IV.3 Estimation de la conance du système prédictif
IV.3.1 Estimation de la conance dans la zone d'apprentissage
Comme mentionné dans le paragraphe précédent, l'exTS ne peut pas fournir la distri- bution de la prédiction. L'exTS est capable de prédire la valeur d'un seul pas (one-step- ahead). Pour estimer une dispersion de prédiction, l'idée de départ est que la valeur cible est connue dans la zone d'apprentissage, et l'exTS peut être vu comme un ensemble de modèles linéaires. Sur cette base, nous proposons d'adapter des approches statistiques au modèle exTS, an de déterminer la dispersion de l'erreur dans la zone d'apprentissage.
IV.3 Estimation de la conance du système prédictif 85 IV.3.1.1 Dimensionnement de l'erreur de prédiction
La construction d'un modèle prend appui sur le principe que les entrées-sorties sont liées par une relation déterministe. La sortie étant la dégradation d'un équipement industriel, elle est représentée par une série temporelle. Le modèle prédictif de ce comportement (souvent non-linéaire et dynamique) et peut s'écrire sous la forme suivante :
yd(k+h) =f∗(X(k), Γ) +ξ(k+h) (IV.4)
où :
yd(k+h) est la sortie du système à l'instantk+h, h est l'horizon de prédiction. Prenonsh= 1, f∗ est une fonction déterministe,
Γreprésente les paramètres de f∗,
X(k)est un vecteur dont les éléments sont des entrées externes et internes du système réel à l'instantt,
ξ est une variable aléatoire de moyenne nulle et de variances2 représentent le bruit, (Hypothèse 1 ).
Le modèle choisi pour prédire la série chronologique est l'exTS. L'équation IV.4 devient ainsi :
yd(k+ 1) =f∗(X(k), λ∗, θ∗) +ξ(k+ 1) (IV.5) où : λ∗ est le vecteur des degrés d'activation normalisés des règles optimaux, dépendant
des paramètres non-linéaires,
θ∗ est le vecteur des paramètres linéaires optimaux.
Rappelons que f∗(X, λ∗, θ∗)est un modèle non-linéaire parce qu'il y a une combinaison non-linéaire entre λ∗ etθ∗.
Tout d'abord, pour ajuster les paramètres de l'exTS, la processus d'identication est basé sur la minimisation de l'erreur de prédiction (gure IV.3). Cet erreur est :
e(k+ 1) =yd(k+ 1)−y(kˆ + 1) (IV.6)
En combinant les équations IV.5 et IV.6, on obtient : e(k+ 1) =f∗(X(k), λ∗, θ∗) +ξ(k+ 1)−y(kˆ + 1)
=f∗(X(k), λ∗, θ∗) +ξ(k+ 1)−f(X(k), λ(k), θ(k)) (IV.7) Où y(kˆ + 1)est la sortie de l'exTS.
Compte tenu que le vecteur λest ajusté lors de la phase de clustering, et qu'il n'est pas ajusté par l'algorithme MCRs, nous pouvons considérer que les fonctions f∗ et f sont
86 Chapitre IV
exTS
Système Réel
yˆ
*
yd f
( 1) ˆ ( 1) y k
d y k ( )
X k e k ( 1)
{0, } k t
Fig. IV.3 Erreur de Prédiction dans la zone d'apprentissage
linéaires (voir chapitre III) par rapport aux paramètres conséquents (θ∗, θ). θ est en réalité le vecteur des paramètres estimés, notons le θ. En se basant sur l'équation II.13,ˆ l'erreur de prédiction est la suivante :
e(k+ 1) =ψkTθ∗+ξ(k+ 1)−ψkTθˆk (IV.8) Les expérimentations montrent que l'erreur de prédiction de l'exTS converge vers un bruit blanc (ν) et suit une loi normale (Hypothèse 2 ). Il nous faut ainsi déterminer la moyenne et la variance de cette erreur de prédiction.
Moyenne :
µ[e(k+1)]=µ[ψT
kθ∗+ξ(k+1)−ψTkθˆk]
=µ[ψT
kθ∗]+µ[ξ(k+1)]−µ[ψT kθˆk]
(IV.9) Selon l'hypothèse 1, la moyenne de ξ est égale à zéro. Ainsi, compte tenu que θ∗ et ψTk ne sont pas des variables aléatoires,
µ[e(k+1)]=µ[ψT
kθ∗]−µ[ψT kθˆk]
=ψkTθ∗−ψTkµ[ˆθk] (IV.10)
Et la moyenne deθˆk estθ∗, doncµ[e(k+1)]= 0. L'exTS est donc un modèle prédictif sans biais.
