Evaluation des SIL par une approche probabiliste floue

nouveaux facteurs d’importance flous inspirés des facteurs d’importance classiques va permettre la mise en évidence des composants contribuant le plus à la défaillance du SIS et ceux contri- buant le plus à l’incertitude entachant le SIL. Le calcul de ces facteurs va apporter une aide à la réduction de l’incertitude des SIL [Sallak et al., 2006c]. Ensuite, nous présentons un exemple applicatif défini dans la littérature [ISA-TR84.00.02-2002, 2002] qui illustre l’approche proposée.

Enfin, nous traçons le bilan de notre approche probabiliste floue et des facteurs d’importance flous introduits.

3.2 Evaluation des SIL par une approche probabiliste floue

3.2.1 Modélisation des taux de défaillance des composants des SIS

La première question que nous devons nous poser est : comment déterminer les fonctions d’appartenance des taux de défaillance des composants des SIS ? La première étape consiste à modéliser ces taux de défaillance en choisissant les fonctions d’appartenance adéquates.

L’imprécis et l’incertain peuvent être considérés comme deux points de vue sur une même réalité qu’est l’imperfection de l’information concernant les taux de défaillance des composants.

Dans ce contexte, nous pouvons différencier clairement les concepts d’imprécis et d’incertain : l’imprécis concerne le contenu de l’information tandis que l’incertain est relatif à sa vérité, en- tendue au sens de sa conformité à une réalité [Bouchon-Meunier, 1995].

Nos travaux de thèse proposent seulement un traitement des taux de défaillance imprécis en utilisant des nombres flous sous la forme d’ensembles de valeurs avec des informations de caractère vague. Dans la langue française, il y a d’autres qualificatifs qui renvoient à l’imprécis, tels que "vague", "flou", "général" et "ambigu". L’ambigu est une forme d’imprécision liée au langage. Une information est ambiguë dans la mesure où elle renvoie à plusieurs contextes ou référentiels possibles. Ce type d’imprécision n’est pas celui qui sera considéré dans ce mémoire : nous supposons connu le référentiel associé à l’élément d’information. Le "général" est une forme d’imprécision liée au processus d’abstraction ; une information est générale si elle désigne un ensemble d’objets dont elle souligne une propriété commune. Nous nous intéressons au caractère vague ou flou d’une information qui réside dans l’absence de contours bien délimités de l’ensemble des valeurs affectées aux objets qu’elle concerne.

Considérons par exemple, un composant dont le taux de défaillance est obtenu à partir d’une base de données de fiabilité [IEEE, 1984; CCPS, 1991; CCPS, 2002]. Comme nous l’avons sou- ligné précédemment (cf. section 1.4), ce taux de défaillance est donné sous forme d’une valeur moyenne m est d’un facteur d’erreur e. Nous pouvons dire que le taux de défaillance du com- posant est d’environm défaillances par an. Dans ce cas, l’information sur le taux de défaillance du composant est vague ou floue. L’imperfection de cette information est considérée comme une imprécision qui sera, par exemple, modélisée par un nombre flou de valeur modale met de sup- port2e.

Nous proposons donc de modéliser les taux de défaillance imprécis par des nombres flous triangulaires (cf. figure 3.1). Le paramètre α utilisé dans les figures désigne le degré d’apparte- nance de chaque valeur (cf. figure 3.2). Cependant, l’approche proposée peut être appliquée à

a_i m_i b_i 1

0

alpha

1

λ˜_i

Fig. 3.1 – Modélisation du taux de défaillance imprécisλ_i par un nombre flou triangulaire tout type de forme. Dans sa forme la plus générale, la fonction d’appartenance d’un nombre flou triangulaire λ_i est donnée par :

µ(λ_i) = 0, λ_i < a_i

µ(λi) = λi−ai

m_i−a_i, ai ≤λi ≤mi

µ(λ_i) = b_i−λ_i bi−mi

, m_i< λ_i < b_i

µ(λ_i) = 0, λ_i > b_i

Ces nombres flous triangulaires sont caractérisés par les 3 paramètres m_i, a_i et b_i. m_i re- présente la valeur modale de la fonction d’appartenance (µ(mi) = 1). Elle représente la valeur la plus probable du taux de défaillance λ_i. a_i est la limite à gauche de m_i, qu’on appelle aussi valeur basse. b_i est la limite à droite de m_i, qu’on appelle aussi valeur haute.

