2.007 2.066 2.072 2.144 2.065 2.076 problème, et nous avons appliqué les méthodesSUREShrinketSUREShrink_sinoexcepté pour ces bins de faible valeur.
FIG. IV.10 – Test de Jarque-Bera avant et après transformation des données. Le test a été moyenné sur l’ensemble des frames à fin de représentation. L’échelle a été saturée à une valeur du test de 4.6, correspondant à p= 10%.
3.2 Détermination des paramètres de la méthode proposée 3.2.a Détermination de l’a priori
La Figure IV.11illustre que la normalisation de chacune des TAC par le nombre total de coïncidences dans le bin permet d’obtenir des coefficients d’ondelettes plus facilement modéli- sables. Les paramètrespkdes potentielsφkde l’équation (D.10), exceptés pour les coefficients d’ondelette de bord, correspondaient quasi-exclusivement à des valeurspk = 3/2. Pour les co- efficients de bord, les "queues" de distribution (ici presque constantes, voir la Figure IV.12) empêchait de trouver un modèle adéquat, et un potentiel comme fonction indicatrice a donc été adopté. A l’issue de cette modélisation, 11×2 (bornes des fonctions indicatrices pour les coefficients de bord et les approximations) et 53×4 (valeurs µk, ωk, τk etκk) paramètres ont été estimées pour la décomposition sur DR2 ainsi que pour la décomposition sur DR3. Avec invariance par translation, environ 4 fois plus de paramètres ont été estimés. Nous avons éga- lement estimés les paramètres lorsque la CAT tumorale n’apparaît pas dans les sinogrammes.
Cette approche ne pose pas de problèmes de modélisation particuliers, et le même nombre de paramètres a alors été estimé.
Enfin nous avons implémenté la méthode modélisant les φk par sous-bande. Nous avons constaté qu’en considérant que les coefficients d’ondelettes dans une sous-bande suivent une
FIG. IV.11 – Impact du facteur de la normalisation des TAC sur la modélisation pour des coefficients d’ondelettes proches des coefficients de bord, pour les décompositions DR2 et DR3.
Les ajustements sont ici réalisés avec des distributions associées àpk= 3/2.
FIG. IV.12 –Exemple d’histogramme des coefficients de bord pour les décompositions DR2 et DR3. Les queues de distributions données ne peuvent être ajustés par les distributions associées au modèleφkchoisi (pk = 3/2ici).
distribution avec les mêmes paramètres, nous aboutissons à des distributions multimodales.
Nous avons alors cherché à modéliser dans la sous-bande la distribution des coefficients d’on- delettes autour de leur valeur moyenne. LaFigureIV.13illustre le bon ajustement alors obtenu.
14 coefficients seulement ont été estimés pour cette approche (4 coefficients pour chacun des 3 niveaux de résolution, et 2 coefficients pour délimiter le support des approximations), en plus des 64 valeurs moyennes.