3.3 Modifications apportées : de FLUSOL à SOLFLU
Comme l’évoque le début de ce chapitre, on rappelle ici que l’idée est d’utiliser le code FLUSOL dans le sens inverse, c’est-à-dire intégrer une source sismique dans le milieu solide et propager des ondes élastiques vers un milieu fluide. Pour parvenir à cet objectif, une reprise en main de ce code peu documenté a été nécessaire. Une fois les entrées/sorties, les différents programmes et modules de ce code compris, testés et compilés, il a été possible d’entamer des modifications : ajouts de nouvelles entrées, de modules supplémentaires, et développement de nouvelles sorties. Les sections suivantes détaillent les points essentiels des modifications apportées au code.
3.3.1 Paramétrisation du domaine solide
Dans un premier temps, il faut pouvoir paramétrer correctement les valeurs numériques en entrée du code pour modéliser la propagation d’une onde sismique dans un milieu de type croûte océanique. Ainsi, le premier objectif est de construire un domaine solide composé d’une maille élémentaire décrivant les propriétés exactes d’un “basalte océanique” en terme d’élasticité. Pour situer ce matériau, on calcule son paramètre de rigidité ou module de Young (E) défini dans la section précédente, on a :
VP2 = λ+ 2µ ρ VS2 = µ
ρ VP2 VS2 = 3
ainsi λ=µ (3.57)
Dans le cas du basalte, on a VP = 5500 m.s−1, d’où λ= 3.1010 Pa. Si l’on inverse la relation 3.40, on obtient le module de Young(E) en fonction des coefficients de Lamé(λ) et (µ). On obtient E = 50 Giga Pascal (voir calcul). A titre de comparaison, la table suivante (table 3.3) permet de situer le basalte par rapport à un ensemble de matériaux caractéristiques.
E = (3λ+ 2µ)µ λ+µ λ=µ
ainsi E = 5
3λ= 50GPa (3.58)
Paramétrisation de la maille solide
Pour paramétrer la maille solide, on doit définir la matrice d’élasticité à partir de trois paramètres en entrée : la vitesse des ondes P (VP), la vitesse des ondes S (VS) et la densité du milieu solide (ρs). Ces paramètres permettent ensuite de retrouver les coefficients de Lamé (λ) et(µ) (éq. 3.48) et (éq. 3.51). La matrice d’élasticitéCij s’écrit alors :
Cij =
λ+ 2µ λ 0
λ λ+ 2µ 0
0 0 µ
=
C11 C12 0 C21 C22 0 0 0 C33
(3.59)
Matériaux E (GPa) caoutchouc 0.007
tendon 0.6
bois 10
os 20
béton 30
basalte 50 aluminium 60
acier 200
diamant 1200
Tab. 3.3: Valeur de la rigidité du basalte (module de Young) comparée à d’autres maté- riaux, extrait de (Hecht,1996)
Pour les raisons de symétrie discutées précédemment, notre tenseur d’élasticité (Cij) se réduit à 5 composantes ou coefficients d’élasticité : (C11, C12, C21, C22, C33) à définir.
Par la suite, il est trivial de définir le tenseur de rigidité Aij comme l’inverse du tenseur d’élasticité : (Aij = (Cij)−1). De la même façon on définira le tenseur de rigidité Aij à l’aide de ses 5 composantes ou coefficients de rigidité : (A11, A12, A21, A22, A33). A partir des relations précédentes, on calcule les coefficients pour le basalte océanique noté (Cijbas), on obtient :
Cijbas=
C11bas C12bas 0 C21bas C22bas 0 0 0 C33bas
=
3λ λ 0 λ 3λ 0
0 0 λ
(C11bas=C22bas ≃30GPa
C12bas=C21bas =C33bas≃90GPa
(3.60)
Paramétrisation du domaine fluide
Pour le domaine fluide, la paramétrisation est simplifiée. En effet, celui-ci est choisi homogène sur toute la colonne d’eau et par définition il ne propage pas d’onde cisaillante, ainsiVS= 0. Ainsi, pour paramétrer la maille fluide, on utilise deux paramètres en entrée : la vitesse des ondes P(VP)et la densité de l’eau (ρf).
