3.5 Processus de traitement des images
3.5.3 Lissage polynomial
hf(x, y)i=hx0y0, x1y0, x0y1, x2y0, x1y1, x0y2, · · · , xny0, · · · , x0yni (3.25) Un premier avantage de cette technique est qu’il est possible de donner un poids différent à chacun des pixels suivant qu’ils correspondent à un point où la mesure est fortement bruitée (près du bord ou près d’un défaut de codage) ou à un point où le bruit est faible.
La fonction de pondération m(x, y) est définie en affectant un poids de 1 aux points intéressants et un poids de0 aux points aberrants, sans donnée ou fortement bruités.
Les pentes sont connues en surface de la plaque, de manière valide ou non, enp×qpoints, petq étant respectivement les nombres de points de mesure sur la longueur et la largeur de la plaque rectangulaire. En tout point(xk, yl) tel que{1≤k ≤p}et {1≤l≤q}, les pentes peuvent donc s’écrire :
m(xk, yl)·θx(xk, yl) = m(xk, yl)· hf(xk, yl)i α m(xk, yl)·θy(xk, yl) = m(xk, yl)· hf(xk, yl)i
β (3.26)
La première des deux équations3.26 peut s’écrirep×qfois ce qui conduit matriciellement à :
m(x1, y1)·θx(x1, y1) ...
m(xp, yq)·θx(xp, yq)
=
m(x1, y1)· hf(x1, y1)i ...
m(xp, yq)· hf(xp, yq)i
α (3.27)
En observant que la seconde équation3.26 s’écrirait p×q fois de manière rigoureusement analogue, ces deux expressions peuvent s’exprimer de manière synthétique :
n
θx
o
=h F i n
αo nθy
o=h F i n
βo (3.28)
oùn θx
o et n θy
o sont des vecteurs colonnes dont les p×q composantes sont les valeurs pondérées des pentes mesurées en chacun des points.h
F i
est une matrice rectangulaire dont chacune des p×q lignes contient les valeurs pondérées des n monômes de la base polynomiale calculés pour les coordonnées du point de mesure considéré.
Les coefficients polynomiaux décrivant les champs de pente θx(x, y) et θy(x, y) d’origine expérimentale sont alors obtenus par :
nαo
=h
F i/n θx
o n
βo
=h
F i/n θy
o (3.29)
L’opérationa marquée "\" dans l’équation 3.29 utilise la transformation orthogonale de Householder. Elle permet d’obtenir une solution précise au sens des moindres carrés dans le cas de systèmes hyperdéterminés.
Une fois les coefficients αij etβij déterminés, cette technique présente l’avantage de per- mettre d’interpoler les valeurs des champs de pente pour les pixels où les données sont manquantes.
En affectant maintenant la valeur1 à l’ensemble des pondérations m(x, y), les champs de pente lissés s’expriment sur l’ensemble de la plaque :
nPx(x, y)o
=h F i n
αo nPy(x, y)o
=h F i n
βo (3.30)
La détermination des coefficients
Aij du champ de flèche (voir équation 3.23) à partir des polynômes n
Px(x, y)o etn
Py(x, y)o
pose le même problème d’indétermination de la constante d’intégration, ici A00, rencontré au paragraphe précédent (équation 3.5.2). Le centre (0,0)de la zone d’encastrement présentant une flèche nulle, il vient A00= 0.
De même manière, les champs de courbure sont facilement obtenus par dérivations des polynômes n
Px(x, y)o etn
Py(x, y)o
des champs de pente lissés.
3.5.3.2 Choix du degré des polynômes
Le degré des fonctions polynomiales utilisées pour la régression des champs de pente est choisi en fonction du gradient de courbure que l’éprouvette présente dans l’essai mécanique utilisé. En effet, un degré insuffisant entraînera une mauvaise représentation des champs de courbure dans les zones où leurs gradients sont importants. Ces considérations ont conduit à une étude sur l’influence du degré des polynômes.
aSymboleM AT LABr de la résolution de systèmes linéaires.
En effet, en raison de l’encastrement de l’éprouvette, les gradients des champs de courbure sont très importants au voisinage de cette zone. Les formes globales des champs de cour- bure sont alors très tourmentées (voir la figure3.21) et l’application du lissage polynomial est difficile. Dans la procédure d’identification utilisant les champs virtuels par morceaux décrits au paragraphe 2.7.3, le sous-domaine entourant la zone d’encastrement ne parti- cipe pas aux travaux virtuels. En conséquence, les sous-domaines équivalents appartenant aux champs de pente mesurés peuvent être masqués de façon à pouvoir appliquer le lissage polynomial.
En choisissant le degré n du polynôme, les résidus peuvent être calculés en effectuant :
∆θx(x, y) = Px(x, y)−θx(x, y)
∆θy(x, y) = Py(x, y)−θy(x, y) (3.31) oùPx,Py sont les champs de pente projetés sur la base polynomiale et θx,θy des champs de pente mesurés. Le polynôme de degrénqui minimise les écarts typesσ(∆θx)etσ(∆θy) est celui qui permet la meilleure reconstruction des champs considérés.
(a) Masque choisi au début (b) Masque choisi
Figure 3.23 – Exemples de masque appliqué pour effectuer le lissage polynômial.
La recherche de ce minimum est conduite en deux temps. Tout d’abord, la fonction de pondération est annulée pour toute position correspondant à des données nulles ou non choisies, elle est portée à1partout ailleurs. On obtient alors, par exemple pour une mesure de champs de pente, le masque où les points en blanc représentent les pixels retenus pour la régression et en noir les pixels écartés (figure3.23(a)). Dans cet exemple, tous les pixels sont retenus à l’exception de la zone rectangulaire recouvrant largement l’encastrement.
