Intuitivement, la propri´et´e finitaireφrepr´esente le comportement d´esir´e du point de vue des s´equences d’ex´ecution finies, alors que la propri´et´e infinitaireϕest le comportement d´esir´e pour les s´equences infinies.
La d´efinition de la n´egation d’uner-propri´et´e suit la d´efinition de la n´egation des propri´et´es finitaires et infinitaires. Pour uner-propri´et´e(φ, ϕ), nous d´efinissons(φ, ϕ)comme ´etant(φ, ϕ). Les combinaisons bool´eennes der-propri´et´es sont d´efinies de mani`ere naturelle. Pour∗ ∈ {∪,∩}, (φ1, ϕ1)∗(φ2, ϕ2)=(φ1∗ φ2, ϕ1∗ϕ2). Consid´erant une s´equence d’ex´ecutionσ∈Exec(PΣ), nous disons queσ satisfait(φ, ϕ)lorsque σ∈Σ∗∧φ(σ)∨ σ∈Σω∧ϕ(σ). Pour uner-propri´et´eΠ =(φ, ϕ), nous notonsΠ(σ)(resp.¬Π(σ)) lorsque σsatisfait (resp. ne satisfait pas)(φ, ϕ). Pour uner-propri´et´eΠ =(φ, ϕ), un ensemble de s´equences finies E⊆Σ∗(resp. infinies W⊆Σω), nous notonsΠ∩E pourφ∩E (resp.Π∩W pour ϕ∩W).
Evaluation des´ r-propri´et´es. La monitorabilit´e, l’enfor¸cabilit´e, la testabilit´e, et la synth`ese de moniteur sont bas´ees sur l’´evaluation desr-propri´et´es. ´Evaluer une s´equence d’ex´ecutionσpar rapport `a uner-propri´et´e consiste `a produire un verdict vis-`a-vis de la satisfaction de la s´equence courante deσou des satisfactions futures desσ-continuations possibles (i.e.,{σ′∈Σ∞|σ≺σ′}). Les verdicts consid´er´es ici ne sont pas les valeurs bool´eennes usuelles : ce sont des valeurs prises dans un domaine de v´erit´e.
Un domaine de v´erit´e est un treillis,i.e.,un ensemble partiellement ordonn´e avec une borne sup´erieure et inf´erieure. Consid´erant une domaine de v´erit´eB, une r-propri´et´eΠet une s´equence d’ex´ecution σ, l’´evaluation deσ∈Σ∗ par rapport `aΠdansB, not´ee[[Π]]B(σ), est un ´el´ement deBd´ependant deΠ(σ)et de la satisfaction desσ-continuations par rapport `aΠ.
Nous verrons que l’ensemble des propri´et´es monitorables et enfor¸cables (Chapitre4, Section4.2et4.3) d´ependra directement du domaine de v´erit´e consid´er´e et de la fonction d’´evaluation choisie.
3.4 La vue langage des r -propri´ et´ es
Dans la vue langage de la hi´erarchie, les r-propri´et´es sont des couples d’ensembles de s´equences d’ex´ecution. Nous commen¸cons par d´efinir formellement les diff´erentes classes de la hi´erarchie. Ces classes diff´erent par la mani`ere dont, ´etant donn´ee une propri´et´e finitaire, est construit un couple constitu´e d’une propri´et´e finitaire et d’une propri´et´e infinitaire. Nous ´etudions ensuite la vue langage desr-propri´et´es.
3.4.1 Construction de propri´ et´ es finitaires et infinitaires
La vue langage de la classificationSafety-Progress est bas´ee sur la construction de propri´et´es infinitaires et finitaires `a partir de propri´et´es finitaires. Elle repose sur l’utilisation de quatre op´erateursA,E,R,P (pour la construction de propri´et´es infinitaires) et quatre op´erateursAf,Ef,Rf,Pf (pour la construction de propri´et´es finitaires) s’appliquant `a des propri´et´es finitaires. Dans la classification originale de Manna et Pnueli, les op´erateursA,E,R,P,Af,Ef ont ´et´e introduits (sans d´efinition formelle). Dans ce chapitre, nous d´efinissons ´egalement les op´erateursRf et Pf et donnons une d´efinition formelle pour tous les op´erateurs.