Paramétrisation du domaine solide
Pour paramétrer le domaine solide, il y a deux manières possibles : 1. un domaine homogène qui utilise les coefficients Cij d’élasticité
2. un domaine hétérogène qui utilise les coefficients Aij de rigidité pour chacun des milieux solides définis.
Pour chacun de ces deux cas, nous avons écrit un sous-programme générant le type de milieu considéré. En entrée de ces sous-programmes, l’ajout d’un script permet désormais de paramétrer la configuration de la simulation par simple saisie des vitesses et de la densité du milieu souhaité. En fonction du type de milieu solide choisi, le script pointe à l’aide de liens symboliques le répertoire où a été généré le milieu correspondant. A partir du schéma
3.3. Modifications apportées : de FLUSOL à SOLFLU
Fig. 3.15: Diagramme de paramétrage du milieu solide par SOLFLU Paramètres Valeurs
dimension du domaine (m) 10000*10000 hauteur colonne d’eau (m) 3000
ρf (kg.m−3) 1000
cf (ms−1) 1500
ρs (kg.m−3) 2900 cps (m.s−1) 5500 css (m.s−1) 3175
Tab. 3.4: Paramètres du domaine de calcul
d’architecture général du code (diag. 3.14), le diagramme 3.15 synthétise le fonctionnement du code suite aux modifications citées plus haut, en ré-utilisant le même code couleur. On décrit plus en détail la paramétrisation du domaine solide (diag. 3.15).
A partir des mailles solide et fluide définies précédemment, on se propose de créer un domaine de 10*10 km avec 7 km de basalte surmonté de 3 km de fluide. Les valeurs de ces paramètres sont détaillées (table 3.4). La figure 3.16 nous montre la sortie graphique des domaines solide et fluide compilée par le code (à droite), juxtaposée au schéma de discrétisation spatiale (à gauche). Les milieux solide et fluide paramétrés apparaissent tous les deux en bleu et l’interface du fond océanique est matérialisée par une ligne rouge.
Test de propagation d’une onde dans le domaine
Dans la première phase de test du milieu solide, des problèmes critiques de divergence numérique dans le calcul sont apparus à l’affichage graphique des résultats. Pour la suite de ce chapitre, on précise que la sortie graphique représente par une échelle de couleur
Solide Fluide
Fig. 3.16: Création du domaine solide et fluide avant calcul de la propagation de l’onde sismique
l’intensité du module de la norme des vitesses noténorme=q
v2sx+vf y2 de la particule du dV au passage de l’onde sismique. Pour chaque pas de temps, les valeurs initiales légèrement inexactes par effet de troncature numérique s’incrémentent et cumulent les erreurs jusqu’à diverger totalement. Ce problème a été résolu en déclarant les paramètres d’entrée réels avec un format long en double-précision codé sur 8-octets. Une fois cette précaution prise, on montre l’exemple de la propagation d’une onde élastique dans le milieu défini plus haut. Dans cet exemple, on implémente une simple source isotrope au centre du domaine située à 5 km de profondeur sous l’interface. Cette source de type explosion ne génère que des ondes P, le problème du type de mécanisme de la source sera abordé au paragraphe suivant. La séquence graphique (fig. 3.17) nous montre trois images successivement aux tempst1 = 0.2 s, t2 = 0.5s, t3 = 1s, correspondant à l’affichage par le module PLOT des résultats de la simulation. Sur la troisième image le front d’onde atteint l’interface juste un peu avant le temps t3 = 1s. La source étant placée à 5000 m sous l’interface et la vitesse de propagation des ondes P dans le basalte étant d’environ5500 m.s−1, on conclut que le paramétrage du milieu solide est correct dans ce cas test.
Fig. 3.17: Test du paramétrage du milieu solide pour une source simple explosive
3.3. Modifications apportées : de FLUSOL à SOLFLU 3.3.2 Le modèle de la source sismique
Mécanique de la source sismique
D’un point de vue mécanique, le modèle de la source sismique communément admis actuellement est celui du double-couple. Dans ce modèle, on se place loin de la zone de rupture de manière à assimiler la zone source à un point. On peut brièvement l’énoncer ainsi :“Quand un glissement se produit sur une faille, celle-ci tend naturellement à tourner dans le sens du glissement. Par réaction élastique, le milieu qui entoure la faille résiste à cette rotation en fournissant une rotation égale de sens opposé à celle de la faille principale.