Par ailleurs, l’avantage d’utiliser une forme triangulaire pour modéliser les taux de défaillance réside dans le fait qu’elle peut être biaisée vers la droite ou vers la gauche par rapport à sa valeur la plus probable. Un autre avantage inhérent aux nombres flous triangulaires est la facilité d’utilisation grâce à la simplification des opérations arithmétiques floues [Kaufman and Gupta, 1991].

3.2.2 Evaluation du P F D_avg des SIS

Dans cette section, nous décrivons d’abord comment évaluer les probabilités de défaillance des composants à partir de leurs taux de défaillance imprécis. Dans nos travaux, nous supposons que les taux de défaillance des composants sont constants. Puisque les SIS sont des systèmes à défaillances rares, en utilisant l’approximation des événements rares [Collet, 1996], nous obtenons donc la probabilité de défaillance d’un composant à partir de son taux de défaillance λ à un instant t:

3.2. Evaluation des SIL par une approche probabiliste floue

0 10 20 30 40 50 60

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

alpha

0 10 20 30 40 50 60

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

alpha

0 10 20 30 40 50 60

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

alpha

0 10 20 30 40 50 60

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

alpha

Fig.3.2 – Différentes formes possibles des fonctions d’appartenance

P(t) = 1−exp(−λ.t)≃λ.t (3.1)

Puis, nous construisons l’arbre de défaillance dont le sommet représente l’événement associé à la défaillance dangereuse du SIS. Pour évaluer leP F D_avg du SIS, nous commençons par évaluer la probabilité d’occurrence de l’événement sommet de l’arbre de défaillance à un instant t(qui représente l’indisponibilité instantanée du SIS) à partir des probabilités d’occurrences des évé- nements élémentaires (probabilités de défaillance des composants du SIS). Ensuite, pour obtenir leP DF_avg, nous calculons la valeur moyenne des indisponibilités que nous avons calculé sur une période donnée.

Si nous considérons l’arbre de défaillance simple présenté dans la figure 3.4, en supposant que les événementsX_i sont indépendants et ont de très faibles probabilités d’occurrences (approxi- mation des événements rares [Collet, 1996]), alors la probabilité d’occurrence de l’événement sommet à un instanttest obtenue par :

Pe_T(y) =sup_{y=pA1+pA2}min{Pe_A1(p_A1),Pe_A2(p_A2)} (3.2) Où :

Pe_A1(y) =sup_{y=p1p2}min{Pe_X1(p₁),Pe_X2(p₂)} (3.3) Pe_A2(y) =sup_{y=p3p4}min{Pe_X3(p₃),Pe_X4(p₄)}

Pe_T représente la probabilité floue de défaillance dangereuse du système complet (probabilité d’occurrence de l’événement sommet) et PeXi représente la probabilité de défaillance du compo- sant i(cf. figure 3.3).

Comme les opérations arithmétiques utilisées pour manipuler les probabilités flous requièrent beaucoup de ressources (cf. section 2.2.2.4), Kaufman et Gupta [Kaufman and Gupta, 1991] ont montré que ces efforts de calculs sont largement simplifiés par la décomposition des fonctions

a_i m_i b_i 1

0

alpha

1

P˜_{X i}

Fig. 3.3 – Probabilité floue de défaillance d’un composant i

T

A1 A2

X2

X1 X3 X4

Fig. 3.4 – Arbre de défaillance