Dans les d´efinitions suivantes,ψ est une propri´et´e finitaire d´efinie sur l’alphabetΣ.
D´efinition 9 (Op´erateursA,E,R,P). Pourψ⊆Σ∗, les op´erateurs A,E,R,Psont d´efinis comme suit : – A(ψ)={σ∈Σω| ∀σ′∈Σ∗, σ′≺σ⇒ψ(σ′)}.
– E(ψ)={σ∈Σω| ∃σ′∈Σ∗, σ′≺σ∧ψ(σ′)}.
– R(ψ)={σ∈Σω| ∀σ′∈Σ∗,∃σ′′∈Σ∗, σ′≺σ′′≺σ∧ψ(σ′′)}.
– P(ψ)={σ∈Σω| ∃σ′∈Σ∗,∀σ′′∈Σ∗, σ′≺σ′′≺σ⇒ψ(σ′′)}.
A(ψ)consiste en tous les mots infinisσtels quetous les pr´efixes deσappartiennent `aψ.E(ψ)consiste en tous les mots infinisσtels quecertains pr´efixes deσappartiennent `aψ.R(ψ)consiste en tous les mots infinisσtels queun nombre infinis de pr´efixes deσappartiennent `aψ.P(ψ)consiste en tous les mots infinisσtels quetous sauf un nombre fini de pr´efixes de σappartiennent `aψ.
Il existe un lien entre les diff´erents op´erateurs introduits. Les op´erateursA etE sont duaux, et il en est de mˆeme des op´erateursRet P. C’est-`a-dire :
A(ψ)=E(ψ) R(ψ)=P(ψ)
o`u la compl´ementation est prise par rapport `aΣ+ pourψ, et par rapport `aΣω pour A(ψ)etR(ψ).
Construction de propri´et´es finitaires. Similairement, les op´erateursAf,Ef,Rf,Pf construisent les propri´et´es finitaires `a partir d’autres propri´et´es finitaires.
D´efinition 10 (Op´erateurs Af,Ef,Rf,Pf). Pour ψ ⊆ Σ∗, les op´erateurs Af,Ef,Rf,Pf sont d´efinis comme suit :
– Af(ψ)={σ∈Σ∗| ∀σ′∈Σ∗, σ′σ⇒ψ(σ′)}. – Ef(ψ)={σ∈Σ∗| ∃σ′∈Σ∗, σ′σ∧ψ(σ′)}.
– Rf(ψ)={σ∈Σ∗|ψ(σ)∧ ∃σ′∈Σ∗·σ≺σ′∧ψ(σ′)}.
– Pf(ψ)={σ∈Σ∗|ψ(σ)∧ ∃σ′∈Σ∗,∃µ∈Σ+· σσ′ ∧ (σ′·µ∗·pref(µ))⊆ψ}.
Af(ψ)consiste en tous les mots finisσtels quetous les pr´efixes deσappartiennent `aψ. L’op´erateur Af peut se voir comme un “filtre” “selectionnant” le sous-language prefixe-clos deψ. Ef(ψ) consiste en tous les mots finisσtels que quelques pr´efixes (au moins un) deσ appartiennent `aψ. L’op´erateur Ef
produit la fermeture par continuation deψ.Rf(ψ)consiste en tous les mots finisσtels queψ(σ)et il existe une continuationσ′deσqui appartient aussi `aψ. L’op´erateurRf “selectionne” les s´equences deψqui permettent de potentiellement avoirψr´eguli`erement. Pf(ψ)consiste en tous les mots finisσappartenant
`
aψtels qu’il existe une continuationσ′deσ `a partir de laquelle on peut trouver une extension (aussi grande que l’on veut, de la forme σ′·µ∗) dont tous les pr´efixes plus grand que σ′ appartiennent `aψ.