Il y a donc deux couples en action : l’un provenant de la faille et l’autre du milieu” (Virieux, 2001). Selon ce modèle, la demi-sphère focale virtuelle située sous le foyer sera séparée en quatre quadrants par deux plans nodaux. Les axes de déformation P (Pression) et T (Tension) se placent suivant la bissectrice de chacun de ces plans. La figure 3.18 illustre ce mécanisme du double-couple et des plans nodaux associés, on a :
1. le plan de la faille : ce plan est réel (le premier plan nodal), une fois la rupture initiée le plan de faille va avoir tendance à tourner.
2. le plan auxiliaire : ce plan est virtuel (le deuxième plan nodal), il correspond à la réaction du milieu qui va s’opposer à la rotation des blocs engendrée par la faille.
Fig. 3.18: Principe du mécanisme en double-couple et des plan nodaux associés Ainsi, ce type de mécanisme au foyer induit un diagramme de rayonnement, le plus souvent utilisé sous sa terminologie anglo-saxone “radiation pattern”. La figure 3.19 représente le diagramme de rayonnement des ondes P et S pour une source sismique ponctuelle considérée comme un double-couple. Les lobes de radiation autour de la source sont proportionnels à l’énergie émise dans chaque direction. On remarque que pour l’onde P, l’énergie est nulle sur les plan nodaux alors qu’elle est maximum pour les ondes S sur ces mêmes plans.
Implémentation de différentes sources dans SOLFLU
Comme le montre l’architecture du code (fig. 3.14), le module concernant la source regroupe le programme ELSRCSU.F et le fichier de données elscr.dat. De même que pour le paramétrage du milieu solide, il a été nécessaire d’insérer des sous-programmes permettant au code de dissocier plusieurs sources. En entrée, un script appelle les différents sous-programmes écrits pour chaque type de source. Le diagramme 3.20 schématise plus en détail cette nouvelle architecture dans le code SOLFLU. Le pointé des répertoires et
Fig. 3.19: Diagramme de rayonnement 3D des ondes P et S pour une source sismique ponctuelle de type double-couple, (Virieux,2001)
sous-programmes se fait par lien symbolique depuis le programme principal pour configurer la source 2D de notre choix, on trouve :
1. isotrope explosive, abrégé“comp” dans l’écriture du code, du fait que cette source génère uniquement des ondes P de compression.
2. double-couple, abrégé “cis” du fait que cette source ajoute une composante en cisaillement donnant naissance à des ondes S
3. double-couple penté, abrégé “cis-angle” du fait de l’angle initial du plan de faille qui peut varier.
Source isotrope
Repartons de la source qui a été utilisée dans la section précédente pour tester le para- métrage du milieu solide. Il s’agit d’une source isotrope de type explosif dans le sens où le diagramme d’énergie correspondant forme une sphère homogène dans l’espace. Le sous- programme “elsrc-com.f” (voir diagramme 3.20) permet de créer cette source. Ci-dessous, on présente un extrait du code source en FORTRAN où est paramétré le tenseur des contraintes qui génère la source explosive :
1 C∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
2 SUBROUTINE ELSRCSU(ETAT, P ,NT, SXXH, SXXB, SXZ , SZZG , SZZD)
3 IMPLICIT NONE
4 C∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
5 C Objet : t r a i t e m e n t d e s s o u r c e s
6 C−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
7 . . .
8 c s o u r c e en c o m p r e s s i o n
9 sxxb ( Ig1 , I g 2 )=sxxb ( Ig1 , I g 2 )+GT ∗ AMP ∗DT
10 sxxh ( Ig1 , I g 2 )=sxxh ( Ig1 , I g 2 )+GT ∗ AMP ∗DT
11 s z z g ( Ig1 , I g 2 )=s z z g ( Ig1 , I g 2 )+GT ∗ AMP ∗DT
12 s z z d ( Ig1 , I g 2 )=s z z d ( Ig1 , I g 2 )+GT ∗ AMP ∗DT
13 . . .