Les résidus de cette première estimation sont alors calculés. La fonction de pondération est
alors ajustée pour la deuxième évaluation. Elle est annulée pour tous les pixels présentant un écart entre les pentes brutes et lissées supérieur à deux fois l’écart type du résidu k∆θxk>2σ(∆θx)ouk∆θyk>2σ(∆θy)). Le rapport entre les nombres de pixels retenus lors de la deuxième opération et ceux gardés lors de la première se situe entre 90% et 95%
. Les pixels finalement retenus apparaissent en blanc dans la figure3.23(b).
8 10 12 14 16 18 20 22
0 1 2 3 4 5 6 7x 10−5
Degr´e du polynˆome
´ Ecartquadratiquemoyen
suivant X suivant Y
(a) À partir des champs simulés par EF.
8 10 12 14 16 18 20 22
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2x 10−4
Degr´e du polynˆome
´ Ecartquadratiquemoyen suivant X suivant Y
(b) À partir des champs mesurés par la MG.
Figure 3.24 – Évolution de l’écart quadratique moyen entre les pentes simulées/mesurées et les pentes projetées sur une base polynomiale en fonction du degré utilisé.
Plusieurs degrés de polynômes de régression ont été utilisés et comparés en termes d’écarts quadratiques entre les pentes mesurées et les pentes estimées par lissage polynomial (équa- tion 3.31).
Les figures3.24(a)et3.24(b)présentent les résultats de cette étude pour la plaque étudiée excitée à 100 Hz, respectivement dans le cas des champs de pente simulés par éléments finis et ceux mesurés par déflectométrie.
Ces deux figures montrent qu’un degré assez élevé (n ≥9) est nécessaire pour minimiser l’écart, donné par l’équation 3.31.
Les champs simulés sont non bruités. Les écarts quadratiques sont d’autant plus faibles que le degrén est élevé. Par contre dans le cas des champs mesurés, les écarts augmentent brutalement pour un degrén ≥19, le bruit se trouvant certainement amplifié par le degré élevé du polynôme. Les écarts sont minimaux et varient peu dans la plage 10≤ n≤18.
Les identifications pourront donc être conduites en utilisant des champs lissés par des polynômes dont les degrés appartiennent à cette gamme. Le choix final doit prendre en compte les temps de calculs qui augmentent sensiblement avec le degré n retenu.
Mesur´e
Pente/X
−5 0 5
x 10−3
Pente/Y
−15−10 −5 0 5 x 10−4
Liss´e Poly.
−5 0 5
x 10−3
−15−10 −5 0 5 x 10−4
Diff´erence (±3σ)
−4 −2 0 2 4
x 10−5
−2 0 2
x 10−5
Figure 3.25 – Comparaison entre les champs de pente (en radian) bruts et lissés par une base polynomiale de degré14.
Pour un degré choisi pour la base polynomiale, il est possible de vérifier le résultat de la régression en calculant les résidus entre les pentes mesurées et les pentes lissées par les fonctions polynomiales. La figure 3.25 présente les champs de pente dans les deux directions x et y, tirés du même exemple que celui traité précédemment. Les valeurs maximales des résidus, pour les deux composantes de pente θx etθy montrent clairement que le degré choisi (ici n = 14) est suffisant pour représenter d’une manière précise les gradients présents sur la surface observée.
Les deux premières lignes de la figure 3.26 montrent les champs de pente obtenus par un lissage polynômial (n= 14) des mêmes images que celles utilisées pour la figure 3.21.
−0,6mrad
θ
xRe
2,7mrad Im
θ
y−0,6mrad 0,9mrad
w
−0,05mm 0,24mm
κ
xx−0,05 m−1 0,01m−1
κ
yy−0,04m−1 0,01m−1
κ
ss−0,03m−1 0,02m−1
−10,5mrad Re
7,7mrad Im
−1,9mrad 3,6mrad
−0,88mm 0,01mm
−0,01m−1 0,23m−1
−0,06m−1 0,12m−1
−0,07m−1 0,07m−1
Figure 3.26 – Champs de pente, de flèche et de courbure issus de mesures et traités par lissage polynomial. (a) 80Hz (hors-résonance) ; (b) 100 Hz (en résonance)
Les échelles des parties réelles et imaginaires correspondantes sont identiques et leurs valeurs extrémales sont indiquées en dessous de chaque cas. La troisième ligne montre les champs de flèche obtenus par intégrations des polynômes lissant les pentes. Dans les mêmes conditions, les trois dernières lignes présentent les cartes des champs de courbure provenant des dérivations de ces mêmes fonctions polynomiales.
3.5.3.3 Estimation de l’écart-type du bruit des champs dérivés
Le chapitre précédent a montré que l’incertitude sur les résultats identifiés est directement liée au bruit des champs de courbure. Le niveau de ces bruits sont entre autres dépendants du traitement des images et en particulier des opérations de lissage.
Les différents champs de courbure κxx, κyy et κss, parties réelles et imaginaires, ont été extraits de huit mesures consécutives et traités par lissage polynomial. Les différences sont calculées point par point entre les courbures correspondantes des champs issus de mesures différentes. La valeur moyenne des écarts types de ces différences pour les mesures effectuées sur la plaque excitée à 100 Hz et une amplitude d’entraînement d0 = 28 µm) estσ(κ) = 2,3×10−4 m−1. Cette valeur peut être considérée comme une évaluation de la résolution en courbure.