L’op´erateurPf“selectionne” les s´equences deψ qui permettent de satisfaireψde mani`ere persistente ; ce sont les s´equencesσdeψqui poss`edent une extensionσ′ pour laquelle on peut trouver un mot non vide µtelle que l’on puisse obtenir des mots de ψ en concat´enant un nombre fini de foisµplus l’un de ses pr´efixes `a σ′.
Remarque 1 Nous pouvons observer que : – Af(ψ)=ψsiψest pr´efixe-clos et∅ sinon.
– Ef(ψ)=ψ·Σ∗. – Rf(ψ)⊆ψ.
– Pf(ψ)⊆ψ. ∗
Se basant sur ces op´erateurs, chaque classe peut ˆetre d´efinie depuis la vue langage.
D´efinition 11 (r-propri´et´es des classes de base). Uner-propri´et´eΠ =(φ, ϕ)est d´efinie comme : – Une r-propri´et´e desafety siΠ =(Af(ψ),A(ψ))pour une propri´et´e finitaire ψ. C’est-`a-dire, tous les
pr´efixes d’un mot finiσ∈φou d’un mot infiniσ∈ϕappartiennent `a ψ.
– Uner-propri´et´e deguaranteesiΠ =(Ef(ψ),E(ψ))pour une propri´et´e finitaireψ. C’est-`a-dire, chaque mot fini σ∈φou infiniσ∈ϕest garanti d’avoir (au moins) un pr´efixe appartenant `aψ.
– Uner-propri´et´e deresponse siΠ =(Rf(ψ),R(ψ))pour une propri´et´e finitaireψ. C’est-`a-dire, chaque mot infiniσ∈ϕa de fa¸con r´ecurrente (un nombre infini) de pr´efixes appartenant `aψ.
– Une r-propri´et´e de persistence si Π = (Pf(ψ),P(ψ)) pour une propri´et´e finitaire ψ. C’est-`a-dire, chaque mot infiniσ∈ϕa de fa¸con persistante (continuement `a partir d’un certain point) ses pr´efixes appartenant `aψ.
Dans tous les cas, nous disons queΠest construite `a partir deψ. En outre, lesr-propri´et´es d’obligation (resp. de r´eactivit´e) sont obtenues `a partir de combinaisons bool´eennes de r-propri´et´es de safety et
guarantee (resp. response et persistence).
Etant donn´e un ensemble d’´ev´enements´ Σ, nous notonsSafety(Σ) (resp.Guarantee(Σ),Obligation(Σ), Response(Σ),Persistence(Σ),Reactivity(Σ)) l’ensemble desr-propri´et´es de safety (resp. guarantee, obligation, response, persistence, r´eactivit´e) d´efinies surΣ.
Intuitivement, cette interpr´etation indique qu’une propri´et´e de safety (resp. guarantee, response, persistence) exige qu’une “bonne chose” arrive tout le temps (resp. au moins une fois, infiniment souvent, continuement `a partir d’une certain point) ; o`u ψ est le langage repr´esentant l’ensemble des “bonnes choses”.
Nous exposons quelques cons´equences directes des d´efinitions desr-propri´et´es de safety et guarantee.
Propri´et´e 1 (Quelques faits sur les r-propri´et´es) : Consid´erons uner-propri´et´eΠ =(φ, ϕ), d´efinie sur un alphabetΣ, construite `a partir d’une propri´et´e finitaireψ, nous avons les faits suivants :
3.4 : La vue langage desr-propri´et´es (i) Πest uner-propri´et´e de safety ssitous les pr´efixes d’une s´equence appartenant `aΠappartiennent
´egalement `a Π,i.e., ∀σ∈Σ∞,Π(σ)⇒(∀σ′∈Σ∗, σ′≺σ⇒Π(σ′)).
(ii) Πest uner-propri´et´e de safetyssi toutes les continuations d’une s´equence finie n’appartenant pas
`
a Πn’appartiennent pas `aΠnon plus. C’est-`a-dire,¬Π(σ)⇒ ∀µ∈Σ∞,¬Π(σ·µ).