14 END
On trouve les paramètres suivants :
– (sxxb, sxxh, szzb, szzd): contraintes initiales appliquées sur la maille solide (voir section 3.2.2 pour la description des contraintes sur la maille)
– (Ig1, Ig2) : en lien avec les coordonnées géométriques de la source configurées à partir du fichierelscr.dat
3.3. Modifications apportées : de FLUSOL à SOLFLU
elsrcsu.f
elsrcsu-cis.f elsrcsu-comp.f
pointe vers (lien symbolique)
elsrcsu-cis-angle.f
Programme Compilation Entr
elsrc.dat
Source: 1) isotrope, 2) double couple, 3) double couple incliné ? script d'entrée
1 2 3
Makefile (main)
elasticheter.exe
Fig. 3.20: Diagramme du paramétrage de la source par SOLFLU
– (GT, AMP, DT): paramètres fréquentiel et d’intensité de la source qu’on détaillera par la suite
Ces instructions du code sont la traduction directe de la théorie développée en début de ce chapitre. En termes mécaniques, on retrouve le tenseur des contraintesM⇒1 qui modèlise l’état de contrainte généré par une source explosive. Celle-ci est normalisée à la valeur 1 dans un premier temps, il suffira par la suite de multiplier la matrice par un coefficient α(t) qui est la fonction temporelle de la source pour obtenir l’intensité souhaitée, on a :
⇒
M1=
"
σxx 0 0 σzz
#
σxx =σzz (par symétrie)
ainsi M⇒1= 1 0
0 1
∗α(t) (3.61)
Le tenseur décrivant la source isotrope permet de calculer le diagramme de rayonne- ment. On se propose d’exprimer chaque composante du tenseur dans le plan de la source.
Considérons le plan 2D représentant le domaine solide, de repère (O,~i,~j). Pour tout point (M) du domaine solide matérialisant le centre d’une maille solide, le vecteur (OM)~ fera avec le vecteur(~i)un certain angle(θ)en fonction de sa position. A partir de la position du point (M), on définit le (~n) qui porte la partie longitudinale du déplacement de l’élément solide, soit l’onde compressive ou onde P, et le (~t) la partie cisaillante du déplacement toujours normal à (~n) (voir fig. 3.21), on a :
Fig. 3.21: Notations utilisés dans le repère 2D de la source sismique
(~n= cosθ ~i+ sinθ ~j
~t=−sinθ ~i+ cosθ ~j soit matriciellement
~n=
"
cosθ sinθ
#
~t=
"
−sinθ cosθ
# (3.62)
Au point (M), le vecteur subi par la facette orientée par~n s’écrit :
⇒
M1 (~n) =
σxx 0 0 σxx
cosθ sinθ
=σxx(cosθ ~i+ sinθ ~j) (3.63) Si l’on exprime la projection de ce vecteur contrainte sur le vecteur (~n), on obtient la contrainte normale subie par la facette (~n). Cette contrainte normale est à l’origine de l’onde de compression ou onde P:
⇒
M1 (~n)~n=
σxx 0 0 σxx
cosθ sinθ
=σxx(cosθ2+ sinθ2) =σxx (3.64) Si l’on exprime la projection de ce vecteur contrainte sur le vecteur (~t), on obtient la contrainte tangentielle subie par la facette(~n). Cette contrainte tangentielle est à l’origine de l’onde de cisaillement ouonde S :
⇒
M1(~n)~t=
σxx 0 0 σxx
−sinθ cosθ
=σxx(cosθsinθ−cosθsinθ) = 0 (3.65) Par calcul, on retrouve bien le caractère isotrope du diagramme de rayonnement de cette source. L’énergie rayonnée est invariante selon (θ) pour l’onde P et est nulle pour l’onde S. La figure 3.22 schématise la propagation de l’onde sismique attendue suite au rayonnement de cette source projeté en 2D dans le plan de celle-ci.
La figure (3.23) nous montre le résultat numérique obtenu par le calcul du code pour cette source isotrope explosive. Le rayonnement de l’énergie (représenté en intensité par l’échelle de couleur) correspond bien au calcul théorique précédent. On obtient une onde de compression isotrope. Une telle source s’apparente à une explosion, sa validité d’un point de vue géophysique dans un contexte de sismicité de dorsale sera discutée dans la partie résultats (cf chap. 4).
3.3. Modifications apportées : de FLUSOL à SOLFLU
Fig. 3.22: Propagation attendue à partir du diagramme de rayonnement théorique d’une source isotrope explosive