Variance :
σ2[e(k+1)]=σ2[f∗+ξ(k+1)−f(k+1)]=σ[2f∗+ξ(k+1)]+σ2[f]+2.Cov(f∗+ξ(k+1), f(k+1)) (IV.11)
IV.3 Estimation de la conance du système prédictif 87 Compte tenu que f∗ n'est pas une variable aléatoire, et en remplaçant f(k+ 1) par
ˆ
y(k+ 1), l'équation IV.11 devient :
σ2[e(k+1)]=σ2[ξ(k+1)]+σ2[ˆy(k+1)]+ 2.Cov(ξ(k+ 1), y(kˆ + 1)) (IV.12) En supposant que ξ(k+ 1) ety(kˆ + 1)ne sont pas corrélés :
σ[2e(k+1)]=σ[2ξ(k+1)]+σ[ˆ2y(k+1)]
=σ[2ξ(k+1)]+σ[2ψT
kθˆk]
(IV.13) En outre, le vecteur ψTk est certain, ainsi :
σ2[e(k+1)]=σ2[ξ(k+1)]+ψkTσ[ˆ2θ
k]ψk (IV.14)
Rappelons que le vecteur θˆk contient les paramètres linéaires estimés, donc, σ2[ˆθ
k] =Ck (voir l'équation II.15). Et par suite la variance de l'erreur de prédiction est :
σ[2e(k+1)]=σ[2ξ(k+1)]+ψTkCkψk
=s2+ψkT(Ck−1+ C1+k−1ψψTkψTkCk−1
kCk−1ψk )ψk (IV.15)
L'erreur de prédiction se présente nalement comme une distribution normale :
ek+1:N[0, σ2 =s2+ψkTCkψk] (IV.16)
IV.3.1.2 Densité de prédiction et intervalle de conance
Ce paragraphe est destiné à calculer la densité de prédiction de la sortie de l'exTS, an de quantier la performance du modèle prédictif. De plus, cela nous permet d'estimer un intervalle de prédiction.
Densité de prédiction
A l'instantt, l'erreur de prédiction (e(t+1)) converge vers un bruit blancν(t)(Hypothèse 2, voir gure IV.4). Donc,
(t) =ν(t) : N (0, σ2=s2+ψt−T 1Ct−1ψt−1) (IV.17) Si la variance s2 est inconnue, elle peut etre estimée par l'équation suivante :
s= vu uu t
Pt
k=1
y(k)−y(k)ˆ 2
t−p (IV.18)
88 Chapitre IV
exTS
Système Réel
yˆ
*
y
s f
( 1)
X t ( ) t
ˆ( ) y t
Fig. IV.4 Erreur de prédiction à l'instantt où pest le nombre des paramètres conséquents (dim(ˆθ)).
Nous pouvons ainsi poser que la sortie du modèle prédictif suit une distribution normale (voir gure IV.5) de moyenne y, la sortie calculée de l'exTS, et de variance celle deˆ e(t) [KGZ08b] :
˜
y(t) : N((ˆy(t), σ2 =s2+ψt−T 1Ct−1ψt−1) (IV.19) Intervalle de prédiction
Le paragraphe précédent a permis d'estimer une distribution de prédiction de l'exTS. Sur la base de l'équation IV.19, nous pouvons calculer un intervalle de prédiction reétant le niveau de conance. L'intervalle de prédiction de l'exTS pour un niveau de conance de α est donné par :
yt∈[ψTkθˆk±tk−p(1− α 2)q
s2+ψt−T 1Ct−1ψt−1] (IV.20) où : α est le seuil de conance.
tk−p(1− α2)est le quantile de la loi de Student à k−p degrés de liberté.
Les deux indicateurs cités ci-dessus (Densité de prédiction, Intervalle de prédiction) constituent un outil pour évaluer la capacité de modélisation de notre modèle de prédic- tion. Cette évaluation nous permet de mesurer à l'instant t(instant actuel) l'incertitude qui accompagne notre modèle de prédiction dans la zone d'apprentissage. Quand on pro- jette dans le futur, la prédiction est incertaine et aucune connaissance a priori n'existe pour estimer l'incertitude. La prochaine section vise à dénir comment évaluer l'incerti- tude dans la zone de prédiction, ce qui permettra nalement de prendre des décisions.
IV.3 Estimation de la conance du système prédictif 89
Zone d’apprentissage Index de
dégradation
k +h t k
ˆ( ) y t
Fig. IV.5 Incertitude de l'exTS (zone d'apprentissage)