(iii) Πest une r-propri´et´e de guaranteessi toutes les continuations d’une s´equence finie appartenant `a Πappartiennent ´egalement `a Π. C’est-`a-dire que ∀σ∈Σ∗,Π(σ)⇒ ∀σ′∈Σ∞,Π(σ·σ′). ♦ Preuve : Nous prouvons chacun des trois faits successivement.
– Pour (i) :
(⇒) Consid´eronsσ∈Σ∞. CommeΠest une safety, nous savons qu’elle peut s’´ecrire(Af(ψ),A(ψ)) pour une propri´et´e finitaire ψ⊂Σ∗. De plus, nous avons soitφ(σ)ou bienϕ(σ),i.e.,Af(ψ)(σ)ou bienA(ψ)(σ), tous les pr´efixesσ′deσappartiennent `aψ. N´ecessairement, tous les pr´efixesσ′′ de σ′ appartiennent aussi `aψ, c’est-`a-direψ(σ′′). Par d´efinition, cela signifie que σ′∈Af(ψ), i.e., φ(σ′)etΠ(σ′).
(⇐) SoitΠuner-propri´et´e telle que tous les pr´efixes d’une s´equence appartenant `aΠappartiennent
´egalement `aΠ. Pour montrer queΠest uner-propri´et´e de safety, il suffit de trouverψ⊆Σ∗ telle queΠpuisse s’exprimer(Af(ψ),A(ψ)). Pourψ il nous suffit de prendre
ψ={σ∈Σ∗|Π(σ)} ∪ [
{σ∈Σω|Π(σ)}
pref(σ)
– Pour (ii). Πpeut s’´ecrire(Af(ψ),A(ψ)). Soit σ∈Σ∗, une s´equence finie n’appartenant pas `aΠ. Ce qui veut dire que σ<Af(ψ). Ainsi,σ n’a pas tous ses pr´efixes dansψ, i.e.,∃σ′σ,¬ψ(σ′). Soit µ∈Σ∞. Siµ∈Σ∗, alors on a forc´ement¬Af(σ·µ)car σ′≺σσ·µ,σ′est un pr´efixe de σ·µqui n’appartient pas `aψ. Il s’en suit que¬Π(σ·µ). Si µ∈ Σω, de la mˆeme mani`ere, nous avons que
¬Π(σ·µ). Dans les deux cas, nous avons¬Π(σ·µ).
– Pour (iii) :
(⇒) Soitσ∈Σ∗ telle queΠ(σ). CommeΠest uner-propri´et´e de guarantee, nous savons queσa au moins un pr´efixeσ0σappartenant `aψ:σ∈Ef(ψ). Ensuite, toute continuationσconstruite en utilisant n’importe quelle s´equence finie ou infinieσ′a au moins le mˆeme pr´efixe appartenant `aψ.
Si σ′∈Σ∗, nous avonsσ0σσ·σ′ etσ·σ′∈Ef(ψ). Siσ′∈Σω, nous avonsσ0σ≺σ·σ′et σ·σ′∈E(ψ).
(⇐) SoitΠuner-propri´et´e telle que toutes les continuations d’une s´equence finie appartenant `a Πappartiennent ´egalement `aΠ. Pour montrer que Πest une r-propri´et´e de guarantee, il nous suffit de trouverψ⊆Σ∗ telle queΠpuisse s’´ecrire (Ef(ψ),E(ψ)). Pourψ, il nous suffit de prendre ψ={σ∈Σ∗|Π(σ)}.
Nous illustrons dans l’exemple suivant la construction de propri´et´es finitaires et infinitaires depuis des propri´et´es finitaires pour chacun des quatre types d’op´erateurs.
Exemple 2 (Construction de propri´et´es finitaires et infinitaires) Nous utilisons les expressions r´eguli`eres pour d´efinir lesr-propri´et´es consid´er´ees.
– Pour la propri´et´e finitaireψ=ǫ+a+·b∗,Af(ψ)=ǫ+a+·b∗,A(ψ)=aω+a+·bω,(Af(ψ),A(ψ))est une r-propri´et´e de safety. Ce langage contient tous les mots qui ont soit uniquement des occurrences de aou bien un nombre fini d’occurrences dea (au moins une) suivie(s) uniquement d’occurrences deb.
– Pour la propri´et´e finitaire ψ=a+·b∗, Ef(ψ)=a+·b∗·Σ∗, E(ψ)=a+·b∗·Σω, (Ef(ψ),E(ψ))est une r-propri´et´e de guarantee.
– Pour la propri´et´e finitaireψ= Σ∗·b,Rf(ψ)=(Σ∗·b)+,R(ψ)=(Σ∗·b)ω,(Rf(ψ),R(ψ))est uner-propri´et´e de response. Ce langage contient tous les mots qui ont un nombre infini d’occurrences deb.
– Pour la propri´et´e finitaireψ= Σ∗·b, Pf(ψ)= Σ∗·b+,P(ψ)= Σ∗·bω,(Pf(ψ),P(ψ))est uner-propri´et´e de persistence. Ce langage contient tous les mots qui, `a partir d’un certain rang, contiennent uniquement des occurrences de b.
Exemple 3 (r-propri´et´es) Les propri´et´es de l’Exemple 1 peuvent ˆetre formalis´ees en r-propri´et´es comme suit.
– la r-propri´et´e Π1 peut ˆetre exprim´ee comme une r-propri´et´e de safety construite `a partir de ψ1=(g auth+·op)∗·g auth∗ avecΣ ={g auth,op}
– lar-propri´et´eΠ2 peut ˆetre exprim´ee comme une r-propri´et´e deguaranteeconstruite `a partir de ψ2=(Σ\ {r auth})∗·r auth·(Σ\ {g auth,d auth})∗·(g auth+d auth)avecΣ ={g auth,d auth,r auth}
– la r-propri´et´eΠ3peut ˆetre exprim´ee comme une r-propri´et´e d’obligationconstruite `a partir deψ3= (Σ\ {d auth,end})∗, etψ′3=(Σ\ {d auth,end})∗·d auth·(Σ\ {disco})∗·discoavecΣ ={end,d auth,disco}; ensuiteΠ3 est(Af(ψ3),A(ψ3))∨(Ef(ψ′3),E(ψ′3)).
– la r-propri´et´eΠ4 peut ˆetre exprim´ee comme uner-propri´et´e de response construite `a partir de ψ4=r auth·log+·(d auth+g auth)avecΣ ={g auth,d auth,op,log}
– lar-propri´et´eΠ5 peut ˆetre exprim´ee comme uner-propri´et´e depersistenceconstruite `a partir de ψ5 = (d auth·g auth)∗.d auth·(Σ\ {r auth,d auth})∗·op· g auth∗+(r auth·(Σ\ {d auth})+)∗
avec Σ ={g auth,d auth,op}
3.4.2 La hi´ erarchie des langages
Nous ´etudions maintenant la relation hi´erarchique entre les diff´erentes classes de langages d´efinis pr´ec´e- demment. Notons tout d’abord que, en cons´equence de la dualit´e de certains op´erateurs de constructions de langages, les classes de bases contruites `a partir d’op´erateurs duaux sont duales ´egalement. Ce qui peut ˆetre exprim´e comme suit :
– Si Πest uner-propri´et´e de safety, alorsΠest uner-propri´et´e de guarantee.
– Si Πest uner-propri´et´e de response, alorsΠest uner-propri´et´e de persistence.
Nous ´etudions maintenant les propri´et´es de chaque classe en ´etudiant les liens avec les autres classes.
Nous verrons que les quatre classes de bases sont ferm´ees par les op´erations bool´eennes positives.
Fermeture des classes de base
Les quatre classes de base sont ferm´ees par les op´erations bool´eennes positives, i.e., union, et intersec- tion.
La classe desr-propri´et´es de guarantee. Soient(Ef(ψ1),E(ψ1))et(Ef(ψ2),E(ψ2))deuxr-propri´et´es de guarantee, leur union et leur intersection sont ´egalement desr-propri´et´es de guarantee. Ce qui est dˆu aux ´egalit´es suivantes (prouv´ees dans l’AnnexeA.1) :
E(ψ1)∪E(ψ2)=E(ψ1∪ψ2)
E(ψ1)∩E(ψ2)=E(Ef(ψ1)∩Ef(ψ2))
Ef(ψ1)∪Ef(ψ2)=Ef(ψ1∪ψ2)
Ef(ψ1)∩Ef(ψ2)=Ef(Ef(ψ1)∩Ef(ψ2)) Ce qui est bas´e sur le fait que∀ψ⊂Σ+,E(ψ)=ψ·Σω, et sur les deux ´egalit´es suivantes :
ψ1·Σω∪ψ2·Σω=(ψ1∪ψ2)·Σω ψ1·Σω∩ψ2·Σω =(ψ1·Σ∗∩ψ2·Σ∗)·Σω Nous avons alors :
(Ef(ψ1),E(ψ1))∩(Ef(ψ2),E(ψ2)) =(Ef(ψ1)∩Ef(ψ2),E(ψ1)∩E(ψ2))
=
Ef(Ef(ψ1)∩Ef(ψ2)),E(Ef(ψ1)∩Ef(ψ2))
La classe des r-propri´et´es de safety. La fermeture de la classe des propri´et´es de safety est ´etablie par les ´egalit´es ci-dessous qui sont obtenues par dualit´e avec les ´egalit´es mentionn´ees pour la classe des propri´et´es de guarantee.
A(ψ1)∩A(ψ2)=A(ψ1∩ψ2)
A(ψ1)∪A(ψ2)=A(Af(ψ1)∪Af(ψ2))
Af(ψ1)∩Af(ψ2)=Af(ψ1∩ψ2)
Af(ψ1)∪Af(ψ2)=Af(Af(ψ1)∪Af(ψ2))
La classe des r-propri´et´es de response. D´efinissons tout d’abord la notion d’extension minimale d’un langage par un autre.
D´efinition 12 (Extension minimale d’un langage par un autre). L’extension minimale du lan- gageψ2 parψ1, not´eeminex(ψ1, ψ2), est l’ensemble des motsσ2∈ψ2 t.q.
– Il existe un motσ1∈ψ1,t.q.σ1≺σ2,i.e.,σ2 est une continuation deσ1 dansψ2
– Il n’y a pas deσ′2∈ψ2,t.q.σ1≺σ′2≺σ2,i.e.,σ2 est une continuation minimale deσ1 dansψ2
3.4 : La vue langage desr-propri´et´es
Nous avons donc les ´egalit´es suivantes ´etablissant la fermeture desr-propri´et´es de response : R(ψ1)∪R(ψ1)=R(ψ1∪ψ2)
R(ψ1)∩R(ψ2)=R(minex(ψ1, ψ2))
La classe desr-propri´et´es de persistence. La fermeture de la classe desr-propri´et´es de persistence est ´etablie par les ´egalit´es suivantes :
P(ψ1)∩P(ψ2)=P(ψ1∩ψ2) P(ψ1)∪P(ψ2)=P(minex(ψ1, ψ2) Relations d’inclusion parmi les classes
Comme nous l’avons vu informellement dans la Section3.2, il existe une hi´erarchie entre les classes dans la classification Safety-Progress. Ici, nous revenons sur l’inclusion des deux classes de base les plus basses de la hi´erarchie (i.e., les safety et les guarantee) dans les deux classes de bases response et persistence. Les r´esultats pour les propri´et´es finitaires sont une adaptation directe des r´esultats donn´es pour les propri´et´es finitaires dans [CMP92a].
La classe des r-propri´et´es de response contient la classe des safety et guarantee : A(ψ)=R(Af(ψ))
Af(ψ)=Rf(Af(ψ))
E(ψ)=R(Ef(ψ)) Ef(ψ)=Rf(Ef(ψ))
La classe des r-propri´et´es de persistence contient la classe des safety et guarantee : A(ψ)=P(Af(ψ))
Af(ψ)=Pf(Af(ψ))
E(ψ)=P(Ef(ψ)) Ef(ψ)=Pf(Ef(ψ))
Caract´erisation des classes de safety et guarantee
Les classes de bases ont ´et´e d´efinies de mani`ere constructive. Il peut ˆetre int´eressant d’avoir une caract´erisation directe des propri´et´es. Les deux propri´et´es suivantes donnent une caract´erisation des r-propri´et´es de safety et de guarantee. La preuve de ces propri´et´es est une adaptation directe de la preuve donn´ee dans [CMP92a].
Propri´et´e 2 (Caract´erisation des r-propri´et´es de safety) : Uner-propri´et´eΠest uner-propri´et´e de safetyssi
Π =(Af(Pref(Π)),A(Pref(Π)))
♦ Propri´et´e 3 (Caract´erisation des r-propri´et´es de guarantee) : Uner-propri´et´eΠest uner-propri´et´e de guaranteessi
Π =(Ef(Pref(Π),E(Pref(Π))
♦ Les classes compos´ees
La classe des r-propri´et´es d’obligation. La classe desr-propri´et´es d’obligation peut ˆetre d´efinie (de trois mani`eres ´equivalentes) comme la classe obtenable par :
– combinaisons bool´eennes non restreinte der-propri´et´es de safety, – combinaisons bool´eennes non restreinte der-propri´et´es de guarantee, – combinaisons bool´eennes positive der-propri´et´es de safety et guarantee.
Une cons´equence imm´ediate est que les classes des propri´et´es de safety et guarantee sont des sous classes de la classe des propri´et´es d’obligation. De plus l’inclusion est stricte comme le montre la propri´et´e d’obligation suivante qui n’est ni uner-propri´et´e de safety ni uner-propri´et´e de guarantee : (a∗+ Σ∗·b·Σ∗,aω+ Σ∗·b·Σω)
Le lemme suivant (inspir´e de [CMP92a]) fournit une d´ecomposition de chaquer-propri´et´e d’obligation en forme normale.
Lemme α (Formes normales desr-propri´et´es d’obligation) : Touter-propri´et´e d’obligation peut ˆetre exprim´ee comme l’intersection
n
\
i=1
(Safetyi∪Guaranteei)
pour un certain n > 0, o`u Safetyi et Guaranteei sont respectivement des r-propri´et´es de safety et guarantee. Nous nommons cette pr´esentation comme la forme normale conjonctive des r-propri´et´es d’obligation.
De mani`ere sym´etrique, touter-propri´et´e d’obligation peut ˆetre repr´esent´ee comme l’union
n
[
i=1
(Safetyi∩Guaranteei)
Cette repr´esentation est nomm´ee la forme normale disjonctive desr-propri´et´es d’obligation.
Preuve : Consid´erant la D´efinition11d´eclarant que lesr-propri´et´es d’obligation sont des combinaisons bool´eennes positives de r-propri´et´es de safety et guarantee, nous pouvons exprimer toute r-propri´et´e d’obligation sous une forme normale conjonctive
n
\
i=1
(Πi
0∪ · · · ∪Πi
ki−1∪ · · · ∪Πi
mi−1)
o`uΠi
0, . . . ,Πi
ki−1 sont desr-propri´et´es de safety, etΠi
ki, . . . ,Πi
mi−1 sont desr-propri´et´es de guarantee. En utilisant la fermeture des classes de safety et guarantee sous l’op´erateur d’union, nous pouvons exprimer lar-propri´et´e sous la forme mentionn´ee plus haut.
Lorsqu’une r-propri´et´e Π est exprim´ee comme ∩ki=1(Safetyi∪ Guaranteei), Π est dite ˆetre une r- propri´et´e de k-obligation. L’ensemble des r-propri´et´es dek-obligation sur l’alphabetΣ(k≥1) est d´enot´ee Obligationk(Σ). Des d´efinitions et propri´et´es similaires sont valables aussi pour lesr-propri´et´es de r´eactivit´e qui sont exprim´ees comme la combinaison der-propri´et´es de response et persistence.